2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽塞瓦定理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且AD、BE、CF交于點O。若BD/DC=2，CE/EA=3，則AF/FB的值為（）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3解析：根據(jù)塞瓦定理，(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1，代入得2×3×(AF/FB)=1，解得AF/FB=1/6，選A。下列條件中，能判定△ABC中三條線AD、BE、CF共點的是（）A.(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=-1B.(BD/BC)·(CE/CA)·(AF/AB)=1C.(DC/BD)·(EA/CE)·(FB/AF)=1D.(AD/DB)·(BE/EC)·(CF/FA)=1解析：塞瓦定理的核心是三線共點的充要條件為(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1，其等價形式為(DC/BD)·(EA/CE)·(FB/AF)=1，選C。在銳角△ABC中，O為外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F。則AD、BE、CF三線（）A.一定共點B.一定平行C.可能共點也可能平行D.既不共點也不平行解析：外心到三邊距離的垂足構(gòu)成的線滿足塞瓦定理條件。設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，由外心性質(zhì)知BD=DC=a/2，CE=EA=b/2，AF=FB=c/2，代入得(a/2)/(a/2)·(b/2)/(b/2)·(c/2)/(c/2)=1，故三線共點，選A。在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E為AD中點，BE延長線交AC于F。若AB=3，AC=4，則CF/FA=（）A.2B.3C.4D.5解析：建立坐標(biāo)系，A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，D(12/5,16/5)，E(6/5,8/5)。直線BE方程為y=(-4/9)x+4/3，與AC（x=0）交于F(0,4/3)，則CF=4-4/3=8/3，F(xiàn)A=4/3，CF/FA=2，選A。點P為△ABC內(nèi)部一點，AP、BP、CP延長后分別交對邊于D、E、F。若S△PBD=1，S△PCD=2，S△PCE=3，則S△PAB=（）A.4B.6C.8D.12解析：由面積比得BD/DC=S△PBD/S△PCD=1/2，CE/EA=S△PCE/S△PAE=3/S△PAE。設(shè)S△PAF=m，S△PBF=n，由塞瓦定理(1/2)·(3/S△PAE)·(m/n)=1，結(jié)合面積關(guān)系解得S△PAB=12，選D。在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在BC上，AD=4。若BE、CF為角平分線且交于點I，則AI與AD的位置關(guān)系是（）A.AI=ADB.AI⊥ADC.AI平分ADD.AI//AD解析：由等腰三角形性質(zhì)得D為BC中點（BD=3，AD=4），角平分線BE、CF交于內(nèi)心I。內(nèi)心到BC距離為r=2，AI=√(r2+(AD-r)2)=√(4+4)=2√2≠AD，選B。二、填空題（每題5分，共30分）在△ABC中，AD、BE、CF交于點O，若AO/OD=3，BO/OE=4，則CO/OF=________。解析：由塞瓦定理推論，(AO/OD+1)(BO/OE+1)(CO/OF+1)=8，代入(3+1)(4+1)(k+1)=8，解得k=1/5，即CO/OF=1/5。凸四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，△OAB、△OBC、△OCD的面積分別為1、2、3，則△OAD的面積為________。解析：設(shè)S△OAD=x，由塞瓦定理的面積形式(1/2)·(2/3)·(3/x)=1，解得x=3/2。在△ABC中，∠A=60°，AB=2，AC=3，點D在BC上，且∠BAD=30°，則BD/DC=________。解析：由角元塞瓦定理，(sin∠BAD/sin∠CAD)·(sin∠ACD/sin∠BCD)·(sin∠CBD/sin∠ABD)=1，代入(sin30°/sin30°)·(sinC/sinC)·(BD/DC)=1，得BD/DC=1。已知△ABC的外接圓半徑R=5，內(nèi)心為I，AI延長線交外接圓于D。若ID=2，則AI=________。解析：由內(nèi)心性質(zhì)知DI=DB=DC，設(shè)AI=x，ID=2，則AD=x+2。由相交弦定理AI·ID=BI·IE，結(jié)合R=5解得x=8。在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且DE//AB，DF//AC。若DE=3，DF=4，AB=10，則BC=________。解析：設(shè)BD/DC=m/n，DE//AB得DE/AB=DC/BC=n/(m+n)=3/10，DF//AC得DF/AC=m/(m+n)=4/10，解得m=4k，n=3k，BC=7k=35/2。點P為△ABC內(nèi)一點，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，若AB=BC=CA=1，則tanθ=________。解析：由費馬點性質(zhì)，θ=30°，tanθ=√3/3。三、解答題（共40分）（10分）在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，E為AD上一點，BE延長線交AC于F，CF延長線交AB于G。證明：AG=AF。證明：由塞瓦定理，(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1，∵BD=DC，∴(CE/EA)·(AF/FB)=1，即CE/EA=FB/AF。同理(BD/DC)·(CG/GF)·(AE/EC)=1，得CG/GF=EC/AE=AF/FB，故AG=AF。（10分）在銳角△ABC中，H為垂心，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。證明：AD、BE、CF三線共點。證明：由塞瓦定理，需證(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1?！摺鰽BD∽△CBF，∴BD/BF=AB/CB，同理DC/CE=AC/BC，EA/AF=AB/AC，三式相乘得(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1，故三線共點。（10分）在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且AD、BE、CF交于點O。若AO=OD，BO=OE，求證：CO=OF。證明：設(shè)AO=OD=1，BO=OE=1，由塞瓦定理(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1。由梅涅勞斯定理在△ABD中，(AO/OD)·(DC/CB)·(BF/FA)=1，即(1/1)·(DC/CB)·(BF/FA)=1，聯(lián)立解得CO=OF。（10分）已知△ABC的三邊長分別為a=5，b=6，c=7，求其內(nèi)心I到頂點A的距離。解析：由內(nèi)心性質(zhì)，AI=√[bc(s-a)/s]，其中s=(a+b+c)/2=9，s-a=4，代入得AI=√[6×7×4/9]=√(56/3)=2√42/3。四、綜合題（共50分）（15分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點D在BC上，∠BAD=20°，求BD/DC。解析：由角元塞瓦定理，(sin∠BAD/sin∠CAD)·(sin∠ACD/sin∠BCD)·(sin∠CBD/sin∠ABD)=1?！螩AD=80°，∠ABD=40°，∠CBD=40°，代入(sin20°/sin80°)·(sinC/sinC)·(BD/DC)=1，sin20°/sin80°=2sin10°cos10°/cos10°=2sin10°，解得BD/DC=1/(2sin10°)≈2.879。（15分）凸六邊形ABCDEF中，AB//DE，BC//EF，CD//FA，求證：AD、BE、CF三線共點。證明：延長AB、CD、EF交于點P，延長BC、DE、FA交于點Q，由帕斯卡定理知AD、BE、CF三線共點。（20分）在△ABC中，O為外心，H為垂心，OH的中點為M，求證：M為△ABC的九點圓圓心。證明：九點圓半徑為外接圓半徑的一半，且圓心為OH中點。由塞瓦定理結(jié)合外心、垂心性質(zhì)，可證M到各邊中點距離相等，故M為九點圓圓心。五、附加題（共20分）在△ABC中，點P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，稱為“等角點”。若AB=1，BC=√3，CA=2，求tanθ。解析：由余弦定理得∠B=90°，∠A=60°，∠C=30