第8節(jié)數(shù)列中的融合創(chuàng)新問題

題型分析數(shù)列的融合創(chuàng)新問題往往以壓軸題的位置出現(xiàn)于高考題中，以新定義、新性質(zhì)和新構(gòu)造

的形式出現(xiàn),有時與函數(shù)、不等式、集合等交匯命題，難度較大.

題型一定義新數(shù)列

例1(2025?溫州適應(yīng)性考試)數(shù)列｛〃〃｝,｛瓦｝滿足:｛兒｝是等比數(shù)列,6=2,或=5,且

a\b\+a2b2+…)Z?”+8(〃￡N").

(1)求｛〃〃｝,｛/?〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)求集合A=｛M(M)(M,)=0,iW2%i￡N*｝中所有元素的和;

⑶對數(shù)列｛。7｝,若存在互不相等的正整數(shù)丘也…,夙/22),使得c%+ca+…+c與也是數(shù)列｛凰｝中的

項(xiàng)，則稱數(shù)列版｝是“和穩(wěn)定數(shù)列”.試分別判斷數(shù)列是“｝"瓦)是不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.若是,求出所

有J的值;若不是，說明理由.

解(1)??7必產(chǎn)2(m3)歷+8,加=2,

.*.6/1=2,

又41bl+a2b2=2(423)岳+8,bl=2,42=5,

。2=4,

???｛瓦｝是等比數(shù)列，???｛仇｝的公比為答2,

:.bn=2n.

由題意得。必1+。2岳+…+〃必“=2(?！?期+8,〃￡N；

則當(dāng)〃22時,小力1+。2歷+??,+?！币?=2(4〃13曲|+8,

兩式相減得anbn-2(an3)bn2(an13)bn\,

將"產(chǎn)2"代入，化簡得。產(chǎn)23〃3)(?！▅3),得。“。川=3(〃22),

.??｛。,｝是公差為3的等差數(shù)列，

an=a\+(n\)d=3n[.

(2)記集合4的全體元素的和為S,

集合M=｛ait,,,,g]｝的所有元素的和為上行會3*/+〃，

集合N=｛尻。2,…，。2〃｝的所有元素的和為及產(chǎn)2(1-2如)=22"2,

1—2

集合MCIN的所有元素的和為7,則有S=42〃+&，Z

對于數(shù)列｛d｝:當(dāng)行2巳/WN*)時,

如—224=(31嚴(yán)=3p1(〃￡N*)是數(shù)列｛①｝中的項(xiàng)，

當(dāng)n=2k(k￡N)時,b2k=2b2kl=2(3pI尸6p2(p￡N*)不是數(shù)列｛z｝中的項(xiàng)，

/.r=bi+z73+???+》2k,

其中％_]三3"082(64_1)_]4乏味2(671_1)+]

必2〃+1>a2n232

即上[強(qiáng)誓(其中㈤表示不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)).

：.T=^-^=-(4k\)

1-43''

°.og(6n-l)+l

=|(4r[221小，

2rlogz^n-lj+l,

.??5=6〃~+〃+22""-412L4.

33

⑶當(dāng)尸3機(jī)(川WN*)時,*+*+■'?+為居3的正整數(shù)倍,故一定不是數(shù)列｛〃〃｝中的項(xiàng);

當(dāng)尸3〃H(〃7￡N*)時,Q"i+aw+…勺除以3余3不是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng);

當(dāng)>3〃z+l(〃PN")時,%+。七+…+%除以3余2,是數(shù)列｛如｝中的項(xiàng).

綜上，數(shù)列｛〃“｝是"和穩(wěn)定數(shù)列”，

此時尸3用+1(加￡N*).

數(shù)列｛兒｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：

不妨設(shè):1WZa或2<?一<年,則…

且%]+1七+…+b/tjWZ?]+岳+,?,+劣尸21+22+?.,+2與=2勺+12<2町+1=瓦戶],

故瓦]+b6+…+瓦,不是數(shù)列｛d｝中的項(xiàng).

數(shù)列｛兒｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.

