遼寧省縣域重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列角中，與-2050。終邊相問的角是（）

A.-210°B.110°C.150°D.210°

2.A為鈍角是A為第二象限角的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量人5滿足問=2應(yīng)，②=135。，則￡在讓的投影的數(shù)量為（）

A.-4B.-2C.-1D.2

4.為得到函數(shù)y=tan（3x+3）的圖象，只需將函數(shù)y=tan3x的圖象（）

A.向左平移1個(gè)單位B.向左平移3個(gè)單位

C.向右平移1個(gè)單位D.向右平移3個(gè)單位

5.已知sina+3cos〃=1,cosa-3sin/?=2,則sin（a-/?）=（）

2253

A.——B.-C.——D.-

3366

6.受魯洛克斯三角形的啟發(fā)，我們可以得到?jīng)]有尖點(diǎn)的圓弧圖形.如圖，已知V48c的所有

邊長均為。，把V48。的各邊分別向兩個(gè)方向延伸長度為6的一段，然后以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心

分別畫圓弧，使得三個(gè)內(nèi)侑所對(duì)的圓弧的半徑均為內(nèi)角的對(duì)頂角所對(duì)的圓弧的半徑

均為b,由這樣的六條圓弧組成圓弧六邊形.已知該圓弧六邊形的面積為137t-8百，周長為

A.2B.-C.-D.3

23

試卷第1頁，共4頁

—1

7.已知向量a=(2siriY,/〃)，b=sin,-1，若存在實(shí)數(shù)x，使得人=5,則〃，的取

值范圍是()

A.[-1,0]B.[-2,-1]C.[T2]D.[-2,0]

8.設(shè)a=sin3.1,b=-tan3,c=兀-3,則()

B.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

二、多選題

9.對(duì)于平面向量B,下列說法正確的是)

A.若a_LB,則a.B=0

B.若[石＞0，則￡，B的夾角為銳角

C.若，B=(l,2j2cos。)，%,月可能垂直

IN

D.若+-5)=片一加，則卜卜忖

10.已知sin2a>2tana,則。可能是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

II.如圖，在直角梯形4，。。中，AB//CD,AB1AD,AB=2CD=2,4D=B動(dòng)點(diǎn)尸

從頂點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在梯形的邊上沿著4Cf。的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

。處則停止，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X秒時(shí)，令/(x)二無?尸方，貝IJ()

A./(力的定義域?yàn)锧5]B./⑴=2

C.的最大值為5D./(x)有5個(gè)單調(diào)區(qū)間

三、填空題

12.已知知a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-1,2),將角a的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到角夕的

試卷第2頁，共4頁

終邊，則tan尸的值為.

13.在現(xiàn)代社會(huì)中，信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).

若某種信號(hào)波函數(shù)為/(”=sin3x+sin6x+sin8x,則/(x)的最小正周期為.

14.在V/l8c中，力8=3五，4C=6,分別為V/18c的重心和外接圓圓心，則同|砌

的最小值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=2cosj

⑴根據(jù)五點(diǎn)作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中作出/(X)在［0,2句上的圖

⑵若函數(shù)y=〃x+o)(F<0<o)為奇函數(shù)，求e的值及y=/(%+。)的對(duì)稱軸方程.

16.設(shè)％>0,已知向量1=(3,T),^=(2,1),且僅+可?1(【町.

⑴求九的值：

(2)求COS,L5M).

17.已知sinasin/H。，且sin(o-夕)=2sinasin/?,證明：

11.

(1)----------=2；

tan夕tana

(2)cos(<z+y?)=\/2cosl-+a-pI.

試卷第3頁，共4頁

《遼寧省縣域重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BABACDDCACDBD

題號(hào)11

答案AC

1.B

【分析】終功相同的角相差360。的整數(shù)倍,所以要找到一個(gè)正數(shù)h使得-2OSO°+X6O°等

于選項(xiàng)中的某個(gè)角.

【詳解】H-2050°=-360°X6+110°,

所以與-2050。終邊相同的角是110。.

故選：B.

2.A

【分析】利用推出來判斷是否充分和必要條件，即可.

【詳解】若A為鈍角，則90。＜力＜180。，則A為第二象限角；

反之，若A為第二象限角，例如/=-210。，則A不為鈍角.

所以A為鈍角是A為第二象限角的充分不必要條件.

