3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一一次函數(shù)模型

形如)，=丘+〃的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中々六0.

知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)模型

1.一般式：)，=加+飯+c(〃K0).

2.頂點(diǎn)式：y=a(x—h)2-\-k(a^0).

3.兩點(diǎn)式：y=a(x—ni)(x—n)(a^0).

知識(shí)點(diǎn)三幕函數(shù)模型

1.解析式：y="+"b,a為常數(shù)，。工0).

2.單調(diào)性：其增長(zhǎng)情況由片中的a的取值而定.

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以

上事件吻合得最好的圖象是()

2.某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為尸5x+4000,而手套出廠價(jià)格為每副10

元，

則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為()

A.200副B.400副C.600副D.80()副

3.(多選)某商品A以每件2元的價(jià)格出售時(shí)，銷售量為10萬(wàn)件.經(jīng)過調(diào)查，單價(jià)每提高0.2元，銷售量減

少5000件，要使商品A銷售總收入不少于22.4萬(wàn)元，該商品A的單價(jià)可定為()

A.2.6元B.2.8元C.3元D.3.2元

4.用長(zhǎng)度為24m的材料圍成一矩形場(chǎng)地，并且中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為

5.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖

表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程Mkm）與時(shí)間x（min）的關(guān)系，其中甲在公園休息的時(shí)間是10min,

那么y=/U）的解析式為________________.

【例題詳解】

一,二次函數(shù)模型

例I一公司某年用128萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備，使用4年后需要的維護(hù)費(fèi)總計(jì)2f+1以萬(wàn)元，該設(shè)備每年

創(chuàng)造利潤(rùn)54萬(wàn)元.

⑴求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，總利潤(rùn)最大，最大是多少？

⑵求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？

跟蹤訓(xùn)練1目前脫貧攻堅(jiān)進(jìn)入決勝的關(guān)鍵階段，某扶貧企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，決定投入

90萬(wàn)元再上一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后前〃年的支出成本為（10〃2一5力萬(wàn)元，每年的銷售收

入95萬(wàn)元.

⑴怙計(jì)該設(shè)備從第幾年開始實(shí)現(xiàn)總盈利：

⑵使用若干年后對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種：

方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以20萬(wàn)元的價(jià)格處理；

方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以60萬(wàn)元的價(jià)格處理；

問哪種方案較為合理？并說明理血

二、分段函數(shù)模型

例2雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場(chǎng)轉(zhuǎn)型升級(jí)的重要方向.根據(jù)工信部最新數(shù)據(jù)顯示，截

至2022年一季度，我國(guó)新能源汽車已累計(jì)推廣突破1000萬(wàn)輛大關(guān).某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，

通過市場(chǎng)分析，每生產(chǎn)蟲千輛）獲利W"（萬(wàn)元），W（x）=\該公司預(yù)計(jì)2022年

全年其他成本總投入為（20x+10）萬(wàn)元.由市場(chǎng)調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求.記2022年的全年利

潤(rùn)為/（x）（單位:萬(wàn)元）.

⑴求函數(shù)〃力的解析式；

⑵當(dāng)2022年產(chǎn)量為多少千輛時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少？

跟蹤訓(xùn)練2某電影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售價(jià)相同，根據(jù)影院的經(jīng)營(yíng)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)每桶售價(jià)不

超過20元時(shí)，當(dāng)天可售出500桶；當(dāng)每桶售價(jià)高于20元時(shí)，售價(jià)每高出1元，當(dāng)天就少售出20桶.已知每

桶爆米花的成本是4元，設(shè)每桶爆米花的售價(jià)為x（x>4且xwN*）元，該電影院一天出售爆米花所獲利

潤(rùn)為元.（總收入=總成本+利潤(rùn)）

⑴求）'關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

⑵試問每桶爆米花的售價(jià)定為多少元時(shí)，該電影院一天出售爆米花所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？

三、哥函數(shù)模型

例3某企業(yè)計(jì)劃投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成

正比，投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬(wàn)元時(shí)，甲、乙兩類產(chǎn)品的利潤(rùn)

分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元.

