4.5函數(shù)的應用(二)

【知識梳理】

知識點一函數(shù)的零點

對于函數(shù)y=J(x),我們把使yu)=o的實數(shù)X叫做函數(shù))，=兒6的零點.

方程、函數(shù)、圖象之間的關系：

方程火x)=0有實數(shù)解今函數(shù))，=於)有零點臺函數(shù))，=/(%)的圖象與x軸有交點.

知識點二函數(shù)的零點、方程的解、函數(shù)圖象與x軸的交點

方程的實數(shù)解臺函數(shù))，=/5)的零點臺函數(shù)丁=＜幻的圖象與x軸的交點的橫坐標.

知識點三函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口，0上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有尺?；?。)＜0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)

間

3,/力內(nèi)至少有一個零點，即存在b),使得_/(c)=(),這個c也就是方程人x)=0的解.

知識點四二分法

對干在區(qū)間［小目上圖象連續(xù)不斷且人的函數(shù))，=人幻，通過不斷地把函數(shù)/U)的零點所在的區(qū)間一

分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，可用二分法來求方程的近似解.

知識點五用二分法求函數(shù)次外零點近似值的步驟

1.確定零點M的初始區(qū)間［a,3,驗證刎?加)＜0.

2.求區(qū)間(小〃)的中點c.

3.計算人c),并進一步確定零點所在的區(qū)間：

(1)若＜c)=0(此時xo=c),則c就是函數(shù)的零點；

(2)若人幻力。＜0(此時xo￡(mc)),則令6=c；

(3)若龜)貝加＜0(此時必金(&/?)),則令a=c.

4.判斷是否達到精確度2：若|。一。|3則得到零點近似值，(或與；否則重復步驟(2)?(4).

以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看：同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎

么好？精確度上來判斷.

【基礎自測】

1.在下列區(qū)間中，函數(shù)46=。'+以一3的零點所在的區(qū)間為（）

【答案】C

【詳解】因為唔）=蜘一2V0,回=#-1>0,所以又函數(shù)段）在定義域上單調(diào)遞增，所以

零點在區(qū)間Q,0上.

f+Zv—3,xWO,

2.危)=1.八的零點個數(shù)為（)

—2+lnx,A>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【詳解】當xWO時，

由jtDn9+Zr—3=0得制=—3,M=l（舍去）；

當x>0時，由y（x）=-2+lnx=0得x=e2.

???函數(shù)的零點個數(shù)為2.

3.函數(shù)/（.v）=（lgX）2—Igx的零點為.

【答案】1和10

【詳解】由（lgx）2—lgx=O,得lgx（lgx—1）=0,

Algx=0或1gx=1,/.x=1或x=10.

4.函數(shù)4r）=如一6〉的零點有個.

【答案】1

5.已知函數(shù)/（x）=k）g2X+x-。的零點在區(qū)間（0小上，則人的取值范圍為.

【答案】（口1]

【分析】易得函數(shù)/（力=1唯工+》-〃在區(qū)間（0』上單調(diào)遞增，再根據(jù)零點的存在性定理可得/⑴之。，從

而可得出答案.

【詳解】解：I大I為函數(shù)y=iog2ky=x在區(qū)間（05卜單調(diào)遞增.

所以函數(shù)/(力=1鳴]+工-)在區(qū)間(0，1]上單調(diào)遞增，

因為函數(shù)/("=1。&x+x-。的零點在區(qū)間(0,1]上，

又當xfO時，log2x+x->-00,/(x)<0,

所以/(1)=1一。20,解得〃<1,

所以〃的取值范圍為(—,]

故答案為：(?01].

【例題詳解】

一、求函數(shù)的零點

例I⑴函數(shù)/("=噢3(彳-1)-2的零點為()

A.10B.9C.(10,0)D.(9,0)

【答案】A

【分析】令/(何=0,解對數(shù)方程，求出x=10.

【詳解】令/(x)=log3(x-l)—2=0,即Iog3(x—l)=2=log332,所以X—1=32,因此X=10,所以函數(shù)

/(x)=log3(x-l)-2的零點為10.

故選:A.

⑵已知函數(shù)則〃〃-1))=,函數(shù)《)=/3-2的零點為.

*

【答案】-41

【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)求出函數(shù)值即可，再直接求出方程的解作答.

【詳解】依題意，==

x>07fx<0

由晨x)=0得/。)=2,即解得犬=彳，或…無解，

2X-J=22[2=2

所以數(shù)g(x)=/(x)-2的零點為

7

所以/(6=lnx--在(0,+。)上單調(diào)遞增，

又〃2)=ln2—l(0J⑶=ln3—?0,

所以〃2)/(3)<0,

2

根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)/(x)=l■--的零點所在的天致區(qū)間為(2,3),

X

故選：C.

