湖北省武漢市部分學校2026屆高三上學期九月調(diào)研考試數(shù)學試卷

一、選擇題

1.己知集合/=卜|/一X一2>0},5={X|X2<3X),則力C|3=()

A.(-l,0)B.(-l,3)C.(2,3)D.(0,2)

2.若復數(shù)z滿足熱士D=3+i,則z=()

z

A.1+iB.1—iC.一1+iD.—1—i

3.若雙曲線機/+町的一條漸近線方程為y=2x,則%=()

n

A.--B.-2C.--D.-4

24

4.正方形力8CQ的邊長為1,取正方形各邊的中點4，4，G，A作第二個正方形

44,6，

,然后再取正方形與各邊中點B2,■作第三個正方形，依此方法一

直繼續(xù)下去，則前11個正方形的面積和為()

A.2-J1A1D.2(l4

B.21---rr-C.2

212l21°J211

4*+a

5.若函數(shù)/(x)=是奇函數(shù)，則實數(shù)。=()

2

A.1C.2D.-2

6.將4個不同的小球放人4個不同的盒子中，則恰有兩個盒子為空的放法種數(shù)為()

A.72B.84C.96D.108

7.已知△力內(nèi)角力,B,C滿足sin4=-6cos8cosC,cos力=3sin4sinC,則tan4=()

A.2B.4C.8D.9

8.設(shè)橢圓七：二+彳=1伍>6>0)的左右焦點分別為《，E，橢圓E上點。滿足2耳_1呼，

a~b"

直線電和宜線尸鳥分別和橫圓E交于異于點尸的點4和點兒若昌=［，則橢圓E的離心率

為()

百退而_V17

A.---B.---C.----D,----

2345

二、多項選擇題

9.已知函數(shù)/(x)=sin(@n+0)(G>0,|e|<7t)的部分圖象如圖所示,則()

A./(x)的最小正周期為兀

71

B.69=—

3

C./(x)的圖象關(guān)于點(一7,0)中心對稱

D.將/(X)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則

77T

g&)是區(qū)間71,—上的增函數(shù)

4

10.已知正實數(shù)46滿足622,則()

X.ah>\B.a2+h2>2C.-+->2D.2a+2b>4

ab

3

H.設(shè)48是一個隨機試驗中的兩個年件，P(A\B)+P(B\A)=\,P(JUi5)=-,則()

4

A.事件48相互獨立

B.若尸(Z8)=d，則|P(4)—P(5)|二.

oo

C.P(AB)<P(AB)

D.若P(A\B)=P(A|B)，則必有P(A)=P(B)

三、填空題

12.平面向量。，。滿足|a|=1,\b\=2,\2a-b\=2t貝"a+力|=.

13.已知等差數(shù)列｛%｝的公差dwO,若a,,a5,為構(gòu)成等比數(shù)列，則幺=.

14.在四棱錐尸—48C。中，AB=y/3,BC=3,40=2,ZABC=90°,ZBAD=\50°,

且4J_平面力88,過點幺的平面a與側(cè)棱PB,PC,0。分別交于點E,F,G,若四邊形

4EFG為菱形,則"=.

四、解答題

15.在深化課程改革、推動教育高質(zhì)量發(fā)展的新階段,命題能力已成為教師專業(yè)發(fā)展的關(guān)犍能力.

某省開展2025年學科教師命題能力高質(zhì)量研修提升培訓會，參會人員包括300名經(jīng)驗豐富教師

(年齡在35歲及以上的教師)，200名經(jīng)驗不豐富教師(年齡在35歲以下的教師)，會后均參加

相關(guān)知識考核，考核結(jié)果為優(yōu)秀、合格兩種情況，統(tǒng)計并得到如下列聯(lián)表：

經(jīng)驗不豐富教

經(jīng)驗豐富教師總計

師

優(yōu)秀200150350

合格10050150

總計300200500

(I)根據(jù)小概率值C=0.01的獨立性檢驗，能否認為這次考核結(jié)果與經(jīng)驗豐富與否有關(guān)？

(2)若從參會人員中，采用分層抽樣的方法隨機抽取10名教師，再從這10名教師中隨機抽取4

人進行調(diào)研，設(shè)抽取的4人中經(jīng)驗不豐富教師的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

附：=------出"—----------,其中〃=。+力+。+4.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

Xa2.7C63.8416.63510.828

16.如圖，在三棱柱力8。一44G中，。為線段的中點，側(cè)棱上點E,尸滿足

EF=—AA..

