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文檔簡介
江蘇省鹽城市五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考
試數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
1.計算C;+2A;的值是()
A.41B.61C.62D.82
2.五一期間甲、乙、丙、丁、戊五個同學(xué)計劃在本地一日游,若每人計劃只去“新四軍紀(jì)念
館、大豐麋鹿自然保護(hù)區(qū)、西溪旅游文化景區(qū)”這三個景點中的一個景點,則不同的游覽方
法共有()
A.40種B.60種C.125種D.243種
3.在研究線性回歸模型時,樣本數(shù)據(jù)(4£)々=1,2一..,〃)所對應(yīng)的點均在直線產(chǎn)-31+2上,
用,?表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度,則,=()
A.-1B.IC.-3D.2
4.已知/'(2025)=1,則I"。必+2澳)一、⑵)25)=()
AI*Ar
A.—B.!C.—2D.2
22
5.若平面。過點42,3,0)且該平面的一個法向量為〃=(2/,1),則點尸(-4,-9,30)到平面。的
距離為()
A.瓜B.乎C.2也D.2限
6.現(xiàn)將7個不同的小球全部放入3個不同的盒子里,每個盒子至少放2個小球,則不同的
放法共有()
A.210種B.630種C.1260種D.1890種
7.用數(shù)字4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),在這個數(shù)能被5整除的條件下,它
能被3整除的概率為()
A.—B.-C.-D.-
12633
8.設(shè)函數(shù)"r)=3=l)S+lnx),若恒成立,則2的最大值為()
A.-1
二、多選題
9.己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(9,4)Q>O且p(x<〃?)=P(X>〃),則下列選項中一
定正確的是()
A.£(2X+1)=19B.+〃=6
C.若P(X28)=0.7,則P(8?X<10)=04D.P(X>7+2cr)>P(X<7-<T)
10.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中,正確的有()
第0行I
第1行
第2行121
第3行1331
第4行14641
第5行15101051
A.第100行中,從左到右看第51個數(shù)最大B.第150行的所有數(shù)的和為2b19
c.D.C+C+C++c:s=c:6
11.已知球o是校長為2的正方體的外接球,MN為球o的直徑,點尸為
該正方體表面上的一動點,則下列說法中正確的是()
A.當(dāng)夕為4G中點時,直線DG與RP所成角的余弦值為巫
5
4
B.當(dāng)三棱錐尸的體積為+時,點P軌跡的長度為2
C.尸MPN的最小值為-2
D.的最大值為4G
三、填空題
12.已知直線/的一個方向向量為加=(-3,2,7),平面。的一個法向量為〃=(U+1,9),若
Illa,貝V=.
13.某電影院要在一天的A、B、C,。、E五個不同的時段分別安排《哪吒之魔童鬧海》、《唐
試卷第2頁,共4頁
探1900》、《誤殺3》、《封神第二部:戰(zhàn)火西岐》、《射雕英雄傳:俠之大者》、《長空之王》等
6部電影中的一部,每部弓影在當(dāng)天的五個時段中至多只安排一次,若人時段不安排《哪吒
之魔童鬧?!罚瘯r段不安排《長空之王》,那么共有種安排方式.(答案用數(shù)字表示)
14.定義:設(shè)x,y是離散型隨機(jī)變量,則x在給定事件丫=),條件下的左階矩定義為
E(Xk\Y=y)=P(X=x,|y=y)=儲,其中{與工2,…,玉}為X的所
有可能取值集合,尸(X=%丫=)>)表示事件“X與事件"}'=二、都發(fā)生的概率.某射擊運動
4
愛好者進(jìn)行射擊訓(xùn)練,每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為擊中目標(biāo)兩次時停止射擊.設(shè)。表
示第?次擊中目標(biāo)時的射擊次數(shù),〃表示第二次擊中目標(biāo)時的射擊次數(shù),則
尸(4=3,"=4)=,E(<2|;7=5)=.
四、解答題
15.有8只不同的試驗產(chǎn)品,其中有3只不合格品、5只合格品.現(xiàn)每次取1只測試,直到3
只不合格品全部測出為止.
(1)求最后I只不合格品正好在第3次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種?
