五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題04函數(shù)概念與基本初等函數(shù)18種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1函數(shù)及其表示（5年5考）考點01求函數(shù)值2024·新高考Ⅰ卷2024·上海2023·北京2021·浙江1.函數(shù)的周期性單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是高考的重難點方向，特別是新高考新題型以后，它們與抽象函數(shù)的結(jié)合將是未來一個重要方向2.函數(shù)的綜合應(yīng)用作為壓軸題，一般會是同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)比較大小，函數(shù)的綜合性質(zhì)應(yīng)用等考點02函數(shù)的定義域2022·北京考點03函數(shù)的值域2025·北京2023·上海2022·上?？键c04函數(shù)解析式2025·北京考點05函數(shù)的圖象2025·天津2024·全國甲卷2023·天津2022·天津2022·全國甲卷2022·全國乙卷2021·浙江知識2函數(shù)的基本性質(zhì)（5年5考）考點06判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性2023·北京2021·全國甲卷考點07根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值2024·新高考Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國乙卷2021·上海考點08比較函數(shù)值的大小關(guān)系2025·全國一卷2024·北京2024·天津2023·天津2023·全國甲卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·全國甲卷2022·天津考點09根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式2024·上海2022·上?？键c10函數(shù)的最值2025·天津2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京考點11函數(shù)奇偶性的定義與判斷2024·天津2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·上海2021·全國乙卷2021·新高考全國Ⅱ卷考點12由奇偶性求參數(shù)2024·上海2023·全國甲卷2023·全國乙卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·上海2022·全國乙卷2021·新高考全國Ⅰ卷考點13函數(shù)奇偶性的應(yīng)用2025·全國一卷2025·全國二卷2022·新高考全國Ⅰ卷2021·全國甲卷2021·全國甲卷考點14函數(shù)的周期性2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷考點15函數(shù)的對稱性2005·天津2024·新高考全國Ⅰ卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國乙卷2022·全國乙卷2021·上海知識3指對函數(shù)的運算及實際應(yīng)用（5年4考）考點16指對數(shù)的運算2024·全國甲卷2022·北京2022·天津2022·浙江考點17對數(shù)的實際應(yīng)用2025·北京2024·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·北京知識4函數(shù)的零點（5年5考）考點18函數(shù)的零點2025·天津2024·新高考全國Ⅰ卷2024·天津2024·全國甲卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·天津2022·北京2022·天津2021·北京考點01求函數(shù)值1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1〖祥解〗根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳析】函數(shù)，所以.故答案為：12．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知則．【答案】〖祥解〗利用分段函數(shù)的形式可求.【詳析】因為故，故答案為：.3．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則.【答案】2〖祥解〗由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳析】，故，故答案為：2.4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當(dāng)時，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳析】因為當(dāng)時，所以，又因為，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.考點02函數(shù)的定義域5．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】〖祥解〗根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳析】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：考點03函數(shù)的值域6．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域為D，則“的值域為”是“對任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳析】若函數(shù)的值域為，則對任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對任意，一定存在，使得，取，則，但此時函數(shù)的值域為，必要性不成立；所以“的值域為”是“對任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.7．（2022·上?！じ呖颊骖}）設(shè)函數(shù)滿足，定義域為，值域為A，若集合可取得A中所有值，則參數(shù)a的取值范圍為.【答案】，，〖祥解〗由可得，可判斷當(dāng)時，；當(dāng)時，；從而可得，，時，參數(shù)的最小值為，從而求得．【詳析】令得，或（舍去）；當(dāng)時，，故對任意，都存在，，，故，故，，，而當(dāng)時，，故當(dāng)，，時，參數(shù)的最小值為，故參數(shù)的取值范圍為，，故答案為：，．8．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，則的值域是；【答案】〖祥解〗分段討論的范圍即可.【詳析】當(dāng)時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時,.綜上:的值域為.故答案為：.考點04函數(shù)解析式9．（2025·北京·高考真題）關(guān)于定義域為的函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】②③〖祥解〗利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.【詳析】對于①，若存在在上的增函數(shù)，滿足，則，即，故時，，故，故即，矛盾，故①錯誤；對于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對于③，取，此時，由可得有無窮多個，故③正確；對于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯誤.故答案為：②③考點05函數(shù)的圖象10．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時函數(shù)值正負情況可得解.【詳析】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項AB；又當(dāng)時，此時，由圖可知當(dāng)時，，故C不符合，D符合.故選：D11．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳析】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，CD選項錯誤；又當(dāng)時，，B選項錯誤.故選：A.12．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.【詳析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D13．（2024·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳析】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.14．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳析】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.15．（2022·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳析】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C.故選：A.16．