函數(shù)的對稱性重點考點專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知函數(shù)/（x）（xeR）滿足/（x）=f（2-x）,若函數(shù)尸B-2X-3I與y=r（X）圖像的交點為（達(dá)山）,

E

（X2J2），…，（工,/7），則=

/=!

A.0B.mC.2mD.4ni

2.設(shè)函數(shù)y=/（x）的圖像與y=2"。的圖像關(guān)于直線丁=一、對稱，且/（-2）+/（-4）=1,則。=

A.-1B.1C,2D.4

3.己知函數(shù)/（x）=lnx+ln（2—》），則

A./⑺在（0,2）單調(diào)遞增B./（X）在（0,2）單調(diào)遞減

C.y=/'（x）的圖像關(guān)于直線x=l對稱D.y=/（x）的圖像關(guān)于點（1,0）對稱

4.已知函數(shù)/3=1磯』7rI+XT，則￡/（焉1=＜）

\\x~'I7;=i\2U247

2023

A.一-B.-2023C.-1012D.-2024

2

5.已知函數(shù)/（x+1）是R上的偶函數(shù)，且/'（x+2）+/（2—x）=0,當(dāng)x?0,l］時，/（x）=log2,2x+1）,

函數(shù)/（x）在區(qū)間［-3,3］的零點個數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.1（）

6.設(shè)/'（X）是函數(shù)/（力的導(dǎo)數(shù)，6（”x）+f（l+x）=0,"2）=0,當(dāng)彳＞1時，（x—l）/（x）—/（x）＞0,

則使得/口）＜0成立的工的取值范圍是（）

A.（O,1）U（1,2）B.（0J）kJ（2,+oo）C.（-oo,0）U（L2）D.S，0）U（2,2）

7.已知函數(shù)的定義域為R,函數(shù)戶（x）=/（l+x）-（1+x）為偶函數(shù)，函數(shù)G（x）=/（2-3x）-l為

奇函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）

A.函數(shù)“X）的一個對稱中心為（2,1）B./（0）=-1

C.函數(shù)/（X）為周期函數(shù)，且一個周期為4D./（1）+/（2）+/（3）+/（4）=6

8.已知函數(shù)/"人（去后必，貝IJ”函數(shù)/（"的圖象關(guān)于）軸對稱”是“。=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

9.已知奇函數(shù)/(x)的定義域為R,若/(x)=/(2-x),則()

A./(O)=OB./(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C../'(x)=-/(-v+4)D./(x)的一個周期為4

10.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若/(x+y+l)=/")+/(力+2,且/(0)=1,則(〕

A./(-1)=-1B./(x)無最小值

30

C.Z/a)=1425D./(X)的圖象關(guān)于點(-2,-5)中心對稱

/=!

11.已知定義域為R的函數(shù)/(x)滿足：@(x—l)=—/(x+l),/(12)=0;②y=/(》一2)的圖象關(guān)于

直線x=2對稱；③對任意的實數(shù)陽，x2e(-l,0)，且x尸x2，都有(內(nèi)-再)-/(工2)］<0,則()

A./(X)是偶函數(shù)B./(cosl)>/(sinl)

C./("的圖象關(guān)于(TO)對稱D./(2024)+/(2025)=0

12.已知函數(shù)函兼)的定義域為R,函數(shù)尸(x)=/(l+x)-(l+x)為偶函數(shù)，函數(shù)G(x)=/(2-3x)-l為

奇函數(shù)，則()

A.函數(shù)/(x)的一個對稱中心為(2,1)

B./(0)=-1

C.函數(shù)/(1)為周期函數(shù)，且一個周期為4

D./⑴+〃2)+/(3)+/(4)=6

13.已知函數(shù)/'(力=/+加+cx+d在(-8,0］上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函數(shù)，且方程/(x)=0有3

個實數(shù)根，它們分別是萬,2.則()

A.c=0

B.若(Z/(2))是對稱中心,則極小值是-12

C./(1)>2

D.\a-p\>3

三、填空題

14.定義在(-8,+00)上的偶出數(shù)/。)滿足/0+2)=/(刈，且/*)在［-1,0］上是增函數(shù)，卜面五個關(guān)

于/(x)的命題：①/(X)是周期函數(shù):②/(x)圖象關(guān)于x=l對稱；③在［0J上是增函數(shù)；@/(x)

在［1,2］上為減函數(shù)；⑤/(2)=/(()),其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號)

15.已知函數(shù)/Q),g(x)的定義域均為R,Kf(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若)，=以幻的圖

象關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4,則為W=.

*=|

四、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=loga；^—+OT,〃>0且aW1.