(2)求最后1只不合格品正好在第4次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種?
16.如圖,長方體ABC。-AACA底面是邊長為2的正方形,高為6,£為線段A8的中點,
尸為線段的中點.
G
c
AEB
⑴證明:所〃平面A。。。
(2)求直線所與平面所成角的正弦值.
1
17.已知3x+的展開式的第2項與第4項的二項式系數(shù)之比是1:57.
《江蘇省鹽城市五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案
題號12345678910
答案BDADABCCACACD
題號11
答案ACD
1.B
【分析】利用排列數(shù)和州合數(shù)公式計算即可.
7x6
【詳解】C;+2A:=——+2x5x4=21+40=61.
2x1
故選:B.
2.D
【分析】應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理求不同的游覽方法數(shù).
【詳解】由題設(shè),每人都有3種選擇,故5個人不同的游覽方法有3$=243種.
故選:D
3.A
【分析】根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的定義直接得解.
【詳解】由已知樣本數(shù)據(jù)a,y)(i=l,2,所對應(yīng)的點均在直線y=-3x+2上,
則卜|=1,又一3<0,所以滿足負(fù)相關(guān),HPr=-l.
故選:A.
4.D
【分析】根據(jù)條件,利用導(dǎo)數(shù)的定義,即可求解.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知,
lim/(2025+2曲一/(2025)=52/(2。25+2右)-/(2。25)
A9°Ax2A.v
=2xHm.)25+2-(2025)=?.25)=2,
A32A.V\7
故選:D
5.A
APn
【分析】利用空間中點到平面距離公式1=―二求解.
【詳解】?尸=(-6,-12,30),
答案第1頁,共11頁
APn\6
點()到平面。的距離d==x/6,
PY,-9,30|?|R
故選:A.
6.B
【分析】將7個小球按3:2:2分成3組,再放到3個不同盒子里即可.
【詳解】將7個小球按3:2:2分成3組,有笑Q種分法,
A;
再將每種分法的3組小球放到3個不同盒子里有A;種方法,
所以不同的放法種數(shù)是‘1Ax6=630.
1A]L
故選:B
7.C
【分析】記事件A:從中任取一個數(shù),這個數(shù)能被5整除,記事件8:從中任取一個數(shù),這個
數(shù)能被3整除,利用排列計數(shù)原理求出〃(A)的值,利用列舉法求出〃(A8)的值,再利用條
件概率公式可求出尸(回川的值.
【詳解】記事件A:從中任取一個數(shù),這個數(shù)能被5整除,
記事件5:從中任取一個數(shù),這個數(shù)能被3整除,
4、5、6、7、8中能被3整除的為6,被3除余數(shù)為1的有:4、7,被3除余數(shù)為2的有:5、
8,
現(xiàn)考慮無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被3整除,則所選的三個數(shù)應(yīng)從4、7選擇一個,從5、8中
選擇一個,6必選,
4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這個數(shù)能被5整除,則個位數(shù)必然為5,
所以〃(A)=A;=4x3=12,
無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)既能被5整除,又能被3整除的有:465、645、765、675,即〃(A8)=4,
/、n(AB\41
由條件概率公式可得0(四力==-=-
故選:C.
8.C
答案第2頁,共11頁
【分析】通過分析(G-1)與S+lnx)的符號情況,結(jié)合臨界值』二e",進(jìn)行x=L、
aaa
三類討論,即可得出/*)=3-l)S+lnx)NO恒成立,等價于b=lna,然后構(gòu)造函數(shù),
a
利用導(dǎo)數(shù)即可求解.