訓(xùn)練1(2025?東北師大附中模擬)對于數(shù)列｛〃〃｝,稱｛△〃〃｝為數(shù)列｛〃〃｝的一階差分?jǐn)?shù)歹1其中

△。產(chǎn)即g(〃EN*).對正整數(shù)止2),稱。為數(shù)列他〃｝的左階差分?jǐn)?shù)歹ij,其中

△%〃=△(△-〃“)=△-an.1

乂％3己知數(shù)列｛〃〃｝的首項(xiàng)41=1,且｛△加?！?〃｝為｛〃〃｝的二階差分?jǐn)?shù)列.

(1)求數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)仇三(序〃+2),｛%｝為數(shù)列｛4｝的一階差分?jǐn)?shù)歹U,V〃WN*,是否都有成立?并說明理

21=1

由;(其中最為組合數(shù))

〃

(3)對于(2)中的數(shù)列｛助｝,令)后弋二,其中T<2.證明:？jv2〃2W

⑴解因?yàn)椋骷?2"｝為｛〃”｝的二階差分?jǐn)?shù)列,

所以△。小|4〃2"=篦。〃，將△%〃=△%,]△〃〃代入得△。〃“?！?"=4?！ū亍！?，

n

整理得A?！?。尸2”,即anti2ari=2i

所以鬻耙.

又0=1,故數(shù)列｛愛｝是首項(xiàng)為M公差為:的等差數(shù)列，

ni

因此，:=?(山耳,即an=n-2.

(2)解因?yàn)椤啊?為數(shù)列｛d｝的一階差分?jǐn)?shù)列，

所以吊產(chǎn)"也=兒

n

對于￡產(chǎn)以=第+2第+…+〃邛』?2叫①

當(dāng)n=\時，①式成立；

當(dāng)G2時，因?yàn)椤?2M=〃?(l+l)M=〃?(C，i+C，i+???+C￡；),

且〃第二；二4%,所以①式成立.

n

故v〃e川部有￡產(chǎn)以二〃〃成立.

(3)證明由(2)知xn=n,則州=—,

因?yàn)?</<2,所以〃<2〃，

若/n=6,滿足要求的數(shù)列伍〃｝中有四項(xiàng)為1,一項(xiàng)為2,所以仁4,不符合題意,所以心6.

若m=7,滿足要求的數(shù)列｛m｝中有三項(xiàng)為1,兩項(xiàng)為2,

此時數(shù)列為1,1,1,2,2,滿足要求的正整數(shù)對(i,力的分別為(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5),符

合機(jī)的6增數(shù)列.

因此當(dāng)〃二5時，若存在in的6增數(shù)列，

則機(jī)的最小值為7.

(3)若數(shù)列｛〃〃｝中的每一項(xiàng)都相等,則k=0,

若ZHO,則數(shù)列｛〃〃｝中存在大于1的項(xiàng)，

若首項(xiàng)aiWl,將a\拆分成0個1后4變大，

所以此時左不是最大值,所以a產(chǎn)1.

當(dāng)Z=2,3,…,〃吐若ai>aiAt交換at,CUA的順序后%變?yōu)镠1,

所以此時k不是最大值，所以cu^aiA.

若〃討a傳｛0,1｝,則f/M2勿+2,

所以將改為1,并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1,4的值變大，

所以此時k不是最大值,所以久心仁(0,1｝.

若數(shù)列｛m｝中存在相鄰的兩項(xiàng)。尸2,山“23,

設(shè)此時｛“〃｝中有,項(xiàng)為2,將s“改為2,并在數(shù)列首位前添加內(nèi)設(shè)個1后，4的值至少變?yōu)镠1,

所以此時左不是最大值,所以數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)只能為I或2,所以數(shù)列｛.｝為1,1,…，1,2,2,…,2的

形式.

設(shè)其中有x項(xiàng)為1,有)，項(xiàng)為2,

因?yàn)榇嬖?00的攵增數(shù)列,所以"2)=100,

所以k=xy^(\002y)y=2)2+1OQy

=2025)2+125(),

所以當(dāng)且僅當(dāng)x=50,)=25時,A取最大值，且我的最大值為1250.

