第2課時奇偶性、對稱性與周期性

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1辿月=小三三;

一『）

(2明尸

|A—2|-2:

f+x,x<0,

（3次x）=

一『+x,A>0；

(4)/(x)=logza+^+l).

3一『20,_

解(1)由，得f=3,解得

#—320,

即函數(shù)/lx)的定義域為｛一小，?。?關(guān)于原點對稱.

從而7U)=^3—AT+A/X2—3=0.

因此逐一x)=一兒0且人-x)=/U),

所以函數(shù)./U)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

[1—A7>0,

(2)由，得定義域為(一1,0)口(0,1),關(guān)于原點對稱.

[|x—2儼2,

Ax-2<0,：,\x-2\-2=~x,??JU)=*?L

但[1-(一1g（1—F）

又???/（一%）==一/U)，

???函數(shù)段)為奇函數(shù).

(3)顯然函數(shù)、/U)的定義域為(一8,0)U(0,+8),關(guān)于原點對稱.

???當x<0時，一心>0,

則五一%)=—(―X)2—X=—JT—X=-7U)；

當心>0時，—x<0,

則五-x)=(-x)2-X=f-X=-/(1)；

綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意不，總有1/(一1)=一兒1)成立，???函數(shù)46為奇函數(shù).

(4)顯然函數(shù)兒0的定義域為R,

4-x)=log2[一丁+叱-工)2+]]

=log2(*\/?-H—X)

=logz^x2-1-1+.r)_,

=-l0g2(^A2+l+x)=—fix),

故7U)為奇函數(shù).

思維升華判斷函數(shù)的奇偎性，其中包括兩個必備條件

(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷凡?與人一\)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等

價等量關(guān)系式(/(1)+八一工)=0(奇函數(shù))或兒T)—/(—?=()(偶函數(shù)))是否成立.

跟蹤訓練1(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y(x)=A3—sinx

B.yu)=3x_5

C.y(x)=x2+tanx

D./x)=x-1n(-7?-H—x)

答案D

解析由函數(shù)奇偶性定義知，A中函數(shù)為奇函數(shù)，B中函數(shù)為奇函數(shù)，C中函數(shù)為非奇非偶

函數(shù)，D中函數(shù)為偶函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)yu),g(x)的定義域為R,且7U)是奇函數(shù)，身。)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.yu)g。)是偶函數(shù)

B.|Ax)g(x)|是奇函數(shù)

c|小)|g(x)是偶函數(shù)

D.川x|)g(x)是奇函數(shù)

答案C

解析令尸1。)=凡1)月(力，

JF\(-x)=fi~x)g(-x)=~fix)g(x)=~Fl(x),

.?.Fi(x)為奇函數(shù)，故A錯誤；

令尸2(功=監(jiān)應(yīng)。)|,

22。)=IA—X)g(—x)\=I-/(X)5(X)|

=[/U)g(x)|=B(x),

故&(x)為偶函數(shù)，故B錯誤；

令23。)=|")1式0

**?尸3(—x)=lA-X)\g(-X)=[/U)|g(X)=尸3。)，

???B(x)為偶函數(shù)，故C正確；

令E?a)=*M)ga),

FA(-X)=XI-x\)g(-X)W=尸4。),

???王。)為偶函數(shù),故D錯誤.

題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

解析方法一（定?義法）??貝此為偶函數(shù)，

???（r）3伍匕+"）="（號■+”），

??2a=-Qr_]+2、_j=]，

方法二（特值法次X）為偶函數(shù)，

??小一1）=川），

又/-1）=_。+2,川）=。+1,

；?-。+2=。+1,

命題點2利用奇偶性求解析式

例3（2019全國H）設(shè)兒0為奇函數(shù),且當Q0時，府）=0*—1,則當x＜（）時，府）等于（）

A.e"-lB.e*+l

C.-e-x-lD.-e'r+l

答案D

解析當MO時，一QO,

???當x20時，7U）=b—1,

又????%）為奇函數(shù),

.W=-y（-x）=-e-J+L

命題點3利用奇偶性求函數(shù)值

例4已知函數(shù)yOOnor'+iuS+Z.若y（x）在區(qū)間上的最大值為M,最小值為〃?，則M+

答案4

解析令g（x）=曲?+城,

所以詈）=/（674兀+5=/（337X2兀+]

=咯），

又因為當x￡（0,兀）時，/）=2sin

所以/停）=2sin卷=1.

