2025年統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策理論應用試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的代表字母填寫在答題紙上。）1.在參數(shù)估計中，用樣本統(tǒng)計量去推斷總體參數(shù)，這種推斷稱為（）。A.假設檢驗B.參數(shù)估計C.抽樣分布D.點估計2.設總體服從正態(tài)分布，當總體方差未知時，對總體均值進行假設檢驗，應使用的檢驗統(tǒng)計量是（）。A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量3.在假設檢驗中，犯第一類錯誤是指（）。A.接受原假設，但原假設為假B.拒絕原假設，但原假設為真C.接受原假設，且原假設為真D.拒絕原假設，且原假設為假4.對于兩個變量X和Y，如果相關系數(shù)r=0.8，則說明（）。A.X和Y之間存在很強的正相關關系B.X和Y之間存在很強的負相關關系C.X和Y之間不存在線性關系D.X和Y之間存在弱的正相關關系5.回歸分析的主要目的是（）。A.衡量兩個變量之間相關的密切程度B.建立變量之間的函數(shù)關系C.預測因變量的值D.分析變量的分布形態(tài)6.在風險型決策中，決策者往往以（）作為決策準則。A.期望值B.期望值指數(shù)C.后悔值D.最大最小收益值7.抽樣調(diào)查的根本目的是（）。A.了解總體情況B.對樣本進行描述C.通過樣本信息推斷總體特征D.減少調(diào)查工作量8.在質(zhì)量控制中，用于監(jiān)控過程均值是否穩(wěn)定的工具是（）。A.巴雷特圖B.散點圖C.抽樣檢驗表D.移動平均控制圖9.貝葉斯決策理論的核心思想是（）。A.只考慮先驗概率B.只考慮后驗概率C.結合先驗概率和樣本信息得到后驗概率進行決策D.忽略不確定信息10.某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，A產(chǎn)品的單位利潤為5元，B產(chǎn)品的單位利潤為3元。已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要1小時，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要0.5小時，企業(yè)每天可用于生產(chǎn)的時間為400小時。為了最大化利潤，該企業(yè)應優(yōu)先生產(chǎn)（）。A.產(chǎn)品AB.產(chǎn)品BC.產(chǎn)品A和B按原有比例D.無法確定二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填寫在答題紙上。）1.設總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則樣本均值X?的分布是__________分布。2.在假設檢驗中，犯第二類錯誤的概率記作β，則β的定義是__________。3.一元線性回歸模型中，回歸系數(shù)b?的估計公式是__________。4.決策樹是一種用于決策分析的圖形工具，它由__________、分支、節(jié)點和結果組成。5.抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間由于__________而產(chǎn)生的隨機誤差。6.控制圖的基本形式通常包含中心線、上控制線和下控制線三條線。7.在貝葉斯決策中，后驗概率是指__________在獲得樣本信息后修正后的概率。8.相關系數(shù)的取值范圍是__________。9.設總體均值μ的95%置信區(qū)間為(10,20)，則μ的置信水平為__________。10.全概率公式是條件概率的一個重要應用，它表達了__________的概率。