貴州省黔南州2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.已知集合.“=3-1<144}川=卜上一2>0},貝IJMDN=()

A.(-L4]B.(-1,4)C.(2,4)D.(2,4]

2.樣本數(shù)據(jù)2,3,6,8,9,10的中位數(shù)是()

A.6B.7C.8D.9

3.在V48C中，E為邊8C上的一點(diǎn)，且詬=3比，則族='：）

1—3—3—1—

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

4444

C.-~AB+-~ACD.+

88

4.從0?9這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則事件“這個(gè)數(shù)平方的個(gè)位上的數(shù)字是6”的概率為（）

5.已知圓臺(tái)上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線長為2,則圓臺(tái)的體積為（）

A.3&B.8晝C.迤^D.2氐

33

6.某校在校園科技節(jié)期間舉辦了"智能機(jī)器人挑戰(zhàn)賽”，為了解高一年級(jí)500名學(xué)生觀看比賽的情況，該校

學(xué)生會(huì)用隨機(jī)抽樣的方式抽取了一個(gè)容量為50的樣本進(jìn)行調(diào)查.并將數(shù)據(jù)整理后，列表如下:

觀看比賽場數(shù)01234567

觀看人數(shù)所占百分比7%18%15%ni%10%14%15%5%

從表中可以得出正確的結(jié)論為（）

A.估計(jì)觀看比賽場數(shù)的極差為6B.估計(jì)觀看比賽場數(shù)的眾數(shù)為2

C.估計(jì)觀看比賽不低于4場的學(xué)生約為200人D.估計(jì)觀看比賽不超過2場的學(xué)生概率為0.4

7.如圖，某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組為了測量河對岸的塔高46,選取與塔底8在同一平面的兩個(gè)測量基點(diǎn)。與

D.現(xiàn)測量得N4CQ=30o,N8QC=12（）o,CO=10m,在點(diǎn)。處測得塔頂力的仰角為60。，則塔高48=（）

A

黝

目

一

」

目

一

：

一

日

一

」

者

-2一

D

A.20mB.20>/3mC.30mD.30鬲

8.函數(shù)/(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4,[2.1]=2,則函數(shù)g*)=x-[x]的

值域?yàn)?)

A.[QI)B.(0,1]C.(-1,0)D.(-1,1]

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z=-l+2i（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）

A.|z|=>/5B.z的虛部是2

C.復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)為2=1+2D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

10.己知事件48滿足P⑷=01,P（B）=0.6,則下列說法正確的是（）

A.事件4與事件“可能為對立事件

B.若事件力與事件4相互獨(dú)立，則它們的對立事件也相互獨(dú)立

C.若事件力與事件4互斥，則尸（力=0=0.7

D.若事件4與事件8相互獨(dú)立，則P（48）=0.06

11.如圖，在棱長為2的正方體/6CO-44CQ中，."，N,P分別是嗎,DRCR的中點(diǎn)，。是側(cè)面4CG4

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）

A.，4,%RN四點(diǎn)共面

B.異面直線CA與4G所成的角為5

4

c.當(dāng)點(diǎn)。在線段4c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐4-80。的體積為定值

D.當(dāng)NQ=20時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為年

三、填空題

2

12.己知。為銳角，且COSO=A，則tan6=.

13.在一次猜燈謎活動(dòng)中，共有10道燈謎、甲、乙兩名同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了8道，乙同學(xué)猜對了

4道，假設(shè)猜對每道燈謎是等可能的.若任選一道燈謎，則恰有一人猜對的概率為.

14.在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，三棱柱48C-48G為一“塹

堵”，P是網(wǎng)的中點(diǎn)，AA}=AC=BC=4,則該“塹堵”的外接球的表面積為；在過點(diǎn)夕且與直線力G

平行的截面中，當(dāng)截面圖形為等腰梯形時(shí),該截面的面積為

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=lg(l+x)-lg(l-x).

⑴求函數(shù)〃x)的定義域M；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性,若欣)=2,求/(T)的值.

16.已知平面向量5=(l,2),B=(3M,1=(2,y),且.

