遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)(4+i)—(l+5i)的虛部為()

A.-4B.4C.-4iD.4i

2.工人師傅在檢測椅子的四個(gè)“腳''是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只簾連接對“腳''的兩條線段，著它們是否相交,

就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（）

A.兩條相交直線確定一個(gè)平面

B.兩條平行直線確定一個(gè)平面

C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面

D.直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面

3.設(shè)VA3C的內(nèi)角A,B,C的末邊分別為a,b,c,若〃=20,八=3,sinC=—,則。=（）

44

A."B.76C.且D.75

22

4.已知〃?，〃，/為三條不同的直線，。，夕為兩個(gè)不同的平面，若aC]/=/,〃?ua,〃u4，且,〃與〃

異面，則（）

A./至多與小，〃中的一條相交B./與〃均相交

C./與小，〃均平行D./至少與小，中的一條相交

5.已知p,qwR,復(fù)數(shù)-2+i是關(guān)于x的方程/+*+9=0的一個(gè)根，則2〃-“的值為（）

A.5B.4C.3D.2

6.若水平放置的平面四邊形AOBC按斜二測畫法得到如圖所示的宜觀圖，其中NC7/。9,

AC'J_8'UAC'=1OB'=2,則以原四邊形AOa?的邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為（）

D.嗎

C.6缶

3

7.如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底8在同一平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C與。，現(xiàn)測得

CM的邛,3］。。夜米,在點(diǎn)。處測得塔頂A的仰角為3。。，在點(diǎn)。處測得塔頂A的仰角為45。，則

鐵塔的高度為（）

A

C

A.80米B.100米C.112米D.120米

8.己知四棱錐夕-ABC力的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且四邊形ABC。是邊長為"的正方形，若四棱錐

Q-4BC/）的體積的最大值為6,則球。的表面積為（）

A.64兀B.48幾

C.167rD.12兀

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐

B.棱柱至少有五個(gè)面

C.樓臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)

D.以直角梯形的?腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

10.已知VA4C的內(nèi)角A8,C所對的邊分別為“力,。，則（）

A.a^bsinA

B,若照=2,貝儼8+疝。=2

ab+c

C.若則VABC為銳角三角形

D.若a=6,b=6,A=45,則VAAC的形狀能唯一確定

II.如圖，在棱長為2的正方體中ABC。-AqGR,E為線段CG的中點(diǎn)，/為線段41上的動(dòng)點(diǎn)（含端

點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）

9

A.過A,R,E三點(diǎn)的平面截正方體48C。-A/CIA所得的截面的面積為:

B.存在點(diǎn)尸，使得平面律//平面ARC

C.當(dāng)/在線段A乃上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C-Ab"的體積不變

D.E4+FC的最小值為2也+人

三、填空題

12.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的底面直徑為.

13.已知復(fù)數(shù)卬Z2滿足團(tuán)=㈤=5,且Z/Z2=3—4i,則忖+4=.

h2-r2

14.己知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3a=Z?cosC-ccosB,則-；—=,cosA

a

的最小值為.

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)4,z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為4(0,1)，Z2(2-l).

⑴若Z=Z「Z2，求忖；

⑵若復(fù)數(shù)Z=4+〃/Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

16.在aABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且c?+"=(〃+"『.

⑴求C；

(2)若。+〃=6,AABC的面積為2百，求c.

17.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，D,E分別是A3,44的中點(diǎn).

題號(hào)12345678910

答案AADDCBBCBCAB

題號(hào)11

答案ACD

1.A

利用復(fù)數(shù)的減法及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解.

【詳解】依題意,(4+i)-(l+5i)=3-4i,其虛部為-4.

故選:A

2.A

利用平面的基本性質(zhì)求解.

【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格,

所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面

故選：A

3.D

直接利用正弦定理求解即可.

【詳解】由正弦定理得癮

,r2區(qū)2

士「asinC4

所以c=r~T=-彳土

sinA<2

2

故選:D.

