長沙市第一中學(xué)2024—2025學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

時量：120分鐘滿分：150分

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的)

1.已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列：10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,則該組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為

()

A.35B.40C.45D.50

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)求解規(guī)則直接求解即可.

【詳解】由題知該組數(shù)據(jù)共有10個，

Q10x40%=4,

組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為也上"=45.

2

故選：C.

2.復(fù)數(shù)z=?,貝ij|z|二(；

A1B.73C.2D.Js

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)狂數(shù)的除法運算先求好數(shù)z,最后求復(fù)數(shù)z的模即可求解.

【詳解】由題意有z=2二==^=—2i+i2=—1-2"所以|Z|=J(_1)2+(_2)2=5

故選：D.

3.4張卡片上分別寫有數(shù)字I,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和

為偶數(shù)的概率是

A113

A.2B.-D.-

34

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：由題意知本題是一個古典概型概率的計算問題.

從這4張卡片中隨機抽取2張，總的方法數(shù)是=6種，數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的有1+3,2+4兩種，所以所求

概率為!，選乩

考點：古典概型.

4.已知〃=logs2,2'=3,則log215=（）

1.1ba

A.一十Z?B.一十。C.—D.—

abab

【答案】A

【解析】

【分析】先利用對數(shù)的換底公式得L=log25,b=\0g23,最后利用對數(shù)的運算法則即可求解.

a

,Clog,211,h,

【詳解】由題意有。=1。&2=渣二=^--=>-=log25,2=3^b=\oo3,

log25log25a

所以log215=log23+log25=Z?+—,

故選:A.

5.如圖，正八面體（所有面都是等邊三角形）中異面直線AB與。尸所成角的正弦值為（）

A.—B.正C.—D.I

623

【答案】B

【解析】

【分析】即證Cr//AE,得/為異面直線A3與C尸所成角或其補角，在.ABE中計算即可.

【詳解】在正八面體中AC//￡F,AC=E/,所以四邊形AbE是平行四邊形，所以CV//AE,所以

NBAE為異面直線AB與CF所成角或其補角，

又因為53七為等邊三角形，所以=所以sin/BAE二sin色=立，

332

故選:B.

6.已知，且sine+cosa=sin用一cos尸,則（）

A.a-13=—B.fi-a=^

2

C.a+B=—D.1+

2

【答案】B

【解析】

【分析】先利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為同一形式的正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)相等的條件，結(jié)合兩個角的取值范

圍即可求得結(jié)果.

71,一；），

【詳解】因為sina+cosa=V^sina+一,sin/?-cos/7=VIsinI

4

所以原式變?yōu)椋貉猻ina+；卜&sinP~~^

717r7T

根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得：a+a二4一w+2E（々￡Z）=>a-￡=-5+2E（ZwZ）①

或：兀一（；）兀（攵）

0+=/?_+2%eZ=>a+6=乃+2攵兀（攵eZ）②,

對于①，當&=0時，a-/3=--,即夕一。二色，此時?G|，/E能使上式成立,

22、22）

對尸②，因為故夕+/?€（—兀,兀）,

而a+尸=7U+2E（Z￡Z）,不存在整數(shù)上使得。+力￡（一兀,兀），故舍去；

故選：B

7.已知x>0,y>0,孫+2/+），=6,則2x+y的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】將與，+2不+>=6拼湊成（x+l）（y+2）=8,再結(jié)合基本不等式即可求解.

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分）

9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖

A.圖（1）的平均數(shù)二中位數(shù)二眾數(shù)B.圖（2）的眾數(shù)v中位數(shù)v平均數(shù)

C.圖（2）的眾數(shù)v平均數(shù)v中位數(shù)D.圖（3）的平均數(shù)v中位數(shù)〈眾數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.

【詳解】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)-中位數(shù)-眾數(shù)，故A正確；

圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確，C錯浜；

圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.

故選：ABD.