⑴求B和0的坐標(biāo)；

(2)求向量2,與向量6+1的夾角的余弦值.

17.在V48C中，°=百，再從下面兩個(gè)條件中，選出一個(gè)作為已知條件，解答下面的問題.條件①:

csinA=-s/3tzcosC:條件②：(ci-b)2=c2-ab.

題號(hào)12345678910

答案DBABCDCAABBCD

題號(hào)11

答案ACD

1.D

根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】Mn^={x|-l<x<4}n{x|x-2>0}={x|-l<x<4}n{x|x>2}={x|2<x<4}=(2,4].

故選：D.

2.B

根據(jù)中位數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第3位數(shù)和第4位數(shù)的平均數(shù),

故選：B.

3.A

利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合線段的比例關(guān)系來推導(dǎo)次的表達(dá)式

________3__1__3__

【詳解】由圖形可知：AE=AB+BE=AB+-BC=-AB+-AC.

4.B

利用列舉法求解出古典概型的概率.

【詳解】從0?9這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，共有10種可能，其樣本空間可表示為

Q={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),

21

若一個(gè)數(shù)平方的個(gè)位上的數(shù)字是6,則該數(shù)是4或6,共2種情況，故所求概率為2=故B正確.

故選：B.

5.C

利用圓臺(tái)體積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)上、下底面的半徑分別為小仁，高為兒母線/=2,

則S|=叼2=n,S2=*=4兀，h=J/2_(弓一耳)2=J4-1=JJ,

所以P=L(￡+7^+S2)a=，x,+>/^^+47i)xVJ=2^.

故選:c.

6.D

A選項(xiàng)，利用極差的定義得到答案；B選項(xiàng)，先求出〃?=16,比較頻率得到眾數(shù)為1；C選項(xiàng)，求出觀看比

賽不低于4場的學(xué)生所占百分比，進(jìn)而求出學(xué)生約為220人：D選項(xiàng)，計(jì)算出觀看比賽不超過2場的學(xué)生

頻率，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，由表可知，估計(jì)觀看比賽場數(shù)的極差為7-0=7,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由頻率分布表的性質(zhì)，得〃?=100-7-18-15-10-14-15-5=16.

由表知，出現(xiàn)頻率最高的場數(shù)為1,所以眾數(shù)為1,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，因?yàn)橛^看比賽不低于4場的學(xué)生所占百分比為10%+14%+15%+5%=44%,

所以估計(jì)觀看比賽不低于4場的學(xué)生約為500x44%=220(人)，C錯(cuò)誤：

D選項(xiàng)，估計(jì)觀看比賽不超過2場的學(xué)生概率為7%+18%+15%=40%=0.4,D正確.

故選：D.

7.C

在也8。。中，由正弦定理求得8C=106,在RtZX/18。中，解直角三角形得解.

【詳解】在△BCO中，由三角形內(nèi)角和定理，

得CCBD=180°-ZBDC-ZBCD=180°-120°-30°=30°.

由正弦定理，得..0上,即一粽=一'，解得8C=10VL

sinZBDCsinZ.CBDsin120°sin30°

在Rt△4BC中，48=8Ctan600=10GxJJ=30,即塔高力8=30m.

故選：C.

8.A

根據(jù)取整函數(shù)的定義求函數(shù)的值域.

【詳解】設(shè)4其中〃=M，6為x的小數(shù)部分，則0<6<1,

則g(x)=x-[x]=Z>w[0/)，

所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋篬0,1).

故選：A

9.AB

對A,利用復(fù)數(shù)模公式求解；對B,根據(jù)復(fù)數(shù)虛部概念判斷；對C,根據(jù)共加狂數(shù)的定義判斷；對D,根據(jù)

復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.

【洋解】對于A,|N|=J(T)2+2;B故A正確；

對干B,更數(shù)z=-l+2i的虛部為2,故B正確；

對干C,亞數(shù)z=T+2i的共擾復(fù)數(shù)為三=-l-2i,故C錯(cuò)誤；

對于D,因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故

D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.BCD

利用事件的對立可對A判斷；由利用相互獨(dú)立事件的定義，可對B判斷；利用互斥事件的概棗公式，即可

對C判斷：利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可對D判斷.

