第10講探索勾股定理（I大知識(shí)點(diǎn)+11大典例+變式訓(xùn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

0題型預(yù)覽

典型例題一勾股樹（數(shù)）問題

典型例題二勾股定理與無(wú)理數(shù)

典型例題三用勾股定理解三角形

典型例題四勾股定理與網(wǎng)格問題

典型例題五勾股定理與折疊問題

典型例題六以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積

典型例題七利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

典型例題八利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

典型例題九勾股定理的證明方法

典型例題十以弦圖為背景的計(jì)算題

典型例題十一用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

0知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理

數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，

較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名.（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)

哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。

2.o注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時(shí)，首先看題目中有沒有具備這個(gè)

條件，只有具有這個(gè)條件，才能利用勾股定理求第三條邊。

（2）在應(yīng)用勾股定理時(shí)要注意它的變式：

（4）在實(shí)際問題中，若圖中無(wú)直角，可通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形。

2.勾股定理的驗(yàn)證

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中=（"6?=c'+4x—而，所以

2

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中=所以二2=4'+白

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

（f*?）=2x為?異所以/+/=（??

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（2425八年級(jí)上?安徽合肥?期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記我于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)

著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.夜，G，亞D.5,12,13

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理及勾股數(shù)，熟知勾股定理及勾股數(shù)的定義是正確解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股數(shù)的定義，三個(gè)正整數(shù)，兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于較大數(shù)的平方，這三個(gè)正整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)，

進(jìn)行判定即可.

c、及，G，石不是整數(shù)，故、傷，G，石不是勾股數(shù)，不符合題意；

故選：D.

【即時(shí)訓(xùn)練】

【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)題目要求列出方程即可.

?經(jīng)典例題

春［典型例題一勾股樹（數(shù)）問題】

【例1】（2425八年級(jí)上?江蘇連云港?期中）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.9,12,15D.1,2,5

【答案】C

故選擇：C.

【例2】（2425八年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)期中）如圖，以直角三角形三邊為直徑的半圓，則他們面積關(guān)系止確的

是（）

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運(yùn)用，考查了半圓的面積計(jì)算公式，正確的根據(jù)勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)直角三角形兩直角邊分別為〃、b,斜邊為c,

故選擇：C

【例3】（2425八年級(jí)上?安徽合肥,期中）寫一組你喜歡的勾股數(shù).

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小

邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方.注意本題答案不唯一.

[例4]（2425八年級(jí)上?四川廣元期中）"勾股樹'’是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三

角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而

得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果

第一個(gè)正方形面枳為1,則第2025代勾股樹中所有正方形的面積為.

【答案】2026

【分析】本題主要考查勾股定理，由題目條件和所畫出來(lái)的圖形正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.分別計(jì)算出

第一，第二，第三代勾股樹中所有正方形的面積，得出第〃代勾股樹中所有正方形的面積為〃+1進(jìn)行分析計(jì)

算.

(2)根據(jù)所提供的例了?發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之

【詳解】(1)解：?.?3、4、5：5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，

.?.11,60,61；

故答案為：11,60,61：

【點(diǎn)睛】本題考杳的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、證明即可.

國(guó).【典型例題二勾股定理與無(wú)理數(shù)】

【答案】B

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理；首先利用勾股定理計(jì)笄出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE的長(zhǎng)，然后

再確定E點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù).

【詳解】解：?,,點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)在數(shù)分別是1,2,

.點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是1,

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理與無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離求出AC的長(zhǎng)，勾股定理求出AA的長(zhǎng),

再利用兩點(diǎn)間的距離求出點(diǎn)。表示的數(shù)即可.

【詳解】解：???點(diǎn)A表示的數(shù)是-2,點(diǎn)C表示的數(shù)是2,

故選A.

【答案】舊

則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是行,

故答案為：逐.

【例4】（2324八年級(jí)上?云南玉溪?期末）如圖，在數(shù)軸上作一個(gè)5x5的正方形網(wǎng)格，以原點(diǎn)。為圓心，陰

影正方形的邊長(zhǎng)A0為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)8,則點(diǎn)8在數(shù)軸上表示的數(shù)為.