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳析】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當(dāng)時，，與圖象不符，排除C.故選：D.考點06判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性17．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳析】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.18．（2021·全國甲卷·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳析】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.考點07根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值19．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳析】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.20．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D21．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】〖祥解〗原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.22．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個不同實數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.〖祥解〗（1）解絕對值不等式即可得答案；（2）利用有兩個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個根，利用換元法可求實數(shù)a的取值范圍；（3）分與兩類情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的取值范圍.【詳析】解：（1），∴，解得；所以函數(shù)的定義域為.（2）由題知有2個不同實數(shù)根，所以，，設(shè)，∴有2個不同實數(shù)根，∴整理得，有2個不同實數(shù)根，同時，∴；（3）當(dāng)，，在遞減，此時需滿足，即時，函數(shù)在上遞減；當(dāng)，，在上遞減，∵，∴，即當(dāng)時，函數(shù)在上遞減；綜上，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減.所以的取值范圍是【『點石成金』】本題第二問解題的關(guān)鍵在于利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為，有2個不同實數(shù)根，進而求解，第三問解題的關(guān)鍵在于分類討論求解.考點08比較函數(shù)值的大小關(guān)系23．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳析】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.24．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.25．（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳析】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．26．（2025·全國一卷·高考真題）若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗法一：設(shè)，對討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳析】法一：設(shè)，所以令，則，此時，A有可能；令，則，此時，C有可能；令，則，此時，D有可能；故選：B．法二：設(shè)，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標(biāo)，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．27．（2024·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳析】因為在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：D28．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳析】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D29．（2022·天津·高考真題）設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳析】因為，故.故選：D.30．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故考點09根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式31．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【詳析】（1）因為的圖象過，故，故即（負的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.（2）因為存在使得成等差數(shù)列，故有解，故，因為，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域為，故即.32．（2022·上?！じ呖颊骖}）(1)若將函數(shù)圖像向下移后，圖像經(jīng)過，求實數(shù)a，m的值.(2)若且，求解不等式.【答案】(1)(2)答案見解析.〖祥解〗（1）由題知，再根據(jù)題意得，解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為的解集，再分類討論求解即可.【詳析】（1）解：函數(shù)的定義域滿足，即，所以，要使函數(shù)的定義域非空，則，即.若將函數(shù)圖像向下移后得到的解析式為：，.所以在函數(shù)的圖像上，即，解得：，所以，（2）解：由題知，,,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以等價于，展開整理得：，所以，不等式的解集為的解，所以，當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為.綜上，當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為.考點10函數(shù)的最值33．（2025·天津·高考真題）若，對，均有恒成立，則的最小值為【答案】〖祥解〗先設(shè)，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗證時，是否可以取到，進而判斷該最小值是否可取即可得到答案.【詳析】設(shè)，原題轉(zhuǎn)化為求的最小值，原不等式可化為對任意的，，不妨代入，得，得，當(dāng)時，原不等式可化為，即，觀察可知，當(dāng)時，對一定成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，此時，，說明時，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：34．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C〖祥解〗解法一：由題意可知：的定義域為，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號，進而可得的符號，即可得，代入可得最值.【詳析】解法一：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；若，當(dāng)時，可知，此時，不合題意；若，當(dāng)時，可知，此時，不合題意；若，當(dāng)時，可知，此時；當(dāng)時，可知，此時；可知若，符合題意；若，當(dāng)時，可知，此時，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；則當(dāng)時，，故，所以；時，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.35．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③〖祥解〗先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對于④，取，結(jié)合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳析】依題意，，當(dāng)時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；當(dāng)時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當(dāng)時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于②，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，顯然取得最大值；當(dāng)時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，易知當(dāng)時，在，且接近于處，的距離最小，

當(dāng)時，，當(dāng)且接近于處，，此時，，當(dāng)時，且接近于處，的距離最小，此時；故③正確；對于④，取，則的圖像如下，