【詳解】要使得/(x)=3-1)(〃+1門)20在(0,+為上恒成立,則。>0,且〃x)無變號零
點,
分析(依-1)與S+ln.r)的符號情況如下:
當(dāng)at-1=0時,%=,,當(dāng)人+lnx=0時,x=e",令一=e",即/?=lna,
aa
①當(dāng)x=L時,clx=?,所以奴一1=0且lnar=0,又〃+lnx=lnar,所以b+lnx=0
a
所以3-l)(b+lnx)=0,滿足題意;
②當(dāng)時,ax<1,所以ar-1v0且lnar<0,又b+InK=lnar,所以b+lnx<0
a
所以(ax-l)S+lnx)>。,滿足題意;
③當(dāng)時,>1所以如一1〉0且]nca>0,又b+lnx=lnar,所以b+lnx>0
aclx1
所以3-l)S+lnx)>0,滿足題意;
綜上,當(dāng)〃=hw時,/(x)=3-l)S+lnx)20在(0,+3)上恒成立.
hIna人/、In?,/、\-\na八、
所以一=—,令8(。)=——,/(〃)=——t(^>0),
aaaa'
當(dāng)Ovave時,g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增;
當(dāng)〃>e時,/(4)<0,g(a)單調(diào)遞減;
所以g(Ga=g(e)=!,即(5)
w
V\/(max
故選:c
9.AC
【分析】由期望的性質(zhì)求E(2X+1)判斷A;由已知及正態(tài)分布的對稱性有等=9判斷B;
利用正態(tài)分布的對稱性得P(X>10)=P(X<8)=0.3,即可求P(8WX<IO)判斷C;令。=4
判斷D.
【詳解】由題設(shè)E(X)=9,則鳳2X+I)=2夙X)+l=19,A對;
由尸(乂〈〃?)=P(乂>〃)及正態(tài)分布的對稱性,有亭=9,可得用+〃=18,B錯;
答案第3頁,共11頁
由P(XN8)=0.7,結(jié)合對稱性,則尸(X>10)=P(X<8)=1—P(X28)=0.3,
所以P(8?Xvl0)=l-P(X<8)—P(X>10)=0.4,C對;
當(dāng)。=4,有P(XN7+2m=P(XN15)=P(XK7—b)=P(XK3),D錯.
故選:AC
10.ACD
【分析】利用二項式系數(shù)的增減性可判斷A選項;利用二項式系數(shù)和可判斷B選項;利用
組合數(shù)的性質(zhì)可判斷CD選項.
【詳解】對于A選項,由二項式系數(shù)的增減性可知,第100行中共有101個數(shù),
從左到右看第51個數(shù)最大,A對;
對于B選項,第于0行的所有數(shù)的和為C4+CA+C葭++C隈=2的,B錯;
對于C選項,由組合數(shù)的性質(zhì)可得c;+c;=c:::,C對;
對于D選項,C;+C:+C+...+C:5=C:+C:+C;+.+C:5
=C;+C;+..+/;==c\+c:5y,D對.
故選:ACD.
11.ACD
【分析】A取線段BC的中點Q,在中利用余弦定理求cos/G。。即可;B先利用體
積得需三棱錐的高,再證明CR_L平面。片G,再結(jié)合點CR到平面。片G的距離均為及,
即可找出點尸軌跡;C利用向量的加法運算以及數(shù)量積的運算律得出PMPN=P6再
求|〃。|的最小值即可;D利用數(shù)量積的定義即可.
【詳解】取線段4c的中點Q,連接。2GQ.PQ,
因尸為線段4G中點,結(jié)合正方體的性質(zhì)可知,PQIICCJIDD.,且PQ=CG=DR,
則四邊形。。了。為平行四邊形,則DF〃DQ,
則直線OG與。/所成角的為"DQ或其補(bǔ)角,
容易得DC\=2垃、DQ=下、CQ=后,
答案第4頁,共11頁
則在,COQ中利用余弦定理可得,cos4*C匈+陰=巫,
2x2V5x65
則直線QG與RP所成角的余弦值為亞,故A正確;
5
連接C",設(shè)點P到平面々G。的距離為4,
容易得RiaMG。的面積為gqG?"G=gX2X20=2右,
由題意可得匕M=2四d=士,得d=無,
由正方體的性質(zhì)可知,4G_L平面。CGA,
又CRu平面DCCR,則B£工CD,,
又CA_L£)G,B,c,Hoc=c,,4c,QGu平面。AG,則cq_L平面。BC,
因CD、=2V2,則點c,D,到平面DBC的距離均為五,
因8C〃B|G,3Ca平面。片6,"Gu平面。BG,則367/平面。BG,
同理可得AR//平面。片。,
因點P為該正方體表面上的一動點,則點尸的軌跡為線段BC,AR,軌跡長度為4,
故B錯誤;
依題意可知0即為正方體的中心,如下圖所示:
答案第5頁,共11頁
PM?PN=(P0+OM+0N)=PO2+POOM+POON+OMON
=PO2+PO-[OM+ON)-OM2,
又因為MN為球0的直徑,所以。M+ON=0,|6>M|=|ON\=G,
即可得PM-PN=PO~+PO(OM+ON)-OM*二尸3—3,
乂易知當(dāng)點尸為正方體側(cè)面的中心時,卜。|最小,最小值為1,
則PMjN的最小值為-2,故C止確;
因MN,BC、=網(wǎng).|cosMN,BC[=x2夜.cosMN,BC,
=4"cosMM4G,
則當(dāng)cosMM8G=1時,取最大值,最大值為4#,故D正確.