【答案】屈

.?以原點(diǎn)。為圓心，陰影正方形的邊長(zhǎng)AO為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)8,

故答案為：屈.

⑥變式訓(xùn)練

B

-4-3-2-1012

【答案】A

【分析】此題考查了與數(shù)軸，根據(jù)勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，即為AC的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的表示即

可解答，利用勾股定理求出A8的值為解題的關(guān)鍵.

???點(diǎn)A表示的數(shù)是1,

【答案】-2

【分析】本題主要考存了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí)，利用勾股定理依次求出AC、4。、AE的長(zhǎng)，從

而得出AP的長(zhǎng)，即可得出答案.

???點(diǎn)尸表示的數(shù)是-2.

故答案為：—2.

3.(2324七年級(jí)下?山西呂梁?階段練習(xí))閱讀與思考：

我們?cè)趯W(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，可以根據(jù)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系比較有理數(shù)的大小.數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)可以用

相同的方法比較無(wú)理數(shù)的大小，請(qǐng)根據(jù)他們的探究過(guò)程，完成下列問題：

【答案】(1)見解析

⑵〉

(3)-9

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確的用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)并用數(shù)軸比較大小及估算無(wú)理數(shù)大小是本

題解題關(guān)鍵.

(1)以方為斜邊的直角三角形的直角邊為1和2,以由為斜邊的直角三角形的直角邊為I和3,以此為

已知尺規(guī)作圖即可；

(2)由(1)中數(shù)軸可直觀比較；

(3)求出行的小數(shù)部分和整數(shù)部分，再代入計(jì)算即可.

(2)???數(shù)軸上右邊的點(diǎn)大于左邊的點(diǎn),

故答案為：＞；

?［典型例題三用勾股定理解三角形】

A.2石B.75C.D.舊

【答案】A

【洋解】解：???該圖是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,

故選：A.

【答案】A

=4.

???點(diǎn)E、G分別是A。、DC的中點(diǎn),

13

故答案為:y

【例4】（2425八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）《算學(xué)寶鑒》是晉商數(shù)學(xué)家王文素的數(shù)學(xué)著作，書中研究了一元高

次方程的數(shù)值解法，內(nèi)容翔實(shí)可貴，代表了我國(guó)明代數(shù)學(xué)的最高水平.《算學(xué)寶鑒》卷28中記載了這樣一

個(gè)問題：“門廳一座，高廣難知，長(zhǎng)竿橫進(jìn)，門狹四尺.豎進(jìn)過(guò)去，竿長(zhǎng)二尺，兩陰斜進(jìn)，恰好方齊.”譯文:

現(xiàn)在有一座門，不知道寬度和高度，如果拿支長(zhǎng)竹竿橫著過(guò)，門的寬度比竹竿的長(zhǎng)度少四尺，拿竹竿豎著

過(guò)，竹竿的長(zhǎng)度比門的高度多二尺，沿對(duì)角線斜著進(jìn)，恰好通過(guò).則門的高度是一尺.

【答案】8

答：11高是8尺.

故答案為：8.

0變式訓(xùn)練

A.245B.2y/3C.75D.G

【答案】A

【分析】本題考查折疊問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由勾股定理列出關(guān)于x的方程.

【詳解】連接6D，父七卜于點(diǎn)。

垂直平分B。,

圖1圖2

【答案】40

【詳解】解：連接30,與交AC于點(diǎn)。，如圖:

【答案】（1）見解析

⑵而

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，中位線的性質(zhì)與判

定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；

產(chǎn)是中點(diǎn)

國(guó)【典型例題四勾股定理與網(wǎng)格問題】

【答案】D

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可

得答案.

【詳解】解：如圖，連接AC，

故選：D.

C.5個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】此題考查了勾股定理以及逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

根據(jù)勾股定理以及逆定理和網(wǎng)格的特點(diǎn)求解即可.

【詳解】如圖所示，

???第三個(gè)頂點(diǎn)所在的位置有：C、。、E、”四個(gè);

當(dāng)A8是直角邊，A是直角頂點(diǎn)時(shí)，

???第三個(gè)頂點(diǎn)可以是尸點(diǎn)；

當(dāng)AB是直角邊，8是直角頂點(diǎn)時(shí)，

???第三個(gè)頂點(diǎn)可以是G.