(2)函數(shù)/(4)=4-2的零點所在的區(qū)間為()

A.jo*)B.停)1C.(1可D.朋_

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)/(力的單調(diào)性，結(jié)合/($?/(2)<0,由零點的存在性定理，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(力二五-2在(o,+e)上單調(diào)遞增，

X

又由/(；)=坐_4<0,/(1)=1_2<0,/(；)=當_；<0,/(2)=及-1>0,

乙乙乙乙，

即f(”/(2)<0,

所以根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(|，2).

故選：D.

跟蹤訓練2(1)函數(shù)/(刈=3'+3'-8的零點所在的區(qū)間為()

A.(OJ)B.(1.|)仁加D.(3,4)

【答案】B

【分析】分析函數(shù)/("的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.

【詳解】因為函數(shù))，=3'、)，=3x-8均為R」：的增函數(shù)，故函數(shù)/(另為R上的增函數(shù),

因為函數(shù)/(x)在R上是連續(xù)的曲線，且/。)=一2<0,/(|)=36-齊0,

故選:B.

4

⑵函數(shù)/(x)=log/2x+4)—-彳的一個零點所在的一個區(qū)間是()

人"1I

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】由函數(shù)/(力的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理求解即可.

【詳解】函數(shù)/("的定義域為(-2,+8),易知函數(shù)/(X)在(-2,0)上單調(diào)遞增.

3

/(I)-log6-2-log6-log16-Iog-<log1-0,

4444o4

4工4341

/(2)=log48--=Iog442,>0,

3323o

由零點存在性定理可知，函數(shù)/(?r)的一個零點所在的一個區(qū)間是。,2).

故選：C

三、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍

例3(1)函數(shù))，二/一(〃?—1戶-機的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)〃?的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】令/一(〃7-1)工一〃?=。，解得％=T,毛="，即可求得機的取值范圍.

【詳解】令=f-("7-1)工一次二0，即(X+1)(X-〃?)=O,解得芭=—1,X2=w,

又因為函數(shù)“用的一個零點在區(qū)旬(1,2)內(nèi),-1包1,2),所以〃[?1,2),

所以實數(shù)機的取值范圍是(1,2).

故選：C.

⑵函數(shù)/'(X)=〃log2X+G?4'+3在區(qū)間展上有零點，則實數(shù)〃的取值范圍是()

1

A.a<——B.a<--

22

313

C.—一＜a＜一一D.a<一一

224

【答案】D

【分析】分析可知”0,函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)，利用零點存在定理可得出關于實數(shù)〃的不等式,

解之即可.

【詳解】當。=0時，/（x）=3,不合乎題意.

當〃>0時，由于函數(shù)），=2alog2/、y=a"+3在（g1）上均為增函數(shù)，

此時函數(shù)/⑺在（攝1）上為增函數(shù).

當a<（）時，由于函數(shù)，=2〃1叫又、），=夕4'+3在惇1）上均為減函數(shù)，

此時函數(shù)/（x）在上為減函數(shù).

因為函數(shù)/（X）在區(qū)間e，I）上有零點，則嗎卜⑴<0，

即3（4a+3）v0,解得

故選：D.

3

⑶已知函數(shù)/（x）=log2X——的零點為飛，且玉+則〃=.

.X,

【答案】2

【分析】由函數(shù)的解析式判斷函數(shù)單調(diào)性，求出.f（2）,.f（3）的值，可得/（2>/（3）v。，再利用函數(shù)的零點的

判定定理可得函數(shù)/CO的零點所在的區(qū)間，即可得解.

【詳解】易知函數(shù)/（可=嘎2尸：在3”）上單調(diào)遞增，

31

因為/（2）=log22-5=一弓<0,/（3）=log23—l>log22-l=0,

所以/（2）/（3）<0,

根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理可得：

函數(shù)/（力=1。821-：的零點所在的區(qū)間是（2,3）,

所以〃=2.

故答案為：2

2'r—1,x<1,

跟蹤訓練3⑴已知函數(shù)/（.x、）=1（x_a）（x_2a）i，若八外、恰有兩個零點，則正數(shù)。的取值范圍是（）

A.%）

C.右1)D.(1,2)

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分段判斷函數(shù)的零點，以及零點個數(shù)，即可求正數(shù)，的取值范圍.

