2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)菲爾茲獎成果試卷一、選擇題（每題5分，共30分）代數(shù)幾何應(yīng)用森重文教授將極小模型理論從代數(shù)曲面推廣至三維空間，其核心思想與以下哪個初中數(shù)學(xué)概念相通？A.分式方程的化簡B.二次函數(shù)圖像的平移C.立體圖形的三視圖轉(zhuǎn)換D.一元二次方程的求根公式最優(yōu)傳輸理論阿萊西奧·菲加利研究的"沙堆變形"問題中，若將10kg沙子從長方形容器（2m×3m）轉(zhuǎn)移到正方形容器，保持體積不變時正方形容器的邊長應(yīng)為（）A.√6mB.3√60mC.5mD.無法確定Kakeya猜想應(yīng)用王虹團隊證明三維Kakeya集必須填滿空間，類比到平面幾何中，下列圖形中能覆蓋所有方向的最小區(qū)域是（）A.正三角形B.圓形C.正方形D.任意凸多邊形偏微分方程入門馬克西姆·孔采維奇研究的微分方程穩(wěn)定性，與初中物理中的哪個現(xiàn)象原理相似？A.單擺運動的周期性B.光的反射定律C.勻速直線運動的路程計算D.物體的熱傳導(dǎo)過程數(shù)論基礎(chǔ)皮埃爾-路易·利翁斯在數(shù)論中的工作涉及素數(shù)分布，若p是大于2的素數(shù)，則p2除以4的余數(shù)一定是（）A.0B.1C.2D.3幾何變換綜合將森重文的極小模型理論與掛谷猜想結(jié)合，判斷下列命題正確的是（）A.三維空間中可存在體積為0的Kakeya集B.極小曲面在三維變換中保持面積不變C.任意三角形都能通過旋轉(zhuǎn)覆蓋整個平面D.高維幾何中的"管子集合"可簡化為平面網(wǎng)格二、填空題（每題6分，共30分）森重文在三維代數(shù)幾何中引入的"極小模型"概念，類似于初中數(shù)學(xué)中將______（填幾何圖形）通過______（填變換方式）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。菲加利的最優(yōu)傳輸理論中，當(dāng)兩個區(qū)域的形狀分別為邊長2的正方形和半徑r的圓形時，若保持面積相等，則r=______（精確到0.01）。王虹證明的三維Kakeya集維度定理表明：即使將空間中的線段旋轉(zhuǎn)軌跡無限細分，其集合的Hausdorff維度仍為______，這與我們學(xué)過的______（填幾何公理）本質(zhì)一致?？撞删S奇研究的鏡像對稱理論中，兩個幾何體若互為鏡像，則它們的______和______一定相等（填兩個幾何量）。在利翁斯的偏微分方程數(shù)值解法中，常將連續(xù)問題離散化為網(wǎng)格計算，若將區(qū)間[0,10]分成n等份，當(dāng)n=100時每個小區(qū)間的長度是______，此時方程近似解的誤差會隨n的增大而______（填"增大"或"減小"）。三、解答題（共40分）代數(shù)幾何應(yīng)用題（10分）（1）解釋森重文"極小模型理論"中"極小"的含義，并舉出初中數(shù)學(xué)中的一個類似概念（4分）（2）已知某代數(shù)曲面可表示為方程x2+y2=2z，求該曲面被平面z=2截得的截面面積（6分）最優(yōu)傳輸實踐題（12分）如圖1，有兩個沙堆分別為：沙堆A：底面半徑1m的圓錐，高3m沙堆B：棱長為a的正方體若要將沙堆A無損耗地轉(zhuǎn)移到沙堆B中：（1）求正方體棱長a（π取3.14，精確到0.1m）（4分）（2）菲加利的理論指出"傳輸代價與距離平方成正比"，若將沙堆A中頂點處的沙子移到沙堆B的對角頂點，計算最短傳輸距離（4分）（3）比較圓錐與正方體在最優(yōu)傳輸中的效率差異（4分）掛谷猜想探究題（18分）王虹團隊證明三維Kakeya集必須具有滿維度，這一結(jié)論可通過以下簡化模型理解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB長為2，其中點固定在原點，繞原點旋轉(zhuǎn)360°，求掃過區(qū)域的面積（5分）（2）將上述線段在三維空間中繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時繞自身中點旋轉(zhuǎn)，證明其軌跡形成的集合包含球面x2+y2+z2=1上的所有點（7分）（3）結(jié)合初中幾何知識，說明為何在二維平面無法實現(xiàn)"覆蓋所有方向的最小面積為0"（6分）四、拓展探究題（20分）菲爾茲獎成果綜合應(yīng)用華為拉格朗日研究中心計劃應(yīng)用四位菲爾茲獎得主的理論開發(fā)新型通信網(wǎng)絡(luò)：（1）利用菲加利的最優(yōu)傳輸理論設(shè)計信號基站布局，若在邊長10km的正方形區(qū)域內(nèi)，如何設(shè)置4個基站使信號覆蓋代價最?。浚ㄓ米鴺?biāo)表示基站位置）（6分）（2）基于王虹的Kakeya集研究，分析5G信號塔的天線旋轉(zhuǎn)角度與覆蓋范圍的關(guān)系（7分）（3）結(jié)合森重文的極小模型理論，提出一種將三維通信網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化為二維平面模型的簡化方法（7分）參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（單獨成冊）命題說明：試卷嚴格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，所有題目均可使用初中知識解決融入2025年菲爾茲獎相關(guān)成果：代數(shù)幾何（森重文）→幾何變換與方程應(yīng)用最優(yōu)傳輸（菲加利）→體積計算與優(yōu)化問題Kakeya猜想（王虹）→旋轉(zhuǎn)體與空間覆蓋偏微分方程（孔采維奇、利翁斯）→方程求解與數(shù)值方法難度梯度：基礎(chǔ)題（40%）、中檔題（40%）、拓展題（20%）題型創(chuàng)新：