4.D

根據(jù)線線之間的位置關(guān)系分析即可.

【詳解】由題意知，〃與/平行或相交，〃與/平行或相交，但直線/與小，〃不能同時(shí)平行,

若直線/與〃?，〃同時(shí)平行，則加與〃平行，與兩直線異面矛盾，

所以/與〃?，n中的一條相交或與in,n都相交.

故選:D.

5.C

根據(jù)一元二次方程的復(fù)數(shù)根互為共規(guī)復(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理即可得解.

【詳解】因?yàn)閬啍?shù)—2+i是關(guān)于”的方程/+〃震+4=0的一個(gè)根，

所以復(fù)數(shù)-2-i也是關(guān)于x的方程f+p,r+q=0的一個(gè)根,

l-2+i-2-i=-p[n=4

|(-2+1)(-2-1)=67匕=5

所以2〃-9=3.

故選:C.

6.B

先根據(jù)斜二測圖形信息推出原圖形的尺寸，再分析旋轉(zhuǎn)后幾何體的構(gòu)成，最后求出體積.

【詳解】已知在斜二測圖形中AC//。*,AC」*C',A'C=1O*=2,

根據(jù)斜二測畫法中平行于1軸的線段長度不變的規(guī)則，可知在原圖形AOBC中4C7/O8,AC=\,04=2.

又已知O/=近，由斜二測畫法中平行于了軸的線段長度減半的性質(zhì)，

可得原圖形中AO=2A，O'=2XX/5=2&，且。(斜二測畫法中大軸與>軸夾角在原圖形中為90,).

如圖，得到原圖.

因?yàn)樘菪?05。以邊40為軸旋轉(zhuǎn)一周，所以得到的幾何體為圓臺(tái).

其中圓臺(tái)的底面半徑r\=A。=1,弓=OB=2,?oj//=OA=25/2;

根據(jù)圓臺(tái)體積公式，可得\7=「(S+S2+V^)V=」(7txl2+7tx22+j7txl2x7tx22)x2>/^=i^7r.

333

故選：B.

7.B

結(jié)合題意表示出國7=百工8。=”,再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.

【詳解】設(shè)=由題意得4cA而N4CB=30=45,

得到==在△4CQ中，COSNCBD=B,CD=IOOV5,

3

由余弦定理得J(6x)2+/_2G/x*=100人，解得工=100,故B正確.

故選:B.

8.C

連接AC,3。相交于點(diǎn)七，當(dāng)莊_L平面ABCD時(shí)，四棱錐月一八8C。的體積的最大，此時(shí)球心。在包上,

根據(jù)匕-=6求出PE,再利用/XAEO是直角三角形求出R可得答案.

【詳解】連接AC8。相交于點(diǎn)后，連接尸￡,當(dāng)依_L平面人5c力時(shí),

四棱錐尸-八〃€7)的體積的最大，此時(shí)球心。在正上，連接A0,

所以％.尸￡=gx6尸E=6,解得總=3,

瓜

四邊形A8CO是邊長為標(biāo)的正方形，所以AE=雙=-75?

設(shè)球0的半徑為R,因?yàn)椤鰽￡O是直角三角形，所以AO?=O爐+月爐,

即R2=(3—/?『+(6丫，解得R=2,

則球。的表面積為4TT/?2二路立.

9.BC

根據(jù)棱錐、棱柱、棱臺(tái)、圓臺(tái)的概念以及性質(zhì)，即可判斷得出答案.

【詳解】對于A項(xiàng)，根據(jù)棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這

些面所圍成的多面體叫做棱錐，可知A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對TB項(xiàng)，棱柱中面最少的為三棱柱，有五個(gè)面.故B正確；

對干C項(xiàng)，由于樓臺(tái)是用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截楂錐，底面和截面之間的多面體為楂臺(tái).結(jié)合極錐

的性質(zhì)，可知棱臺(tái)的側(cè)楂延長后必交于一點(diǎn).故C正確；

對于D項(xiàng)，以直角梯形的垂直于底面的腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，當(dāng)腰與底面不垂直時(shí)，得到的

旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái).故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.AB

應(yīng)用正弦定理及邊角關(guān)系判斷A、B、D；由余弦定理易得。為銳角，而角A和角4是否為銳角無法確定,

即可判斷C.