【詳解】對于A,由時(shí)立事件的概率和為1,但P(m+P(8)=().7",故A錯(cuò)誤；

對于B,根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)可得事件A與事件8相互獨(dú)立，則它們的對立事件也相互獨(dú)立，故B正

確；

對于C,若事件A與事件8互斥，則P(/u8)=P(Z)+P(8)=0.7,故C正確；

對于D,根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，P(AB)=P(A)P(B)=Q.O6,故D正確.

故選：BCD.

11.ACD

對A，由題可得力用//OG，PNNDC、,得/4//PN得證；對B,連接力。,。。,力CIG，可得異面直線C。

與8G所成的角為N4AC，求解判斷；對C,由等體積法，可得以用。=%.修叱求解判斷；對D,由題可

得點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是在側(cè)面8CC4內(nèi)以CC的中點(diǎn)為圓心，半徑,?=2的圓弧萬疏，求解判斷.

【詳解】對于A,如圖1,在正方體中，易知4BJ/DG.

又P，N分別是CQ，QR的中點(diǎn)，則PN//DG，所以ABJ/PN,即44,P,N四點(diǎn)共面，故A正確；

對于B,如圖2,分別連接4A，CR"C,8G，由題意，易知BCJ1AD\,

則異面直線。。與8G所成的角為NX。。，易知AAOC為等邊三角形，故乙4QC=g,故B錯(cuò)誤；

對于C,如圖3,由等體積法，得乙r”=VQ_A\BD.

因?yàn)閝c〃4。，可得qc//平面44。，又點(diǎn)。在線段上運(yùn)動(dòng),

所以點(diǎn)。到平面的距離為定值.又%勖也為定值，

所以4-4班)為定值，即〃必為定值，

11|4

且J.BDQ=%.ABD=VC-A,BD=VA-BCD=T^BCD'AA\="X-X2X2X2=~?故C正確；

{DwZ4J

對于D,如圖4,取CG的中點(diǎn)O,易得ON_L平面8CGA，

當(dāng)20=2及時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是在側(cè)面BCG片內(nèi)以CG的中點(diǎn)。為圓心，半徑r=2的圓弧前己,

在RtVOG”中，由0H=2,CQ=1,可得NC0〃=W，同理，ZGOC=^,

jrIT27r

所以圓弧而花圓心角為。二工，所以點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為/=ar=}x2=/~,故D正確.

JJJ

根據(jù)sin28+cos*=l，且。為銳角，推出sin)=Jl—cos21，根據(jù)tan”當(dāng)即可求解.

cos。

【詳解】因?yàn)?。為銳角，且cosO=g,所以sine=JT^7=H=李，

立廠

故包吆=4=包.

cos6>22

3

故答案為：立.

2

14

13.—/0.56

25

已知甲、乙兩人猜燈謎的獨(dú)立事件恰有一人猜對的概率P,設(shè)事件力表示“甲猜對“，事件4表示“乙猜對''，則

P=P{AB\JAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B).

【詳解】設(shè)事件4表示“甲猜對“，事件從表示“乙猜對"，則PG)：〉；，P(R)=±=l,

1UJ

所以任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對的概率為：

P(痛u)8)=P⑷尸(耳)+尸(彳)尸(8)=5(1-|)+11-1>|=葛.

14

故答案為：—.

14.48兀6石

①如圖1,把原三棱柱補(bǔ)成正方體，則正方體對角線為外接球的一條直徑，2R=yjAC^-BC2+CC-

出半徑，再根據(jù)面積公式S=4兀后求解.

②如圖2,取中點(diǎn)巴F,G構(gòu)造面產(chǎn)GPE,由即與4G線線平行推出《G與面/GPE平行，根據(jù)邊長關(guān)系

進(jìn)一步推出四邊形產(chǎn)GPE即為唯?的等腰梯形，求其面枳即可.