【詳解】當工<1時，2，-1=0,得40成立,

因為函數(shù)/(x)恰有兩個零點,

所以X21時，(1-可(工-2〃)=0有1個實數(shù)根，顯然a小于等于0,不合要求,

當”>0時，只需滿足a<14勿，解得：a<\.

故選：C

⑵設函數(shù)/(x)=2x+logaX-8(?>1)的零點為XO,若儂3,則a的最小值為.

【答案】&

【分析】根據(jù)/(x)的單調(diào)性和小的范圍，可得到。的不等式1。乩3?2,求解即可得到〃的最小值.

【詳解】解:因為/(x)=2x+log尸-8(。>1),所以"%)在(0,+oc)上單調(diào)遞增,且3之3,所以8A2、3+1嗚3,

2

B|Jlog03<2=logu?,解得"N3,即“N不.

故答案為：x/3.

閉已知函數(shù)/(司=/-2公+/-1的兩個零點都在(-2,4)內(nèi)，則實數(shù)。的取值范闈為

【答案】(一1，3)

【分析】把函數(shù)兩點零點都在(-2,4)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值正負,列不等式求解即可.

【詳解】因為函數(shù)/。?)=/-2如+/-1的兩個零點都在(-2,4)內(nèi),

△>0,4/-

4+4。+/-1>0,

所以、即

16-8?+?2-1>0,

-2<?<4,-2<67<4,

解得-所以。的取值范圍為(-1，3)

故答案為：(-1，3)

四、判斷函數(shù)零點個數(shù)

2~xr<()

例4⑴若函數(shù)/(')=2’一，則函數(shù)g(x)=〃x)-2的零點的個數(shù)是()

X?1,X>U

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，分x>0和XWO兩種情況分別解方程，即可得答案.

2~xx<0

【詳解】由題意函數(shù)八用=，:一八，

則函數(shù)g(x)-〃x)-2的零點個數(shù)即〃x)-2的解的個數(shù)，

當了>0時，令f+1=2,即x=l,符合題意；

當了40時，令2-'=2,得廣-1，符合題意，

故聯(lián)力=/(力-2的零點有2個，

故選:B.

⑴函數(shù)〃力=四m卜1的零點個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由/(另=?？傻?分析可知函數(shù)/("的零點個數(shù)即為函數(shù)y=|lnx|與)，=e-”的圖象的交

點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.

【詳解】由/(同=。可得|lnM=e'作出函數(shù))、=|1間與ke-*的圖象如下圖所示：

由圖可■知，函數(shù)y=|lnx|與,，=小的圖象的交點個數(shù)為2,

故函數(shù)/(力的零點個數(shù)為2.

故選：C.

(3)已知/("=,吧x?0則函數(shù)y=4[/(x)1-8/(x)+3的零點個數(shù)是

【答案】7

【分析】作出函數(shù)的圖像，然后分解因式得到/（6=1或/（"=[數(shù)形結(jié)合分析零點個數(shù)

【詳解】函數(shù)），=4[/（切2-8/（小3的零點即為方程4[/（力丁-8/（刈+3=0的根，解方程

4[〃切2-8/（力+3=0得?。㎎或〃X）=；.

作出函數(shù)y=/（x）的圖像，如圖所示.

3I

由圖像知直線），=；與），=/（力的圖像有4個交點，直線工;與y=f（x）的圖像有3個交點.

因此函數(shù)y=4[〃x）]2-8〃力+3的零點有7個.

故答案為：7

x2+4,v+6,x<0

跟蹤訓練4⑴已知函數(shù)/。）=“?、八，則方程/（此=2的實數(shù)解的個數(shù)為（）

|log8x|,x；0

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】討論xWO、x>0,令/㈤=2求解即可判斷個數(shù).

【詳解】當xWO時，由f+4x+6=2,解得工二一2；

當了>0時，由|嚏4=2,得log8X=2或log8X=-2,解得x=64或上.

64

故方程/（X）=2的實數(shù)解的個數(shù)為3.

故選：B

⑵已知/（x）=*+2x+l,g（x）=hu|,則方程/a）-g（x）=O的實根個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】在同一平面直角坐標系內(nèi)作出〃x），g"）的圖像，兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，則可確定方程的實

根個數(shù).

【詳解】在同一平面直角坐標系內(nèi)作出的圖像，如圖所示:

故選:C.

⑶已知“X)為定義在R上的奇函數(shù)，當/>()時，/(X)單調(diào)遞增，且八-&)=0,3/(2)>3,

則函數(shù)必“=|/(刈-3的零點個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值的范圍，作圖數(shù)形結(jié)合即可判斷.