【詳解】因?yàn)閟in8￡(0,l],所以"如粵NbsinA,故A正確；

sinB

e、,siILAsinBsinC-.sinB+sinC2b+2c-,,_丁川

因?yàn)椤?--=——=2,則n------=-——=2,故B正確；

abcb+cb+c

由余弦定理cosC>0,可知C為銳角，

2ab

但無法判斷角A和角8是否為銳角，VA4C不一定為銳角三角形，故C錯(cuò)誤；

由正弦定理得X—=正，即sinB=立，又b>a,所以B>A,所以8=g或=，故D錯(cuò)誤.

sin45°sin〃233

故選：AB

11.ACD

根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判定可①②③確定ABC的正誤,

利用展開法和點(diǎn)距離的三角不等式，結(jié)合余弦定理計(jì)算川求得用+”1的最小值，進(jìn)血判定D.

【詳解】對于A,???正方體的對面互相平行，

???過4小石三點(diǎn)的平面截正方體相6-4用GR的對面ADRA.BCGM所得截線互相平行,

又為線段CG的中點(diǎn)，，截面交8c于其中點(diǎn)G,

連接AG,GE,ER,。/,則四邊形AQEG即為所求截面，顯然為等腰梯形,

且A/]=2瓜EG=瓜AG=1%E=。+C=6,

梯形的高力=JAG=(紀(jì)/]

面積為（AA+EG）/?故A正確;

3―-----------

過￡與平面ARC平行的直線都在過E與平面4RC平行的平面內(nèi).

易知過￡與平面4。。平行的平面截正方體人BCD-4與GR的截面為如圖所示1的六邊形EGHIJK,其各

頂點(diǎn)都是正方體的相應(yīng)棱的中點(diǎn)，

由干A8/〃/AA"不在平面EGHJJK內(nèi)，???平面EGHIJK與直線人也平行，

???平面EG"〃K與線段A3沒有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

V\BHD.C,48不在平面4。。內(nèi)，

??.吊8〃平面ARC,

又???尸eA'???尸到平面4D/C的距離為定值,又???△A。。的面積為定值,

???當(dāng)尸在線段A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C-4FR的體積不變，故C正確;

將矩形ARCB展開到與等腰直角三角形在同一平面內(nèi)，如圖2所示,

FA+FC>AC=/2+22-2x2x2x(一用=2也+拒,

當(dāng)兒EC共線時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：ACD.

圖1圖2

根據(jù)扇形的弧長公式求出圓錐的底面圓的周長，建立方程，解之即可求解.

【詳解】由題意知扇形的弧長閆印=等4號(hào)，

設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為人則2"=￡,

即2"=年，得2'=］即該圓錐的底面圓的直徑為。.

故答案為：I

13.5也

先設(shè)z,=a+〃i，Z2=c+d(a,b,c,deR)根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)模公式計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)Z1="+〃i，z2=c-\-d\(cbb,c,dwR),

又匕|=區(qū)|=5,所以行V=5,戶彳=5,

又Z1一4=a-c+(Z?-d)i=3-4i,所以〃-c=3,b-d=-4,

所以(〃-C')2+優(yōu)一〃f=a2-2ac+c2+b2-2hd+d2=50-lac-2bd=32+(-4)2,

所以2ac+?d=25,

所以

2222

B+z2|=|?+c+(Z>+J)i|=J(a+c)~+(》+d)~=yja+2ac+c+b+2hd+d=5G.

故答案為：5\/3.