(2)(2020?西安模擬)已知定義在R上的函數(shù),")滿足火x)=-/U+2),當x￡(0,2］時，fix)=2x

+log2x,則<2020)等于()

B.cqB.1C.2D.-5

答案D

解析???yu)=-/u+2),

2

??JU)的周期為4,fi2020)=/0)=-fi2)=-(2+log22)=-5.

思維升華函數(shù)周期性常用結(jié)論

對定義域內(nèi)任一自變量的值X：

（1）若_/（X+。）=—/（入），則T=2a（a>0）.

(2)若/U+a)=需,貝"7'=2。(。>0).

(3)若?￥+〃)=一/g,則T=2a(a>0).

(4)若_/U+a)+./(x)=g則7=2a(a>0,c為常數(shù)).

命題點2函數(shù)的對稱性

例6（多選）己知函數(shù)、/U）的定義域為R,對任意x都有人2+幻=42—X），且八-%）=/"）,則下

列結(jié)論正確的是（）

A.7U）的圖象關(guān)于x=2對稱

B./U）的圖象關(guān)于（2,0）對稱

C.7U）的最小正周期為4

D.），=ya+4）為偶函數(shù)

答案ACD

解析t：fi2+x）=fi2-x）,則於）的圖象關(guān)于x=2對稱，故A正確，B錯誤；

???函數(shù)/外的圖象關(guān)于％=2對稱，則/（-x）=/（x+4）,又五-x）=/U）,????r+4）=/Cr）.???7

=4,故C正確；

丁丁=4且/U）為偶函數(shù)，故y=/（x+4）為偶函數(shù)，故D正確.

思維升華對稱性的三個常用結(jié)論

⑴若函數(shù)於)滿足加+燈=也一外，則)，=y(幻的圖象關(guān)亍直線彳=丁-對稱.

(2)若函數(shù)火幻滿足14+的=-/(8一幻，則)，=yu)的圖象關(guān)于點(空，0)對稱.

(3)若函數(shù)7U)滿足4a+x)+/(b—x)=c,則函數(shù)凡丫)的圖象關(guān)于點(皇，9對稱.

跟蹤訓練3(1)設(shè)定義在R上的函數(shù)凡r)滿足凡r+3)=_/(x),且當入｛[0.3)時，凡0=2丫一^+1,

則/0)+加1)+42)+???+42021)=.

答案2696

解析,?<x+3)=/(x),A7=3,

又[0,3)時，/(x)=2x-?+l,

???購=1,41)=2,42)=1,

??爪0)+貝1)+人2)=1+2+1=4,

?\A0)+/U)+/(2)+???+_/(2021)

=674X4=2696.

(2)已知函數(shù)人r)的定義域為R,且人文)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=2對稱.當[0,4]時,

於)=/-4-則人2022)=.

答案4

解析:/(工)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

?\A—幻="r+4),

又人》為奇函數(shù)，

故y(x+4)=-/(x),???r=8,

又??,2022=252X8+6,

??瓜2022)=/(6)=y(-2)=-/(2)=-(4-8)=4.

我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用

).=/伏)表示，抽象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、

奇偶性、周期性、圖象集于一身，是考查函數(shù)的良好載體.

例1若函數(shù)八2')的定義域是則川og閭的定義域為.

答案[啦，4]

解析對于函數(shù),=?2工)，一IWXWI,

：.2~l^2x^2.

則對于函數(shù)y=/(log2X),2-,<log2X<2,

???V5WXW4.

故y=y(log，x)的定義域為h/2,4].

例2已知函數(shù)Ar)對任意正實數(shù)a,b,都有./(")=/(a)+勵)成立.