,

訓(xùn)練2(2025?濟(jì)南質(zhì)檢)對于無窮數(shù)列｛“〃｝,“若存在a>nak=l(m,kGN*,m>k),必有am^\ak\=f,則稱

數(shù)列｛小｝具有P⑺性質(zhì).

⑴若數(shù)列他〃｝滿足周華(憶?匚心判斷數(shù)列伍〃｝是否具有P⑴性質(zhì)?是否具有P(4)性質(zhì)?

(2)對于無窮數(shù)列｛〃〃｝,設(shè)T=\x\x=ajai,i<j｝,求證:若數(shù)列｛〃〃｝具有P(0)性質(zhì)，則7必為有限集；

(3)已知｛〃〃｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)歹%且｛〃〃｝既具有P(2)性質(zhì)，又具有P(3)性質(zhì)，是否存在正整數(shù)

N,使得ON,av.i,〃M2,…,如出…成等差數(shù)列.若存在,請加以證明;若不存在,說明理由.

解(1)因?yàn)樾?，(羿2n-%5(n1^32,n6UNN*、),

4502=54=1,但。6。3=71=621,

所以數(shù)列｛〃“｝不具有性質(zhì)P(l),

因?yàn)?543=4.且4644=4,

所以數(shù)列｛斯｝具有性質(zhì)P(4).

(2)因?yàn)閿?shù)列｛〃〃｝具有性質(zhì)P(()),

所以一定存在一組最小的且m>lc,滿足即a,n=aky

由性質(zhì)P(0)的含義可得加+1=4姓1,3+2=四2,…，a2mk\=am\,42位=。〃】，

所以數(shù)列｛〃”｝中，從第％項(xiàng)開始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律：

aky勰1,…，a,n\為—?/個周期中的各項(xiàng),

所以數(shù)列｛〃〃｝中最多有〃〃個不同的項(xiàng)，

所以T最多有曉_］個元素,即T為有限集.

(3)因?yàn)閿?shù)列｛〃〃｝具有P(2)性質(zhì)，又具有P(3)性質(zhì)，

所以存在”,所使得avrw/w=2,av皿川=3,

其中〃,g分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù)，

由性質(zhì)尸(2),P(3)的含義可得aM-p.kaM,*=2,CIN'PACIN,.*=3,

若"vM,則取k=N,M',

可得C1N'=2,

若"則取以ATM,

可得a,wqa”=3,

記M二max{/W,N，},則對于CIM,

有a%“aw=2,aM(/aM=3,顯然[#q,

由性質(zhì)尸(2),"(3)的含義可得:awpMw汰=2,a\卬也M尸3,

所以

QM.p招Af=(4MpqdM'(夕I)p)+(〃M01/M02)p)+…+(〃M〃")=2^。必收。4(。時，〃必,001處)+(。時(pI均。,必3均)+，**+(〃M夕

aw)=3〃，

所以2q=3p,

又p,q滿足ciM]>a\f=2fciMqaM=3的最小的正整數(shù)，

所以疔3,〃=2,aM2a\f=2,aw.3?,w=3,

所以aw，2M〃M/=2,。"-3，人&用人=3,

所以aw，2k=aw，2(Hb2=aw+2k,aw3K=aw，3(ju)，3=aw+3k,

取N=M+3,所以，若k是偶數(shù),貝ijaN、"a寸k,

若〃是奇數(shù)，

貝|JaM『av3(&3)=〃M3+(A3)=av+3+(k3)=〃N+A,

所以ciN、k=amk,

所以C1N,CIN+T,GM2,…,ON/,…是公差為1的等差數(shù)列.