2-x

⑴求曲線y=/(x)的對稱中心；

(2)證明：曲線y=/(x)在對稱中心處的切線不過坐標(biāo)原點；

(3)討論/(%)的單調(diào)性.

參考數(shù)據(jù)：當(dāng)xf0時，xlnxTO.

17.設(shè)函數(shù)/(x)=e￥+,+入2在x=_1處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，

⑴求A：

(2)是否存在實數(shù)。乃使得函數(shù)g(x)=/(x)+er+aY關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求出的值，若

不存在，說明理由；

⑶若/(x)2c|H恒成立，求c的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=(l+x)°(a>0).

(I)當(dāng)。為奇數(shù)時，證明：/(冷的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱：

(2)當(dāng)x>-l時，f(x)<\+ax,求。的取值范圍；

(3)證明：當(dāng)〃WN，時,(-1——)+f——ri+???+」—</?+1.

IVwJU2+22J(J2+"

19.已知函數(shù)/(x)=lnT二+nx有兩個極值點司,々，滿足；4西<、2.

⑴求”的取值范圍；

⑵判斷并證明函數(shù)/(X)的對稱性；

(3)若/(玉)+質(zhì)2>°恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

參考答案

題號12345678910

答案BCCACCCBADBCD

題號111213

答案AC1)ABDABI)

1.B

【詳解】試題分析：因為y=/(x),y=,—2x-3|的圖像都關(guān)于x=l對稱，所以它們圖像的交點也關(guān)

于x=l對稱，當(dāng)〃?為偶數(shù)時，其和為2x?=’〃；當(dāng)m為奇數(shù)時，其和為2X2=+1=/〃，因此選B.

22

【考點】函數(shù)圖像的對稱性

【名師點睛】如果函數(shù)/(X),VXGD,滿足Wxe。，恒有/(a+x)=/(6-x),那么函數(shù)的圖象有對

稱軸“4?：如果函數(shù)/(幻，VXGD,滿足Txw。，恒有/(。7)=-/S+x),那么函數(shù)/⑴的

圖象有對稱中心(等,0).

2.C

【詳解】試題分析：設(shè)(XJ)是函數(shù)y=/(x)的圖像上任意一點，它關(guān)于直線y=-x對稱為

(一H-X),由已知(一乂一盯在函數(shù)y=2"°的圖像上，，r=2-K,

解得y=Tog2(—x)+a，即/(x)=Tog2(T)+4,

???/(—2)+/(-4)=-10&2+。-1。&4+。=1,解得〃=2,故選C.

考點：函數(shù)求解析式及求值

3.C

【詳解】由題意知，/(2-x)=ln(2-x)+h】x=/(x),所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，故C正確,

D錯誤:又/G)=ln[x(2—x)](0<x<2),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(0在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)

上單調(diào)遞減，所以A,B錯誤，故選C.

【名師點睛】如果函數(shù)/(x),VxeD,滿足WxwQ,恒有+=那么函數(shù)的圖

象有對稱軸x=字；如果函數(shù)/。)，VXGD,滿足力恒有/("》)=-/3+x),那么

2

函數(shù)/(X)的圖象有對稱中心(竽,0).

4.A

【分析】先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)》e(0/)時，/(Jx)+/(x)=-l，最后應(yīng)用分組求和即可.

TY*

［詳解］當(dāng)xw(O,l)時，］_x<0,【)，—<0,/(x)=ln—+x-I,

x-11-x

-x,ii%ii(ITx1ii

所以/(l-x)+/(x)=ln——+l-x-l+ln---+x-l=In----------1=-l,

X\-xVXl-x;

2023'2023］

則Z/

<2024)

i=l2024

2023fJ1(2023］］二2023

［2024)［1024~Y

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得/(1-戈)+/(工)=-1,從而得解.

5.C

【分析】根據(jù)/(力的對稱軸和對稱中心，結(jié)合函數(shù)的圖象即可判斷/(X)的零點個數(shù).

【詳解】因為函數(shù)/(x+1)是R上的偶函數(shù)，所以/(-x+l)=/(x+l),

所以/(M關(guān)于直線x=l對稱,

因為/(X+2)+/(27)=0,尸2時/(4)=-/(0),

由/(x+2)+/(2r)=0,當(dāng)工=0時,/(2)+/(2)=0,故"2)=0,

又“X)關(guān)于直線x=l對稱，所以/(0)=0,/(-2)=/(4)=-/(0)=0,

由對稱性可得/(X)在［-3,3］上的大致圖象如下圖所示，

則/(x)在區(qū)間［-3,3］的零點個數(shù)為9.

故選：C.