故選：A.

3.B

【分析】利用投影數(shù)量的定義來求解即可.

【詳解】由題得￡在石上的投影的數(shù)量為同3?酚=陣0035。=-孝向=-2.

故選：B

4.A

【分析】根據(jù)圖象平移變換的規(guī)則即可得解.

【詳解】將函數(shù)P=tan3x的圖象向左平移1個(gè)單位，

得到函數(shù)歹=tan3(x+l)的圖象，即尸tan(3x+3)的圖象.

故選：A

5.C

【分析】將兩式平方相加，再根據(jù)平方關(guān)系及兩角差的正弦公式計(jì)算即可.

【詳解】由sina+3cos/=1,得sin%+6sinacos夕+9cos/=1①，

答案第1頁，共11頁

由cosa-3sin/=2,得cos%-6cosasin尸+9sin/=4②,

①+②得10+6sin(a-p)=5,所以sin(a-/?)=-3.

6

故選：C.

6.D

【分析】根據(jù)扇形的面積公式及弧長公式列出方程計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得圓弧六邊形的面枳為：

5=3x-J-x—x(a+6)2+3x-X-x/)2-2x^-a2

23'，234

=￥(/+2ab+2/?2a2=13n—8x/5①，

圓弧六邊形的周長為：

71HPa+2b=6②,

聯(lián)立①(g),解.得a=4,b=l,所以。一萬=3.

故選：D

7.D

【分析】根據(jù)題意，得到用+；=2sinrsin(x+列有實(shí)數(shù)解，令/(x)=2sinxsinx+y,

化簡得到〃x)=-；-COS[2Y+?),結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得進(jìn)而求得

用的取值范圍.

【詳解】由。日>加，所以；

=2sinxsin=g6+=2sinrsin|x+—有實(shí)數(shù)解,

I3)

,2叫

令/(x)=2sin.rsinx+丁),

則/("=

因?yàn)橐?<cos(2r+g)41,所以一|?小)弓，所以一知,+；小

解得一2W/〃40.

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)當(dāng)ae(。,]時(shí)，sina<a<tana及誘導(dǎo)公式判斷即可.

【詳解】由三角函數(shù)線可得當(dāng)a時(shí)，sina<a<tana,

答案第2頁，共11頁

又〃=sin3.1=sin(n-3.1),

所以sin(兀一3.1)〈兀一3.1<;r-3<tan(兀-3)=—tan3,所以〃<c<b.

故選：C.

其中當(dāng)0<x<1時(shí)sinx<x<tanx的證明如下：

構(gòu)造單位圓G>。，如圖所示：

則4(1,0),設(shè)/尸=費(fèi)｝則?(cosx,sinx),

過點(diǎn)A作直線/IT垂直十式軸，交。?所在直線十點(diǎn)T,

由=tanx,得47=tanx,所以7(1,tanx),

OA

由圖可知S^OPA<S明形0尸》〈S.TOA,

gp-xlxsinx<-xl'xx<lxlxtanx,BPsinx<x<tan.r.

222

9.ACD

【分析】選項(xiàng)A,利用向量垂直的定義，數(shù)量積為0即可判定；選項(xiàng)B,數(shù)量積大于0時(shí)，

向量夾角的余弦值為正，但要注意夾角為0。時(shí)，不屬于銳角；選項(xiàng)C,通過計(jì)算數(shù)量積為()

時(shí)，是否有解，即可判斷；選項(xiàng)D,展開左邊的式子，得。2一廬=廬一］2,即27=2尸，可

得同=忖，選項(xiàng)D正確.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若［，九則75=0,故A項(xiàng)正確；

對(duì)丁B項(xiàng)，若H，則很的夾角為銳角或S，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，。石=:+2jlsin6tose=g"點(diǎn)in2。，令7B=0，則sin2〃=-正，顯然有解，

故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，伍+B)?伍-方)=/一廬=廬一笳，所以2藍(lán)=2片，所以同=W，故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

1().BD

答案第3頁，共11頁

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式及商數(shù)關(guān)系將sin2a〉2tana變形，再化簡得到——<0,

cosa

即可根據(jù)三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)判斷。所在的象限.

【詳解】因?yàn)閟in2a>2tana,即2sinacosa>外山。,

cosa

（1A

所以sina-cos。------>0,

\cosa;

/-2\.