⑴求川)，。-1)的值;

(2)求證：/(9=一人幻；

(3)若人2)=〃，。3)=式分p均為常數(shù)),求人36)的值.

⑴解令a=l,b=1,

得>/U)=/U)+貝1)，解得70)=0,

令a=b=-l,

???川)=/(-1)+/(—1),???/(-1)=0.

(2)證明令。=5，b=x,

得犬1)=/(0+兒0=°，

?"(A-?

(3)解令。="=2,得人4)=/(2)+_/(2)=2〃，

—=3,得,*9)=/(3)]/(3)=2%

令a=4,b=9,得人36)=/(4)+49)=2〃+%.

例3已知函數(shù)產(chǎn)危)的定義域為R,并且滿足兒1+四=火工)土心),/(})=1,且當.v>0時,加)>0.

⑴求知)的值；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明：

⑶判斷函數(shù)的單調(diào)性，并解不等式J[x)七/(2+x)<2.

解⑴令x=y=0,

則的)=的+的),

?\A0)=0.

(2加工)是奇函數(shù)，證明如下：

令y=lx,得>/(0)=/U)+j1—x)=0,

故函數(shù)7U)是R上的奇函數(shù).

(3)丸1)是R上的增函數(shù)，證明如下：

任取汨，M￡R,X\<X2,則刈一工1>0，

?,?7(^2)―/xi)=fl,X2—X\4-Xi)-y(X!)

=fi,X2—x\)+AX|)—/Ui)

=flx2-x])>0,

故_/u）是R上的增函數(shù)，

,啕=1，

二福=於+9可8）+冏=2,

??J（x）+犬2+x）=/U+（2+1））=/（2x+2）勺（|）,

2

又由尸危）是定義在R上的增函數(shù)，得2x+2專

解得x一本故工￡（一8,一I）.

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2021?重慶一中月考）卜列函數(shù)中，既是偶函數(shù)乂在（0,十8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x-1B.y=|x|4-l

COSX

C.），=D.y=-x2

答案B

k—2'

2.若函數(shù)_/U）=E萬在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)大的值為（）

1十??，

A.-2B.0C.1或一1D.2

答案C

解析因為./U)在定義域上為奇函數(shù)，

k—2~x2x—k

所以7(—x)=即]+2.2-*=]+%.2乂

k212T

W2，+k

根據(jù)等式恒成立可得，k=±L

9，+1

3.（2021?南昌聯(lián)考）函數(shù)一的圖象（）

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于），軸對稱

C.關(guān)于坐標原點對稱D.關(guān)于直線y=x對稱

答案B

3次+1

解析_/U）=F—=3工+3-。,A-x）=3-v+3\

，大一“）=洲刈，故八%）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于），軸對稱.

4.已知函數(shù)7U）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0W1時，7U）=4',則/（一|）+/（1）

等于（）

A.-2B.0C.2D.1

答案A

解析???函數(shù)?/U）為定義在R上的奇函數(shù)，且周期為2,

:爪I）=—?—1）=一4-1+2）=—）,

???川）=0,

“1）可（4）=-冏=4=-2,

???/（一|）+川）=-2.

5.（多選）已知），=/□）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.y=J（\x\）B.y=J（-x）

C.），=破幻D.y=y（x）+x

答案BD

解析由奇函數(shù)的定義人一幻=—/U）驗證，

A項，加一刈=川刈,為偶函數(shù)；

B項，，/［一（一1）］=貝x）=—4—x）,為奇函數(shù)；

C項，-m—x）=一下［—/（、）］=就幻，為偶函數(shù)；

D項，火-x）+（—x）=—［段）+幻,為奇函數(shù).

可知BD正確.

6.（多選）若定義域為R的函數(shù)在（4,+8）上單調(diào)遞減,且函數(shù)），=/"+4）為偶函數(shù)，則（）

A.川2）次3）B.42）=<6）

C.43）=?5）D.火3）》（6）

答案BCD

解析為偶函數(shù)，

?\A-x+4）=Ar+4）,

???y=/（x）的圖象關(guān)于直線1=4對稱，

??攬2）寸6）,旭）=15）.