21

(1)證明：PE〃平面B?F；

2

(2)若力8=4C=441=1,/4■1"平面48C,ABLAC,AF=-,求直線8c與平面

用3所成角的正弦值.

17.在△N8C中，tan/+tan8=^^,4B=5,AC=8.

cos8

參考答案

1.答案：C

解析：X2-x-2=(x-2)(x+\)>0,解得x>2或工<一1,

即4=/_x_2>0}=(-oo,-l)U(2,+oc),

X2-3X=X(X-3)<0,解得0cx<3,

f!P5={x|x2<3x}=(0,3),

則408=(2,3).

故選：C.

2.答案：A

解析：化簡等式：等式兩邊同時乘以z,得到2(z+i)=(3+i)z.

展開括號可得2z+2i=3z+iz.

求解z：將含有z的項移到等式一邊，常數(shù)項移到等式另一邊，

得到2i=3z+iz-2z,即2i=(1+i)z.等式兩邊同時除以1+i,則z=」

1+i

為了將分母實數(shù)化，給分子分母同時乘以l-i,得到z:「(l—i),

(l+i)(l-i)

根據(jù)平方差公式(a+b)(a-b'\=a2-b2,可得(1+i)(l-i)=I2-i2.

因為12=一1,所以12-12=1_(_1)=2.分子21(1-。=21-212,

將『=一]代入，可得2i-2x(-l)=2+2i.

2+2i.

所以z=-----=l+i.

2

故選A.

3.答案：D

22

解析：已知雙曲線方程為〃?/+〃必=],將其化為標準方程：寧=1.

mn

因為雙曲線方程中〃八〃異號，所以雙曲線的焦點在X軸上時，

標準方程為，一烏=1(。>0,6>0),此時/="!■,Z)2=--；

a"h"mn

y22

焦點在y軸上時，標準方程為々一三X二1(。>0/>0),

a~b~

此時/)2=—.

nni

當雙曲線焦點在x軸上時，其漸近線方程為歹=±2,

a

當雙曲線焦點在y軸上時，其漸近線方程為_y=±qx,

b

所以，無論焦點在x軸還是y軸,

雙曲線〃=1的漸近線方程都為y=±X.

己知雙曲線的一-條漸近線方程為y=2x,則=2

兩邊同時平方可得：-%二4,KP—=-4.

nn

故選D

4.答案：D

解析：已知正方形的邊長為1,根據(jù)正方形面積公式S=/為邊長）,可得第一個正

方形45co的面積S|=尸=]

因為4,4，G,。分別是正方形43c。各邊的中點，

所以是△ZBC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理，可得44二14。.

2

在正方形48CQ中，根據(jù)勾股定理4c=dAB、BC?,

___1/

已知48=80=1,則4C=J1+i2=五，所以44=彳乂夜=半

那么第二個正方形44GA的面積s2二國4

同理，可推出第三個正方形的邊長是第二個正方形對角線的一半,

第二個正方形對角線長為=1,

1fiY1

所以第三個正方形邊長為一，面積S3=上=-.

2\2J4

以此類推，可得正方形面枳構(gòu)成的數(shù)列｛SJ,其中E=I,$2=，，S3=■!"T?,

該數(shù)列是以Si=i為首項，夕=g為公比的等比數(shù)列.

aA\-qn\

一根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式S〃二』-----L（/為首項，夕為公比），

i-q

這里q=1，4=』/=11,則前11個正方形的面積和為：

=

S”_1

2

因此，前11個正方形的面積和為2（1-1）,答案選D.

