第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年山東省金鄉(xiāng)縣青華園實(shí)驗(yàn)高中高二（上）9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中山路上有A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒，35秒，45秒，某輛車在中山路上行駛，則在三處都不停車的概率是(

)A.25192 B.35576 C.255762.兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，則(

)A.P(AB)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A∪B)=P(A)+P(B) D.P(A∪B)=P(A)P(B)3.有兩個(gè)質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各面上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4.把兩個(gè)玩具各拋擲一次，向下的面的數(shù)字之和能被5整除的概率為(

)A.116 B.14 C.384.圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和乙不在同一個(gè)小組的概率為(

)A.110 B.25 C.355.有一個(gè)正方體的玩具，六個(gè)面標(biāo)注了數(shù)字1，2，3，4，5，6，甲、乙兩位學(xué)生進(jìn)行如下游戲：甲先拋擲一次，記下正方體朝上的數(shù)字為a，再由乙拋擲一次，朝上數(shù)字為b，若|a?b|≤1就稱甲、乙兩人“默契配合”，則甲、乙兩人“默契配合”的概率為(

)A.19 B.29 C.7186.現(xiàn)有7張分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7的卡片，甲一次性從中隨機(jī)抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為a，剩下的2張卡片數(shù)字之和為b，則a≥3b的概率為(

)A.57 B.27 C.477.現(xiàn)有5張完全相同的卡片，分別寫(xiě)有字母A，B，C，D，E，從中任取一張，看后再放回，再任取一張.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為B”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為E”，丙表示事件“兩次抽取卡片的字母相鄰”，丁表示事件“兩次抽取卡片的字母不相鄰”，則(

)A.乙與丁相互獨(dú)立 B.甲與丙相互獨(dú)立 C.丙與丁相互獨(dú)立 D.甲與乙相互獨(dú)立8.當(dāng)P(A)>0時(shí)，若P(B|A)+P(B?)=1，則事件A與BA.互斥 B.對(duì)立 C.獨(dú)立 D.不獨(dú)立二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀察的方法可以得到實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的頻率，進(jìn)而用頻率得到某事件的概率的估計(jì)．

利用計(jì)算機(jī)模擬擲兩枚硬幣的實(shí)驗(yàn)，在重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)為20，100，500時(shí)各做5組實(shí)驗(yàn)，得到事件A=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”.發(fā)生的頻數(shù)和頻率表如下：序號(hào)n=20n=100n=500頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.552410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506用折線圖表示頻率的波動(dòng)情況如圖所示：

根據(jù)以上信息，下面說(shuō)法正確的有(

)A.實(shí)驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，頻率可能不同，說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性

B.實(shí)驗(yàn)次數(shù)較小時(shí)，頻率波動(dòng)較大；實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，頻率波動(dòng)較小；所以實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越少越好

C.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個(gè)固定值(即隨機(jī)事件發(fā)生的概率)附近

D.我們要得到某事件發(fā)生的概率時(shí)，只需要做一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)得到事件發(fā)生的頻率即為概率10.拋擲一枚骰子1次，記“向上的點(diǎn)數(shù)是4，5，6“為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2“為事件B，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3“為事件C，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4“為事件D，則下列關(guān)于事件A，B，C，D判斷正確的有(

)A.A與B是互斥事件但不是對(duì)立事件 B.A與C是互斥事件也是對(duì)立事件

C.A與D是互斥事件 D.C與D不是對(duì)立事件也不是互斥事件11.下列對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(

)A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為427

B.三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為15，13，14，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為25

C.甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為12

D.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19，A發(fā)生B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.從3雙鞋子中，任取4只，其中至少有兩只鞋是一雙，這個(gè)事件是______.(填“必然”，“不可能”或“隨機(jī)”)事件．13.已知事件A，B互相獨(dú)立，且P(A∩B)=12,P(A∩B?)=14.袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出兩個(gè)小球，則取出的小球上標(biāo)注的數(shù)字之和為5或7的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

判斷下列各對(duì)事件是不是互斥事件，并說(shuō)明理由．

某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中：

(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；

(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；

(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．16.(本小題15分)

某單位有甲、乙、丙三個(gè)部門，其員工人數(shù)分別為24，16，8，現(xiàn)在通過(guò)某項(xiàng)檢查，采用分層抽樣的方法從中抽取6人進(jìn)行前期檢查．

(1)求甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取的人數(shù)和每一位員工被抽到的概率？

(2)若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，現(xiàn)從這6人中再隨機(jī)抽取2人檢查，求至少有1人合格的概率．17.(本小題15分)

從一副撲克牌(去掉大、小王，共52張)中隨機(jī)選取1張，試求下列事件的概率：

(1)這張牌是紅色牌；

(2)這張牌是黑色A；

(3)這張牌是黑色K、黑色Q或黑色J；

(4)這張牌牌面是5的倍數(shù)且是紅色；

(5)這張牌不是方片．18.(本小題17分)

