2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：統(tǒng)計(jì)與決策案例分析題庫(kù)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______案例一某快消品公司為了解其新推出的一款咖啡飲料的市場(chǎng)潛力，在目標(biāo)消費(fèi)區(qū)域隨機(jī)抽取了1000名成年人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。問(wèn)卷中包含對(duì)該飲料的口味偏好（非常喜歡、比較喜歡、一般、不太喜歡、非常不喜歡）、購(gòu)買意愿（肯定購(gòu)買、可能購(gòu)買、不確定、可能不購(gòu)買、肯定不購(gòu)買）以及幾個(gè)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)變量（年齡：20-30歲、31-40歲、41-50歲、51歲以上；性別：男、女；收入水平：高、中、低）。調(diào)查數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)初步整理后，公司市場(chǎng)部希望利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行分析，以回答以下問(wèn)題：1.不同年齡段的消費(fèi)者對(duì)咖啡飲料的口味偏好是否存在顯著差異？2.性別與購(gòu)買意愿之間是否存在關(guān)聯(lián)關(guān)系？請(qǐng)具體說(shuō)明。3.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，該公司可以估計(jì)出整體市場(chǎng)中對(duì)該咖啡飲料“非常喜歡”的成年人比例，并希望這個(gè)估計(jì)的置信水平達(dá)到95%。如果他們希望估計(jì)的比例誤差不超過(guò)3%，那么下次進(jìn)行類似調(diào)查時(shí)，至少需要抽取多少名成年人？4.請(qǐng)構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的回歸模型，用以分析哪些人口統(tǒng)計(jì)學(xué)變量（如果適用）對(duì)消費(fèi)者的購(gòu)買意愿有顯著影響。解釋模型中重要變量的系數(shù)含義，并討論該模型在預(yù)測(cè)購(gòu)買意愿方面的潛在價(jià)值。案例二一家銀行想知道其信用卡客戶的使用行為特征，并希望根據(jù)客戶的收入水平來(lái)預(yù)測(cè)其月均消費(fèi)額。銀行隨機(jī)抽取了200名信用卡客戶，記錄了他們的年收入水平（分為高收入、中等收入、低收入三組）和上個(gè)月的月均消費(fèi)額（單位：元）。銀行分析師初步觀察到，不同收入水平的客戶群，其月均消費(fèi)額可能存在差異，并且月均消費(fèi)額可能與年收入水平存在線性關(guān)系?；谶@些信息，分析師希望運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法完成以下分析：1.請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)募僭O(shè)檢驗(yàn)方法，判斷不同收入水平的客戶群體，其月均消費(fèi)額是否存在顯著差異。請(qǐng)說(shuō)明檢驗(yàn)的步驟和結(jié)論。2.如果檢驗(yàn)結(jié)果表明存在顯著差異，請(qǐng)進(jìn)一步說(shuō)明這種差異主要體現(xiàn)在哪些收入水平組之間。3.建立一個(gè)線性回歸模型，以年收入水平（作為自變量）預(yù)測(cè)月均消費(fèi)額（作為因變量）。請(qǐng)解釋模型中回歸系數(shù)的意義，并評(píng)估該模型的擬合效果。4.假設(shè)銀行計(jì)劃為“高收入”客戶群體推出一項(xiàng)新的積分獎(jiǎng)勵(lì)計(jì)劃，預(yù)計(jì)該計(jì)劃會(huì)將該群體的平均月均消費(fèi)額提高500元。請(qǐng)基于回歸模型，評(píng)估這項(xiàng)計(jì)劃可能帶來(lái)的平均消費(fèi)額變化，并討論其不確定性。案例三某制藥公司研發(fā)了一種新藥，希望評(píng)估其療效。研究人員將參與試驗(yàn)的病人隨機(jī)分為兩組：實(shí)驗(yàn)組（n=50）服用新藥，對(duì)照組（n=50）服用安慰劑。