【2"J

5.答案：B

解析：/（工）=/2的定義或為口，

乙

由于〃制=肅為奇函數(shù)，故八°）=翡亮=與1=0,解得”―1，

4-'-1（4-1）4'1-4V

當4=-1時，/'（一x）=

-.v+cos.r=-/?

故Q=-1符合題意,

故選：B

6.答案：B

解析：選2個空盒：C~=——：一=6種,

42!（4-2）!

分配4個小球到2個非空盒

情況一（1+3分法）：C；C：=2x4=8種

6

情況二（2+2分法）：-xA；=-x2=6種

2!-2

總分配方法：8+6=14種,

總放法數(shù)：6x14=84種

故選：B

7.答案：B

解析：因為4+8+。=兀，所以4=兀一(8+C).

根據(jù)誘導公式sin(九一a)=sina，可得sinA=sin(7t~(B+C))=sin(^+C).

根據(jù)誘導公式cos(%-a)=-cosa，可得cos4=cos(7t-(B+C))=-cos(B+C).

根據(jù)兩角和的正弦公式sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,

將sin(8+C)展開得sin(6+C)=sinBcosC+cosBsinC.

根據(jù)兩角和的余弦公式cos(a+/?)=cosacos/7—sinasind,

將-cos(B+C)展開得一cos(B+C)=-cosBcosC+sinSsinC.

已知sin/=-6cos8cosC,BPsin5cosC+cossinC=-6cos5cosC?；

已知cos4=3sin8sin。，即一cos8cosc+sin8sinC=3sin8sinC②.

由②式一cos3cosC+sinBsinC=3sinBsinC,

移項可得-cos4cosC=2sin2?sinC.

兩邊同時除以cosBcosC(因為4,C是三角形內(nèi)角，cos3coscwO),

得到一1二2tanBtanC,即tan8tanC=——.

2

由①式sin8cosc+cos8sinC=-6cos8cosC,

兩邊同時除以cos4cosc(因為6,C是二角形內(nèi)角，coscosC0),

sin8cosccos8sinC

得到+-=----6-,--即--tanB+tanC=-6

cosBcosCcosBcosC

tan?+tan/?

根據(jù)兩角和的正切公式tan(a+〃)=

1-tanatan0

因為4+3+C=兀，所以4=兀一(8+。)，

tanB+tanC

則tanA=tan(兀一(8+C))=一tan(8+C)=

1-tantanC

將tanB+tanC=-6,tan5tanC=代入上式,

2

可得tanA=

故選B.

8.答案：D

解析：由題設(shè)，令夕叫=6,故歸國=2ccos。，|夕國=2csin。.

所以|P用+1Pg|=2c(cos0+sin0)=2a,故e(sin8+cos8)=1①,

由昌=|,令陽/|=2m,內(nèi)卻=3〃?,

則優(yōu)力|=2Q-2〃?，J"邳=2”3〃z,

由|尸川2+|尸身2=內(nèi)42,

則(2CCOS0+2〃?)2+(2csin0)1=(2a-2m)2

所以c?+2mccos0=a~-2ina,

整理得2〃7(CCOS6+Q)=〃2-c?

由|P8『+|尸片|2=田川，KJ(2csin9+3〃Z)2+(2tcos<9):=(2a-3m)2,

所以c?+3mcsin0=a2-3ma,整理得3/w(csin6+a)=G2-c2

所以2"?(ccos0+。)=3〃?(csin6+a),

整理得2ecos6-3esin6=1②,

41

聯(lián)立①②，得ccos6=w，esin^=-,

故tane='，即sin9=

7^，所以

45

故選：D

9.答案：ACD

解析：由圖象可知，相鄰最小值點x二型和最大值點工=業(yè)之間的水平距離為半個周期，即

1212

r11冗5兀兀T

—=--------=—=>7=兀，

212122

2兀

由周期公式7=——=TI=>co=2,所以/'(x)=sin(2x+e),選項A正確;

co

因為圖象經(jīng)過點（2代入函數(shù)得:

112）

sinf2--+|=-l=>sin5兀

I12%)

3兀

由正弦函數(shù)性質(zhì)可知sin。=-1時，0=—+2knkeZ,

2y

所以—+°=—+2/c7i=°=—+2a兀,4eZ,

623

因為191V兀，所以8=25兀，/（x）=sin（2x+年,

3

因為W=故B錯誤;

33

因為y=sin。是中心對稱函數(shù)，對稱中心為（％兀0）,〃wZ,

4JT、4兀

若函數(shù)/（刈圖象美于點—,0對稱，則f=0.

3JT

代入計算：/｛與）=sin2-一干+年?卜sin（-2兀）=0

所以圖象關(guān)于點0）對稱，故C正確；

將/（x）圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標大變），

/、2吟

則EIg（x）=si?n（x+—,

由正弦函數(shù)性質(zhì)可知y=sin。在一］+2%兀K6+冗，女￡Z上單調(diào)遞增,

冗2冗冗7TTTT

令一一+2kiiJx+——J—+2kTi,kwZ,解得——+2kn<x<一一十2〃?！╳Z,

23266

區(qū)間I-H,—1位于增區(qū)間12,止］內(nèi)，

L4JL66J

7兀

故g（x）在區(qū)間兀,一內(nèi)是增函數(shù)，故D正確.

4

故選ACD.

10.答案:BD

解析：對A：取。=2,6=0.1,此時。+6=2.1>2,但〃6=0.2<1,故A錯誤;

對B：a2+h2>^a+b^=-=2,當且僅當。=〃=1時，等號成立，故B正確:

22

對C：取。=2,6=2,此時。+力=4〉2,但4+1=1<2,故C錯誤；

ab

對D：2“+2”22J2V=26/2萬=4,當且僅當。=〃=1時，等號成立，故D正確.

故選：BD.

11.答案：BCD

解析：

12.答案："

解析：計算〃/：

I2〃一力『二(2〃一力)2=4.2—4〃?〃+

代入已知條件：4。2-4。力+b2=4

己知〃2=|〃|2=14=叫2=4,

彳弋入上式：4x1—4。?〃+4=4

化簡：4—4。?〃+4=4

移項：4aIf=4

解得：ab=T

計算|。十力|：

\a^b\1=(a^b)2=a2^-2ab+b2

代入已知條件：a2=\,b2=4,ab=\

代入上式：|?+A|2=l+2xl+4=7

因此：|a+b|=J7

答案是S.

9

13.答案：一

8

解析：由題意知等差數(shù)列｛〃“｝的公差d工0,%，％，4)構(gòu)成等比數(shù)列，

則a；=a2a9，即(q+4d『=(q+d)(q+8d),

,me」,,a.a.+d8d+d9

n即n/得a8od~=40,則8d=6，故一^=—----=-------=—,

1qq3d8

9

故答案為：一

8

14.答案：巫

5

解析：

15.答案：（1）這次考核結(jié)果與經(jīng)驗是否豐富與否無關(guān);

（2）1

解析：（1）零假設(shè)為“0：這次考核結(jié)果與經(jīng)驗豐富與否無關(guān)，

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得/n(ad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

500x(200x50-100x150)2250

——。3.968<6.635，

300x200x350x15063

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷，。不成立,

因此可以認為“°成立，即認為這次考核結(jié)果與經(jīng)驗是否豐富與否無關(guān).

（2）采用分層抽樣的方法抽取10名教師，

其中經(jīng)驗不豐富教師人數(shù)為迎xl0=4,經(jīng)驗豐富教師人數(shù)為迎xl0=6.

500500

隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4.