袋中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的球，其中黑球2個(gè)、白球2個(gè)、紅球2個(gè)，規(guī)定取出一個(gè)黑球記0分，取出一個(gè)白球記1分，取出一個(gè)紅球記2分，抽取這些球的時(shí)候，誰(shuí)也無(wú)法看到球的顏色，首先由甲取出3個(gè)球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的3個(gè)球，規(guī)定取出球的總積分多者獲勝．

(1)求甲、乙成平局的概率；

(2)從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性．19.(本小題17分)

如圖在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)．

(1)證明：BD⊥PF；

(2)若M是棱PB上一點(diǎn)，三棱錐M?PAD與三棱錐P?DEF的體積相等，求M點(diǎn)的位置．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：由題意知，A處開(kāi)放綠燈的概率為P(A)=2560=512，

B處開(kāi)放綠燈的概率為P(B)=3560=712，

C處開(kāi)放綠燈的概率為P(C)=4560=34，

∵A，B，C相互獨(dú)立，

∴某輛車在中山路上行駛，則在三處都不停車的概率：

p=P(ABC)=512×712×2.【答案】B

【解析】解：A：P(AB)=P(A)P(B)=P(A)+P(B)，則P(A)[P(B)?1]=P(B)，

而P(A)，P(B)∈[0,1]，所以不成立；

D：P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)，P(AB)=P(A)P(B)，P(A∪B)=P(A)P(B)，

所以P(A)+P(B)=2P(A)P(B)，若P(A)+P(B)=2P(A)P(B)=2c，

所以x2?2cx+c=0在[0,1]上有兩解，則Δ=4c(c?1)≥0，c∈[0,1]，顯然不成立；

根據(jù)事件獨(dú)立的定義，B項(xiàng)一定成立，而C項(xiàng)說(shuō)明兩事件互斥，故不可能獨(dú)立．

故選：B．

根據(jù)事件獨(dú)立的定義，即可得出答案．3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，把兩個(gè)玩具各拋擲一次，向下的面寫(xiě)有的數(shù)字有16種情況；

分別為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)；

其中之和能被5整除的有(1,4)，(2,3)(3,2)，(4,1)4種；

則之和能被5整除的概率為p=416=14．

故選：B．

4.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查古典概型的問(wèn)題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型．

這5名棋手分別記為：甲，乙，A，B，C，利用列舉法寫(xiě)出所有可能的分組情況，最后利用古典概型的概率公式即可求解．【解答】

解：這5名棋手分別記為：甲，乙，A，B，C，分組情況有：

(甲乙A，BC)，(甲乙B，AC)，(甲乙C，AB)，(甲AB，乙C)，(甲AC，乙B)

(甲BC，乙A)，(乙AB，甲C)，(乙AC，甲B)，(乙BC，甲A)，(ABC，甲乙)共10種，

其中甲和乙在同一個(gè)組的有4種，分別為：(甲乙A，BC)，(甲乙B，AC)，(甲乙C，AB)，(ABC，甲乙)，共4種，

所以甲和乙不在同一個(gè)小組的概率為1?410=355.【答案】D

【解析】解：甲、乙兩人拋擲玩具所有可能的事件有36種，

其中“甲、乙兩人‘默契配合’”所包含的基本事件有：

(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，

(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，

(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，

(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16種．

∴甲乙兩人“默契配合”的概率為P=1636=49．

故選：D．

分別求出甲、乙兩人拋擲玩具所有可能的事件及“甲、乙兩人‘6.【答案】D

【解析】解：∵1+2+3+4+5+6+7=28，∴a+b=28，

∴a=28?b，

∵a≥3b，∴28?b≥3b，解得b≤7，

∴求a≥3b的概率就是求b≤7的概率，

從7張卡片中抽2張，基本事件總數(shù)n=C72=21，

a≥3b即b≤7包含的基本事件有9個(gè)，分別為：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，

∴a≥3b的概率為P=921=37．

故選：D7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為B”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為E”，

易得P甲=15，P乙=15，

兩次抽取為有放回抽取，則兩次抽取的基本事件數(shù)為5×5=25，

其中兩次抽取卡片的字母相鄰的基本事件為(A,B)，(B,C)，(C,D)，(D,E)，(B,A)，(C,B)，(D,C)，(E,D)，共8個(gè)，

兩次抽取卡片的字母不相鄰的基本事件為25?8=17個(gè)，

則P丙=825，P丁=1725，顯然丙與丁為對(duì)立事件，C錯(cuò)誤；

對(duì)于A，乙與丁同時(shí)發(fā)生的基本事件為(A,E)，(B,E)，(C,E)，有3個(gè)，

則P乙丁≠P乙P丁，所以乙與丁不相互獨(dú)立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，甲與丙同時(shí)發(fā)生的基本事件為(B,C)，(B,A)，有2個(gè)，

則P甲丙=28.【答案】C

【解析】解：∵P(B|A)+P(B?)=P(B|A)+1?P(B)=1，∴P(B|A)=P(B)，

即P(AB)P(A)=P(B)，∴P(AB)=P(A)?P(B)，∴事件A與B獨(dú)立．

故選：C．

9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，實(shí)驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，頻率可能不同，說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較小時(shí)，頻率波動(dòng)較大；實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，頻率波動(dòng)較小；所以實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多越好，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個(gè)固定值(即隨機(jī)事件發(fā)生的概率)附近，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：AC．