10.在等腰VA4C中，4=120°,^=4,記人8=4,4。=人，點。,后分別是線段48,8。的中點，且點

產(chǎn)是線段OE（包括端點）上的一個動點，=+則下列說法正確的是（）

A.點〃運動到E點處時，A=//=—

B.點/，運動到線段中點處時：4—〃二g

C.卜”的最小值為退

D.AP.CP的最大值為8

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)VA3c的特點，建立平面直角坐標系，運用平面向量的坐標運算，結(jié)合平面向量的線性運算、

數(shù)量積的運算及二次函數(shù)的性質(zhì)，逐項進行判斷即可.

【詳解】在等腰V43C中，A=120°，A5=4,

則BC=yjAB2+AC2-2AB-AC-cosA=^16+I6-2x4x4x=4后，

設(shè)EP=fED(0</<1),以E為原點，以EC、￡4分別為九軸、,'軸，建立如圖所示平面直角坐標系,

則*0,0),限2后0bA(0,2),C(2^,0),

由點。是線段43的中點，可得到。卜6,1),

又EP=fED=?-也,1),所以網(wǎng)—瘋,”.

對于A：當尸運動到七點處時，由點七是線段8c的中點，

］1

可得2AE=A8+4C，AE=-AB+-AC,故A正確；

對于B：點尸運動到線段。E中點處時，

I■■■I.I.I.I?I.

2AP=AD+AE=-AB+-AB+-AC=AB+-AC,

2222

1—1—11111

AP=—ABH—AC?此時2=—,〃=—?A—//=----=—，故B錯誤:

2424244

對于C：由A(0,2),戶卜而")可得

AP\=^(-V3/)2+(r-2)2=74r-4r+4=2^<r~+5，

當1=；時，網(wǎng)取到最小值G，故C正確；

對于D：由A(0,2),尸卜而，小C(26,())，

可得AP=(-x/3rj-2),CP=(一△一26,。，

所以4℃尸二卜八*—6一26)+(-2)?，

=3/+6r+r2-2r=4*+4,，APCP=4/+今在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以當1=1時，AP-CP取到最大值8,故D正確.

故選：ACD

11.如圖，若正方體ABCO-ABCQ的棱長為2,點M是正方體在側(cè)面8CC圈上的

一個動點（含邊界），點P是梭AA的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面PCO截該正方體的截面面積為石

B.若PM=2亞，則點M的軌跡長度為3兀

C.若M為BC的中點，則三棱錐P-DCM的體積為1

-2-

D.與平面OPC所成角的正弦值的取值范圍為（）,-

【答案】BC

【解析】

【分析】對于選項A,先確定截面，然后計算面積即可：對于選項B,首先確定點M的軌跡，然后利用

弧長公式進行計算即可：對于選項C,首先確定點/,到底面CDM的距離，然后根據(jù)三棱錐體枳公式求出

三棱錐的體積即可；對于選項D,找出與平面OPC所成的角的最小值和最大值，然后根據(jù)邊角關(guān)系

求出其正弦值即可.

【詳解】對于選項A：

取線段的中點Q,連接PQ,CQ,那么平面PCO截該正方體的截面為平面PQC。.

由于PQ=2.CQ=萬=&，所以面積為5=2乂逐=26，所以A錯誤;

對干選項B：

因為尸QJ_平面BCC#,QMu平面BCC】B「

所以尸QJ.QM,所以根據(jù)勾股定理得QM=J(2&『-22=2,

所以點M的軌跡是以。為圓心以2為半徑的弧.

如圖所示，因為。"=2,。4=1,所以=所以/旦0"=].

同理N8QG=V.所以弧長角度三，所以軌跡長度為頻2=」，B正確;

3333

對于選項C：

取BC的中點尸，連接用尸，則MC//67.

取的中點Q,連接產(chǎn)。，過點。作QG_L與尸.

GQBF-1

因為43"叫，所以西=而，所以6。二百

因為CO_L平面8。。由，QGu平面8。。百，所以CO_LQG.

又。6_￡與凡87//。加，所以QGJ.CM.

又CDcCM=C，且CRCMu平面COM.所以QG_L平面C/W.

所以點。到平面COM距離為點。到平面CDW的距離.

設(shè)平行直線MC,B7之間的垂直距離為/?,則CMh=CF%,

23

所以人二忑，所以點。到平面CDW的距離為QG+/z=忑.