【詳解】當x>0時，/(力單調(diào)遞增，且八-&)=0,且/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(-x)=-/W阿得/(夜)=0且/(x)在(y,o)上單調(diào)遞增，

由晨x)=|〃刈-3=0,得|/(x)|=3.

又因為嗎b-3,又2)>3,可得嗎)>3,|/(2)|>3,

/("為定義在R上的奇函數(shù),又可得/卜>3,|/(-2)|>3,

根據(jù)題意作出滿足要求的y=的大致圖像，

由圖知，直線)』3與)，=|/(力|的國像有4個公共點，

所以g(x)=/a)|-3有4個零點.

五、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍

例5(1)函數(shù)/")=/+，必+1有兩個不同的零點，則機的取值范圍是()

A.-1<///<1B.-2<m<2

C.〃？>1或m<-1D.機>2或，〃<一2

【答案】D

【分析】運用判別式求解.

【詳解】函數(shù)〃外=丁+小+1有2個不同的零點等價于方程x2+〃次+1=()有2個不同的根，

/.A=/w2-4>0,解得nt>2或ni<-2；

故選：D.

⑵若方程產(chǎn)-1|二〃，有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范圍為()

A.(0,田)B.(0,1]C.(0,1)D.(1,-KO)

【答案】C

【分析】把方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的問題，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.

【詳解】令/(月=卜一1|，

由于當XV。時，一；./(x)=l-ev,且/(力?0,1)；

當工N0時,e—lNO,.*./(x)=ex-l,且/(x)40,y),

作出函數(shù)/")的圖象如圖所示,

則當0<m<1時，函數(shù)與y=〃?的圖象有兩個交點，即方程FT=，〃有兩個不同的實數(shù)根，

?.?的取值范圍是（04）.

故選:c.

Y-4--Y、C

⑶函數(shù)={7，若了數(shù)y="x）-〃?，有三個不同的零點，則實數(shù)小的取值范圍是.

2x,x<0

【答案】m>2

【分析】對分段函數(shù)的每一段進行單調(diào)性分析，畫出對應的圖象，然后結(jié)合題意可得到/（"與.y=機有三

個不同的交點，結(jié)合圖象即可求解

【詳解】當x>0時，根據(jù)對勾函數(shù)可得/（x）=x+，在（1,?。┥蠁握{(diào)遞增，在（0,1）上單調(diào)遞減，故此時最

小值/。）=2；

當"0時，根據(jù)/3=2、在（TO,O］上單調(diào)遞減，故此時最小值"0）=1；

作出對應的圖象，如圖所示

函數(shù)y=/（x）-機有三個不同的零點，可看作/（X）與）'=6有三個不同的交點,

從圖象可得到實數(shù)m的取值范圍是〃>2

故答案為：m>2

〔灣;函數(shù)其中此R,若方程…g3=。恰

跟蹤訓練5（1）己知函數(shù)/。）=

有4個不等的實根，則〃的取值范圍是()

A.與+8)B.卜吟

C.。彳

【答案】D

【分析】先根據(jù)/(工)的解析式，求出效力的解析式，分高參數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.

2-x>0<x<2

2-Lv,"2

【詳解】因為〃x)=/'2cBp/(x)=<2+x,x<0

(x-2),x>2

(x-2)',x>2

x,04x42

所以/(2—x)=-2,

x2,^<0

由y=fM-g(x)=f(x)+f(2-x)-b=0.

得/>=/(x)+/(2—x).

x2+x+2,x<U

令h(x)=f(x)+f(2-x)=?2,0<x<2

x2-5x+8,x>2

當時’心)有最小值(，當C2時，心)有最小值3

因為方程/(x)-g*)=O恰有4個不等的實根，即)，=力與屈幻=/(幻+/(2-幻的圖象有4個不同的交點,

結(jié)合函數(shù)的圖象可得，

當?<〃<2時，函數(shù)丁=〃(%)恰有4個零點,

4

所以實數(shù)人的取值范圍是7:<人<2.

4

故選：D.

(2)若關于x的方程JW_4/+8="無實根，則的取值范圍是

【答案】(-00,2)

【分析】先將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，再求解.

【詳解】依題意，

因為V-4X+8=（X-2）2+4>0,

所以無論x取什么數(shù)，方程始終有意義，

原方程化為：/-4.1+8=m2，

所以（X-2『=〃?2-4,

因為"-2）&0,所以當〃-4<0,方程無解，

所以一2<v2,

因為一4X+8N0,所以當〃?<（）時，方程無解,

所以〃7<2.

故答案為：（-8,2）.