【詳解】如圖1,將三棱柱48C-44G補(bǔ)成正方體彳?！?。-力￡與。，

則外接球的半徑R=4AU+BC2+CC；=2G,則夕卜接球的表面積為4兀肥=4兀x(26『=48兀.

2

如圖2,分別取必,4G，40的中點(diǎn)為E,F,G,連接FG,EP,EF,PG.

因?yàn)镋G分別為4C，4G的中點(diǎn)，所以FG〃4以且FG=；=2五.

在直三棱柱ABC-A^C,中，AAJ/呢且=BB、.

因?yàn)槎ǚ謩e為4*8瓦的中點(diǎn)，所以/且,4g-87，所以四邊形4片產(chǎn)后為平行四邊形，所以

莊〃44且任=44,所以/G||P￡,且尸G=；PE,所以P,E,F,G四點(diǎn)共面.

因?yàn)椤晔謩e為44,46的中點(diǎn)，所以或"〃"。一

又Mu平面PEEG,4G仁平面PEFG,所以4G〃平面PEFG.

因?yàn)?G=與0且凡G分別為4C，AG的中點(diǎn)，所以4/=80,

則EF=4AE+AF=1Bp+BG=PG=2五,所以四邊形PEFG即為符合要求的等腰梯形.

當(dāng)E不是44的中點(diǎn)時(shí)，依不平行平面4用G，則四邊形尸EFG不是等腰梯形，故等腰梯形有且僅有一個(gè).

在等腰梯形PEFG中，F(xiàn)G=EF=PG=2j2,EP=4y/2.

過點(diǎn)G作歐的垂線，交￡尸于點(diǎn)H,

所以GH=m,S即FG=；x(2及+4后)x卡=66.

故答案為：48冗；6G

15.(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-U)；

⑵2

1+x>0

(1)根據(jù)函數(shù)解析式，得?八，解出不等式，取交集即可：

l-x>0

(2)通過計(jì)算/(-刈，并與/(')比較，即可判斷奇偶性，根據(jù)奇偶性，即可求得/(7).

【詳解】(1)由題意，/(x)=lg(l+x)-lg(l-x),

l+x>0

由〈△，解得T<x<l,

l-x>0

則函數(shù)/(X)的定義域?yàn)闅v=(-1,1).

(2)由(1)知函數(shù)/(》)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

又/'(-x)=lg(l-x)-lg(l+K)=-[lg(l+x)-lg(l-x)]=-/(x),

所以函數(shù)”X)為奇函數(shù)，

又/⑺=2,所以/(T)=-/?)=2

16.(1)^=(3,6),c=(2,-1)

⑵跡

10

(1)根據(jù)兩平行向量、垂直向量的坐標(biāo)關(guān)系列方程求解；

(2)求出20、E+乙的坐標(biāo)，直接代入向量夾角公式中求余弦值即可.

【詳解】(1)因?yàn)殛?,所以*=2x3=6,貝加=(3,6),

因?yàn)?。工I,所以2+2j，=0ny=—l,則d=(2,-l).

(2)因?yàn)?G=(2,4),d+c=(5,5),

所以=_^迎

\/同步+WV22+4?XV524-5210

即向量2G與向量B+1的夾角的余弦值為零.

17.⑴*

⑵("2用

(I)選①，由正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系得到tanC=Ji,故。二^,由余弦定理得到。=1,利用三角

形面積公式進(jìn)行求解；

選②，由余弦定理求出C=；7T,。=1,由三角形面積公式求出答案：

(2)解法一：由余弦定理和基本不等式得到Q+6W2G，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可知Q+6>C=G，從而

求出。+人的取值范圍；

解法二：由正弦定理得到。=2sin4b=2sin8,結(jié)合三角恒等變換得到〃+/)=2/sin卜+2)結(jié)合

"+求出6<26布L+引“26’得到答案.

6166J\6；

【詳解】(1)選條件①：由正弦定理，得sinCsin%=JJsin4cosc.

因?yàn)椤丁?0,兀)，所以sin4H0,

所以sinC=y/3cosC?得tanC=、6.

因?yàn)??！?0,兀)，所以c=g.