，共有6個(gè)滿足條件的頂點(diǎn).

故選：B.

【詳解】解：連接AC，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，連接M,交AC于點(diǎn)。

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為。，由圖形為全等的含所角的小菱形組成的網(wǎng)格,

故選：B.

AC

【答案】45。/45度

【分析】本題考查了格點(diǎn)中的直角三角形的構(gòu)造和勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題關(guān)鍵.

建立格點(diǎn)三角形，利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可解答.

【詳解】解：如圖所示:

平移到CE,連接OE,

故答案為：45°.

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圖1

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析，75

(2)解：如圖所示：MN為所作?！甑闹写咕€.

故答案為：V5.

整【典型例題五勾股定理與折疊問題】

【答案】B

???當(dāng)點(diǎn)尸在線段8。上時(shí)，所的值最小，貝iJ/￡有最小值,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，勾股定理求線段長(zhǎng)度，三角形

中位線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

41

【答案】-/I-

變式訓(xùn)練

A.1.5B.2C.2.5D.3

【答案】C

故選：C.

【答案】a

故答案為：O-

【答案】（1）50,80

吟

【分析】此題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí).

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可求出答案；

故答案為：50,80

摩【典型例題六以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】

A.100B.80C.48D.24

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方，據(jù)此求出A8

的長(zhǎng)，再根據(jù)正方形面積計(jì)算公式求解即可.

VAB為一條邊向三角形外部作正方形，

故選：A.

L

【答案】C

故選C.

s2

【答案】y

由圖形可知，陰影部分的面積為

L

...陰影部分的面積為與，

故答案為：—.

【答案】10

【詳解】解：如圖所示,

故答案為：10.

0變式訓(xùn)練

【詳解】解：設(shè)兩直角邊分別為K，）「斜邊為Z,

C中，三個(gè)三角形是等邊三角形，

D中，當(dāng)各線段長(zhǎng)如圖時(shí),

故選：D.

F

【答案】38

【詳解】解：如圖，設(shè)分別交3尸、CF于點(diǎn)G、點(diǎn)H,

F

⑵證明（1）中你的猜想.

（2）證明見解析

【分析】本題考查勾股定理和正方形、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用勾股定理

（1）根據(jù)題干提示進(jìn)行猜想即可；

春［典型例題七利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】

【例1】（2425八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，在AABC中,NACB=90°,CD是斜邊AB邊上的高,

若AB=IOcm,AC=6cm,則CD長(zhǎng)（）

D

A.10B.4.8C.5D.7

【答案】B

【分析】在RMABC中，由勾股定理可求出直角邊BC的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法

求出CD的長(zhǎng).

【詳解】RQABC中,/ACB=90。，AC=6cm,BC=8cm,

WAABC的面積S=^ACBC=^-ABCD,

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握計(jì)期公式.

【例2】（2425八年級(jí)上?河南平頂山?期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股方圓圖》是由四個(gè)全等的直角三

角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果大正方形的面積是16,小正方形的面積是3,直

角三角形較短的直角邊為。，較長(zhǎng)的直角邊為人那么（。+/力2的值為（）

【答案】B

【分析】首先求出ab的值和a2+5?的值，然后根據(jù)完全平方公式即可求得（a+b）?的值.

【詳解】解：???大正方形的面積是16,小正方形的面積是3,

???四個(gè)直角三角形面積和為16-3=13,即4xgab=13,

.*.2ab=13,a2+b2=16,

:.（a+b）2=a2+b2+2ab=16+13=29,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用以及勾股定理的運(yùn)用，本題中求得ab的值是解題的關(guān)鍵.

【答案】18

【解析】略

【答案】屈

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌

握相關(guān)知識(shí)是截圖關(guān)鍵.

0變式訓(xùn)練

1.（2425八年級(jí)上?廣東深圳?期中）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)P是邊8c上的動(dòng)點(diǎn)，將ZMBP繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AACQ,點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，連接。。，則。Q的最小值是（）

【答案】C

【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到N8CQ=120。，當(dāng)。Q_LCQ時(shí)，。。的長(zhǎng)最小，再根據(jù)勾股定理，即可

得到OQ的最小值.