（1）分別寫出兩類產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額%的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該企業(yè)有100萬(wàn)元資金，全部用于生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品，問怎樣分配資金能使得利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)

為多少萬(wàn)元？

跟蹤訓(xùn)練3美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A,〃兩種芯片都已經(jīng)

獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)杳與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A

3.如圖所示，液體從一個(gè)圓錐形漏斗漏入一個(gè)圓柱形桶中，開始時(shí)漏斗中盛滿液體，經(jīng)過3秒漏完，圓柱

形桶中液面上升速度是一個(gè)常顯，則漏斗中液面下降的高度H與下降時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象只可能

是（）

4.某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為尸=160-2，r,生產(chǎn)x件所

需成本為。（元），其中C=5OO+3Ox,若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量式的取值范圍是（）

A.20<x<30,xeN'B.20<x<45,AGN,

C.15<x<30,xeN"D.15W45,AGN*

5.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)〃，計(jì)費(fèi)方法如下:

每戶每月用水量水價(jià)

不超過10m'的部分2.5元而

超過10m，但不超過15m,的部分5元/m’

超過15m3的部分7.5元/m’

若某戶居民本月交納的水費(fèi)為6s元，則此戶居民本月用水量為（）

26,

A.I7m3B.15m'C.13n?D.—m

6.“空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）〃是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無(wú)量綱指數(shù).當(dāng)AQI大于200時(shí),表示空氣重度污染,

[-10/+290,0</^12

不宜開展戶外活動(dòng).某地某天0~24時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)丁隨時(shí)間，變化的趨勢(shì)由函數(shù)），="廠_?

56Vz-24,12</<24

描述，則該天適宜開展戶外活動(dòng)的村長(zhǎng)至多為（）

A.5小時(shí)B.6小時(shí)C.7小時(shí)D.8小時(shí)

7.某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)（單位：io萬(wàn)元）

與營(yíng)運(yùn)年數(shù)MxeN.）為二次函數(shù)關(guān)系（如圖所示），則每輛客車營(yíng)運(yùn)（）年時(shí)，其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn);最

8.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖所示，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截

取矩形鐵片（如圖中陰影部分）備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形的兩邊長(zhǎng)心），應(yīng)分別為.

9.某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3千米（不超過3千米按起步價(jià)付費(fèi)）；超過3千

米自不超過8千米時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8二米時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另

每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元.若某人乘坐出租車行駛了5.6千米，則需付車費(fèi)元，若某人乘坐一

次出租車付費(fèi)22.6元，則此出租車行駛了千米.

10.有300m長(zhǎng)的籬笆材料，如果利用已有的一面墻（設(shè)長(zhǎng)度夠用）作為一邊，圍成一塊矩形菜地，問矩形的

長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，這塊菜地的面枳最大？

11.某家庭進(jìn)行網(wǎng)上理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投費(fèi)債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正

比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的年收益分

別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元（如圖）.

⑴分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益與投資的函數(shù)關(guān)系式：

（2）該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收

益是多少萬(wàn)元？

12.手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500分鐘以下（包括500分鐘）、60分鐘以上（不包括60分鐘）按30元計(jì)費(fèi)，超過

500分鐘的部分按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi)，假如上網(wǎng)時(shí)間過短，使用量在1分鐘以下不計(jì)費(fèi)，在1分鐘以上（包括

1分鐘）按（）.57匕/分鐘計(jì)費(fèi)，手機(jī)上網(wǎng)不收通話贄和漫游費(fèi).