6.C

【分析】令g(x)=49,求導(dǎo)，得到g(x)在(L+8)上單調(diào)遞增,且g⑵=0,由/(l-x)+/(l+x)=0

得到g(l-x)=g(l+x),得到g(x)的對稱性,故g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，且g(0)=g(2)=0,得

到當(dāng)x<0時，g(x)>0,則/(x)<0,當(dāng)1cx<2時，g(x)<0,則/(x)<0,求出〃x)<Q成立的x

的取值范圍.

【詳解】令g(x)=警，則g'(x)=/(力)

因為X>1時，(x-l)/(x)-/|x)>0,故當(dāng)x>l時,g")>0,

故g(x)在(L+oo)上單調(diào)遞增，且g⑵=/(2)=0.

因為/(l-x)+/(l+x)=O,Jt(l-x-l)g(l-x)+(l+x-l)g(l+x)=O,

即-x.g(l-x)+x.g(l+x)=O,所以g(l-x)=g(l+x),

故g(x)關(guān)于直線X=1對稱,故g(x)在上單調(diào)遞減，且g(O)=g⑵=0,

當(dāng)x<0時，g(x)〉0,則/(x)<0：

當(dāng)I<xv2時，g(x)<0,則/(x)<。；

所以使得/3<()成立的x的取值范圍是(f,0)U(l,2).

故選：C.

7.C

【分析】對于A,由G(x)為奇函數(shù)，則G(-x)=-G(x),再將G(x)=/(2+3x)-l代入化簡可求出對

稱中心；對于B,由選項A可得/(2)=1,再由/(外為偶函數(shù)可得/(1+幻-/(1-x)=2x,令x=l可

求出/(())；對于C,由/(X)的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，結(jié)合=求出/(4)進(jìn)行判斷；對于D,利

用賦值法求解判斷.

【詳解】對于A,因為G(x)=/(2+3x)-l為奇函數(shù)，

所以G(—x)=-G(x),HP/(2-3x)-1=4/(2+3x)-1],

所以/(2—3x)+〃2+3x)=2,所以/(2r)+/(2+x)=2,

所以函數(shù)/("的圖象關(guān)于點(2』)對稱，所以A正確，

對于B,在〃2-幻+〃2+幻=2中,令x=0,得2/(2)=2,得/⑵=1,

因為函數(shù)/(》)=/(1+》)-(1+》)為偶函數(shù)，所以/(-x)=2x),

所以/(17)-(1-X)=/(1+X)—(1+X),

所以/(l+x)—/(l—x)=2x,

令x=l,則/(2)-/(0)=2,所以1—/(0)=2,得/(0)=-1,所以B正確，

對于C,因為函數(shù)/(力的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，〃0)=-1,

所以〃4)=3,所以八0)工3(4),

所以4不是/(工)的周期，所以C錯誤，

對于D,在/(2-x)+/(2+x)=2中令x=l,則/⑴+/(3)=2,

令x=2,則/(0)+/(4)=2,因為/(0)=-1,所以/(4)=3,

因為"2)=1,所以/⑴+/⑵+/⑶+/(4)=6,所以D正確,

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，解題的關(guān)鍵是由已知條件化簡

后利用賦值法分析判斷，考查計算能力，屬于較難題.

8.B

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱求出明再由必要不充分條件的定義判斷可得答案.

【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,

貝I」/(r)=_\+ac-x'Sinv=/G)=sinr?

可得〃2一/=1-/小，所以/=1,可得。=±1,

當(dāng)”=1時，f(x)=-—―sinx?

-v7l+er

因為定義域為xwR,=—?sim-=1-e-sinx-=f(v),

'l+b1+e

所以/(“是偶函數(shù)，圖象關(guān)于N軸對稱,

當(dāng)q=_］時，f(x)=-y-sinv?

定義域為｛X|XH。｝，定義域關(guān)于原點對稱,

是偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對稱,

綜上所述，若函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于)，軸對稱，則。=±1；

又當(dāng)〃=1時，f(x)=U?sinx,/(X)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對稱,

1+e*

則“函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱”是“。=1”的必要不充分條件.

故選:B.

9.AD

【分析】由奇函數(shù)可得/(。)=0,再根據(jù)函數(shù)的周期性與對稱性分別判斷.

【詳解】由函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，則/(。)=0,A選項正確：

又/(x)=/(2—x),即/(x+l)=/(l—x),則函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=l對稱，B選項錯誤;

由/(x)=/(2-x)可知/(2-x)=/(4+x),

即/(x)=/(4+x),函數(shù)/(x)的一個周期為4,C選項錯誤,D選項正確；

故選：AD.