【詳解】如圖，由旋轉(zhuǎn)可得N4C0=N3=6O。，

A

又丁ZACB=60°,

AZBCO=120°,

???點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，

：,CD=4,

當(dāng)。。_LCQ時(shí)，。。的長(zhǎng)最小，

此時(shí)，ZCD2=30°,

：.CQ=^CD=2,

."Q的最小值是2g，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)

應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

2.(2425八年級(jí)上.四川成都.期中)如圖，已知A(g,0),點(diǎn)P為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，線段PA繞著點(diǎn)P按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至線段PB位置，連接AB、OB,則OB+BA的最小值是.

【答案】86

【詳解】解：???點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn),

???線段A4繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。到PB,

故答案為875.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱一最短路線問題、坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

②線段4。、CE之間的數(shù)量關(guān)系為;

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

國(guó).【典型例題八利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】

【答案】C

【分析】由已知兩角之和為90度，利川三角形內(nèi)角和定理得到三角形為直角三角形，利用勾股定理即可得

到結(jié)果.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

，②正確；

???〃點(diǎn)不是。E中點(diǎn)，

???①錯(cuò)誤；

??.③正確；

.?.④錯(cuò)誤；

「?⑤正確，

二?②③⑤正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較

易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【例3】（2425八年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）設(shè)力是直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，若該三角形的周長(zhǎng)為

24,斜邊長(zhǎng)為10,則他的值為.

【答案】48

【分析】由該三角形的周長(zhǎng)為24,斜邊長(zhǎng)為10可知。+人+10=24,再根據(jù)勾股定理和完全平方公式即可

求出R?的值.

【洋解】解：???三角形的周長(zhǎng)為24,斜邊長(zhǎng)為10,

???。+8+10=24,

.,?。+力=14,

??Z、人是直角三角形的兩條直角邊，

???〃+〃=io2,

則次+〃=Q+b）而=102,

即14—GO2,

"=48.

故答案為：48.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系及完全平方公式的變形求值是

解題的關(guān)鍵.

【答案】?；蚣?/p>

【分析】分兩種情況，根據(jù)勾股定理、“和美三角形''的定義計(jì)算即可.

故答案為：*或母.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，“和美三角形''的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

0變式訓(xùn)練

C.①⑤D.③④

【分析】根據(jù)直角三角形的意義和性質(zhì)可以得到解答.

VZDBC=45°,DE±BC,/.ZEDB=ZDBC=45°,ABE=DE

;沒有依據(jù)支持①④成立，，②③⑤正確

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查直?角三角形的意義和性質(zhì)，靈活應(yīng)用有關(guān)知識(shí)求解是解題關(guān)鍵.

【答案】6.

【分析】利用勾股定理將AC2+BC2轉(zhuǎn)化為AB2,再求值.

【詳解】解：ABC中，AB為斜邊，

AAC2+BC2=AB2,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2324八年級(jí)上?湖北孝感?期中）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)

角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.

（1）你所知道的特殊四邊形中，是勾股四邊形有（一個(gè)即可）

【答案】（1）正方形（答案不唯一）

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）正方形相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，即可求解，

本題考查勾股定理、旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于理解勾股四邊形的概念，充分利用其特點(diǎn)

解題.

【詳解】（1）解：正方形相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，

故答案為：正方形，

圖①

（3）解：如圖②，連接EC,

境［典型例題九勾股定理的證明方法】

【例1】（2425八年級(jí)上?廣東佛山?期末）下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（）個(gè)

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】利用面積法驗(yàn)證或證明勾股定理即可解決問題.

能夠驗(yàn)證勾股定理的有4個(gè).

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明、直角三角形面積的計(jì)算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出

等式是解決問題的關(guān)鍵.

【例2】（2324八年級(jí)上.河南平頂山?期中）利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的慳形，這個(gè)圖

形被稱為弦圖.通過(guò)該圖形，可以驗(yàn)證公式（）

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行組合圖形，根據(jù)面枳相等

的關(guān)系證明勾股定理.利用兩種方法表示出大正方形的面積，根據(jù)面積相等即可得答案.