1ploC2C22

P(^=0)=-^=—,^=1)=^4^=—,P(X=2)=^4^=±,

c：。14C：021C：o7

4CjC21

P(X=3)=^-^=—,p(X=4)=—4-^=——，

Of。35(J：。210

故隨機變量X的分布列如下：

X01234

18341

P

1421735210

口1l/xz\八118。3c418

則E(X)=Ox——+1x--b2x—+3x——+4x---=—.

16.答案：(1)證明見解析；

⑵也

14

解析：(1)取4c中點0,連接尸。，F(xiàn)Q.

由題意，EFfi-BB,,得EF〃Q.

—2-2-

所以四邊形由00是平行四邊形，有PE/IQF.

乂平面片。/，PE仁平面用。/，所以PE〃平面B'F.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系.

函=(1,一1,1),#=^C=(-1,1,O)

設(shè)平面B.CF的法向量n=(xJ,z),

x-y+z=0

n-CB.=O

由〈一2，

n-CF=O-y+§z=0

取z=3,得到平面B.CF的一個法向量?=(-1,2,3).

設(shè)直線BC與平面8c/所成角的大小為0,

所以直線8c與平面D.CF所成角的正弦值

|萬?麗_3_3/

sin0=|cos〈h,BC)|=

|n|-|5c|-V14-V2-14

7T

17.答案：(1)—；

3

(2)-；

7

⑶警

/.、,sinAsinBsinAcos5+cosJsinBsin(4+8)

解析:(1)tanJ+tan5n=-------+--------=---------------------------------=--------------

cosAcosBcosAcosBcosAcosB

sinC_2sinC

又sin(4+B)=sinC,所以

cosAcosBcosB

由sinC/0,整理得：cosA=—

2

又0<4<兀，所以/='.

3

(2)由余弦定理：BC2=AB2^AC2-2AB-ACcosA=49,

AB2+BC2-AC2

故BC=7.cosB=

2ABBC7

________4向

(3)sinB=Jl-cos?B=----

7

sinZ.ADC=sin|5+—|=——sinB+—cosB=—.

I6J2214

由正弦定理：0-=———，代入解得：CO二處A.

sinAsin/.ADC13

18.答案：(1)J?=4x；

(2)2V13；

J_

(3)

-4

解析：(1)由題意，當點力橫坐標為2時，點力到準線x=一旦的距離為3,

2

即2+2=3,解得〃=2,所以拋物線￡的標準方程為：j『=4x.

(2)點尸(1,0),設(shè)N(XQJ,8(口必).

此時直線I的斜率為—2,/的方程可寫為x=-^y+3.

與拋物線方程聯(lián)立得：y2+2y-\2=0.

由韋達定理，必+M=—2,%力=-12.

此時AF4B面積為||FP|-|y,-^2|=’(弘+%丫一例為=2而.

(3)設(shè)直線/的斜率為鼠顯然AwO.

14

將直線/方程x=一歹+3與拋物線方程聯(lián)立得：y2--y-12=0.

kk

4

由韋達定理，y]+y2=—^乂為=一12.

由題意：衍FTH〃[篇+篇)

g（

_FA+須一1乂+工2-1,8

1%兩一〔X[+1'X]+1,、電+1工2+1

J2a”1)內(nèi)了2+工2凹+必+-2

+X+工2+1'中2+X1+工2+1>

又FT=(1,2),所以XM+ZM+M+刈=4(XjX2-1).

代入拋物線方程化簡得：療％+y只+4(凹+%)=yfyl-16.

即仙必+4)(凹+%)=(凹為+4)(必為一4).

又乂%+4=-8。0,故必+必=乂力-4.

41

即一二一12-4,解得：k=一一.

k4

19.答案：（1）k>2；

（2）—：

4c

（3）證明見解析

解析：（1）由題意，函數(shù)？（》）=/一丘+1在區(qū)間（0,］）和（］,+◎上各有一個零點所以

(p(0)>0,

,解得：人>2.

。⑴<0

Y~-fry+1

(2)/'(X)=(2x-A)lnx+-------------.

x

X]，吃是方程X?-履+1=0的兩根，所以演+工2=%，中2=1?

/'(