動(dòng)態(tài)平衡相似三角形法試卷一、知識(shí)梳理與方法歸納（一）動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的核心特征動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題是指物體在緩慢變化過(guò)程中始終處于平衡狀態(tài)，其核心特征包括：瞬時(shí)靜止性：物體在任意時(shí)刻的加速度為零，合外力為零；過(guò)程連續(xù)性：力的大小和方向隨幾何關(guān)系連續(xù)變化；條件關(guān)聯(lián)性：平衡條件（如共點(diǎn)力平衡、力矩平衡）與幾何約束（如繩長(zhǎng)不變、接觸面光滑）相互耦合。（二）相似三角形法的適用場(chǎng)景當(dāng)物體受到三個(gè)共點(diǎn)力作用且滿足以下條件時(shí)，可優(yōu)先采用相似三角形法：一個(gè)力大小方向均不變（如重力）；一個(gè)力方向不變，大小變化（如支持力）；一個(gè)力大小方向均變化（如拉力）；物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，力的矢量三角形與某一幾何三角形始終相似。（三）解題步驟受力分析：確定研究對(duì)象，畫(huà)出受力示意圖，明確已知力和變力；構(gòu)建矢量三角形：將三個(gè)力平移為首尾相接的閉合三角形；尋找?guī)缀蜗嗨迫切危焊鶕?jù)題目中的幾何約束（如桿長(zhǎng)、繩長(zhǎng)、角度變化）確定與矢量三角形相似的幾何三角形；列比例式求解：利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，建立力與幾何量的關(guān)系，分析力的變化規(guī)律。二、典型例題解析例題1：繩桿組合模型題目：如圖所示，質(zhì)量為m的小球用輕繩懸掛在天花板上，輕繩與豎直方向夾角為θ，同時(shí)用輕桿一端固定在墻面，另一端與小球連接，桿與水平方向夾角為α。若緩慢減小θ，分析繩的拉力T和桿的彈力F的變化情況。解析：受力分析：小球受重力mg（豎直向下，不變）、繩拉力T（沿繩方向，變力）、桿彈力F（沿桿方向，變力），三力共點(diǎn)平衡。構(gòu)建矢量三角形：將T、F、mg平移為閉合三角形，其中mg邊豎直向下，T邊與豎直方向夾角為θ，F(xiàn)邊與水平方向夾角為α。幾何相似關(guān)系：設(shè)天花板到小球的豎直距離為h，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，桿長(zhǎng)為d，由幾何關(guān)系可知，矢量三角形與以h、L、d為邊的直角三角形相似（對(duì)應(yīng)角相等）。比例式建立：矢量三角形中：$\frac{mg}{h}=\frac{T}{L}=\frac{F}z3jilz61osys$因h、L、d為定值，當(dāng)θ減小時(shí)，h不變，故T和F均保持不變。結(jié)論：繩的拉力T和桿的彈力F大小均不變。例題2：斜面滑塊模型題目：傾角為θ的光滑斜面固定在水平地面上，斜面上有一質(zhì)量為m的滑塊，用輕繩跨過(guò)定滑輪與質(zhì)量為M的物體連接，繩與斜面平行。若緩慢增加θ，分析滑塊對(duì)斜面的壓力N和繩的拉力T的變化情況。解析：受力分析：滑塊受重力mg（豎直向下，不變）、斜面支持力N（垂直斜面向上，方向不變）、繩拉力T（沿斜面向上，變力），三力平衡。矢量三角形構(gòu)建：將N、T、mg平移為閉合三角形，其中N垂直斜面，T平行斜面，mg豎直向下，矢量三角形為直角三角形（N與T垂直）。幾何相似關(guān)系：矢量三角形與斜面的直角三角形相似（斜面傾角為θ，對(duì)應(yīng)角相等）。比例式：$\frac{N}{mg\cos\theta}=1$（N=mgcosθ）$\frac{T}{mg\sin\theta}=1$（T=mgsinθ）當(dāng)θ增大時(shí)，cosθ減小，sinθ增大，故N減小，T增大。結(jié)論：支持力N隨θ增大而減小，繩拉力T隨θ增大而增大。三、進(jìn)階題型訓(xùn)練題型1：雙繩懸掛模型題目：質(zhì)量為m的物體用兩根等長(zhǎng)輕繩懸掛在天花板上，兩繩與豎直方向夾角均為α，現(xiàn)保持繩長(zhǎng)不變，緩慢將物體向右移動(dòng)，使兩繩夾角增大為2α，分析繩拉力T的變化。