【詳解】解：.?大正方形的面積表示為：

故選：C.

【答案】=

???正方形。，c的邊長(zhǎng)分別為。和

故答案為：=.

【答案】10

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

C.6D.4

【答案】B

【分析】本題主要考杳勾股定理的幾何驗(yàn)證，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的運(yùn)用.

故選:B.

【答案】60

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)0,延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P,

故答案為：60.

【方法運(yùn)用】

【方法遷移】

方法遷移：

【詳解】解：【方法運(yùn)用方

【方法遷移】:

（1）設(shè)邊上的高為/?，

國(guó).【典型例題十以弦圖為背景的計(jì)算題】

【例1】（2324八年級(jí)上?廣東惠州?期中）如圖，在趙爽弦圖中連接四條線段得到如圖2的新的圖案.如果

圖I中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為9,短直角邊為4,圖2中的見影部分的面積為S,那么S的值為（）

圖1

A.56B.D.75

【答案】C

【詳解】解：如圖,

A

【例2】（2324八年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期中）下列各圖是以直角三角形各邊為邊在三角形外部畫正方形得到的.每

個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積,其中5的值恰好等于10的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)，由正方形的性質(zhì)和勾股定理分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行

判斷即可.熟練掌握勾股定理和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：以直角三角形各邊為邊在三角形外部而正方形，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形

的面積，

,每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的邊長(zhǎng)的平方，

故選：C.

【例3】（2425八年級(jí)上?山東淄博?期中）如圖將邊長(zhǎng)為10,一條對(duì)角線長(zhǎng)16的菱形拼成如圖所示的“趙爽

弦圖“，則圖中陰影部分的面積為.

【詳解】解:如圖所示:

B

,1

???將邊長(zhǎng)為10,一條對(duì)角線長(zhǎng)16的菱形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”

故答案為：4

圖1圖2

【答案】5

故答案為：5.

0變式訓(xùn)練

D.15

【答案】C

【分析】本題主要考查勾股定理，長(zhǎng)方形面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.先求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

和寬，進(jìn)行計(jì)算即可.

圖2

而由題意知：四個(gè)直角三角形全等

二點(diǎn)G是KI中點(diǎn)

⑴添加如圖輔助線，根據(jù)該圖，可以用兩種不同的方法計(jì)算整個(gè)組合圖形的面積，通過(guò)面積相等，從而證

明勾股定理，請(qǐng)你將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：

整個(gè)組合圖形面積表示，方法一：以c為邊的正方形的面積+兩個(gè)直角三角形的面積，即最后化簡(jiǎn)為；

方法二：以。和力為邊的兩個(gè)小正方形的面積+兩個(gè)直角三角形的面積，即最后化簡(jiǎn)為；根據(jù)面積相

等，直接得等式，化簡(jiǎn)最后結(jié)果是______,從而證明勾股定理.

(2)49.

【分析】(1)根據(jù)題意和圖形即可求解：

本題考查了勾股定理的幾何背景，代數(shù)式求值，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

(2)解：由圖可得，空白部分的面積=整個(gè)圖形的面積-4個(gè)直角三角形的面積，

【典型例題十一用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】

【例1】（2425八年級(jí)上?山東泰安?期中）小剛準(zhǔn)備測(cè)量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊3米遠(yuǎn)的

水底，竹竿高出水面1米，把竹竿的頂端拉向岸邊，竹竿和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為（）

A.4米B.5米C.4.5米D.6米

【答案】A

【分析】此題主要考查了勾股定理應(yīng)用，河水的深、竹竿的長(zhǎng)、離岸的距離三者構(gòu)成直角三角形，作出圖

形，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

設(shè)河水的深度為x米，由題意得，

故選：A.