因為，結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故答案為：②③.【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當(dāng)時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.考點11函數(shù)奇偶性的定義與判斷36．（2024·天津·高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳析】對A，設(shè)，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，，，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域為，因為，且不恒為0，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.37．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC〖祥解〗方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進行判斷即可.【詳析】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值點，故D錯誤.故選：.38．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳析】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B【『點石成金』】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題.39．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）〖祥解〗根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳析】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）40．（2024·上海·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B〖祥解〗A選項利用偶函數(shù)的性質(zhì)找到矛盾即可；B選項找到合適函數(shù)即可；C選項由定義得到集合與已知條件矛盾；D選項由集合的定義找到矛盾.【詳析】對于A選項：時，，當(dāng)時，，任意的，恒成立，若時偶函數(shù)，此時矛盾，故A選項錯誤；對于B選項：若函數(shù)圖像如下：當(dāng)時，，時，，當(dāng)，，∴存在在處取最大值，故B選項正確；對于C選項：在時，若函數(shù)嚴(yán)格遞增，則集合的取值不會是，而是全體定義域，故C選項錯誤；對于D選項：若存在在處取到極小值，則在在左側(cè)存在，，與集合定義矛盾，故D選項錯誤.故選：B考點12由奇偶性求參數(shù)41．（2024·上?！じ呖颊骖}）若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù).【答案】0〖祥解〗根據(jù)奇函數(shù)的定義求解．【詳析】是奇函數(shù)，則恒成立，所以，解得故答案為：0．42．（2023·全國甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2〖祥解〗利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳析】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.43．（2023·全國乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳析】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.44．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳析】因為為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，，，解得或，則其定義域為或，關(guān)于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.45．（2022·上?！じ呖颊骖}）若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為．【答案】1〖祥解〗根據(jù)奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，而，故即，故答案為：1.46．（2022·全國乙卷·高考真題）若是奇函數(shù)，則，．【答案】；．〖祥解〗根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．47．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】1〖祥解〗利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳析】因為，故，因為為偶函數(shù)，故，時，整理得到，故，故答案為：148．（2023·上?！じ呖颊骖}）函數(shù)(1)當(dāng)時，是否存在實數(shù)c，使得為奇函數(shù)；(2)若函數(shù)過點，且函數(shù)圖像與軸負半軸有兩個不同交點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)不存在(2)且〖祥解〗（1）將代入得，先考慮其定義域，再假設(shè)為奇函數(shù)，得到方程無解，從而得以判斷；（2）先半點代入求得，從而得到，再利用二次函數(shù)的根的分布得到關(guān)于的不等式組，解之可得，最后再考慮的情況，從而得到的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時，，定義域為，假設(shè)為奇函數(shù)，則，而，則，此時無實數(shù)滿足條件，所以不存在實數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）圖像經(jīng)過點，則代入得，解得，所以，定義域為，令，則的圖像與軸負半軸有兩個交點，所以，即，解得，若，即是方程的解，則代入可得，解得或.由題意得，所以實數(shù)的取值范團且.考點13函數(shù)奇偶性的應(yīng)用49．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳析】由題知對一切成立，于是.故選：A50．（2025·全國二卷·高考真題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點【答案】ABD〖祥解〗對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.【詳析】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；對B，當(dāng)時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，則是極大值點，故D正確；故選：ABD.51．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳析】由題意可得：，而，故.故選：C.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.52．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳析】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【『點石成金』】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結(jié)論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．53．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC〖祥解〗方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳析】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．考點14函數(shù)的周期性54．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A〖祥解〗法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳析】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.55．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.考點15函數(shù)的對稱性56．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳析】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【『點石成金』】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.57．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域為，下列是無最大值的充分條件是（