利用題中統(tǒng)計(jì)數(shù)表中的數(shù)據(jù)以及折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢(shì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．

本題考查了統(tǒng)計(jì)數(shù)表和折線圖的應(yīng)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖并能從統(tǒng)計(jì)圖得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABD

【解析】解：拋擲一枚骰子1次，記“向上的點(diǎn)數(shù)是4，5，6“為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2“為事件B，

“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3“為事件C，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4“為事件D，

在A中，A與B不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥事件但不是對(duì)立事件，故A正確；

在B中，A與C是互斥事件，也是對(duì)立事件，故B正確；

在C中，A與D能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；

在D中，C與D能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件也不是互斥事件，故D正確．

故選：ABD．

利用對(duì)立事件、互斥事件的定義直接求解．

本題考查命題真假的判斷，考查對(duì)立事件、互斥事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

對(duì)于A，該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的情況是：前2個(gè)路口都遇到綠燈，第3個(gè)路口遇到紅燈，由此能求出其概率；對(duì)于B，此密碼被破譯的對(duì)立事件是三個(gè)人同時(shí)沒(méi)有破譯密碼，由此能求出此密碼被破譯的概率；對(duì)于C，從每袋中各任取一個(gè)球，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出取到同色球的概率；對(duì)于D，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式列出方程組，能求出P(A)．【解答】

解：對(duì)于A，該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的情況是：

前2個(gè)路口都遇到綠燈，第3個(gè)路口遇到紅燈，

其概率為P=1?132×13=427，故A正確；

對(duì)于B，此密碼被破譯的對(duì)立事件是三個(gè)人同時(shí)沒(méi)有破譯密碼，

∴此密碼被破譯的概率為P=1?(1?15)(1?13)(1?14)=35，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為：12.【答案】必然

【解析】解：根據(jù)題意，3雙鞋子共6只，從中任取4只，必然有兩只鞋是一雙，

則至少有兩只鞋是一雙是必然事件，

故答案是必然．

根據(jù)題意，分析可得從3雙鞋子中，任取4只，必然有兩只鞋是一雙，由隨機(jī)事件的定義，分析可得答案．

本題考查隨機(jī)事件，關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】710【解析】解：根據(jù)題意，事件A，B互相獨(dú)立，則P(A∩B)=P(A)P(B)=12,P(A∩B?)=P(A)P(B?)=15，

故P(A∩B)+P(A∩14.【答案】25【解析】解：由題意知，本題是一個(gè)古典概型，

試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，共有C52=10種結(jié)果，

滿足條件的事件是取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為5或7，

可以列舉出所有的事件：1，4；2，3；2，5；3，4共有4種結(jié)果，

根據(jù)古典概型概率公式得到P=410=25，

故答案為：25

本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，共有C15.【答案】是互斥事件；

不是互斥事件；

不是互斥事件；

是互斥事件

【解析】(1)在所選2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”，

它與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件．

(2)“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，

而“至少有1名女生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”兩種結(jié)果，

它們可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件．

(3)“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，

這與“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件．

(4)“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，

它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件．

根據(jù)互斥事件的概念逐一判斷即可．

本題考查互斥事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3：2：1，

由于采用分層抽樣的方法從中抽取6人，

因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，1人．

該企業(yè)總共有24+16+8=48名員工，

記事件A：“任意一位被抽到”，由于每位員工被抽到的概率相等，

所以每一位員工被抽到的概率為P(A)=648=18．

(2)記事件B：“至少有1人合格”，

記其中合格的2人的分別為a，b，不合格的4人的分別為c，d，e，f，

則從6人的中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果有：

(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，

(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，共15種，

其中至少有1人的合格的結(jié)果有：

(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，共9種，

故至少有【解析】(1)采用分層抽樣的方法從中抽取6人，應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，1人．該企業(yè)總共有24+16+8=48名員工，記事件A：“任意一位被抽到”，由于每位員工被抽到的概率相等，由此能求出每一位員工被抽到的概率．

(2)記事件B：“至少有1人合格”，記其中合格的2人的分別為a，b，不合格的4人的分別為c，d，e，f，從6人的中隨機(jī)抽取2人，利用列舉法能求出至少有1人的合格的概率．

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17.【答案】根據(jù)題意，這副牌共有52張，

(1)這張牌是紅色牌有26張，∴這張牌是紅色牌的概率為2652=12；

(2)這張牌是黑色A有2張，∴這張牌是黑色A的概率為252=126；

(3)這張牌是黑色K、黑色Q或黑色J有6張，∴這張牌是黑色K、黑色Q或黑色J的概率為652=326；

(4)這張牌牌面是5的倍數(shù)且是紅色有4張，∴這張牌牌面是5的倍數(shù)且是紅色的概率為【解析】利用古典概型的概率計(jì)算公式，求解即可．

本題考查古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)記黑球?yàn)?，2號(hào)，白球?yàn)?，4號(hào)，紅球?yàn)?，6號(hào)，

則甲的可能取球共有