口,，.sina八..,.sina八

即sina--------->0,所以------<0,

Icos?）cosa

所以a是第二象限角或第四象限角.

故選：BD.

11.AC

【分析】計(jì)算出點(diǎn)2所走的總路程，即可得到x的取值范圍，即可判斷A；以A為坐標(biāo)原點(diǎn),

AB,/I。所在直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形，可以得到xe[0,2],

（2,4],（4,5]不同區(qū)間的函數(shù)/（力的解析式及圖象，從而求出/⑴的值及/（力的值域，得

到/（力的單調(diào)區(qū)間，即正判斷B，C,D.

【詳解】由題意可得8C=2,所以點(diǎn)P所走的總路程為2+2+1=5,

所以xe[0,5],故A正確:

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,力。所在直.線分別為x,N軸,

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中乙48C=60。，

則4（0,0）,8（2,0）,C（1網(wǎng),0（0,①）,

設(shè)尸（加,〃），則無=（1-嘰6-〃），而=（-嘰6

所以尸C?尸￡>=一（1一旭）"+（-或J5=痛+n-m-2[~3n+2.

如圖所示：

答案第4頁，共11頁

即/(1)=3,故B錯(cuò)誤；

②當(dāng)xe(2,4］時(shí)，〃?=2-1；x-l=3-夕,/?=—(x-2)?

所以/(x)=(3_gx+jx-2/一(3-/)-36一2-3=xL1六+18c。,5)

③當(dāng)xc(4,5］時(shí)，/〃=5-x,〃=6，

所以/(X)=(5-X『-(5-X)=X2_9X+20W-/0.

綜上，可知/(》)￡-：,5,故C正確；

且/(力在區(qū)間0］上單調(diào)遞減，在區(qū)間(；,2上單調(diào)遞增，

在區(qū)間［(2,會(huì)91上單調(diào)遞減，在區(qū)間(［j9,51j上單調(diào)遞增，

共4個(gè)單調(diào)區(qū)間，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

12.--

3

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，得至hana=-2,結(jié)合兩角和的正切公式，即可求解.

【詳解】由角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-1,2),可得tana=-2,

又由將角。的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到角/?的終邊，

貝|Jtan/?=tan(?+45°)==一!.

1-tana1:—(—2R)3

故答案為：-g.

13.2兀

【分析】利用二角函數(shù)的周期性質(zhì)，米求周期即可.

答案第5頁，共11頁

【詳解】設(shè)函數(shù)乂=sin3x,y2=sin6x,yy=sin8x,

其最小正周期分別7；=g,7；=p最小公倍數(shù)是2兀，

所以/（x）的最小正周期為27c.

故答案為：27r

14.9

【分析】取8c的中點(diǎn)為。，把酢用血表示，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義表示出萬通,

再根據(jù)投影向量的定義及平面向量數(shù)量積的幾何意義即可求出萬?福的值，也就是

府H嗣的最小值.

【詳解】

如圖所示：取8c的中點(diǎn)為。，則而=；（17+配卜

所以肝=:而=；（方+硝，

所以"而二g（方+就）而=；（而而+就?而）

=；。祠?|詞cos（麗而）+\AC\?匹|cos（衣,而》

=麴珂+婀＞4可+阿卜9

所以W而以不?福=9,當(dāng)且僅當(dāng)萬，而共線同向時(shí)取等號(hào)（此時(shí)A為直角）.

故答案為：9

15.（1）表格見詳解，圖象見詳解

(2)^=,x=￥+k兀，teZ.

22

【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)填寫表格，再根據(jù)作圖的一般步驟，列表-描點(diǎn)-連

線,即可做出函數(shù)函數(shù)的圖象:

答案第6頁，共11頁

(2)先根據(jù)函數(shù)y=/(x+e)為奇函數(shù)求出。值，進(jìn)而得到y(tǒng)=/(x+e)的解析式，再根據(jù)

正弦的對(duì)稱軸方程求解即可.

【詳解】(1)列表如下：

n3兀

X071271

2~2

y20202

(2)因?yàn)?(x)=2cosx,所以/(x+e)=2cos(x+0),

令g(x)=2cos(x+s),

因?yàn)間(x)為奇函數(shù),所以g(0)=2cos夕=0,

所以8=5+E，

kEZ.