14.3逋/夜

33

第一空，利用余弦定理角化邊，再化簡計(jì)算即得；第二空，利用余弦定理將cosA用伉。表示，再利用基本

不等式求出最小值.

【詳解】在VA8C中，由3a=〃8sC-ccos8及余弦定理，得3d=〃?"十〃一'一「"十'一"

2ab2ac

G2+b2-c2a2+c2-b2^-c1..b2-c2.

=---------------------=------,因M此---、-=3;

2a2aacT

22

,22b-C

2222

Ab^c-a@+c—一1b?+2c、2五be2友,當(dāng)且僅當(dāng)〃=J%時(shí)取等號(hào)，

cosA=---------=------------——=------->------=----

2bc2bc3bc3bc3

所以cosA的最小值為述.

3

故答案為：3；正

3

15.(1)272

⑵！-同

(1)由題可知：Z|=i,z2=2-i,進(jìn)而可求Z和其模長；

(2)整理可得z=〃?+(2〃?+l)i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解.

【洋解】(1)由題可知：z,=i.z2=2-i,則2=<一馬二1一(2-。=-2+2匕

所以目=J(-2)+22=2&.

(2)由題意可知：z=z}+niz1z2=i+/7zi(2-i)=/??+(2//7+l)i,

w<01

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則),，解得-

2/n+l>0n2

1

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為一弓，。

16.（Dy

⑵25

（1）先對題目的等式進(jìn)行變形化簡，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小.

（2）已知三角形的面積，利用三角形面積公式可求出必=8,再結(jié)合給定條件利用余弦定理建立方程，即

可算出。邊.

【詳解】（1）由/+"=（〃+力丫，得+/戶一C2=一必

ZQ—Q~+b~—c~—(ib1

由余弦定理,WcosC=---------=---=——

lablab2

所以C=弓.

又OvCv兀，

(2)由△ABC的面積為2\/5,得;a〃sinC=2>/i,所以曲=8.

由余弦定理，得C?=/+〃-2aZ?cosC=?+/?y-"=28,

所以c=2?.

17.（1）證明見解析

Q）為

4

（i）通過證明AE//平面A。。，EG〃平面A。。，來證明面面平行;

（2）先證明異面直線A。與8G所成角為/EBG（或其補(bǔ)角），再在中計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)?。，E分別是48,A4的中點(diǎn)，所以4石=。8,A\E//DB,

所以四邊形AQ8E是平行四邊形，所以AO//E,

又AQu平面4。。，8石江平面4。。，所以8E//平面AQC,

連接DE,由棱柱的性質(zhì)，可知DB!/EB\,DB=Eg,所以四邊形為平行四邊形，所以DE〃BB「DE=BB.,

又CC〃BB\、CC\=BB\,

所以。E〃CG，DE=CC\,

所以四邊形。EG。是平行四邊形，所以EC"。。,

又DCu平面A。。，平面a。。，所以EG〃平面A。。，

因?yàn)锽EcEG=E,BE,EGu平面BCE,所以平面改///平面A。。.

（2）解：由（I）知AW/BE,所以異面直線A。與BG所成角為/E8G（或其補(bǔ)角）,

因?yàn)槿庵?C-AqG為直三棱柱，所以8旦_L平面4片6,

因?yàn)榕c石，片Qu平面入印7所以3用_1,與七，BBJBg,

所以8E=>/F仔=逐，4G=28，EC\=6,

所以8￡2+EC：=BC：，即5￡_L￡C1,

所以在為△8￡G中,sin/EBG=手，

即異面直線A。與8G所成角的正弦值為在

4

18.⑴證明見解析

⑵6

⑶;

（!）利用面面垂直性質(zhì)可得AO_L平面上44,由Q4_L依，進(jìn)而可得PA_L平面AQP,結(jié)合線面垂直的判

定和性質(zhì)定理即可證明結(jié)果:

（2）過點(diǎn)尸作直線￡＞笈的垂線，垂足為G推理可得/AG/為二面角八--產(chǎn)的平面角，進(jìn)一步計(jì)算即可

推出結(jié)果.