）A．為偶函數(shù)且關(guān)于直線對稱 B．為偶函數(shù)且關(guān)于點對稱C．為奇函數(shù)且關(guān)于直線對稱 D．為奇函數(shù)且關(guān)于點對稱【答案】D〖祥解〗根據(jù)對稱性可判斷函數(shù)的周期，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)對稱性可得，據(jù)此可判斷D的正誤.【詳析】對于A，因為為偶函數(shù)，故，而的圖像關(guān)于直線對稱，故，故，故為周期函數(shù)且周期為2，而在必有最大值，故必有最大值，故A錯誤.對于B，而的圖像關(guān)于點對稱，故，故，故，故故為周期函數(shù)且周期為4，而在必有最大值，故必有最大值，故B錯誤.對于C，因為為奇函數(shù)，故，而的圖像關(guān)于直線對稱，故，故，所以故為周期函數(shù)且周期為4，而在必有最大值，故必有最大值，故C錯誤.對于D，因為為奇函數(shù)，故，而的圖像關(guān)于點對稱，故，故，設(shè)，則，故無最大值，故選：D58．（2005·天津·高考真題）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則．【答案】〖祥解〗根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得出的值，根據(jù)函數(shù)對稱性可得出的值，推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，結(jié)合周期性可求得的值.【詳析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則對任意的，，，則，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且，因此，.故答案為：.59．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點B．當(dāng)時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD〖祥解〗A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.【詳析】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【『點石成金』】結(jié)論『點石成金』：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心60．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)〖祥解〗（1）求出后根據(jù)可求的最小值；（2）設(shè)為圖象上任意一點，可證關(guān)于的對稱點為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對稱性；（3）根據(jù)題設(shè)可判斷即，再根據(jù)在上恒成立可求得.【詳析】（1）時，，其中，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域為，設(shè)為圖象上任意一點，關(guān)于的對稱點為，因為在圖象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.（3）因為當(dāng)且僅當(dāng)，故為的一個解，所以即，先考慮時，恒成立.此時即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時.而當(dāng)時，而時，由上述過程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.【『點石成金』】思路『點石成金』：一個函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對應(yīng)的解，而解的端點為函數(shù)對一個方程的根或定義域的端點，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時，可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.61．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).〖祥解〗(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;令，則，令，在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，，且注意到，根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.【『點石成金』】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.考點16指對數(shù)的運算62．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳析】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．63．（2024·全國甲卷·高考真題）已知且，則．【答案】64〖祥解〗將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【詳析】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.64．（2022·天津·高考真題）化簡（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.【詳析】原式，故選：C65．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．【詳析】因為，，即，所以．故選：C.考點17對數(shù)的實際應(yīng)用66．（2025·北京·高考真題）一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要的時間（單位：h），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加20h；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h【答案】B〖祥解〗由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時所需的時間，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳析】設(shè)當(dāng)N取個單位、個單位、個單位時所需時間分別為,由題意，，，，因為，所以，所以，所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加4小時.故選：B.67．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意分析可得，消去即可求解.【詳析】由題意得，則，即，所以.故選：D.68．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD〖祥解〗根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.【詳析】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.69．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D〖祥解〗根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項.【詳析】當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當(dāng)，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當(dāng)，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D考點18函數(shù)的零點70．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則；．【答案】1〖祥解〗先代入零點，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計算即可.【詳析】∵，∴∴故答案為：1，71．（2024·廣東江蘇·高考真題）當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C〖祥解〗畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【詳析】因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C72．（2025·天津·高考真題）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理計算即可.【詳析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，顯然，所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點位于.故選：B73．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D〖祥解〗解法一：令，分析可知曲線與恰有一個交點，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得，并代入檢驗即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即可得，并代入檢驗即可.【詳析】解法一：令，即，可得，令，原題意等價于當(dāng)時，曲線與恰有一個交點，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.74．（2024·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù).若恰有一個零點，則的取值范圍為．