因為CZ)_L平面8CG與，。用＜3平面8。。|耳，所以CQJ_CM.

所以S.c/w=QXCDXCM=A/5.

所以二棱錐P-DCM的體積為V=-5(GG+/2)=—X75X-^r=1所以c正確;

作DEtDP,連接MR.

因為。。_1_平面AA,。。，。小匚平面明。。，

所以CO_LD|R,因為DP上QR,CDcDP=D,CO,OPu平面COP.

所以2"J,平面CQP.所以與平面OPC所成的角的正弦值為COSNA"仞.

114

在.DPD沖,S=-DPxDR=-DDx2,解得RR=〒.

2,2,V5

當點M位于4時，DM//平面PCD,此時與平面OPC所成的角的正弦值最小為0；

/o2

當?shù)闙位于B處時，此時與平面OPC所成的角的正弦值最大，最大值小于苧，達不到

所以D錯誤.

故選：BC.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.球員A罰球命中的概率是0.7,球員8罰球命中的概率是0.6,且兩人罰球是否命中相互獨立.那么在

一次兩人罰球過程中，至少有一人罰球命中的概率是.（用小數(shù)表示）

22

【答案】0.88##—

25

【解析】

【分析】正難則反，先求其對立事件的概率，即兩人都未命中的概率即可.

【詳解】記事件A=”球員A和球員3至少一人罰球命中”，

則其對立事件為可二“罰球命中兩人都未罰球命中”，

由相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式得，P(^)=(l-0.7)x(l-0.6)=0.12,

所以尸(A)=1—0.12=0.88.

故答案為：().88.

13.設(shè)y=/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且在(0,+。)上是增函數(shù)，又滿足"2)=0,則不等式

4(力>0的解集是.

【答案】(f,—2)D(2,y)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得到當％<-2或0Vx<2時，/(x)<0,當一2Vx<()或x>2時，

/(x)>0,從而符號法得到不等式的解集.

【詳解】因為y=/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，則/(0)=0,

又f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，則在(y,0)上也單調(diào)遞增，

因為/(2)=0,所以〃_2)=_/(2)=0,

當工v—2或0<x<2時，f(x)<0,當一2vx<0或x>2時，/(x)>0,

故當xv-2時，/(x)<0,滿足4(x)>0,

當上>2時，/(x)>0,滿足

綜上，4(x)>。的解集為(一8，-2)。(2,+8).

故答案為：(TX\—2)D(2,+8)

14.甲、乙兩支羽毛球隊體檢結(jié)果如下：甲隊體重的平均數(shù)為6()kg,方差為100,乙隊體重的平均數(shù)為

68kg,方差為200,又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1:3,那么甲、乙兩隊全部隊員體重的方差等于

[.J187

【解析】

【分析】先求出體重的總平均數(shù)，然后根據(jù)分層方差和總方差關(guān)系直接計算可得.

13

【詳解】體重的總平均數(shù)為五=60x—+68x—=66,

44

則甲、乙兩隊全部隊員體重的方差S2=；X[100+（60—66）[+:X[200+（68—66）1=187.

故答案為：187

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.如圖，在長方體-中，AB=AD=3,M=6,E為AA1的中點.

（1）求證：4。//平面8DE：

（2）求二面角A—OE—B的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）與

3

【解析】

【分析】（1）連接AC,設(shè)3OcAC=F,連接EF得EE//A,C,由線面平行的判定定理可得答案;

（2）RtABAE與RL.BAD全等得BE=BD,進而BMA.DE，可得/BMA為二面角

A-DE-4的平面角，在RtAJ3AM中計算可得答案.

【小問1詳解】

連接AC,設(shè)8DcAC=/，連接后尸，因為平面4BCO為正方形，所以尸為AC的中點，

在。CM,中，E1為A4的中點，所以EF//AC，

乂￡/<=平面8OE，4Cu平面8OE，

所以平面8OE.

