考點(diǎn)08函數(shù)的概念與運(yùn)算【命題解讀】通過函數(shù)概念和函數(shù)解析式的學(xué)習(xí)，從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征。學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題，逐步養(yǎng)成學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)抽象能力。【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】1．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．2．函數(shù)的三種表示法解析法圖象法列表法就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示，通過關(guān)系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量x，y的值.就是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．1、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝eq\f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2C．f(x)＝eq\f(sin2x,2cosx)，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)2、（江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三9月月考）函數(shù)的定義域是____3、設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2（x≤1），,x2＋x－2（x>1），))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（2）)))的值為()A．eq\f(15,16)B．－eq\f(27,16)C．eq\f(8,9)D．184、(2019南京三模）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x，x≤0,f(x－2)，x＞0))，則f(log23)＝▲．5、已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．6、函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是________．考向一函數(shù)的概念例1(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，求a，k的值；(2)下列各選項(xiàng)給出的兩個(gè)函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有A．與 B．與 C．與 D．與變式1、下列各對(duì)函數(shù)中是同一函數(shù)的是()．A．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0B．f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)與g(x)＝|2x＋1|；C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)；D．f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.變式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是________．(填序號(hào))①f：x→y＝eq\f(1,2)x；②f：x→y＝eq\f(1,3)x；③f：x→y＝eq\f(2,3)x；④f：x→y＝eq\r(x).變式3、若一系列函數(shù)的解析：式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析：式為y＝2x2＋1，值域?yàn)閧3,19}的“孿生函數(shù)”共有________個(gè)．方法總結(jié)：(1)定義是解題的重要依據(jù)，它有雙重功能：一是判定；二是性質(zhì)．要判定一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，就要看其是否滿足函數(shù)的定義，反之亦然；(2)函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)，而定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則中有一個(gè)不同就不是同一函數(shù)．考向二函數(shù)的解析式例3、(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．.變式1、已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．變式2、若函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，則f（x）等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3變式3、如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)．(1)求△ABP的面積與點(diǎn)P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求y的最大值．方法總結(jié)：函數(shù)解析式的常見求法函數(shù)解析式的求法主要有以下幾種：(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)f(x)可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a，b，c即可．(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．考向三分段函數(shù)例3、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x<1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.（2）、已知，則f(7）=______.（3）(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．（4）、(2018南京、鹽城、連云港、徐州二模）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－x－12，x>0，))則不等式f(x)≥－1的解集是________．變式1、設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＜1，,4－\r(x－1)，x≥1，))則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為________________．變式2、已知f（x）則不等式x+（x+2）?f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C． D．變式3、(1)(2018蘇州暑假測(cè)試）已知實(shí)數(shù)m≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－m，x≤2，,－x－2m，x>2，))若f(2－m)＝f(2＋m)，則m的值為________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是；方法總結(jié)：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，再通過分類討論求解；(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．1、(2014江西)已知函數(shù)，，若，則A．1B．2C．3D．-1．2、.(2014山東)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．3、（2017新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___．4、(2015新課標(biāo)1，文10)已知函數(shù)，且，則A．B．C．D．5、（2015新課標(biāo)2，理5）設(shè)函數(shù),()A．3B．6C．9D．126、（2014卷1，文15）設(shè)函數(shù)則使得成立的的取值范圍是________.7、德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷，，在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么是的函數(shù)．”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)，有一個(gè)確定的和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄里克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函