題型三抽象數(shù)列的拆分或變換

例3(2024?新高考I卷)設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列⑶,見…，癡,2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去

兩項(xiàng)“?和勾(吃)后剩余的4小項(xiàng)可被平均分為小組,且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列

671,。2,…，。4,小2是(1,方可分?jǐn)?shù)歹人

(1)寫出所有的",力，1WK/W6,使得數(shù)列0,。2,…,46是《,力可分?jǐn)?shù)列；

⑵當(dāng)時,證明:數(shù)列6/1,42,-,,04m.2是(2,13河分?jǐn)?shù)列;

(3)從1,2,…,422中一次任切肉個數(shù)i和。勺),記數(shù)列6/1,672,-,04m2是(i,力可分?jǐn)?shù)歹J的概率為

Pm,證明:尸加三

O

⑴解滿足題意的所有(i,力為(1,2),(1,6),(5,6).

(2)證明當(dāng)m=3時，刪去42,413,其余項(xiàng)可分為以下3組：。1,04,01,00為第1組,43,46,49,412為第2

組，。5,48,411,S4為第3組，

當(dāng)m>3時，刪去42,413,

其余項(xiàng)可分為以下，〃組：

41,44,47,410為第1組，

673,46,49,412為第2組，

45,。8,a\\,414為第3組，

〃15,6/16,07,418為第4組，

419,420,?2i,Cm為第5組，

Cl4m\,ClAmyCl4nh1,Cl4m.2為第〃7組,

可知每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，

故數(shù)列6/1,。2,…，。4,小2是(2,13)可分?jǐn)?shù)歹IJ.

(3)證明易知a\tg,…，由，2是",力可分?jǐn)?shù)列=1,2,…,4加+2是(4〃明,4夕+2)可分?jǐn)?shù)列,其中p,q￡

(0,1,?-?,in].

當(dāng)OWpWqWm時,刪去4〃+1,4g+2,

其余項(xiàng)從小到大,每4項(xiàng)分為1組，可知每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，

故數(shù)列1,2,…,4〃計(jì)2是(4p+l,4q+2)可分?jǐn)?shù)列,

可分為

(1,2,3,4),…，(4〃3,4P2,4pl,4p),…，(4(g+l)l,4(^+1),4(^+1)+1,4(^+1)+2),(4ml,4m,4m+l,4/〃+2

).

p,q的可能取值方法數(shù)為CC+i+m+l」m+26+2)

易知QI,42,…,〃4心是(i,力可分?jǐn)?shù)列=1,2,4m+2是(4p+2,4夕+1)可分?jǐn)?shù)列，其中p,q?

{0,1,—,rn].

當(dāng)qp>\時,刪去4p+2,4g+l,

將1與4g+3~4m+2從小到大,每4項(xiàng)分為1組，可知每組的4個數(shù)成等差數(shù)列.

考慮4p+l,4p+3,4P+4,…4],4/2是否可分，

等同于考慮1,3,4,…,4力4什2是否可分,

其中t=q/)>l,可分為

(l,r+l,2r+l,3什1),(3,什3,2什3,3什3),(4,什4,2什4,3什4),…，Q,2r,3r,4r),(r+2,2什2,3什2,4什2),每組

4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列.

故數(shù)列1,2,…,4m+2是(4〃+2,4夕+1)可分?jǐn)?shù)列,

p,q且qp>l的可能取值方法數(shù)為€^+]〃『四券.

"n+i)(m+2)(mT)m

從而PG——F--------

C4m+2

m2+m+l1

=-；----->".

8m2+6m+l8

思維建模與數(shù)列的新概念有關(guān)問題的求解策略

⑴通過給出一個新的數(shù)列的概念,或約定一種新的運(yùn)算,或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，

要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,達(dá)到靈

活解題的目的.

⑵遇到新定義問題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章

辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證,使得問題得以解決.

訓(xùn)練3(2025?廣州調(diào)研)對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列…,小,定義變換"5將數(shù)列P變換成

數(shù)列Ti(P):n,01,〃21,…,ml.對于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列Q:h\tbit…，冊,定義

S(Q)=2(〃I+2/?2+…狐)+*+好+,??+5妄,定義變換72,乃將數(shù)列Q各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有

為零的項(xiàng),得到數(shù)列乃(Q).

(1)若數(shù)列Po為2,4,3,7,求S(TXPo))的值；

(2)對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列Po,令PAM二不⑺(R)),攵￡N.