【小問2詳解】

因為4。=4E=3,AB=AB,NBAE=NBA。=90，

所以RlZ\BAE與Rt_84D全等，所以BE=BD，又AD=4E，

取。E的中點為何，連接AM,BW,則有4WJLOE，BM工DE，

所以NBMA為二面角的平面角，

因為84J_平面4。94，AMu平面AOAA，所以84_LAM，

在RtZ\BAM中，AB=3,AM=-DE=-yj32+32=—

222

所以+

所...sin4MA=—=；=—

所以BM3a3，

2

所以二面角A—Of—8正弦值為如

3

16.長沙是?座歷史悠久、文化旅游資源豐富的城市.為更好地了解游客對長沙旅游體驗的感受，長沙市旅

游部門隨機選擇100名游客對長沙旅游體驗進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)這100名游客的評分，制

成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求X的值；

（2）估計這100名游客對長沙旅游體驗滿意度評分的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（3）旅游部門的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在［50,60）,［60,70）的兩組中共抽取6人，

再從這6人中隨機抽取2人進行單獨訪問，求選取的2人中，恰有1人評分在［50,60）內(nèi)，另1人在

［60,70）內(nèi)的概率.

【答案】（1）0.030

（2）84

⑶旦

15

【脩析】

【分析】（1）根據(jù)各個小長方形的面積之和即頻率之和為1,列式計算即可求出。值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)的公式計算即可；

（3）先根據(jù)分層抽樣的特點計算出評分在［50,60）,［60,70）內(nèi)應(yīng)抽取的人數(shù)，再列出從這6人中隨機抽

取2人的所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的計算公式計算即可.

【小問1詳解】

由（O.OO5+O.OlO+O.O15+x+O.O4O）xlO=l,解得〃=0.030；

【小問2詳解】

（55x0.005+65x0.010+75x0.015+85x0.030+95x0.040）x10=84,

所以這100名游客對長沙旅游體驗滿意度評分的平均數(shù)為84分；

【小問3詳解】

評分在［50,60）的人數(shù)為1（X）xO.（X）5x10=5人，

評分在［60,70）的人數(shù)為100x0.010x10=10人，

按比例分層抽樣的方法從兩組中共抽取6人,

則從評分在［50,60）中抽取=2人,分別為〃表示;

10

從評分在［60,70）中抽取6x=4人,分別用AB,CO表示,

5+10

則從這6人中隨機抽取2人的所有結(jié)果為

A6,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,，必共15種.

則恰有1人評分在［50,60）內(nèi)，另1人在［60,70）內(nèi)的所有結(jié)果為

Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,/比共8種，

Q

所以選取的2人中，恰有1人評分在［50,60）內(nèi)，另1人在［60,70）內(nèi)的概率為商.

17.如圖，在NABC中，角A,B,C的對邊為a,b、c,S為三角形的面積，己知角A滿足

S=b2+c2-a2-Z?csinA.

⑴求cosA；

4

（2）若b=3,cos8=g,E,R分別在邊4比8c上，酹△班戶沿著線段瓦'對折，頂點3恰好落在邊

AC上的。點，當4。二，。。時，求」）所的面積.

2

3

【答案】（1）-

44

【解析】

4

分析】（1）利用余弦定理代入5=從+/一/_0csi必，可得tanA=§,然后可求co》；

（2）由題知可解VA3C,由可求AD,CO,設(shè)BF=DF=x,又CF?。/?代入

2

可求x,同理設(shè)8E=OE=y,再利用余弦定理可求4E=OE，然后根據(jù)三角形面積計算公式求解即可.

【小問1詳解】

由余弦定理d=b~+c-2bccosA^

所以S=Z?2+(?-。？-Z?csinA=2bccosA-bcsinA=—bcsinA,

2

34

即2Z?ccosA=-bcsinA=>tanA=—,

23

3

vAe(0,7t),/.cosA=-.

5

【小問2詳解】

43

vcosB=—,cosA=—..A,BwsinA=—,sinB=—

55t55

4433

ic=兀

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB55-5-5-2-

乂》=3,a=4,c=5,

AD=-DC...AD=1,CD=2,

2f

設(shè)8b=OF=x,又CF'+CD：=DF，所以(4-x『+4=/=工=,,

即BF=DF=j

2

設(shè)BE=DE=y,又?！?=AE2+A￡)2—2AEAOCOSA，

所以y2=（5_y『+]_^/，解得），=得，25

即BE=DE=—

11

sDEF=SBEF=；BE?BFSEBg倉哈!?375

544,

75

所以DEF的面積為.