10.BCD

【分析】對于A,令x=-l,y=0即可；對于BC,令y=。得/(x+l)=/(x)+3,通過遞推計算即可;

對于D,令y=-4-x,得/(.x)+/(-4-x)=-10即可判斷函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(-2,-5)口心對稱.

【詳解】對于A,令x=7/=0,?/(O)=/(-l)+/(O)+2,解得=故A錯誤;

對于B,令產(chǎn)。，貝l」/(x+l)=/(x)+/(0)+2,且/(0)=1,即/'(x+l)=/(x)+3可知函數(shù)/(、)無

最小值，故B正確；

對于C,由B知，/(x+l)=/(x)+3,

所以/⑴=/(0)+3=4+0,/⑵=八1)+3=4+3,/⑶=/(2)+3=4+6,

/(4)=/(3)+3=4+9,…則

a30x29

Z/(/)=/(1)+/(2)+/(3)+…+/(30)=30x4+——x3=1425,故C正確；

/-I2

對于D,令y=-4-x,則原式化為/(-3)=/(x)+/(-4—x)+2,

令x=—34=3,所以/(1)=/(-3)+/(3)+2,即〃-3)=-8,

所以/")+/(-4-工)=/(-3)-2=-1(),所以函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(-2,-5)中心對稱，故D正確.

故選：BCD.

11.ACD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性，結(jié)合選項分析得出結(jié)論.

【詳解】對于A,由函數(shù)y=/(x-2)的圖象關(guān)干直線x=2對稱，

得V=/(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱，則/")是偶函數(shù)，故A正確：

對于B,對任意的實數(shù)為，￡€(-2,0),且王工馬，國一工2)[/(西)-/(/)]<°，

則/(x)在區(qū)間(TO)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0/)上單調(diào)遞增，又0<cosl<sinl<l,

所以/(cosl)</(sinl),故B錯誤；

對于C,因為/(xT)=—/(x+1),所以/(x+2)=—/(x),

則/(x+4)=—/(x+2)=/(x),所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，又/(12)=0,

故/(0)=0,/(2024)=0.結(jié)合/(X)是偶函數(shù)，可得/(X+2)=_/(T),

所以函數(shù)J=/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，故/(1)=0.又〃口)的周期為4,

所以/(x)的圖象關(guān)于點(-30)稱,

/(2025)=/(1)=0,故CD正確.

故選：ACD.

12.ABD

【分析】對A：借助奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可得：對B：借助A中所得，結(jié)合賦值法令x=0,借助偶

函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法令x=-l代入計算即可得；對C：由對稱性及/(0)的值可得〃4)的值，即

可得解：對D：借助賦值法令x=l代入計算即可得.

【詳解】對A：由函數(shù)G(x)=/(2+3x)—1為奇函數(shù)，故/?(2+3、)-1二一/(2-3x)+1,

BP/(2+3x)+/(2-3x)=2,即/(2+x)+/(2-x)=2,

故函數(shù)/(x)的一個對稱中心為(2,1),故A正確；

對B：由/(2+x)+/(2-x)=2,令x=0,則/⑵+/⑵=2,即/⑵=1,

由函數(shù)產(chǎn)(力=/(1+力-(1+'為偶函數(shù),故/(l+x)-(l+x)=/(l-x)-(l-x),

即/(l+x)=/(l—x)+2x,令“-I,則/(0)=〃2)-2=1-2r故B正確；

對C：由函數(shù)/(x)的一個對稱中心為(2,1),/(0)=-1,則/'(4)=3,

即/(。)//(4),故函數(shù)/(x)不以的4為周期，故C錯誤；

對D：由/(2+x)+/(2—x)=2,令工=1,有/(3)+/(1)=2,

由/(0)=-1,〃4)=3,故/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=6,故D正確.

故選：ABD.

【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：

(1)關(guān)于對稱：若函數(shù)/(X)關(guān)于直線x軸對稱，則/(》)=/(2CLx),若函數(shù)/(》)關(guān)于點中

心對稱，則/⑶=2b-八2。一刈,反之也成立；

(2)關(guān)于周期：若/(x+〃)=-/(x),或/@+。)=7二，或/(x+4)=-Jx，可知函數(shù)/。)的周

/(x)f(x)

期為2/

13.ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)極值，單調(diào)性，零點，與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，以及函數(shù)對稱性，列出等式，分別判

斷各選項的正誤.

【詳解】已知函數(shù)/a)=d+/+c、+d在(-8,0］上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函數(shù)，所以在工=0取

得極大值,則/'(0)=0,

由/耳x)=3/+2bx+c,得/'(o)=c=o,所以A正確.