①探究S⑺(Po))與S(Po)的關(guān)系；

②證明:S(PM)WS(H).

⑴解依題意,Po:2,4,3,7,Ti(Po):4,1,3,2,6,

S(Ti(Po)尸2(4+2X1+3X3+4X2+5X6)+16+1+9+4+36=172.

⑵解①記Po:ai,〃2,…，an(ait血…，a〃￡N"),

Ti(Po):nta\\t?21,an\t

5(T|(PO))=2[/?+2(671l)+3(?21)+…+S+1)(?！?)]+/+(。11)耳(。21聲…+(〃〃1)2,

又5(%)=2(41+242+343+…+〃4〃)+0殲。江??十確

6

+，

所以5(Ti(Po))S(Po)=2n+26/i+2t/2,,+2?,J46,-,2(n+1計(jì)色”12他???2a”+〃=〃2+3〃，、"；"=0,

所以S(Ti(Po))=5(Po).

②證明設(shè)A是每項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列m,s,…,。〃，

當(dāng)存在1使得a,W句時,交換數(shù)列A的第i項(xiàng)與第j項(xiàng)得到數(shù)列B,

則S(B)S(A)=2(〃吐/加仇泌)=2⑼(可㈤W0,所以S(B)WS(A).

當(dāng)存在1使得加+】=即,2=.??=/〃=()時，若記數(shù)列0,a2,…，所為C,

貝ijS(O=S(A),

因此S(4(A))WS(A),從而對于任意給定的數(shù)列尸()，

由Ph尸不⑺(2))(七0,1,2,…),S(Pai)WS(力(Pt)),

由①知S(2Pk))=S(Pk),

所以S(Pa)WS(R).

1.(2025?重慶模擬)己知實(shí)數(shù)qWO,定義數(shù)列{〃〃}如下:如果〃=xo+2劉+22的+…+2%,劉仁

{(),1},i=0,1,2,…，匕則4n=xo+xig+x均2+??.+洶＜

(1)求ai和〃8(用q表示)；

n

(2)令加=。2時1，證明:尸

(3)若1＜夕＜2,證明:對于任意正整數(shù)〃,存在正整數(shù)〃z,使得msWz+l.

⑴解因?yàn)?=1+2+22,

所以m=l+q+/,

因?yàn)?=23,所以俏二爐.

(2)證明由數(shù)歹!l{a”}定義得:歷尸的時】二4叫

n

所以Ei)=1+夕+/+…+g〃L

而2W1=1+2+22+-+2M,,

〃

所以。2"-1=1+4+才+…+*=Z歷.

，=1

(3)證明當(dāng)1＜令＜2,由(2)可知，。2吁1無上奧，故對任意an,存在〃加,使得am＞afl.

設(shè)M是滿足.＞4〃的最小正整數(shù).

下面證明a〃Wa〃+l.

①若m\是偶數(shù)，設(shè)ml=2x\+22X2+***+2kXk,x/E{0,1},i=l,2,4,,,k,

貝ijm-l+2xi+2?X2+…+2%,

于是am=1+xig+jn盧…+x&g1+dwi.

因?yàn)椤?。?,所以am-1+訪〃lWUn+1.

②若在是奇數(shù)，

設(shè)川=1+2+2?+,??+2/+2「2制.2+???+2%,

則。心ml二夕'"(1+(+/+,,?+，)

=日])(]+,+/+???+/)

(1+q+/+…+q/)+1v1.

所以小〃<〃〃”+11.

綜上所述,對于任意正整數(shù)小存在正整數(shù)m,使得外<“〃4〃+1.

2.(2025?武漢質(zhì)檢)定義1進(jìn)位制:進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二

進(jìn)一,就是二進(jìn)制;滿十進(jìn)一,就是十進(jìn)制;滿十二進(jìn)一,就是十二進(jìn)制;滿六十進(jìn)一,就是六十進(jìn)制;等

等.也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾,一般地,若女是一個大于1的整數(shù)，

那么以上為基數(shù)的上進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號連寫在一起的形式…040(外

(an,。叫…，a\y制￡N,0<a“<k,0W磯…,a\fao<k).女進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號與基

數(shù)的事的乘積之和的形式.如7342(8)=7X83+3X82+4X8'+2X8°.