、二分法概念的理解

例6（1）下列函數(shù)圖象與九軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)二分法的適用條件判斷即可.

【詳解】利用二分法求函數(shù)零點必須滿足零點兩側(cè)函數(shù)值異號.

在B中，不滿足/（。卜/（2）<0,不能用二分法求零點，

由于A、C、D中零點兩側(cè)函數(shù)值導號，故可采用二分法求零點.

故選:B.

⑵用一分法求函數(shù)/（工）在（〃/）內(nèi)的唯一零點時，精確度為0.001,則結(jié)束計算的條件是（）

A.|?-/?|<0.1B.<0.001

C.卜-4>0.001D.卜-母=0.001

【答案】B

【分析】根據(jù)二分法的步驟，即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)二分法的步驟知

當區(qū)間長度|。-可小于精確度時，便可結(jié)束計算.

即當|。-4<0.001時，便可結(jié)束計算.

故選：B.

跟蹤訓練6(1)已知函數(shù)凡6的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為()

A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3

【答案】D

【詳解】圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4；左右函數(shù)值異號的零點有3個，所以可以用二分法

求解的個數(shù)為3,故選D.

(2)下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是()

、1

A.y=2xB.y=(x-2)*C.y=x+一-3D.y=lnx

x

【答案】B

【分析】依次判斷各個選項中函數(shù)的零點及在零點左右兩側(cè)函數(shù)值是否異號即可.

【詳解】對于A,)，=2x有唯一零點工=(),且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，則可用二分法求零點；

對丁B,)，-(.*-2)2有唯?零點八=2,但函數(shù)值在零點兩側(cè)同號，則不可用二分法求零點；

對于C,y=x+‘-3有兩個不同零點1=必叵，且在每個零點左右兩側(cè)函數(shù)值異號，則可用二分法求零點；

x2

對于D,y=hix有唯一零點x=l,且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，則可用二分法求零點.

故選：B.

七、用二分法求方程的近似解

例7(1)用二分法求方程x+lgx-3=0的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是()

A.[1,2]B.12,3]C.[3,41D.[4,5]

【答案】B

【分析】利用零點存在定理計算求解.

【詳解】設/(x)=x+lgx-3,顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的，

則有f(D=_2<0,/(2)=lg2-l<0,/(3)=lg3>0,/(4)=l+lg4>0,/(5)=2+lg5>0,

所以/⑴?/(2)>0,/(2)/3)v0,/(3)-/(4)>0,/(4)-/(5)>0,

故區(qū)間[2,3]可以作為初始區(qū)間，故A,C,D錯誤.

故選：B.

⑵已知函數(shù)2x-l在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在一個零點，用二分法計算這個零點的近似值，其參考數(shù)據(jù)(函

數(shù)值均保留四位小數(shù))如下：

/(1.5)=-0.62507(1.75)=0.8594/(1.625)=0.0410/(1.5625)=-0.3103

/(1.59375)=-0.1393/(1.609375)=-0.0503/(1.6I71875)=-OW5O/(1.621(39375)=0.0180

則這個零點的近似值為.(保留兩位小數(shù))

【答案】1.62

【分析】根據(jù)題意，由一分法分析可得函數(shù)〃x)=V-2x-l在。.6171875,1.62109375)內(nèi)存在零點，從而可

得答案.

【詳解】由表可知，/(1.6171875)=-0.0050<0,/(1.62109375)=0.0180>0

所以函數(shù)/(力=丁-2.1在區(qū)間(1.6171875」.62109375)內(nèi)存在零點，

這個零點保留兩位小數(shù)后的近似值為1.62.

故答案為：1.62

跟蹤訓練7(1)用二分法求方程11"='在[1,2]上的近似解，取中點則下一個有根區(qū)間是—.

x

【答案】(152)

【分析】令/(x)=lnx-f計算可得/⑴./(1.5)>0,/(1.5)./(2)<0,由此可確定有根區(qū)間.

【詳解】令/(x)=lnx-L

/(l)=lnl-l=-l<0,

2

/(l.5)=lnl.5--=-(31nl.5-2)=-pn--2")<-(lne-2)=0r

33318J3

/(2)=In2--^=Inx/4-^>ln>/e--^=O,

v/(l)/(1.5)>0,/(1.5)/(2)<0,\/(x)在區(qū)間(1.5,2)上有零點,

即In工=’的下一個有根區(qū)間為(15,2).

.1

故答案為：(1.5,2).