在試驗(yàn)結(jié)束后，研究人員測(cè)量了兩組病人的癥狀改善程度（使用評(píng)分量表，分?jǐn)?shù)越高表示改善越明顯）。初步數(shù)據(jù)顯示，實(shí)驗(yàn)組病人的平均改善評(píng)分略高于對(duì)照組。公司統(tǒng)計(jì)顧問(wèn)需要分析這些數(shù)據(jù)，以判斷新藥是否真的比安慰劑更有效。請(qǐng)協(xié)助統(tǒng)計(jì)顧問(wèn)完成以下分析任務(wù)：1.描述兩組病人癥狀改善評(píng)分的集中趨勢(shì)和離散程度。比較兩組分布的特點(diǎn)。2.請(qǐng)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以確定新藥組與安慰劑組的癥狀改善評(píng)分是否存在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著差異。請(qǐng)清晰地說(shuō)明零假設(shè)、備擇假設(shè)、檢驗(yàn)方法的選擇依據(jù)、檢驗(yàn)過(guò)程的關(guān)鍵步驟以及得出的結(jié)論。3.計(jì)算并解釋兩組癥狀改善評(píng)分之差的95%置信區(qū)間。這個(gè)區(qū)間說(shuō)明了什么？4.從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，評(píng)價(jià)這項(xiàng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)（隨機(jī)分組）在確保試驗(yàn)結(jié)果有效性方面發(fā)揮了什么作用？如果試驗(yàn)設(shè)計(jì)存在不足，可能引入什么偏誤？案例四一家電商公司擔(dān)心其網(wǎng)站的用戶停留時(shí)間（用戶打開(kāi)網(wǎng)站到離開(kāi)所花費(fèi)的時(shí)間）受到頁(yè)面布局調(diào)整的影響。為了測(cè)試這一點(diǎn)，他們?cè)谕粫r(shí)間段內(nèi)，一部分用戶（實(shí)驗(yàn)組）接觸到了新的頁(yè)面布局，而另一部分用戶（對(duì)照組）保持了原有的布局。公司記錄了兩組用戶的平均停留時(shí)間（分鐘）。初步分析顯示，實(shí)驗(yàn)組的平均停留時(shí)間比對(duì)照組短。請(qǐng)基于以下信息，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析以評(píng)估頁(yè)面布局調(diào)整對(duì)用戶停留時(shí)間的影響：1.描述實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組用戶平均停留時(shí)間的差異?？紤]使用合適的圖表或統(tǒng)計(jì)量來(lái)概括這種差異。2.執(zhí)行一個(gè)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)檢驗(yàn)，判斷頁(yè)面布局調(diào)整是否對(duì)用戶的平均停留時(shí)間產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)上顯著的效應(yīng)。請(qǐng)說(shuō)明檢驗(yàn)的關(guān)鍵參數(shù)和結(jié)論。3.假設(shè)公司設(shè)定，如果新布局能顯著降低用戶平均停留時(shí)間（以分鐘為單位），則考慮全面推廣。請(qǐng)計(jì)算并解釋該效應(yīng)大小的95%置信區(qū)間。這個(gè)區(qū)間對(duì)公司的決策有何啟示？4.除了平均停留時(shí)間，公司還可能考慮其他指標(biāo)（如頁(yè)面瀏覽量、轉(zhuǎn)化率等）來(lái)評(píng)估布局調(diào)整的效果。從統(tǒng)計(jì)決策的角度，說(shuō)明在僅依據(jù)平均停留時(shí)間結(jié)論的情況下，公司做出決策可能面臨的風(fēng)險(xiǎn)。試卷答案案例一1.解析思路：使用單因素方差分析（One-wayANOVA）檢驗(yàn)不同年齡組在口味偏好上的均值是否存在顯著差異。需要先將口味偏好進(jìn)行量化處理（如賦值：非常喜歡=4,比較喜歡=3,一般=2,不太喜歡=1,非常不喜歡=0），然后檢驗(yàn)假設(shè)H0:不同年齡組的口味偏好均值相等vsH1:至少有兩個(gè)年齡組的口味偏好均值不等。如果P值小于顯著性水平（如0.05），則拒絕H0，認(rèn)為存在顯著差異。2.