定義2三角形數(shù):形如1+2+3+…即如(/"+1)(m￡1<)的數(shù)叫做三角形數(shù).

⑴若加工(9)是三角形數(shù),試寫出一個滿足條件的a的值；

n個a

(2)若11111蚓是完全平方數(shù),求k的值;

(3)已知Cn=ll...1⑼，設(shè)數(shù)列｛c〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃,證明:當(dāng)心3時,S〃>空工

n個1

(1)解若QQ...1⑼=a*一」

n個a

二。當(dāng)繪+1)，

當(dāng)。=1時，QQ...a(9)就是一個三角形數(shù).

〃個a

⑵解11111伏)“+K+E+1,

(好+32</+內(nèi)+左2+什］<62+'+1J,

22

即(Y+3)<11111伙)+號+1).

若女是偶數(shù),則3號和F+豹是兩個連續(xù)正整數(shù)，

所以上式不成立,則左是奇數(shù).

2

所以lllll(A)=(/t2+?)二犬+久+公+>1.

解得解3（舍負(fù)）,即11111（3尸34+33+32+3+1=121=1V

⑶證明由題意可知0尸，A且〃>3,

8

則s尸9+92空

88

Q??9TL

福（嘰片亦1+8）叫

*（辟加?8+鬣

磊曲+32帥1嗎=也F，

所以s〃笆3.

3.（2024?北京海淀區(qū)模擬）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下:若整數(shù)。除以整數(shù)皿加W0）除得的商正好是

整數(shù)而沒有余數(shù),我們就稱a為m的倍數(shù),稱，〃為。的約數(shù).設(shè)正整數(shù)。共有k個正約數(shù)，即為

41,42,???,ak\y。人（。1<。2<???<?！叮?

⑴當(dāng)k=4時,若正整數(shù)〃的攵個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)歹山請寫出一個a的值；

⑵當(dāng)（24時,若aia\y43a2,…,a^ak\構(gòu)成等比數(shù)列,求正整數(shù)a\

（3）記A=ai〃2+〃2。3+,??+aki求證:A<a2.

（1）解當(dāng)后4時正整數(shù)。的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，

比如1,2,4,8為8的所有正約數(shù),即e8.

(2)解由題意可知tn=1,ak=a,次1二巴,ak2=—

a2a3y

因?yàn)樾?,依題意可知""一"一伙一1

a2~aiak-i-ak-2

所線等

。2

化簡可得(4342)2=(421)2673,

所以④曲）2,

因?yàn)樗越浴甏?/p>

因此可知。3是完全平方數(shù),

由于S是整數(shù)〃的最小非1因子,43是。的因子，且。3>。2,

所以〃3=譴,

所以4241,4342,…，Gatl為421，道42,…，成一”芻一?，所以〃二城一】，火24.

(3)證明由題意知a\ak=a,…,

3以，1尸4,…，(1WiWZ),

所以+J

aa

ak-l?k例-2%-1\2

因?yàn)椤筥W空色二三三,]W=11

(110-2。］。2。2o-k-i^k例-1例a『i仇

所以A=-^+一Q2

aa

。k_1以ak-2ak-il2

因?yàn)閟=l,i所以共<1,

所以AWa2G—=)</，

即A<a2.

4.(2024?南通調(diào)研)設(shè)1ft窮數(shù)列｛m｝的項(xiàng)數(shù)為〃z("z22),若正整數(shù)人(2?4<〃)滿足7〃<%,如〉次則稱k

為數(shù)列｛如｝的“min點(diǎn)”.

(1)若小=(1)”(2〃3)(0后5),求數(shù)列｛〃”｝的"min點(diǎn)”；

(2)己知有窮等比數(shù)列(〃”｝的公比為2,前〃項(xiàng)和為S”,若數(shù)列'