⑵已知函數(shù))，=/")的表達式為.f(x)=x-4log3X，用二分法計算此函數(shù)在區(qū)間［1，3］上零點的近似值，第一

次計算/⑴、〃3)的值，第二次計算/(內(nèi))的值，第三次計算/伍)的值，則々=

3

【答案】-

【分析】根據(jù)二分法的定義即可求解.

【詳解】依題意，

因為/3)=x-4log3X,

所以f(l)=l-41og31=l,

/(3)=3-41og33=3-4=-l,

所以/'(1)/(3)<。，所以零點所在的區(qū)間為(L3)：

故第二次計算/(N)的值時，苔=早=2,

9

所以/(2)=2-4log,2=log、—<logj=0,

lo

所以〃1)/(2)<0,所以零點所在的區(qū)間為(1,2)；

故第三次計算/(占)的值時，

3

故答案為：彳.

【課堂鞏固】

1.函數(shù)/(力二寸-犬-1的零點所在的區(qū)間可以是()

A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】函數(shù)/("的零點即為函數(shù))，=/。=/+1的交點的橫坐標，作出函數(shù)y=Vy=/+l的圖象，根

據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)零點的個數(shù)，再根據(jù)零點的存在性定理即可得解.

【詳解】令/(1卜丁一%2—』。，則父=/+1,

則函數(shù)/(x)的零點即為函數(shù)y=V,y=/+l的交點的橫坐標，

由圖可知函數(shù))，=丁尸=/+1的交點在第一象限，且只有一個交點

即函數(shù)/("二丁一/-1的零點大于零，且只有一個零點，

X/(0)=-l<0,/(l)=-l<0,/(2)=3>0,/(3)=17>0,

所以函數(shù)/(力=尸-/-1的零點所在的區(qū)間可以是(1,2).

故選：C.

2.函數(shù)/("=兇-3的零點個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】令/(司=岡-3=0,解之即可得解.

【詳解】令/(x)=國一3=0,解得x=±3,

所以函數(shù)“X)=|乂-3的零點個數(shù)是2個.

故選：c.

1_]r<1

3.函數(shù)〃x)=,'；,則函數(shù)y=/(/'(x))-i的零點個數(shù)為()

lnx,x>1

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】令/=/1),結(jié)合題意得到“。=1的兩根為f：=e,然后根據(jù)函數(shù)/*)的單調(diào)性和最值進

而求解.

【詳解】令/=/(幻，貝=當時，由一一1=1可得/=一右或/=應(舍去)；當”1忖，由hV=l

可得f=e,所以/⑴=1的兩根為…,

貝L，(x)=-0或/(x)=e,因為/⑶在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)之/(0)=-1,若/(4)=_&,易知方程無解，

若f*)=e,當xWl時，由Y-I=e,^x=->/e+T^x=4e+\(舍去)，

此時方程有唯一的解；

當H>1時，由lnx=e,得”=^,此時方程有唯一的解，

綜上所述可知函數(shù))，=八/(幻)-1的零點個數(shù)為2個，

故選：A.

4.若[]表示不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)/(人)=人-[人]一3的零點個數(shù)是()

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

【答案】D

【分析】取x=2+AreZ,[x]=k,此時/(力=女+：—%一：=0,得到答案.

乙乙乙

【詳解】取x=2+],kwZ,則[x]=I,litW/(x)=x—[x]——=—A:——=0,

即函數(shù)的零點是2+g，kwZ,有無數(shù)個.

故選：D

5.(多選)已知函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應值表：

X12345

y-0.21.30.9-0.5-1

下列區(qū)間中函數(shù)y=/Q)一定有零點的是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】AC

【分析】根據(jù)零點的存在性定理即可得出答案.

【詳解】因為函數(shù)y=的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

且f⑴<0,/(2)>0,/(3)>0J(4)<0,

函數(shù)在區(qū)間。,2)和(3,4)上一定有零點

故選：AC

6.(多選)已知函數(shù)=［臂關于x的方程〃耳+工_。=0有且只有一個實根，則實數(shù)〃的取

值可以是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】BCD

【分析】轉(zhuǎn)化為)，=〃”號丫=一1+〃有且只有交點，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.

【詳解】方程/(x)+x-〃=O有且只有一個實根，即y=/(x)與y=一X+4有且只有1個交點，

作出y=/(x)的圖象與丁=一%+。為圖象，如下：

則當aWl時，"“力與二=-%+々有2個交點,

當時，y=/(x)與丁=一》+〃有且只有1個交點，

故BCD符合條件

故選：BCD

7.下列函數(shù)圖象均與*軸有交點，其中能用二分法求函數(shù)零點的是,

【答案】③

【分析】根據(jù)二分法求零點對于零點兩側(cè)函數(shù)值符號的要求，直接判斷滿足條件的圖象即可.