方程/(力二。有一個根是2,則/(2)=0,得/(2)=8+4方+4=0,

由函數(shù)對稱中心是(2,0),可得/⑴=-/(3),

代入得l+b+d=—(27+9b+d),化簡得5力+4+14=0.

8+46+d=0[6=—6,

聯(lián)立./“八，解得〈，匕，則/x=/_6/+]6,

56+4+14=0[4=16''

求導(dǎo)得/'(力=3--12%，令/'(x)=3/_12x=0,解得“0或4,

可知函數(shù)在(一*0),(4,+8)單調(diào)遞增，在(0,4)上單調(diào)遞減，所以在x=4處取得極小值，

貝IJ7(4)=43—6x42+16=16,所以B錯誤.

已知/(》)=/+加+”,可得//)=3/+%1,因為/⑴在[0,2]上是減函數(shù)，所以八2廳0,

即12+4640,解得64-3.

由/(2)=8+4/>+d=0,得〃=-4/)—8,則/(l)=l+6+d=-36-7,

由3,可得一3b-722,所以/⑴22,所以C正確.

因為方程/(x)=0有3個實數(shù)根所以設(shè)/&)=&-。)"-6)6-2)=1-(。+//+2)尸-2泗，

a+^=-b-2

a-\-P+2=-h

所以，得

2ap=-d印=_:

由(4一a)2=M+a)2+4夕a得(口一口-=(〃+2/+2d=Z?一皿一口=(力-2)2—16,

因為64-3,所以@-2)2-1629,所以|。一功之3,所以D正確.

故選：ACD.

14.①②⑤

【分析】由已知條件得到函數(shù)周期性判斷命題①，結(jié)合周期性和對稱性確定對稱軸判斷命題②；由已

知單調(diào)區(qū)間，結(jié)合周期性和對稱性判斷命題③@:由周期性判斷命題⑤.

【詳解】/(X)定義域為(―8,y),滿足/(x+2)=/(x),則/(用是周期函數(shù)，周期為2,命題①正確;

偶函數(shù)/'(X)滿足/(x+2)=/(x)=/(r),所以/(X)圖象關(guān)于x=l對稱，命題②正確；

/(X)為偶函數(shù)，在上是增函數(shù),則在［0』上是減函數(shù),命題③錯誤;

/(X)在卜1,0］上是增函數(shù),且/(幻周期為2,則/㈤在［1,2］上為增函數(shù),命題④錯誤；

/(X)周期為2,有〃2)=/(0),命題⑤正確.

故答案為：①②⑤

15.-24

【分析】根據(jù)/")+g(2—x)=5,g(x)—/(x-4)=7得到=根據(jù)歹=g(x)的圖象關(guān)于直

線x=2對稱得到g(2-x)=g(2+x),然后通過替換得到/(x)為周期為4的周期函數(shù)，最后通過賦

值和周期性求函數(shù)值即可.

【詳解】由/(x)+g(2—x)=5得/(2—x)+g(x)=5,

由g(x)—)=7得〃2T)+/(X-4)=-2,

令x=3得=

因為V=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以g(2-x)=g(2+x),

由/(x)+g(2-x)=5得/(x)+g(2+x)=5,

由g(x)-/"-4)=7得g(2+z)-/(x-2)=7,

則/(X)+/(X-2)=-2,/(X-2)+/(X-4)=-2,

所以〃x)=/(x—4),/(x)為周期為4的周期函數(shù)，/(-1)=/(3)=-1,

在/(x)+g(2r)=5中,令％=0得/(0)+g(2)=5,則/(0)=/(4)=1,

在/(x)+/(x—2)=—2中,令*=2得/(2)+/'(0)=-2,貝iJ/(2)=—3,

令x=3得/⑶+/⑴=-2,貝”⑴二一1,/⑴+/(2)+/(3)+〃4)二一4,

￡/(/r)=/(l)+/(2)+5x(-4)=-24.

八1

故答案為：-24.

16.⑴(1,。)

(2)證明見解析

⑶答案見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，化簡得到〃x)+/(2-x)=2a,即可得到曲線y=/(x)的對稱性；

(2)求得/”("=+求得/，(1)=三亞J結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程為

2-*Ina

丁=彳也丫一1_,即可得證；

InaIn。

(3)根據(jù)題意，求分。>1和兩種情況討論，結(jié)合引理，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解:由函數(shù)/([)=睢/Toga(2-力+",

x>0....

則滿足'八，解得0<工<2,所以函數(shù)〃x)的定義域為(0,2),

2-x>U

S^jf(x)+f(2-x)=\ogax-loga(2-x)+ox+\oga(2-x)-\ogax+a[2-x)=2a

所以曲線y=/(x)的對稱中心為(1,。).