在V/18C中，當(dāng)C=JJ,b=2,C=；時(shí)，

由余弦定理。2=°2+〃^2abcosC>

得3=/+4-2xqx2x],即/_2a+l=0，所以a=l,

所以=—67/)sinC=—xlx2xsin—=—.

2232

選條件②：因?yàn)椋ā?6）2=。2-必；整理得/+從一°2=

/+〃一。2ab_1

由余弦定理,得cosC=

2ab2^~2

因?yàn)镃w（0,兀），所以C=g.

在V/8C中，當(dāng)c=JJ/=2,C=:時(shí),

由余弦定理‘2=。2+b2-2abcosC,

2

得3=f+4-2x〃x2x：,gpa-2a+\=0?所以。=1,

所以SG

△48C223T

（2）解法一：由題設(shè)及（1）可知C=g,c=JJ.

由余弦定理，得（Ji）?二/+/-2abcosg=/+〃一劭，

化簡得("4-3=3而.又

所以S+b)2-3=3ah<-(a+b)2,

4

解得〃+必26，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=e=時(shí)等號(hào)成立,

由三角形的三邊關(guān)系可知a+b>c=,

所以百<a+叱2G，即a+力的取值范圍為(6,26].

解法二：由題設(shè)及(1)可知。=：,c=G.

abc石

由正弦定理,得sin/sinBsir.C,

T

所以。=2sinJ,/?=2sinB,

r(兀Y|

<7+h=2(sinA+sin5)=2sin/+sinA+—

=2化由4+立cos力

2sinA+sinAcos—+cosAsin—

I33)22

m3c?.兀|7C571I

因?yàn)镃=7，則rl力+工€7/~，

3o\bbJ

所以sin'+tJw；■」,

故后<26sin力+[卜2百，

所以6<a+bW26，即a+/7的取值范圍為(G,27rl.

18.⑴。=0.025

(2)69.50；71.67

(3)32

(1)根據(jù)頻率直方圖中各小矩形的面積之和為1，列式求解：

(2)根據(jù)頻率直方圖估算平均數(shù)公式，白分位數(shù)定義列式求解：

(3)根據(jù)分層抽樣的抽樣比公式，結(jié)合總體方差運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)10x(0.005+a+0.045+0.020+0.005)=I,解得。=0.025.

(2)由頻率分布直方圖易知每組的頻率依次為0.05,0.25,0.45,0.20,0.05,

所以這100名候選者面試成績的平均數(shù)約為

50x0.05+60x0.25+70x0.45+80：<0.20+90x0.05=69.50.

因?yàn)?.05+0.25=0.30<0.60,0.05+0.25+0.45=0.75>0.60,

設(shè)這100名候選者面試成績的第60百分位數(shù)為x,則xe[65,75),

則0.05+0.25+(x-65)x0.045=0.60,解得xa71.67,

故第60百分位數(shù)為71.67.

(3)設(shè)第四組、第五組面試者的面試成績的平均數(shù)與方差分別為

且兩組頻率之比為線=；.

41

則第四組和第五組所有面試者的面試成績的平均數(shù)為亍=wx80+yx90=82,

第四組和第五組所有面試者的面試成績的方差為

s2Tsi2+優(yōu)一項(xiàng)+如+值司2卜105+(80—82)2卜；[20+(90_82)2]=32,

故估計(jì)第四組和第五組所有面試者的面試成績的方差是32.

19.(1)證明見解析

（2）證明見解析

⑶〔sin%、=273-3

（1）證法一：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)以及線面平行的判定，可得答案；證法二：利用中位線性質(zhì)以及線面平

行判定，可得面面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得答案.

（2）根據(jù)菱形以及線面垂直的性質(zhì)，可得線線垂直，利用線面垂直判定，可得答案.

（3）利用等體積法，選定三極錐，根據(jù)解三角形的思路，表示高與底，建立函數(shù)，可得答案.

【詳解】（1）證法一：如圖1,取尸8的中點(diǎn)為。，連接￡0,CQ.

圖1圖2圖3

又E，產(chǎn)分別為線段夕4OC的中點(diǎn)，四邊形48C