【詳解】若函數(shù)的零點能用二分法求解，則在零點的左右兩側(cè)，函數(shù)值符號相反；

由圖象可知：只有③中圖象滿足此條件.

故答案為：③.

8.在用二分法求方程/。）=0在［0,1］上的近似解時,經(jīng)計算，/（0.5）＜0,/（0.75）＞0,/（0.625）＜0,即可

得出方程的一個近似解為（精確度為0.2）.

【答案】0.G875

【分析】根據(jù)二分法的計算過程即可求解.

【詳解】因為10.75-0.51=。.25>0.2,|0.75-0.625|=0.125<0.2,

所以0.75；0.625=06875可作為方程的近似解.

故答案為:0.6875.

9.函數(shù)/（“二?-的零點所在區(qū)間（取整數(shù)）尾

【答案】。，2）

【分析】先根據(jù)題意得出函數(shù)的定義域與單調(diào)性，再利用零點存在定理，即可得出答案.

【詳解】由題意，得了（x）的定義域為易知函數(shù)y=4和在［0,+oo）均為增函數(shù),

/、I一2/、2—2

所以/（X）在。+8）單調(diào)遞增，因為/（1）=&—（；）-=T＜0,/（2）=V2-^J'=A/2-1＞G,

所以由零點存在定理可知，函數(shù)零點所在區(qū)間為。，2）.

故答案為：（L2）.

10.若關于x的方程（￡|'+'〃=而1在實數(shù)范圍內(nèi)有解，則實數(shù)，〃的取值范圍是

【答案】[一2,”)

【分析】依題意〃?=在數(shù)范圍內(nèi)有解，令而X?TK),則問題轉(zhuǎn)化為尸，〃

與y=/(x)有交點，求出/(力的值域，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因為關于*的方程5=477在實數(shù)范圍內(nèi)有解，

即〃1="門—(/J在實數(shù)范圍內(nèi)有解，令/(力="打一(￡|：xe[—1,田)，

則問題轉(zhuǎn)化為)'=，〃與y=“X)有交點，

因為)，=HT與),=_(：，在定義域上單調(diào)遞增，所以/(力在[T,-3)上單調(diào)遞增，

X/(-l)=-2,所以“x)w[—2,*o),

則〃7目—2,+00).

故答案為：[-2,+8)

21HlY<0

11.己知函數(shù)/(x)={；-，則/(x)的最小值為______.令g(x)=/(x)-/〃，若g(x)有4個零點,

[lug2人]，人>。

則陽的取值范圍是.

【答案】o(1,2]

【分析】由題意可得〃力的圖象，依據(jù)圖象求出〃力的最小值，畫直線了=，〃與圖象有4個交點的情況，

得出血的范圍.

【詳解】解：由題意可得函數(shù)/")的圖象，所以/("的最小值為0;

當陽￡(1,2]時,直線y=m與/(耳的圖象有4個交點.

故答案為：0,(1,2].

12.已知函數(shù)/(x)=203，x的零點玉?太%+1),kwZ,則2=.

【答案】2

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理判斷零點的范圍，即可得答案.

【詳解】因為函數(shù))，=3力為R上單調(diào)減函數(shù)，

故函數(shù)〃司=20?3-'-'為R上單調(diào)減函數(shù)，

9()77()

X/(2)=20-3-2-2=y-2=->0,/(3)=20r3-3=^-3<0,

故f(力=20-產(chǎn)-x在(2,3)上有唯一零點，

結(jié)合題意可知攵=2,

故答案為：2

13.若關于尤的方程2:34+1=0在(―』上有解，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

【分析】首先將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2'與在(華』有交點，即可得到答案.

【詳解】方程2、-3々+1=()在(Y1]上有解，

等價于函數(shù)y=2、與好%-1在(YO,1]有交點，

因為x?Y0,l],所以y=2Z(O,2],

所以0v3a-lW2,解得;<。41.

故答案為:Q，1

14.已知函數(shù)/。)=/-2辦+5在區(qū)間(2,4)上有零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】45<a<^

O

【分析】等價于2。=工+?在區(qū)間(2,4)上有解，設或x)=x+3,xe(2,4),求出函數(shù)以幻的最值即得解.