故選:ACD
12.-7
【分析】根據(jù)題意〃?_L〃,利用空間向量運算法則可求八
【詳解】???〃/0,工〃?」〃,
即6力二-3/+2(,+1)-9=0,解得f=-7.
故答案為:-7.
13.504
【分析】根據(jù)正難則反的思想,先求出不受限制條件下所有安排種數(shù),然后排除三類不滿足
條件的所有安排種數(shù)即可得解.
【詳解】在排片不受時段限制的條件下,總共有A:=720種安排方式,
不滿足題意的安排方式:
第一類,A時段安排《哪無之魔童鬧海》且七時段不安排《長空之王》:
答案第6頁,共11頁
若五個時段都不安排《長空之王》,則有A:種安排方式;若安排《長空之王》,則有種
安排方式;則該類共有人:+人;6:=96種安排方式;
第二類,A時段不安排《哪吒之魔童鬧海》且七時段安排《長空之王》:
若五個時段都不安排《哪吒之魔童鬧?!罚瑒t有A:種安排方式;若安排《哪吒之魔童鬧海》,
則有A:種安排方式:則該類共有A:+A;?=96種安排方式:
第三類,A時段安排《哪吒之魔童鬧海》且E時段安排《長空之王》:共有A:=24種安排方
式,
綜上,滿足條件的安排方式共有:720-96-96-24=504#,
故答案為:504
15
14.—/0.0256
625~2
【分析】應(yīng)用獨立事件乘法公式求尸(4=3以=4),根據(jù)〃=5有<=1,2,3,4,應(yīng)用獨立事件
乘法公式求出對應(yīng)概率,并由全概率公式求得“〃=5)=急,結(jié)合已知定義求七(丁|〃=5).
J14J
114416
【詳解】由題意,P(^=3,77=4)=-X-X-X-=-^,
5555625
當(dāng)〃=5,則<=1,2,3,4,而
1664
2(。=1力=5)=2(4=2,〃=5)=2(。=3力=5)=2(。=44=5)=行,所以尸。7=5)=訴
?14JJ14J
由題設(shè),E-…)4.二(2;安5Kx2+9+⑹4.
P(〃=5)
故答案為:總15
~2
15.(1)6種;
(2)90種.
【分析】(1)由題意3次都取到不合格產(chǎn)品,應(yīng)用排列數(shù)求不同情形數(shù);
(2)由題意前3次取得2個不合格產(chǎn)品,1個合格產(chǎn)品,應(yīng)用排列組合數(shù)求不同情形數(shù);
【詳解】(1)最后1只不合格品正好在第3次測試時被發(fā)現(xiàn),即3次都取到不合格產(chǎn)品,所
以不同情形有A;=6種:
(2)最后1只不合格品正好在第4次測試時被發(fā)現(xiàn),即前3次取得2個不合格產(chǎn)品,1個
合格產(chǎn)品,所以不同情形有C;C;A;=90種.
答案第7頁,共11頁
16.(1)證明見解析:
【分析】(1)連接B2,與CA必交于尸,連接4",易得EF〃,再由線面平行的判定
證明結(jié)論;
(2)rtl(1)知直線所與平面4。。所成角,即為直線A"與平面所成角,再證平面
平面4OQA,得到直線AR與平面AQC所成先為乙40。或其補(bǔ)角,根據(jù)已知及二
倍角正弦公式求夾角正弦值.