三、計算題（每小題10分，共30分。請寫出計算步驟和公式。）1.某燈泡廠生產(chǎn)一批燈泡，隨機抽取50只進行壽命測試，得到樣本均值X?=1500小時，樣本標準差s=200小時。假設燈泡壽命服從正態(tài)分布，求該批燈泡平均壽命的95%置信區(qū)間。2.某公司想要檢驗一種新廣告策略是否比原有策略更有效。隨機選取100名消費者，其中50名接觸了新廣告，50名接觸了舊廣告。調(diào)查結果顯示，接觸新廣告的消費者中有40名購買了產(chǎn)品，接觸舊廣告的消費者中有25名購買了產(chǎn)品。假設總體比例相等，檢驗新廣告策略是否顯著更有效（α=0.05）。3.某服裝店銷售某種款式的襯衫，銷售量Y（件）與廣告支出X（千元）之間的數(shù)據(jù)如下：n=10,ΣX=30,ΣY=200,ΣX2=100,ΣY2=4400,ΣXY=680。求Y對X的線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義。四、簡答題（每小題10分，共20分。請簡要回答問題。）1.簡述假設檢驗的基本步驟。2.簡述風險型決策分析的步驟。五、論述題（10分。請深入闡述問題。）某公司正在考慮是否投產(chǎn)一種新產(chǎn)品。如果投產(chǎn)成功，可以獲利100萬元；如果投產(chǎn)失敗，將損失50萬元。根據(jù)市場調(diào)研，估計產(chǎn)品投產(chǎn)成功的概率為0.6。公司管理層面臨決策困境，請運用統(tǒng)計與決策理論的相關知識，分析公司應如何進行決策？可以考慮哪些統(tǒng)計方法或決策模型？并說明理由。試卷答案一、選擇題1.B解析：參數(shù)估計是指用樣本統(tǒng)計量去推斷總體參數(shù)。2.B解析：當總體方差未知且總體服從正態(tài)分布時，應使用t統(tǒng)計量進行假設檢驗。3.B解析：犯第一類錯誤是指拒絕了一個實際上是正確的（為真）的原假設。4.A解析：相關系數(shù)r的絕對值在0.8附近，表示兩個變量之間存在很強的正相關關系。5.C解析：回歸分析的主要目的是預測因變量的值。6.A解析：在風險型決策中，期望值是常用的決策準則。7.C解析：抽樣調(diào)查的根本目的是通過樣本信息推斷總體特征。8.D解析：移動平均控制圖用于監(jiān)控過程均值是否穩(wěn)定。9.C解析：貝葉斯決策理論的核心思想是結合先驗概率和樣本信息得到后驗概率進行決策。10.A解析：為了最大化利潤，應優(yōu)先生產(chǎn)邊際貢獻率（利潤/時間）高的產(chǎn)品。產(chǎn)品A的邊際貢獻率為5元/小時，產(chǎn)品B為3元/小時，因此優(yōu)先生產(chǎn)產(chǎn)品A。二、填空題1.泊松解析：根據(jù)泊松分布的性質(zhì)，樣本均值的分布仍然是泊松分布。2.接受原假設，但原假設為假解析：這是第二類錯誤的定義。3.b?=Σ(xi-x?)(yi-?)/Σ(xi-x?)2解析：這是回歸系數(shù)b?的最小二乘估計公式。4.結點解析：決策樹由節(jié)點、分支、結果組成，結點是決策的分支點。5.隨機抽樣解析：抽樣誤差是由于隨機抽樣而產(chǎn)生的誤差。6.差值解析：控制圖上下控制線與中心線的差值通常為3倍的標準差。7.條件解析：后驗概率是指在獲得樣本信息后修正后的條件概率。8.[-1,1]解析：相關系數(shù)的取值范圍介于-1和1之間。9.95%解析：置信區(qū)間的置信水平就是其包含總體參數(shù)的概率。10.事件發(fā)生的總概率解析：全概率公式表達了事件發(fā)生的總概率可以通過其各個互斥子事件的條件概率之和來計算。三、計算題1.解：由于總體方差未知且總體服從正態(tài)分布，使用t分布。t_(α/2,n-1)=t_(0.025,49)≈2.0096(查t分布表)置信區(qū)間=(X?-t_(α/2,n-1)*s/√n,X?