又），=/（x）在（4,+8）上單調(diào)遞減，

?M5）次6）,???火3）》⑹.

7.已知./（入）=加+公?是定義在［a—1,20上的偶函數(shù)，那么的值是.

答案7

解析ADuad+At為偶函數(shù)，則。=0,

又定義域口一1,20關(guān)于原點對稱，

則a—\+2〃=0,

6Z=-^,，〃+/?=*

,.八為奇函數(shù)，則a=________.

ox--rx,A>0

答案一1

解析由題意，得人一入)=—y(x),

則人-1)=—/U)，即1+。=—4—1,得4=-1(經(jīng)檢驗符合題意).

9.已知函數(shù)凡I)對VxeR滿足川一幻=川+x)，Ki+2)=-ZU),且#0)=I,則<26)=.

答案1

解析??工工+2)=-/(1)，

???西)的周期為4,

?\?26)=貝2).

???對Tx￡R有11一幻=次1+幻，

?\/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

/,A2)=,A0)=l,即<26)=1.

10.已知函數(shù)八x)=.3+x,對任意的機￡[—2,2],人"氏一2)+“r)v0恒成立，則x的取值范圍

為■

答案(一2,I)

解析易知原函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故加內(nèi)-2)+./U)vO刃(，心—2)v-/U)=/(一

x),此時應(yīng)有"tv—2<—x=〃Lt+x—2Vo對所有〃?￡[―2,2]恒成立.

8(-2)<0,

令g[m}=xm+x—2,此時只需，即可，

娘)<0

2

解得一2<xq.

一『+2丫，x>0,

ii.已知函數(shù)yu)=?o,x=o，是奇函數(shù).

+A<0

⑴求實數(shù)機的值：

⑵若函數(shù)人r)在區(qū)間[一I,。-2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

解(1)設(shè)KO,則一rX),

所以五-x)=—(―x)2+2(—x)=—X2—2r.

又7U)為奇函數(shù)，

所以五一x)=-?x),

于是x<0時，/(x)=f+2x=x2+〃ir,

所以in=2.

(2)要使/U)在[一I,。-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合/U)的圖象(如圖所示)知卅所以1<“W3,

。一2W1,

故實數(shù)。的取值范圍是(1,3].

12.設(shè)?r)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x,恒有人丫+2)=-/U).當x￡[0,2]時，./U)

=2x~x2.

(I)求證：是周期函數(shù)；

⑵當x￡[2,4]時，求段)的解析式.

⑴證明??7U+2)=-/(x),

???/+4)=一/+2)=危).

??JU)是周期為4的周期函數(shù).

(2)解??"￡[2,4],/.-re[-4,-2],

.,.4-xG[0,2J,

???火4一x)=2(4-x)~(4一xF=一『+6A—8.

:.-J(x)=-x2+6.r-8,

即當x￡[2,4]時，—6x+8.

盟技能提升練

13.若火x)=e'—加一、為奇函數(shù)，則滿足_/(X-1)>±—@2的x的取值范圍是()

A.(—2,十3)B.(―1,+3)

C.(2,+8)D.(3,+8)

答案B

解析:/U)是定義域為R的奇函數(shù)，

。=°，，a=l.

???凡6為R上的增函數(shù),

又/_2)=晨2_?2=￡_?2,

，原不等式可化為八￥—1)次—2),

Ax—1>—2,即x>一1.

14.已知函數(shù)7U)對任意實數(shù)X滿足人一幻+人工)=2,若函數(shù)y=7U)的圖象與y=x+1有三個

交點(即，)")，(X2，y2)，(不，”)，則》+>2+8=.

答案3

解析因為八一x)+/(x)=2,

則7U)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱，

又直線y=x+l也關(guān)于點(0,1)對稱，

因為y=7U)與丁=1+1有三個交點，

則(0,1)是一個交點，另兩個交點關(guān)于(0,1)對稱，

則51+>2+>3=2+1=3.

立拓展沖刺練

15.(多選)已知ZU)是定義域為R的奇函數(shù)，且函數(shù)7U+2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

(