解析思路：使用卡方檢驗(yàn)（Chi-squareTestofIndependence）分析性別與購(gòu)買意愿之間是否存在關(guān)聯(lián)關(guān)系。構(gòu)建二維列聯(lián)表，計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)，然后計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量。如果P值小于顯著性水平（如0.05），則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為性別與購(gòu)買意愿之間存在關(guān)聯(lián)。3.解析思路：這屬于大樣本比例估計(jì)問(wèn)題。使用公式樣本量n=(Zα/2*σp)2/ε2來(lái)估計(jì)。由于是估計(jì)比例，標(biāo)準(zhǔn)差σp=√(p(1-p))，通常用樣本比例p的極大值（0.5）來(lái)替代以獲得最大樣本量。置信水平95%對(duì)應(yīng)Zα/2≈1.96。需要先根據(jù)初步調(diào)查或行業(yè)數(shù)據(jù)獲得一個(gè)關(guān)于“非常喜歡”比例的初步估計(jì)（若無(wú)，可用0.5）。然后代入公式計(jì)算所需樣本量，并向上取整。最后，將計(jì)算出的樣本量作為下次調(diào)查的建議人數(shù)。4.解析思路：使用多元線性回歸模型。因變量為購(gòu)買意愿（可能需要量化，如肯定購(gòu)買=5,...肯定不購(gòu)買=1），自變量為年齡（可能需要量化或虛擬變量）、性別（虛擬變量）、收入水平（虛擬變量）。選擇方法時(shí)注意因變量的類型（如果是分類變量，可能需要Logistic回歸，此處按量化處理假設(shè)為線性回歸）。建立模型后，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w顯著性（F檢驗(yàn)）和各系數(shù)的顯著性（t檢驗(yàn)）。解釋系數(shù)時(shí)，說(shuō)明該自變量每變化一個(gè)單位，因變量預(yù)計(jì)變化多少個(gè)單位（注意變量量化方式）。評(píng)估模型價(jià)值時(shí)，可看R方（解釋變異比例）和調(diào)整R方（考慮自變量數(shù)量后的解釋力），以及系數(shù)的顯著性。案例二1.解析思路：使用單因素方差分析（One-wayANOVA）檢驗(yàn)不同收入水平組在月均消費(fèi)額上是否存在顯著差異。需要檢驗(yàn)假設(shè)H0:不同收入水平的月均消費(fèi)額均值相等vsH1:至少有兩個(gè)收入水平的月均消費(fèi)額均值不等。計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)P值判斷是否拒絕H0。2.解析思路：如果ANOVA結(jié)果顯著（即拒絕H0），需要進(jìn)行多重比較（如TukeyHSD檢驗(yàn)、Bonferroni校正等）來(lái)確定哪些特定的收入水平組之間存在顯著差異。查看多重比較的結(jié)果，找出哪些組對(duì)的均值差異顯著。3.解析思路：使用簡(jiǎn)單線性回歸模型，月均消費(fèi)額為因變量（Y），年收入水平（可能需要量化或編碼為虛擬變量）為自變量（X）。建立模型Y=β0+β1*X+ε。估計(jì)系數(shù)β0和β1。解釋?duì)?：它表示年收入水平每增加一個(gè)單位（保持其他不變），月均消費(fèi)額預(yù)計(jì)增加β1元。評(píng)估模型擬合效果主要通過(guò)R方和調(diào)整R方（看模型解釋力），以及F檢驗(yàn)（看模型整體顯著性）和t檢驗(yàn)（看自變量系數(shù)的顯著性）。4.解析思路：基于回歸模型，高收入群體的預(yù)測(cè)月均消費(fèi)額為Y_pred=β0+β1*(高收入水平代表值)。新計(jì)劃將消費(fèi)額提高500元，意味著預(yù)測(cè)值增加了500。這相當(dāng)于自變量X增加了500（或根據(jù)實(shí)際編碼方式調(diào)整增加量）。因此，預(yù)測(cè)的消費(fèi)額變化近似為β1*500元。討論不確定性可以提及預(yù)測(cè)區(qū)間的寬度，或進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)看500元的提升是否具有統(tǒng)計(jì)顯著性。案例三1.解析思路：分別計(jì)算實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組病人癥狀改善評(píng)分的均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差等描述性統(tǒng)計(jì)量?？