4.5函數(shù)的應用（二）

【知識梳理】

知識點一函數(shù)的零點

對于函數(shù)y=7U）,我們把使人r）=0的實數(shù)x叫做函數(shù)丁=人幻的零點.

方程、函數(shù)、圖象之間的關系：

方程yu）=o有實數(shù)解臺函數(shù)），=小）有零點0函數(shù)y=/U）的圖象與X軸有交點.

知識點二函數(shù)的零點、方程的解、函數(shù)圖象與x軸的交點

方程“丫）=。的實數(shù)解㈡函數(shù)），=危）的零點0函數(shù)y=/U）的圖象與x軸的交點的橫坐標.

知識點三函數(shù)零點存在定理

如果困數(shù)y=/U）在區(qū)間口，切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有人。）貝。）＜0,那么，出數(shù)y=/U）在區(qū)

間

3,〃）內(nèi)至少有一個零點，即存在b）,使得?c）=（）,這個c也就是方程/U）=0的解.

知識點四二分法

對于在區(qū)間口，/“上圖象連續(xù)不斷且火4）次/力＜0的函數(shù)y=/（x）,通過不斷地把函數(shù)J5）的零點所在的區(qū)間一

分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，可用二分法來求方程的近似解.

知識點五用二分法求函數(shù)/U）零點近似值的步驟

1.確定零點項的初始區(qū)間口,切，驗證處1）不。）＜0.

2.求區(qū)間（a,b）的中點c.

3.計算人c）,并進一步確定零點所在的區(qū)間：

（1）若y（c）=O（此時M）=c）,則c就是函數(shù)的零點；

（2）若加）?）＜0（此時即￡（a,c））,則令b=c；

（3）若九0貝力＜0（此時xoW（c,協(xié)）,則令a=c.

4.判斷是否達到精確度e：若|a一臼V￡,則得到零點近似值。（或份；否則重復步驟（2）?（4）.

以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎

么辦？精確度上來判斷.

【基礎自測】

1.在下列區(qū)間中，函數(shù)yU)=e、+4x—3的零點所在的區(qū)間為()

1If1W

A.4'0B.C.4,2,D.4

X2+2A—3,XW0,

2.f(x)=l-2+m…＞。的零點個數(shù)沏)

A.3B.2C.ID.0

3.函數(shù)凡￥)=(Jg幻?一1gX的零點為.

4.函數(shù)一的零點有個?

5.已知函數(shù)/(x)=log2.K+x-〃的零點在區(qū)間(0川上，則的取值范圍為

【例題詳解】

一、求函數(shù)的零點

例1(1)函數(shù)/(4)=1。&(41)-2的零點為()

A.10B.9C.(10,0)D.(9,0)

窿廣,則《(同二

(2)已知函數(shù)./'(4)=，，函數(shù)g(x)=〃x)-2的零點為

7-2U的零點是()

跟蹤訓練1(1)函數(shù)/(力=

A.(-1,0),(9,0)B.T9C.(9,0)D.9

3

⑵若5是函數(shù)/(X)=2/-ax+3的一個零點，則/(幻的另一個零點為

二、探求零點所在區(qū)間

?

例2(1)函數(shù)〃x)=lnx-4的零點所在的大致區(qū)間是()

A.B.(1,2)C.(2,3)D.(e,+8)

⑵函數(shù)人力二6-2的零點所在的區(qū)間為()

X

D.

跟蹤訓練2⑴函數(shù)/(x)=3'+3x8的零點所在的區(qū)間為()

A.(OJ)B.(弓)C.(別D.(3,4)

4

⑵函數(shù)〃x)=log4(2x+4)-nY的一個零點所在的一個區(qū)間是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

三、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍

例3⑴函數(shù)y=f_(〃.]).小的一個零點在區(qū)間(I2內(nèi)，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(1,2)D.(2,3)

⑵函數(shù)二加噫工+。-4'+3在區(qū)間上有零點，則實數(shù)〃的取值范圍是()

3

⑶已知函數(shù)/(x)=log2”——的零點為為,且M+貝lj〃=.

A.0B.1C.2D.3

⑶已知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，/(x)單調(diào)遞增，且/(-&)=(),/6)<一3,/(2)>3,

則函數(shù)g(x)=|/(x)|-3的零點個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

五、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍

例5(1)函數(shù)/(6=/+心+1有兩個不同的零點，則機的取值范圍是()

A.-1<ZZZ<1B.-2<m<2

C.m>1或，〃<-lD.ni>2或，〃<-2

(2)若方程卜卜，〃有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范圍為()

A.(0,+e)B.(0,1]C.(0,1)D.(1,y)

Y-4-v、C\

⑶函數(shù),若函數(shù)y=/(x)-/〃，有三個不同的零點，則實數(shù)"，的取值范圍是

2T,x40

跟蹤訓練5⑴已知函數(shù)/(x)=C="2，函數(shù)g(x)"/(27),其中〃eR,若方程/3-以外=0恰

(x-2),x>2,

有4個不等的實根，則人的取值范圍是()

A,狂)B.f)C.㈣D.牛2

(2)若關于x的方程&_。+8=用無實根,則，〃的取值范圍是,

六、二分法概念的理解

例6(1)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()

⑵用二分法求函數(shù)在("〃)內(nèi)的唯一零點時，精確度為0.001,則結束計算的條件是()

A.\a-t\<OAB.|?-Z?|<O.(X)1

C.p-/?|>0.001D.小-4=0.001

跟蹤訓練6(1)已知函數(shù)火x)的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為()