【詳解】(1)連接8。,與必交于尸,且尸也是的中點,連接AR,
在,ABD1中E/〃4R,又平面4DRA,ARu平面AORA,
所以夕〃平面人。力八;
G
C
AEB
(2)由(1)EF//AD.,則直線E尸與平面4。。所成角,即為直線入。與平面人。。所成
角,
由CD_L平面AOAA,COu平面AOC,故平面A}DC±平面ADD^,且人Ru平面ADD^,
又平面4。。0平面ADD}\=A。,所以直線從。在平面AOC上的投影為直線A。,
所以直線4A與直線4。所成角,即為直線AA與平面AQC所成角,如圖NAO。或其補(bǔ)角,
13
在矩形AORA中AO=2,A4,=6,且Z40。=2皿。,而sinZ4A。=『,cos卬O,
vlOV10
所以sinZ4OO=2sinfDcosZ4^O=一.
17.(1)M=20;
(2)7;
答案第8頁,共11頁
(3)系數(shù)最大項為第6項,系數(shù)最小項為第21項.
【分析】(1)由題設(shè)C,:C=1:57,應(yīng)用組合數(shù)公式得到組合數(shù)方程,求解即可:
(2)寫出二項式展開式的通項,根據(jù)整式項的定義確定其項數(shù);
T\21T
(3)由鏟一1(=々)在左€{0,Y9}上單調(diào)遞減,結(jié)合產(chǎn)」的大小判斷系數(shù)最大項
如3&+1Tk+l
和最小項.
【詳解】(1)由題設(shè)C::C:=1:57,則伽一丫…=57,
6
整理得,/一3〃一340=0,故〃=20(負(fù)值舍).
[、加13
3/9,展開式通項為小=心(34產(chǎn)「(五廠=3250/)室
(2)由(1)知二項式為((
0,1,,20,
所以,=0246,8,10,12時,所?均為整式項,共有7項;
(3)由黑=親等=翳2=$念7)在上£{()/,,19}上單調(diào)遞減,
°5。乂X+I)JKI
當(dāng)左=4時奉羋>1,當(dāng)后=5時鑫=則…,
故卻在re{0,l,,20}上先增后減,且7;=32°>弓=1,
故系數(shù)最大項為第6項,系數(shù)最小項為第21項.
18.(l)x=200;
(2)有99.9%以上的把握認(rèn)為觀看現(xiàn)場直播與學(xué)生性別有關(guān);
2
(3)分布列見解析,期望為1.
【分析】(1)應(yīng)用頻率估計概率,列方程求參數(shù)x;
(2)由(1)寫出列聯(lián)表,求出卡方值,結(jié)合獨立檢驗基本思想得結(jié)論即可;
(3)由題設(shè)9人中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué),從9人任取2人,抽到女同學(xué)的人數(shù)4=0J2,
應(yīng)用超幾何分布的概率求法求對應(yīng)概率,寫出分布列并求期望.
150
【詳解】(1)由題設(shè)可得x=200;
1.5x4-A+150+2506
(2)由(1)得列聯(lián)表如下:
看現(xiàn)場直播未看現(xiàn)場直播
答案第9頁,共11頁
男同學(xué)300200500
女同學(xué)150250400
450450900
所以有99.9%以上的把握認(rèn)為觀看現(xiàn)場直播與學(xué)生性別有關(guān);
(3)由題設(shè)及列聯(lián)表知,抽取的9人中有3名女同學(xué)、6名男同學(xué),
從9人任取2人,抽到女同學(xué)的人數(shù)€=0」,2,
則%=。吟=卷,喔力喏4。(“2)春哈
所以4的分布列如下,
g012
51
p
122V2
5]1?
F(^)=0x—+1X-+2X—=-.
?122123
19.(1)答案見解析;
(2)x=l;
⑶4-e.
【分析】(I)對函數(shù)求導(dǎo),分類討論。20、a<0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)性;
(2)由已知得mI
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