【答案】〖祥解〗結(jié)合函數(shù)零點與兩函數(shù)的交點的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點，分、與進行討論，當(dāng)時，計算函數(shù)定義域可得或，計算可得時，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點，則只需找到當(dāng)時，在軸右側(cè)無交點的情況即可得；當(dāng)時，按同一方式討論即可得.【詳析】令，即，由題可得，當(dāng)時，，有，則，不符合要求，舍去；當(dāng)時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當(dāng)時，則，則，即，整理得，當(dāng)時，即，即，當(dāng)，或（正值舍去），當(dāng)時，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時，在時有唯一解，則當(dāng)時，在時需無解，當(dāng)，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，即，故時，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，由的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；當(dāng)時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當(dāng)時，則，則，即，整理得，當(dāng)時，即，即，當(dāng)，（負值舍去）或，當(dāng)時，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時，在時有唯一解，則當(dāng)時，在時需無解，當(dāng)，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，.故答案為：.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題關(guān)鍵點在于將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點問題，從而可將其分成兩個函數(shù)研究.75．（2024·全國甲卷·高考真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．【答案】〖祥解〗將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳析】令，即，令則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：76．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為．【答案】〖祥解〗根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳析】（1）當(dāng)時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當(dāng)時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，只有一個零點；當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，只有一個零點；當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，零點為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，且．故答案為：．【『點石成金』】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點）的個數(shù)，從而解出．77．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．【答案】〖祥解〗令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳析】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.78．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，用表示中的較小者．若函數(shù)至少有3個零點，則的取值范圍為.【答案】〖祥解〗設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳析】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【『點石成金』】方法『點石成金』：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.79．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④〖祥解〗由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳析】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當(dāng)直線過點時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【『點石成金』】思路『點石成金』：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．專題04函數(shù)概念與基本初等函數(shù)18種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1函數(shù)及其表示（5年5考）考點01求函數(shù)值2024·新高考Ⅰ卷2024·上海2023·北京2021·浙江1.函數(shù)的周期性單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是高考的重難點方向，特別是新高考新題型以后，它們與抽象函數(shù)的結(jié)合將是未來一個重要方向2.函數(shù)的綜合應(yīng)用作為壓軸題，一般會是同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)比較大小，函數(shù)的綜合性質(zhì)應(yīng)用等考點02函數(shù)的定義域2022·北京考點03函數(shù)的值域2025·北京2023·上海2022·上?？键c04函數(shù)解析式2025·北京考點05函數(shù)的圖象2025·天津2024·全國甲卷2023·天津2022·天津2022·全國甲卷2022·全國乙卷2021·浙江知識2函數(shù)的基本性質(zhì)（5年5考）考點06判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性2023·北京2021·全國甲卷考點07根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值2024·新高考Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國乙卷2021·上?？键c08比較函數(shù)值的大小關(guān)系2025·全國一卷2024·北京2024·天津2023·天津2023·全國甲卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·全國甲卷2022·天津考點09根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式2024·上海2022·上?？键c10函數(shù)的最值2025·天津2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京考點11函數(shù)奇偶性的定義與判斷2024·天津2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·上海2021·全國乙卷2021·新高考全國Ⅱ卷考點12由奇偶性求參數(shù)2024·上海2023·全國甲卷2023·全國乙卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·上海2022·全國乙卷2021·新高考全國Ⅰ卷考點13函數(shù)奇偶性的應(yīng)用2025·全國一卷2025·全國二卷2022·新高考全國Ⅰ卷2021·全國甲卷2021·全國甲卷考點14函數(shù)的周期性2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷考點15函數(shù)的對稱性2005·天津2024·新高考全國Ⅰ卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國乙卷2022·全國乙卷2021·上海知識3指對函數(shù)的運算及實際應(yīng)用（5年4考）考點16指對數(shù)的運算2024·全國甲卷2022·北京2022·天津2022·浙江考點17對數(shù)的實際應(yīng)用2025·北京2024·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·北京知識4函數(shù)的零點（5年5考）考點18函數(shù)的零點2025·天津2024·新高考全國Ⅰ卷2024·天津2024·全國甲卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·天津2022·北京2022·天津2021·北京考點01求函數(shù)值1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1〖祥解〗根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳析】函數(shù)，所以.故答案為：12．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知則．