【詳解】函數(shù)/（X）=4-21+5在區(qū)間（2,4）上有零點,

即寸-2辦+5=0在區(qū)間（2,4）上有解，

所以2。=上廿=1+工在區(qū)間（2,4）上有解，

XX

設式x）=x+2,XG（2,4）,

x

由于g（x）在區(qū)間（2,石]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（行,4）上單調(diào)遞增，

所以g*）Ein=g（石）=2>/5，g（X）n?x=g（4）=[~，

所以g（x）e[2石,?），

4

所以2括K為〈名，即石

48

故答案為：\[5<a<^-

O

15.已知函數(shù)、一：'：'八的零點個數(shù)為___________.

2x~-7x4-4-lnx,x>0

【答案】3

【分析】分xWO和x>0兩種情況討論，x>0時，函數(shù)〃"=2工2-入+4-3零點的個數(shù)，即為函數(shù)

），=2x2-7x+4,y=lnx圖象交點的個數(shù)，作出函數(shù)y=2/-7.1+4,I>，=1仙的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象即可得解.

【詳解】當時，由f（x）=2'"-3=0,得x—log23-4,

當％>0時,ft/（x）=Zr2-7x+4-lnx=0,t#2r2-7x+4=lnx,

貝心>0時，函數(shù)〃力=2/_7144一1般零點的個數(shù)，

即為函數(shù)丁=2/-7%+4,），=山圖象交點的個數(shù)，

如圖，作出函數(shù)）=2/-7x+4,y=lnx的圖象，

由圖可知，兩函數(shù)的圖象有2個交點，

即當x>0時，函數(shù)/(力=2工2-7x+4-Inx有2個零點,

綜上所述，函數(shù)/(x)有3個零點.

故答案為：3.

【課時作業(yè)】

1.函數(shù)f(x)=\nx--,(常數(shù)=2.718)的零點所在區(qū)間為()

X

A.B.(e,e2)C.(0,1)D.(l,e)

【答案】B

【分析】由零點存在定理及/(x)的單調(diào)性可得/5)在(e,d)上有唯一零點，從而得解.

【詳解】因為)，=lnx與尸-，在(0,y)上單調(diào)遞增，

所以/(x)=lnx-生在(0,+向上單調(diào)遞增，

.1

X/(e)=lne-2=-l<0,/(e2)=lne2一。=2:”>(),

所以f(“)在(ed)上有唯一零點，

所以/(x)的零點所在區(qū)間為卜通2).

故選:B.

,11

2.若內(nèi)，超是二次函數(shù)丁=廠-51+6的兩個零點，則一+一的值為()

X]x2

1115

A.—B.—C.—D.—

2366

【答案】D

【分析】解方程可得司=2冬=3,代入運算即可得解.

【詳解】由題意，令/-5X+6=0,解得尸2或3,

不妨設玉=2也=3,代入可得;+；=；+；='.

A.1兒,N，O

故選：D.

3.已知函數(shù)/(4)=11況(人十〃)十“i(〃>0且〃工1)的圖象過定點(〃/)，則函數(shù)g")=l也人十〃’的零點

所在區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】A

+fl=1

【分析】由函數(shù)所過定點的坐標可得出L〃一二o,求出小、〃的值，可得出函數(shù)g("的解析式，分

析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.

【詳解】因為函數(shù)/(?=1嗎b+〃)+"-"("0且"1)的圖象過定點(〃?」)，

in+n=11,、(IY*

則|A?可得利=〃=彳，所以，g(x)=log1x+-,

in-n=02；

因為函數(shù)尸bg：x、)，=(gJ在(0*)上均為減函數(shù)，

所以，函數(shù)g(X)=log[X+(g)在(0,+8)上為減函數(shù)，

1/1\2?Q

且g(l)=3>。，^(2)=log,2+-=--1=--<0,

L2\-J44

由零點存在定理可知，函數(shù)g(x)的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi).

故選：A.

4.已知函數(shù)/(%)=2%+3/,g(x)=x2+\nx,%(x)=3*+%-5的零點分別為%,占，鼻，則()

A.x2>x3>x,B.x3>x2>N

C.K>x2>x3D.>X)>x,

【答案】B

【分析】令〃戈)=0,得M=。；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理可得x,w(Ll),6(1,2),即可得答案.

e

【詳解】解：令/(x)=2x+3/=*2+3/)=0,得x=0,即M=0；

因為g(x)=丁+Inx,x>0,易知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因為gA)=(-)2-1<0,g⑴=I>0,所以超￡(L1)；

eee

/心)=3、+x-5,x€R,易知h(x)在R上單調(diào)遞增，

又因為〃(1)=3+1-5=-1<0,〃(2)=9+2-5=6>0,所以七6(1,2)；

所以巧>電>為.

故選：B.

5.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程。,-(1+3)=()(“2.72)的一個根所在的區(qū)間是()

X-10123

e