(2)證明：由函數(shù)/(x)=l0glix-log0(2T)+ax,可得/'(、)=*g++%

則/，⑴=孚吧，所以曲線y=/(x)在對稱中心處的切線方程為歹=乎吧>

\na\na\na

因為。>0且awl,J-HO,所以曲線y=/(x)在對稱中心處的切線不過坐標(biāo)原點.

ina

1(11\

(3)解：當(dāng)時，/'")=「一+：；—+。>0,此時/(X)在(0,2)上單調(diào)遞增；

Ina\.r2-xJ

、111、(-a\na)x2+2(a\na)x+2

當(dāng)0<a<l時，rX=-——++4=1——5--―1—

Ina[x2-x)x(2-x)na

當(dāng)0cx<1時，一2Vxinx<0.

設(shè)g(x)=xlnx,0<x<l,所以g[x)=lin+l,令g[x)=0,可得x=L,

e

所以g(x)在(o《)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

因為當(dāng)x70時，xlnx->0,g(l)=O,g(；)=-g，所以一2〈一:<Hnx<0,

由y={-a\na)x2+2(alna)x+2,可看成關(guān)于變量x的二次函數(shù)，

該二次函數(shù)的判別式為△=4(Hna1+8alna=4alna(alna+2)，

由引理可知，一2<alnav0,所以△<(),(-alna)x2+2(<zln(zjx+2>0,

因為0<avl時，lna<0,所以/'(x)<0,此時/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)時，/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<”1時，/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減.

17.(1)^=2

⑵存在，a=2,b=-

2

(3)c<3

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得進(jìn)而可求切線方程；

(2)存在。=2,6=滿足題意，計算可得g(-x-l)=g(K)；

I、x+I,9r2'+1<9r2

(3)當(dāng)x<0時，由題意可得)恒成立,令g(力c,求得最大值，再證明

XX

且x>0時，/(X)NC|M恒成立即可.

【詳解】⑴/'(x)=e"，2h,尸(一1)=1-2片，/(—1)=1+左，

切線方程為k。+")=。-2碩x+1),代入(0,0)得左=2；

(2)存在。=2,〃=滿足題意，證明如下：

g(x)=e*+,+e-x+2x(x+l),g(-x-l)=e-x+eK+,+2(-x-l)(-x)=g(x),

故函數(shù)g(x)關(guān)于直線工=-；對稱；

(3)當(dāng)x<0時，。川+2』2-％恒成立，即4—c恒成立,

x

人(、ex+,+2.r2加，/、(x-l)er>,+2x2

令g(x)二——;----則g[x)=^~J-------，

X

令/?(x)=(x-1)ex+,+2x2,則“(x)=x(et+,+4)<0,

故〃(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，注意到1)=0,

所以xc(7o,-l)時，A(x)>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

xw(-l,0)時,A(x)<0,g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

故g(x)max=g(T)=-3,故一3M—C,得。43：

下證c43且x>0時，/(x)“W恒成立，

即證。川+2.525恒成立，只需證23x恒成立，

構(gòu)造函數(shù)P(x)=ev+,-x-2,則p[x)=ex+,-l,

X€(-00,-1),p(x)<0,p(x)單調(diào)遞減，xe(T,+oo),p(x)>0,p(x)單調(diào)遞增,

故p(x)Zp(-l)=0,所以e*+七x+2.

所以€川+2——31之工+2+2『-3k=2x一一+->0,證畢；

I2)2

綜上所述，。的取值范圍為c?3.

18.(1)證明見解析

(2)(0,1]

(3)證明見解析

【分析】(1)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，通過對/(幻+/(-2-x)進(jìn)行化簡，結(jié)合。為奇數(shù)這一條件，判斷函

數(shù)/(幻的對稱性.

(2)對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析函數(shù)的最值情況，從而確定滿

足(1+x)a41+外時。的取值范圍.

n—

(3)利用已知不等式(1+》『勺+以('>-1,()<：。41)對(『^)"進(jìn)行放縮，然后通過裂項相消法對

J2+P?~

數(shù)列求和，進(jìn)而證明不等式.

【詳解】(I)由題得/("+/(-2-耳=(1+工)。+(1-2-幻。=(1+幻。+(-1一；0。.

因為。為奇數(shù)，

所以(l+x)"+(—l—x『=(l+x)a—(l+x『=0.

BP/(x)+/(-2-x)=0.

所以/(文)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱.

(2)令g(x)=/(x)-(l+ax)=(l+x)"-ax-l,xe(-l,+8).