梢院?jiǎn)要描述分布的集中趨勢(shì)和離散程度，并比較兩組的中心位置（均值/中位數(shù)）和離散程度（標(biāo)準(zhǔn)差/方差）是否差異明顯。2.解析思路：使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（IndependentSamplest-test）來(lái)比較兩組（新藥組vs安慰劑組）癥狀改善評(píng)分的均值是否存在顯著差異。需要檢驗(yàn)假設(shè)H0:兩個(gè)組的平均評(píng)分均值相等vsH1:兩個(gè)組的平均評(píng)分均值不等。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，查找或計(jì)算自由度，得到P值。如果P值小于顯著性水平（如0.05），則拒絕H0，認(rèn)為兩組評(píng)分均值存在顯著差異。3.解析思路：計(jì)算兩組癥狀改善評(píng)分均值之差（Δ=Mean_實(shí)驗(yàn)組-Mean_安慰劑組）的95%置信區(qū)間。公式通常為Δ±(tcritical*SD_pooled*√(1/n1+1/n2))，其中tcritical是自由度對(duì)應(yīng)的t分布臨界值，SD_pooled是合并標(biāo)準(zhǔn)差。置信區(qū)間提供了未來(lái)樣本均值之差可能落在的區(qū)間范圍，如果區(qū)間不包含0，則進(jìn)一步支持兩組均值存在差異的結(jié)論。4.解析思路：隨機(jī)分組是隨機(jī)對(duì)照試驗(yàn)（RCT）的核心特征，它有助于確保兩組在試驗(yàn)開(kāi)始前除干預(yù)措施（新藥vs安慰劑）外，其他可能影響結(jié)果的基線特征（如年齡、性別、收入等）在統(tǒng)計(jì)上是大致可比的，從而排除混雜因素的影響。這有助于提高試驗(yàn)結(jié)果的內(nèi)部有效性，即能夠更有信心地推斷出觀察到的差異確實(shí)是由新藥本身引起的，而不是由其他因素造成的。如果缺乏隨機(jī)分組，可能導(dǎo)致選擇偏倚，影響結(jié)果的可靠性。案例四1.解析思路：計(jì)算實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組用戶的平均停留時(shí)間，并比較兩者的差值（實(shí)驗(yàn)組均值-對(duì)照組均值）。可以使用描述性統(tǒng)計(jì)量（均值、標(biāo)準(zhǔn)差）來(lái)描述各自的分布，并直接指出差異的大小。如果數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布且方差齊性，可以繪制兩組數(shù)據(jù)的重疊圖（如正態(tài)Q-Q圖或分布密度圖）來(lái)直觀展示差異。2.解析思路：使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（IndependentSamplest-test）來(lái)比較實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組用戶平均停留時(shí)間的均值是否存在顯著差異。檢驗(yàn)假設(shè)H0:兩個(gè)組的平均停留時(shí)間均值相等vsH1:實(shí)驗(yàn)組的平均停留時(shí)間均值小于對(duì)照組的均值（因?yàn)槭窍霗z測(cè)新布局是否降低時(shí)間）。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，得到P值。如果P值小于顯著性水平（如0.05），并且t檢驗(yàn)結(jié)果傾向于實(shí)驗(yàn)組均值更低，則支持新布局降低了停留時(shí)間的結(jié)論。3.解析思路：計(jì)算實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組平均停留時(shí)間之差的95%置信區(qū)間。公式類似于案例三中的均值差置信區(qū)間計(jì)算。解釋該區(qū)間：如果區(qū)間完全位于負(fù)值區(qū)域（即低于0），則強(qiáng)有力地支持新布局降低了停留時(shí)間。區(qū)間的寬度反映了估計(jì)的不確定性。較窄的區(qū)間意味著估計(jì)較精確。公司決策需考慮：如果區(qū)間雖然為負(fù)但非常接近0（例如，-0.1到-0.01分鐘），實(shí)際業(yè)務(wù)意義可能不大；如果區(qū)間跨越了0（例如，