【例2】（2425八年級(jí)上?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹.在

一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹從離?地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長(zhǎng)是10米.出門在外的張大爺擔(dān)心自己

的房子被倒下的大樹砸到.大樹倒下時(shí)能砸到張大爺?shù)姆孔訂?？清你通過(guò)計(jì)算、分析后給出正確的回答（）

A.一定不會(huì)B.可能會(huì)C.一定會(huì)D.以上答案都不對(duì)

【答案】B

【分析】先構(gòu)造出樹倒下的示意圖，判斷出四邊形是矩形，得出/G=6,BG=9,再用勾股定理求出

EG=19,進(jìn)而求出月產(chǎn)大約為1.64米，最后根據(jù)實(shí)際判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖

----10

由題意畫出大樹倒F的示意圖，大樹從點(diǎn)B刮斷，繞點(diǎn)8倒卜，樹梢的軌跡為C。，

根據(jù)題意得，AB=6,BC=IO,AF=9,

過(guò)點(diǎn)尸作AB的平行線交C。于。，E（。在E上面），

：.BE=BC=\O,ZF=90°,

過(guò)點(diǎn)8作8G_LO廣于G,

???NBGF=90°,

°：N4=90。，

,Z4=ZF=Z?GF=90°,

???四邊形ABG/是矩形，

：.FG=AB=6,BG=AG=9,

所以當(dāng)張大爺?shù)姆孔硬坏陀贚64米時(shí)，可以被砸到.反之，則不會(huì)

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

【答案】8而

【分析】利用坡比的定義得出AC的K,進(jìn)而利用勾股定理求出A6的K.

故答案為：8幾.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確利用坡比的定義求出AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

【答案】10

【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為咖，

答：繩索4力的長(zhǎng)度是10m.

故答案為：10

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出4c的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直

角邊的平方和等于斜邊的平方.

0變式訓(xùn)練

1.（2425八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為8,寬為10,高為6,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離為2,

一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)從需要爬行的最短距離是（）

【答案】A

【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間

線段最短解答.

【詳解】要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖

???長(zhǎng)方體的寬為10，高為6,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是2,

/.BD=CD+BC=10+2=12,4/)=6,

在直角三角形AGO中，根據(jù)勾股定理得：

只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖:

;長(zhǎng)方體的寬為10,高為6,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是2,

???3Q=CO+8c=6+2=85,AD=\0,

在直角三角形44。中，根據(jù)勾股定理得：

只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖:

6

D

10

B2C

???長(zhǎng)方體的寬為■，高為6,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是2,

??/C=C7)+AD=6+10=l6,

在直角三角形ABC?中，根據(jù)勾股定理得：

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答.

2.(2425八年級(jí)上?浙江嘉興?課后作業(yè))如圖有兩棵樹,一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m,一只小

鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行m.

【答案】10

【分析】由題意可構(gòu)建直角三角形求出AC的長(zhǎng)，過(guò)。點(diǎn)作CE_LAB于點(diǎn)E,則四邊形EBQC是矩形.BE=CZ）,

AE長(zhǎng)度可求，CE=BD,在RmAEC中,可根據(jù)勾股定理求出AC長(zhǎng).

【詳解】

EC

B

如圖，設(shè)大樹高為4B=10m,小樹高為CD=4m,

過(guò)C點(diǎn)作CE_LAB于點(diǎn)E,則四邊形仍DC是矩豚

止CQ=4m,EC=8m.

AE=AB-EH=10-4=6m.連接AC

在RAAEC中，根據(jù)勾股定理得：

故答案為10

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題，建立適當(dāng)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知

識(shí)求解.

3.（2324八年級(jí)上?江西南昌?開學(xué)考試）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入

微；數(shù)形結(jié)令百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密

切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實(shí)數(shù)后，進(jìn)行了如下的問題探索與分析：

【解決問題】

②如圖，作點(diǎn)A關(guān)于3C的對(duì)稱點(diǎn)從連接”。交8C于點(diǎn)P,

［應(yīng)用拓展］

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握勾股定理，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的

關(guān)鍵.

過(guò)關(guān)檢測(cè)

1.（2425八年級(jí)上?廣西河池?期中）下列各數(shù)中，能與8,15組成一組勾股數(shù)的是（）

A.6B.8C.10D.17

【答案】D

故選：D.

【答案】C

【分析】本題考查的是勾股定理.，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，正確運(yùn)用勾股定理求出PQ的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，要理

解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理求出也的長(zhǎng)，即可得到答案.

??,點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1,

故選：C.

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

同理：正方形3兩側(cè)的兩個(gè)直角三角形全等,

二4,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理