+t_(α/2,n-1)*s/√n)=(1500-2.0096*200/√50,1500+2.0096*200/√50)=(1339.07,1660.93)該批燈泡平均壽命的95%置信區(qū)間為(1339.07小時,1660.93小時)。2.解：H?:p?=p?(總體比例相等)H?:p?≠p?(總體比例不等)樣本比例:p??=40/50=0.8,p??=25/50=0.5合并樣本比例:p?=(40+25)/(50+50)=0.65標準化統(tǒng)計量:Z=(p??-p??)/√p?(1-p?)(1/n?+1/n?)=(0.8-0.5)/√0.65(1-0.65)(1/50+1/50)=0.3/√(0.65*0.35*0.04)=0.3/√(0.2275*0.04)=0.3/√0.0091=0.3/0.0954=3.14α=0.05,雙尾檢驗臨界值Z_(0.025)≈±1.96因為|Z|=3.14>1.96，拒絕H?。結論：新廣告策略顯著更有效。3.解：b?=Σ(xi-x?)(yi-?)/Σ(xi-x?)2x?=Σx/n=30/10=3,?=Σy/n=200/10=20Σ(xi-x?)(yi-?)=Σ(xi*yi-xi*?-x?*yi+x?*?)=Σ(xi*yi)-Σxi*?-n*x?*?+n*x?*?=Σ(xi*yi)-n*x?*?=680-10*3*20=680-600=80Σ(xi-x?)2=Σ(xi2)-n*x?2=100-10*(3)2=100-90=10b?=80/10=8b?=?-b?*x?=20-8*3=20-24=-4回歸方程為Y?=b?+b?X=-4+8X回歸系數(shù)b?=8的含義是，廣告支出每增加1千元，銷售量Y平均增加8件。四、簡答題1.假設檢驗的基本步驟：(1)提出原假設H?和備擇假設H?。(2)選擇合適的檢驗統(tǒng)計量，并確定其分布。(3)確定顯著性水平α，并根據(jù)α和檢驗統(tǒng)計量的分布確定拒絕域。(4)計算樣本數(shù)據(jù)所得到的檢驗統(tǒng)計量的值。(5)做出決策：如果檢驗統(tǒng)計量的值落入拒絕域，則拒絕原假設H?；否則，不拒絕原假設H?。2.風險型決策分析的步驟：(1)確定決策目標。(2)列出所有可能的行動方案（決策方案）。(3)列出每個行動方案可能遇到的各種自然狀態(tài)（或稱事件）。(4)構建決策矩陣（列出每個方案在不同狀態(tài)下的結果，通常是收益或損失）。(5)確定每個自然狀態(tài)發(fā)生的概率。(6)選擇決策準則（如期望值準則、期望值指數(shù)準則、后悔值準則等）進行決策。(7)得出最優(yōu)行動方案。五、論述題該公司面臨投產(chǎn)與否的風險型決策問題。已知信息：-行動方案：投產(chǎn)(A)，不投產(chǎn)(B)-自然狀態(tài)：成功(S)，失敗(F)-概率：P(S)=0.6,P(F)=0.4-結果（損益值）：-投產(chǎn)成功：獲利100萬元(收益=100)-投產(chǎn)失?。簱p失50萬元(收益=-50)-不投產(chǎn)：收益0萬元可以使用期望值準則進行決策：期望收益(投產(chǎn))=P(S)*收益(S)+P(F)*收益(F)=0.6*100+0.4*(-50)=60-20=40萬元期望收益(不投產(chǎn))=0萬元比較兩個方案的期望收益，40萬元>0萬元。因此，根據(jù)期望值準則，公司應選擇投產(chǎn)。也可以使用決策樹進行分析：繪制決策樹，計算期望值，選擇期望值最大的路徑。投產(chǎn)節(jié)點的期望值為40萬元，不投產(chǎn)節(jié)點的期望值為0萬元。選擇投產(chǎn)。進一步分析：-風險中性：選擇期望收益最大的投產(chǎn)方案。-風險規(guī)避：如果決策者對損失50萬元的厭惡程度很高，可能會選擇不投產(chǎn)，盡管期望收益較低?？梢砸胄в美碚摶蛴嬎泔L險規(guī)避調(diào)整后的期望值。-不確定性：如果成功概率P(S)不確定，需要更多信息或進行敏感