【答案】〖祥解〗利用分段函數(shù)的形式可求.【詳析】因為故，故答案為：.3．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則.【答案】2〖祥解〗由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳析】，故，故答案為：2.4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當(dāng)時，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳析】因為當(dāng)時，所以，又因為，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.考點02函數(shù)的定義域5．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】〖祥解〗根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳析】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：考點03函數(shù)的值域6．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域為D，則“的值域為”是“對任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳析】若函數(shù)的值域為，則對任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對任意，一定存在，使得，取，則，但此時函數(shù)的值域為，必要性不成立；所以“的值域為”是“對任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.7．（2022·上海·高考真題）設(shè)函數(shù)滿足，定義域為，值域為A，若集合可取得A中所有值，則參數(shù)a的取值范圍為.【答案】，，〖祥解〗由可得，可判斷當(dāng)時，；當(dāng)時，；從而可得，，時，參數(shù)的最小值為，從而求得．【詳析】令得，或（舍去）；當(dāng)時，，故對任意，都存在，，，故，故，，，而當(dāng)時，，故當(dāng)，，時，參數(shù)的最小值為，故參數(shù)的取值范圍為，，故答案為：，．8．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，則的值域是；【答案】〖祥解〗分段討論的范圍即可.【詳析】當(dāng)時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時,.綜上:的值域為.故答案為：.考點04函數(shù)解析式9．（2025·北京·高考真題）關(guān)于定義域為的函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】②③〖祥解〗利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.【詳析】對于①，若存在在上的增函數(shù)，滿足，則，即，故時，，故，故即，矛盾，故①錯誤；對于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對于③，取，此時，由可得有無窮多個，故③正確；對于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯誤.故答案為：②③考點05函數(shù)的圖象10．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時函數(shù)值正負情況可得解.【詳析】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項AB；又當(dāng)時，此時，由圖可知當(dāng)時，，故C不符合，D符合.故選：D11．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳析】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，CD選項錯誤；又當(dāng)時，，B選項錯誤.故選：A.12．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.【詳析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D13．（2024·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳析】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.14．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳析】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.15．（2022·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳析】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C.故選：A.16．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳析】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當(dāng)時，，與圖象不符，排除C.故選：D.考點06判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性17．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳析】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.18．（2021·全國甲卷·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳析】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.考點07根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值19．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳析】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.20．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D21．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】〖祥解〗原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.22．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個不同實數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.〖祥解〗（1）解絕對值不等式即可得答案；（2）利用有兩個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個根，利用換元法可求實數(shù)a的取值范圍；（3）分與兩類情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的取值范圍.【詳析】解：（1），∴，解得；所以函數(shù)的定義域為.（2）由題知有2個不同實數(shù)根，所以，，設(shè)，∴有2個不同實數(shù)根，∴整理得，有2個不同實數(shù)根，同時，∴；（3）當(dāng)，，在遞減，此時需滿足，即時，函數(shù)在上遞減；當(dāng)，，在上遞減，∵，∴，即當(dāng)時，函數(shù)在上遞減；綜上，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減.所以的取值范圍是【『點石成金』】本題第二問解題的關(guān)鍵在于利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為，有2個不同實數(shù)根，進而求解，第三問解題的關(guān)鍵在于分類討論求解.考點08比較函數(shù)值的大小關(guān)系23．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳析】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.24．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.25．（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳析】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．26．（2025·全國一卷·高考真題）若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗法一：設(shè)，對討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳析】法一：設(shè)，所以令，則，此時，A有可能；令，則，此時，C有可能；令，則，此時，D有可能；故選：B．法二：設(shè)，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標(biāo)，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．27．（2024·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C．