又因?yàn)橐回＃肌＃?,所以當(dāng)A=-l時(shí)，^=-p

所以g(x)=2cos2sinx,

所以g(x)的對(duì)稱軸方程為x=1+E，￡wZ,

即)，=/(x+0)的對(duì)稱軸方程為x-1+A兀，&GZ.

16.(1)2=1

(2)苧

【分析】(1)先求出Z+E及)-35的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直其數(shù)量積為0計(jì)算即可;

(2)當(dāng)4=1時(shí)，分別求出同，|。即|及(不-今不，再根據(jù)向量夾角的公式

答案第7頁，共11頁

cosl-b,a=］一求解即可.

8胴

【詳解】(1)由題得2+B=(3+40),=3在二(3-34-4)

因?yàn)镽+BM，—*),

所以羽)=0,

所以(3+尤)(3—34)=0,

解得4=-3或a=1,

又4>0,所以4=1.

(2)當(dāng)4=1時(shí)，^=(1,1),

所以萬—5=(3,(2,-2),

所以歸叫="2+(一21=2應(yīng),

(?-6)a=2x3+(-2)x(-l)=8,,

又因?yàn)?=(3,-1),所以同=次+(-1)2=癡，

8_2后

所以cosi?-〃,3=

\a-b\\a\~2>j2xyfi0~5

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由兩角差的正弦公式化簡得出sinacos/y-coscrsiM=2sinasiM，等式兩邊同

時(shí)除以sinasin/，化簡可得出結(jié)論成立；

(2)由已知條件得出sin(a-￡)=cos(a-￡)-cos(a+￡),即為

cos(a+^)=cos(a-/?)-sin(a-p),再結(jié)合兩角和的余弦公式可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)因?yàn)閟in(a-/)=2sinasin/?,所以sinacos/?-cosasin/7=2sinasin/?,

兩邊同時(shí)除以sinasin/，得出。一整q=2,BR—=2.

sinpsinatanptana

(2)因?yàn)閟in(a-[)=2sinasin/,所以sin(a-/?)=cos(a-/y)-cos(a+p),

所以cos(a+/)-cos(a—8)—sin(a-/?),

答案第8頁，共11頁

cos((7-/?)-^-sin(?-/7),

所以cos(a+/?)=

所以cos(a+〃)=gcos1：+a-〃.

18.(l)/(x)=2sin(2x+g)

⑵，)26

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)/("的圖象，求得/=2,且最小正周期7=兀，得到/(x)=2sin(2.x+#),

再由〃0)=2sine=6,求得8=。，即可得到/(力的解析式；

(2)由［/⑺丁+"(力+3=0中，令f=2x+^?且加=2sin/,轉(zhuǎn)化為〃??+而+3=0，得到

方程組，［2=［：：3=0的'值有且僅有四個(gè)，令g(機(jī))=/+4??+3,得到g(m)必有兩個(gè)相

異零點(diǎn)犯，町，作出直線,=嗎與V=〃?2和V=2sin//e三兀的圖象，結(jié)合圖象，列出不等

6

式組，即可求解.

【詳解】(1)解：由函數(shù)/'(X)的圖象，可得力=2,且最小正周期7=5x2=*

所以/=g=2,所以/(x)=2sin(2x+e),

又由/⑼=2sinQ二百，且點(diǎn)(0,⑹在“X)圖象的上升部分，且05〈兀，

所以9=三，所以/(x)=2sin(2x+m).

(2)解：在［/(戈)丁+2/(x)+3=0中，令z=2x+g,Am=2sinZ,則〃?？+而+3=0，

因?yàn)?7^,^?所以/￡冗?

123Jl_o

'TI1(m=2sin/,

當(dāng)zw》兀時(shí)，滿足方程組｛2,\c的/值有且僅有四個(gè)，

.6」［nr+Arn+3=0

口,剁「冗兀、田'系Trf71］LM

且函數(shù)y=2sim在上單倜遞增，在不冗上單調(diào)遞減，

l_62J12J

令g(〃?)="?+4〃?+3,可得g(m)必有兩個(gè)相異零點(diǎn)町，川2，

由直線丁=班與y=和y=2sin/,/G兀的圖象分別有兩個(gè)交點(diǎn)，

O

作出直線^=班與歹=嗎和y=2sin/,/e兀的圖象，如圖所示，

答案第9頁，共11頁

由圖象可得叫?1,2),牡?1,2),即