則g'(x)=H(l+x嚴(yán)一1].

①當(dāng)。=1時，顯然有(l+x)°=l+ax.

所以(1+x)。K1+ar成立；

②當(dāng)〃>1時，

當(dāng)一1<.》<0時?，因為(1+X『T〈(1+X)0=1,

所以g'(x)<0，

即g(x)在區(qū)間(TO)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)-l<x<0時,g(x)>g(O)=O.

即(1+x)"+

所以(1+爐>1+G，不滿足題意：

③當(dāng)0<a<1時,

當(dāng)-1<X<O時，因為(1+X『T>(1+X)°=1,

所以g'(x)>0,

即g(x)在區(qū)間(TO)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x=O時，(l+O)a-'-l=O,即g'(o)=o.

當(dāng)x>0時，因為(1+x)-<(l+x)°=l,

所以g'(x)<0,即g(x)在區(qū)間(0,+<句上單調(diào)遞減,

所以g(x)的最大值為g(O)=O.

所以g(x)?g(O)=O,KP(l+xr-(l+av)<0.

所以（l+x）"l+aj符合題意.

綜上，。的取值范圍為（0』.

(3)由(2)可知，當(dāng)0<aWl時，(l+x)a<l+aA(x>-l).

當(dāng)〃“時,因為,方i打I訴〃+局1—（〃^-而1）不1一1麗而1

7曰I1

<—FWIH---------

4n2A(A-1)2k(k+\)

3111

=〃+—3+-12W----1-------1--〃+—+----------

42°k(k+42|_2?(/7+1)

〃+1—

2〃(〃+I)

32

19.(1)--<a<-2

(2)有對稱中心(1,。)，無對稱軸，證明見解析

(3)k>2

【分析】(1)由條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)/'(x)在區(qū)間(0,2)上有2個變號零點，且滿足;4.0<巧，轉(zhuǎn)化為y=

與8(、)=下一；的圖象的交點問題，即可求解；

x(2-x)

(2)首先并計算/(2-。)，并結(jié)合函數(shù)對稱性的關(guān)系式，即可判斷；

(3)法一：首先根據(jù)對稱性可知內(nèi)+占=2,再找到不等式恒成立的必要條件，再證明充分性；法二:

2x2x

利用對稱性，根據(jù)不等式恒成立，參變分離為,人。K，再構(gòu)造函數(shù)一一2二三一乙匚

2-x2-x

再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g")的最大值，即可求解.

【詳解】(1)由題意知：x40,2)

12

一+。=下—有兩個變號零點;

2-xx(2-x)

2，、/、

令g(x)=二亍，在(0/)上遞減，。,2)上遞增：

g，g(l)=2

又冷…得29年即-32

-<a<-2-

7

(2)V.VG(O,2),則對稱性有關(guān)的橫坐標(biāo)：x=l,且/⑴=〃,

又？/(x)=lnar，//(2x)=ln<ag-xg),

2-X>

和/(x)+/(2T)=ln—^―----F2a=2a

2-Xx

故/(x)有對稱中心(1M),無對稱軸;

(3)法一:

2

有內(nèi)+工2=2,4=一,2<1,

*(2-須)

故有/($)+去2=hl廣—+亦|+履2=111盧一2\k@一/)X,

LA,|2?A*|2X]

當(dāng)Xf1時，〃(x)=k—220,故AN2.

卜證充分性:

有/(陽)+依2NIn玉2+2(2—內(nèi))*e

2一再2—內(nèi)

2

令"(x)=lnr-ln(2-x)-■+2(2-xe

2-xI)

2(-.?-4.r2-6.r+2)

貝1J/V(%)=」■十12

2^7(27)22(2r)2

令9(x)=-d-4/-6x+2,有(pf(x)=-3x2-8x-6<0,

故。'(x)在(；/

—,1上遞減，，>0,

4

故存在使得。(%)=0,故Mx)在(；,%)上遞增，在(%,1)上遞減.

137

又確=0,哈卜-37+三＞0,故人(外＞0恒成立,

X2

若k<2有/'?)+仇<In+2(2F立

2-X12-x

]34

由。3＞3)=0,故存在玉＜1,使得/(%)+仇＜0,故"＜2不合題意.

綜上，若/(菁)+4＞0恒成立，則實數(shù)a2.