提示：受力分析：物體受重力mg（不變）、兩繩拉力T1=T2=T（對(duì)稱，變力）；矢量三角形：兩拉力對(duì)稱，合力豎直向上與mg平衡，矢量三角形為等腰三角形，頂角為2α；幾何關(guān)系：設(shè)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，天花板兩懸掛點(diǎn)間距為d，由幾何關(guān)系得$\sin\alpha=\frac{d/2}{L}$，矢量三角形中$\frac{T}{\sin(\frac{\pi-2\alpha}{2})}=\frac{mg}{\sin2\alpha}$，化簡(jiǎn)得$T=\frac{mg}{2\cos\alpha}$，α增大時(shí)T增大。題型2：含滑輪動(dòng)態(tài)模型題目：如圖所示，輕繩一端固定在A點(diǎn)，另一端跨過(guò)定滑輪B連接質(zhì)量為m的物體，滑輪B固定在天花板上，A、B兩點(diǎn)高度差為h，水平距離為x。若緩慢增大x，分析繩的拉力T和滑輪對(duì)天花板的壓力N的變化。提示：繩拉力T=mg（定滑輪不改變力的大?。换喪軆衫K拉力T（夾角為θ）和天花板拉力N（合力），矢量三角形中N=2Tcos(θ/2)；幾何關(guān)系：$\cos(\theta/2)=\frac{h}{\sqrt{h^2+x^2}}$，x增大時(shí)θ增大，cos(θ/2)減小，故N減小。四、易錯(cuò)點(diǎn)與解題技巧（一）易錯(cuò)點(diǎn)混淆矢量三角形與幾何三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系：需注意矢量的方向與幾何邊的方向是否一致，避免將銳角與鈍角對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤；忽略“緩慢移動(dòng)”條件：只有在“緩慢”過(guò)程中，物體才處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，若存在加速度則需結(jié)合牛頓定律分析；漏審幾何約束條件：如“繩不可伸長(zhǎng)”“桿長(zhǎng)度不變”等條件是判斷相似關(guān)系的關(guān)鍵，需重點(diǎn)標(biāo)注。（二）解題技巧動(dòng)態(tài)圓輔助分析：當(dāng)矢量三角形中一個(gè)力不變，另一個(gè)力方向不變時(shí)，可將變力的端點(diǎn)在圓上移動(dòng)（如“動(dòng)態(tài)圓法”），結(jié)合相似三角形驗(yàn)證結(jié)論；極端值法驗(yàn)證：通過(guò)取θ=0°、θ=90°等極端角度，判斷力的變化趨勢(shì)是否與相似三角形法結(jié)論一致；多過(guò)程對(duì)比：對(duì)比不同幾何參數(shù)（如繩長(zhǎng)、桿長(zhǎng)）對(duì)力的影響，總結(jié)“相似比”與力的變化規(guī)律。五、綜合應(yīng)用題題目：如圖所示，質(zhì)量為M的圓環(huán)套在豎直固定桿上，圓環(huán)通過(guò)輕繩與質(zhì)量為m的小球連接，繩跨過(guò)光滑定滑輪，滑輪到桿的水平距離為d。若圓環(huán)從與滑輪等高的位置緩慢下滑，分析圓環(huán)所受桿的摩擦力f和支持力N的變化情況。解析：整體法受力分析：圓環(huán)和小球整體受重力(M+m)g、桿的支持力N（水平方向，變力）、摩擦力f（豎直向上，變力），三力平衡，故N=0（水平方向無(wú)其他外力），f=(M+m)g（豎直方向平衡），均不變？隔離法修正：隔離圓環(huán)，受重力Mg、繩拉力T（沿繩方向）、支持力N（水平向左）、摩擦力f（豎直向上），四力平衡。對(duì)小球，T=mg（豎直平衡）。矢量三角形中，T與Mg的合力與N、f的合力等大反向，幾何三角形中繩長(zhǎng)L=$\sqrt{d^2+h^2}$（h為圓環(huán)下滑距離），$\cos\theta=\fracz3jilz61osys{L}$，N=Tsinθ=mg$\frac{\sqrt{L^2-d^2}}{L}$=mg$\frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}$，h增大時(shí)N增大，f=Mg+Tcosθ=Mg+mg$\fracz3jilz61osys{\sqrt{d^2+h^2}}$，h增大時(shí)f減小。結(jié)論：支持力N增大，摩擦力f減小。六、總結(jié)與拓展動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的核心是“力與幾何的動(dòng)態(tài)耦合”，相似三角形法通過(guò)將抽象的力關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何關(guān)系，降低了分析難度。掌握此法需做到：熟畫(huà)受力圖：明確力的三