①12月份小王手機(jī)上網(wǎng)使用量20小時(shí)，要付多少錢？

②小舟10月份付了90元的手機(jī)上網(wǎng)費(fèi)，那么他上網(wǎng)時(shí)間是多少？

③電腦上網(wǎng)費(fèi)包月60元/月，根據(jù)時(shí)間長(zhǎng)短，你會(huì)選擇哪種方式上網(wǎng)呢？

【課時(shí)作業(yè)】

1.在線直播帶貨已經(jīng)成為一種重要銷售方式，假設(shè)直播在線購(gòu)買人數(shù)），（單位；人）與某產(chǎn)品銷售單價(jià)工

（單位：元）滿足關(guān)系式：），=—Q-x+40,其中20。＜100,根為常數(shù)，當(dāng)該產(chǎn)品銷售單價(jià)為25時(shí)，，在

線購(gòu)買人數(shù)為2015人；假設(shè)該產(chǎn)品成本單價(jià)為20元，且每人限購(gòu)1件；下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.實(shí)數(shù)機(jī)的值為10000B.銷售單價(jià)越低，直播在線購(gòu)買人數(shù)越多

C.當(dāng)x的值為30時(shí)利潤(rùn)最大D.利潤(rùn)最大值為10000

2.《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過5000元的部分不必納稅，超過

50C0元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算：

全月應(yīng)納稅所得額稅率

不超過3000元的部分3%

超過3000元至12000元的部分10%

超過12000元至25000元的部分20%

有一職工八月份收入20000元，該職工八月份應(yīng)繳納個(gè)稅為（）

A.2000元B.1500元C.990元D.1590元

3.將進(jìn)貨價(jià)為每個(gè)80元的商品按90元一個(gè)出售時(shí)，能賣出4co個(gè)，每漲價(jià)1元，銷售量就減少20個(gè),

為了使商家利潤(rùn)有所增加，則售價(jià)。（元/個(gè)）的取值范圍應(yīng)是（）

A.9()<rz<l(X)B.90<〃<110C.1()D.80</7<100

4.為配制?種藥液，進(jìn)行了二次稀釋，先在容積為40L的桶中盛滿純藥液，第?次將桶中藥液倒出VL用水

4

補(bǔ)滿，攪拌均勻，第二次倒出《瓦后用水補(bǔ)滿，若第二次稀釋后桶中藥液含最不超過容積的60%,則V的

最小值為（）

A.5B.10C.15D.20

5.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長(zhǎng)工為（）

A.400B.12C.20D.30

6.在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后,

血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.下面能反映血液中藥物含量。隨時(shí)間，變化的圖象是（）

7.如圖一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am、4m,其中0vavl2,不

考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)在想用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花圃48C。，設(shè)此矩形花圃的最大面積為

5（單位：，〃2）,若將這棵樹圍在花面內(nèi)，則函數(shù)s=/（a）的圖象大致是（）

8.已知某商品的進(jìn)貨成本為10（元/件），經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間調(diào)研，發(fā)現(xiàn)售價(jià)x（元）與月銷售量y（件）滿足函

IQnn

數(shù)關(guān)系式），=臀+為了獲得最大利潤(rùn)，商品售價(jià)應(yīng)為（）

x~X

A.80元B.60元C.50元D.40元

9.某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，這種商品每天的銷審，〃（件）與售價(jià)x（元）

滿足一次函數(shù)，〃=l（X）-2x,若要每天獲得最大的銷售利潤(rùn)，則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為元.

10.長(zhǎng)為5、寬為4的矩形，當(dāng)長(zhǎng)增加X,且寬減少］時(shí)面積最大，此時(shí)x=,最大面積5=

11.某工廠生產(chǎn)某種零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個(gè)零件要增加投入100元，已知總收入Q（單

400.V--X2,0<X<400

位：元）關(guān)于產(chǎn)量x（單位：個(gè)）滿足函數(shù)：Q=2

80000」>400

⑴將利潤(rùn)P（單位：元）表示為產(chǎn)量K的函數(shù)；（總收入=總成本+利潤(rùn)）

（2）當(dāng)產(chǎn)鼠為何值時(shí)，零件的利潤(rùn)最大？最