法二:

21

有*+"2,。=-^^,廣西<1,

2

故有/(*)+生=ln+g+kx=In+k。-內(nèi))x,G

2-司22-X|2—X]3

x

參變分離得2=丫7“2「

2-x

2山xCIX”X,/

令g(x)=，有g(shù)，2x\n------Tin------6x+4

2r"2—Xw2-x2-x

N-Xx4—6x3+12x2—S.v

其中x4-6.v3+12x2-Sx=x(x3-6x2+12x-8),令h(x)=xy-6x2+12x-8,

有=3x2-12x+12>0在xw上成立，故〃(》)在?1上遞增,

又/7（l）＜0,故。（力＜0,/—6犬+12./-8、＜0,

令Q（X）=2xln^——x2ln-^——6x+4,

有Q'（x）=21n^—2xlnx-4=2（l-x）nj^—4,

2-x

六＜。且單調(diào)遞增,

在上，2—x＞0且單調(diào)遞減，In

故”(x)在(；』)上單調(diào)遞增，又。'⑴=-4＜0,故“3＜0,

IQZ

Lil上單調(diào)遞減,

>0.

故存在與￡

故g(x)在上遞減，在(％,1)上遞增,

又g（l）=2,g（；）

<2,故心2.

函數(shù)的零點重點考點專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.“心-2”是“函數(shù)/(力=奴+3在區(qū)間［-1,2］上存在零點”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.若是方程的根，則屬于區(qū)間()

(21(\2、

(3)123J

c

-IriJ。.叼

3.函數(shù)/(X)=0.3'-4的零點所在區(qū)間是()

A.(0,0.3)B.(0.3,0.5)C.(0.5,1)D.(1,2)

4.已知函數(shù)/(》)=＜：：圈若函數(shù)g*)=/(x)-收-2N伏eR)恰有4個零點，則〃的取值范用

是()

A.58,一;U(2\/2,-KO)B.ClJ(0,2揚(yáng)

C.(-00,0)U(0,272)D.(YO,0)U(2j2,+oo)

5.已知當(dāng)xe［01］時，函數(shù)少=(〃a-1)2的圖象與y=?+M的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)

m的取值范圍是

A.(0,l]u[2x/3,+oo)B.(0』]“3,-8)

C.(0,V2]u[2x/3,+oo)D.(0,V2]u[3,+oc)

6.定義在(。,+8)上的函數(shù)滿足上)=_/3，/m=-/(2力,當(dāng)xe[l,2]時，

/(x)=(x-l)(.r-2),則函數(shù)J，=/(X)+：在區(qū)間[1,100]內(nèi)的零點個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

cosi27rx-Ina).x<a

7.設(shè)函數(shù)/(X)=2'I、2V、，若/(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有6個零點，則a

x-2(a+\)x+a-+5,x>a

的取值范鬧是()

8.已知函數(shù)y=/(x)滿足〃x+2)=/(x—2)且/(4-x)=/(x),當(dāng)xw[0,2]時,

25}

u

則函數(shù)F3=/（X）-11gX|在區(qū)間（0,10］上的零點個數(shù)為（)

1

x+一,

X

A.0B.1C.5D.10

二、多選題

9.已知函數(shù)/（%）=4詈2：1，°：，］，若方程，（力=左有四個不同的零點為，公，七，S且

x--6x+9,x>2

再<與<用<與，則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<%<1

e”_［Y>Q

10.已知函數(shù)/（力=,二一八，則（）

J-+2x,x<0

A.直線卜=；與/（力的圖象有四個交點

B./（力有兩個零點

C.直線y=h與/（X）的圖象至多有兩個交點

D.存在兩點（。8）,（-2-q力）（4>0力>0）同時在/（X）的圖象上

U.已知函數(shù)/（加：2：：「；：：，下列有關(guān)方程/（上的<。）的實數(shù)解個數(shù)說法正確的是

A.當(dāng)實數(shù)解的個數(shù)為1時，〃<-4B.當(dāng)實數(shù)解的個數(shù)為2時、-3<A<0

C.當(dāng)實數(shù)解的個數(shù)為3時，-4<k<-3D.當(dāng)實數(shù)解的個數(shù)為3時，，-4<^<-3

12.（多選）已知函數(shù)/（"為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且/（/（工）-2'-2'）=10.若函數(shù)

/、f(x)-2x-ax<0,

g3=1I/y1有3個零點，則。的取值可能為：)

710

A.2B.-C.3D.—

33

三、填空題

13.已知2WR,函數(shù)小:尸產(chǎn)1廣當(dāng)2=2時，不等式./)<0的解集是___________.若函數(shù)

x-4.v+3,x<Z

式外恰有2個零點，則2的取值范圍是.

14.若函數(shù)/(x)=242-亦-|如-2|+1恰有一個零點,則。的取值范圍為.

15.已知函數(shù)/(x)=?：+4x+"j,0,則函數(shù)y=/(/(x))+l有_________個零點

log,x