A.4,4B.3,4C.5,4

⑵下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是()

A.y=2xB.y=(x-2)2C.v=x+—3D.V=Inx

x

七、用二分法求方程的近似解

例7(1)用二分法求方程工+恒工-3=。的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是()

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

(2)已知函數(shù)/(x)=V-2x7在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在一個零點，用二分法計算這個零點的近似值，其參考數(shù)據(jù)(函

數(shù)值均保留四位小數(shù))如下：

/(1.5)=-0.6250/(1.75)=0.85947(1.625)=0.0410/(1.5625)=-0.3103

7(1.59375)=-0.1393“1.609375)=-0.0503/(1.6171875)=-0.0050/(1.62109375)=0.0180

則這個零點的近似值為.(保留兩位小數(shù))

跟蹤訓練7⑴用二分法求方程在向上的近似解，取中點-5則下一個有根區(qū)間是

⑵已知函數(shù)y=/(x)的表達式為/*)=%-4睡3工，用二分法計算此函數(shù)在區(qū)間[L3]上零點的近似值，第一

次計算/⑴、〃3)的值，第二次計算/(%)的值，第三次計算/(w)的值，則/=.

【課堂鞏固】

L函數(shù)/(x)=V—x2—1的零點所在的區(qū)間可以是()

A.(OJ)B.(-1,0)C.(1,2)D.(2,3)

2.函數(shù)/(力=兇-3的零點個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

d—[v<1

3.函數(shù)/("=,一’：，則函數(shù)y=/(f(x))-i的零點個數(shù)為()

In1

A.2B.3C.4D.5

4.若國表示不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù),“x)=x-[x]-；的零點個數(shù)是()

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

5.（多選）已知函數(shù)的圖象是?條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應值表:

X12345

y-0.21.30.9-0.5-1

下列區(qū)間中函數(shù)y=一定有零點的是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.(4,5)

6.（多選）已知函數(shù)=關于x的方程/（力+工一。=0有且只有一個實根，則實數(shù)。的取

值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

7.下列函數(shù)圖象均與％軸有交點，其中能用二分法求函數(shù)零點的是

④

8.在用二分法求方程/3）=0在［0J上的近似解時，經(jīng)計算，/（0.5）＜0,/（0.75）＞0,/（0.625）＜0,即可

得出方程的一個近似解為（精確度為0.2）.

9.函數(shù)/("=?-的零點所在區(qū)間（取整數(shù)）是

10.若關于4的方程（；）,+〃?=而I在實數(shù)范圍內(nèi)有解，則實數(shù)機的取值范圍是

篇2”刊了x<0?！瘎t小)的最小值為——.令g("(5若且(”有4個零點，

11.已知函數(shù)/(x)=?

則州的取值范圍是

12.已知函數(shù)〃力=20-3-，3的零點%?匕2+1),kwZ,則攵=

13.若關于x的方程2,-3〃+1=0在(f』上有解，則實數(shù)。的取值范圍是,

2

14.已知函數(shù)f(x)=x-2公+5在區(qū)間(2,4)上有零點，則實數(shù)t7的取值范圍是

>+4-3v<0

15.已知函數(shù)〃1)=<4.73-。的零點個數(shù)為

【課時作業(yè)】

1.函數(shù)f(x)=\nx-,(常數(shù)62.718)的零點所在區(qū)間為()

A.(f,/)B.(e,e2)C.(0J)D.(l,c)

?.若X，%是一次函數(shù)丁=d-5工+6的兩個零點，則'的值為()

X\X2

11一1八5

A.—B.--C.--D.-

2366

3.已知函數(shù)〃力=1%('+〃)+尸(a>0且a=l)的圖象過定點(昭1)，則函數(shù)g(x)=log“x+〃'的零點

所在區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

2

4.已知函數(shù)/(x)=2x+3x\g(x)=x+\nxf〃(*)=3*+X-5的零點分別為孫孫占，則()

A.x2>x3>X)B.A3>x2>X)

C.Xj>x2>x3D.石>A|>x2

5.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程e'-(x+3)-0(c-2.72)的一個根所在的區(qū)間是()

X-10123

0.3712.727.4020.12

x+323456

A.(TO)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

6.若函數(shù)/(x)=2ar2-x_］在區(qū)間Qi)內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-l)B.(-U)C.(0,1)D.(1收)

7.已知函數(shù)/(幻=<(5)Tx&2,則函數(shù)晨x)=/(x)一五的零點個數(shù)為()

4-x,x>2

A.1B.2C.3D.4

8.已知函數(shù)=<2八，若實數(shù)"?€(0』，則函數(shù)g“)=/(x)?的零點個數(shù)為()

-x--2x,x<0

A.0或1B.1或2C.1或3D.2或3

|log,(x-3)|+lTA->3

9.已知函數(shù)/")=「?,若關于x的方程〃步!知2-3/("+4"?=0有8個不相等的實根,

2,—3,

則實數(shù)機的取值范圍為()

39：93

D.

SB134J

10.用“二分法”求方程V—2x-5=（）在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實根，取區(qū)間中點為天=2.5,那么下一個有根的區(qū)間

是（）

A.[2,2.5]B.[2.5,3]C.[2,2.25]D.[2.75,3]

11.（多選）給出以下四個方程，其中有唯一解的是（）

A.lnx=l-xB.ev=—

x

C.2-x2=lg|x|D.2'=W

12.（多選）已知函數(shù)=實數(shù)。力（"3是函數(shù)y=/（x）-/〃的兩個零點，則下列結論正確的有

（）

A.zv>1B.0<n