（3）取AB的中點(diǎn)。，連接￡O，P。，可證得EO//平面八。，則有點(diǎn)E到平面240的距離等于點(diǎn)。到平面

"的距離，利用等體積計(jì)算可得距離為多設(shè)直線房與平面.所成角為仇由“嗯計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：在中，AB=2&,PB=￡,NPBA=60,

由余弦定理得PA2=AB2+PB2-2AB-PBcosZABP=(2>/3)2+(73)2-2x273x辰os60。=9.

即%=3,所以％2+Q82=A82,所以

因?yàn)樗倪呅蜛6c。是矩形，所以APIA3,

又平面A8CD1平面Q48,平面ABCOfl平面左4=八8，ADu平面4ACD,

所以AO_L平面E4B,又P8u平面以B，所以AO_LPB,

又AOcAP=A,4O,APu平面AOP,所以P8_L平面A。尸，

又Abu平面AOP,所以PBJLAF,

在/MOP中，4P=3,AO=3,點(diǎn)/是。。的中點(diǎn)，所以A/_LO尸，

又尸8口。尸二尸,尸&。尸<=平面PBD,

所以AFJ_平面夕"￡>.

（2）過點(diǎn)尸作直線的垂線，垂足為G,連接AG,如圖所示.

由（1）知A/_L平面?以），又G￡D8u平面依。，所以A/T_LG￡A/：_LO4,

又FG工DB,AFr\FG=F,A尸，"Gu平面A尸G,

所以O(shè)8JL平面A/：G,又AGu平面A/：G,所以。5_LAG,

所以4G尸為二面角A—O8—P的平面角.

因?yàn)镻6_L平面AOROPu平面AOQ,所以又PB=￡,PD=36,

_________—吟也上GFGF

所以=yJPB?+PD?=后，所以sin一而一而一而一575，

2

解得G"=土但，

14

在中，AF=-,GF=^-,AFA.GF,

214

3立

所以lan/AG戶=/=就=S,即二面角A—。8-。的正切值為5.

（3）取A3的中點(diǎn)。，連接E。?。，如圖所示,

易得EO//ADEO=AD,又上。（Z平面PMADu平面PAD,

所以E。//平面PAD,即點(diǎn)E到平面PAD的距離等于點(diǎn)。到平面PAD的距離.

因?yàn)锳O_L平面“A氏POu平面如3,

所以4￡>_LPO,所以召OJLPO,所以PE7ECP+P01=26.

設(shè)點(diǎn)。到平面尸A。的距離為d,又=匕）-A/”，

所以‘x'x3x立x3=!x'x3x3d,解得d=立，

322322

73

設(shè)直線依與平面上4。所成角為6,所以二d二2二1，

一PE一26一a

即直線正與平面尸AD所成角的正弦值為J.

4

19.⑴證明見解析

⑵tanNP84=￥

（3）2+2X/3

（1）根據(jù)二倍角公式，結(jié)合正弦定理邊角互化即可求解，

（2）根據(jù)面積公式可求解。口，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得smJ4sin?,由和差角公式化簡即可求解,

7573

（3）由余弦定理求解長度，結(jié)合勾股定理可得〃葉〃+2=〃〃?，即可利用不等式求解.

【詳解】（1）因?yàn)閏os28+cos2c=l+cos24,所以12sin2B\12sin2C=1I12siiJ八，即

sin2A=sin2B+sin2C,

7T

由正弦定理可得"=6+。2,故/1=],即VABC是直角三角形，

（2）VABC的面積為S=—/?csin4=-?-/?x1=，則〃=#；.a=\lb，+劣=2,

?7T

因?yàn)?。為VA8C的費(fèi)馬點(diǎn)，所以NAPB=ZBPC=NCPA=y,

設(shè)/PBA=O,所以/BAP=NPBC=±-8,4BCP=O,

3