44

18.已知函數(shù)/(x)=l+lnx,g(x)=e'.

少埋，求產(chǎn)（力在區(qū)間（0,1）上的值域;

(1)設(shè)函數(shù)*x）=

設(shè)函數(shù)G（x）=而年求畢的值;

2025；

(3)設(shè)函數(shù)H(x)=[/(x)-11+(6-2)/(力+女+3,且VX|g[e,e4,加￡R,H(xjNg(&)成

立，求實數(shù)人的取值范圍.

【答案】(1)I(2}

(2)1012(3)(-oo,12)

【解析】

【分析】(1)先求出F(x)的解析式，并利用單調(diào)性的定義證明/(工)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)性，再利用單調(diào)性

求值域即可；

(2)先求出G(x)的解析式，發(fā)現(xiàn)G(x)+G(l—x)=l,再分組求和即可；

(3)先求出g(x)在R上的值域是(0,+。)，將Vx蘆川￡R,H(xjNg(w)成立，轉(zhuǎn)化為當

xw［e,e］時，H(x)min＞0；令/=〃力=1+111%,問2,5］,將"(外轉(zhuǎn)換為力⑺，然后根據(jù)〃⑺的

b-A

對稱軸/=與區(qū)間［r2,5］的位置關(guān)系分三種情況討論，分別求解＞0,即可求出實數(shù)A:的取值

范圍.

【小問1詳解】

因為/(X)=1+Inx,g(x)=ex,

所以f(g(x))=l+ln(ex)=l+x,^(/(x))=e1+,nv=e-e,nv=ex,

,f(g(x))1+x

x)=

網(wǎng)g(/(x))ex

VAPX2G(0,1),JgLXj<X2,

則尸(內(nèi))一尸(乙)二匕3l+9=w(l+x)-x(l+&)=9-%

e.i.

%ex{x2oxlx2

由0＜工|＜吃＜1,得工2一工1＞。，m々＞°，

所以/(%)一夕(9)＞0,即/(石)＞/(七)，

所以產(chǎn)")在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

因為lim/。)=lim匕/=+oo,F(l)==—,

XT(Tx-＞(rexex1e

(2\

所以尸(無)在區(qū)間(0,1)上的值域為一,+8；

Ie/

【小問2詳解】

由"熱ex

er+y/c

則G（D=鼻=

所以G(x)+G(l—x)=----尸+J廠=1，

el+Veer+Ve

3、/2022、

2025)12025J+G(霜+G(霜

2024

上式中一共有1012組，每組的和為1,所以=1012；

1=12025

【小問3詳解】

因為g（x）=e1所以g。）在R上的值域是（0,+8）,

4

VA（e[e,e,卻￡R,H（xJ2g（/）成立，

意味著當XE[e,e4]時，“（X）min>。，

令i=/（x）=1+lnx,當xe[e,e4]時，re[2,5],

所以H（x）可轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的函數(shù)

竹）=（/一1）2+（6-由+2+3=/+（4-桃+女+4,

即當7?2,5]時，h（t）min>0,

*一4

已知函數(shù)屈f）的對稱軸為/=--,

2

①當然42,即左48時,〃⑺在，42,5]上單調(diào)遞增，

所以〃（。而=^（2）=2?+2（4—A）+A+4=16—A>°，解得&<16，

因為AW8,所以AW8；

攵一4〃一4

②當2<——<5,即8<攵<14時，〃⑺在，=——時取得最小值，

22

匚「[,]?/、1,k—4、k—4/k—4、—k~+12k

所以〃⑺min=^（-）=（-）*+（4-攵）（亍）+%+4=--->0，

即一次2+12%＞0,即次（左一12）＜0,解得0v1vl2,

因為8＜Zvl4,所以8c左＜12；

L-A__

③當三一之5,即女之14時，依）在［目2,5］上單調(diào)遞減，

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