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文檔簡(jiǎn)介

§6.2等差數(shù)列

【課標(biāo)要求】1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義2探索并掌握等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,理解等差數(shù)

列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題4

體會(huì)等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系.

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

⑴等差數(shù)列的定義

一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于,那么這

個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表示,定義表達(dá)式

為.

⑵等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)04,〃組成等差數(shù)列,則4叫做[與〃的等差中項(xiàng),且有.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式:alt=.

⑵前〃項(xiàng)和公式:S,尸或S尸.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)若}為等差數(shù)列,且p+q=s+L則(p,4,s,[£N*).

⑵等差數(shù)列{斯}的單調(diào)性

當(dāng)〃X)時(shí),{〃”}是數(shù)列;

當(dāng)</<0時(shí),{4”}是數(shù)列;

當(dāng)心0時(shí),{〃”}是.

4.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的常用性質(zhì)

⑴當(dāng)時(shí),等差數(shù)列{〃“}的前〃項(xiàng)和S尸療+(%-少是關(guān)于〃的二次函數(shù).

(2)在等差數(shù)列{〃“}中,若s>0,d<0,則S”存在最值;若0<0,d>0,則S”存在最值.

B自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“Y”或“x”)

⑴若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()

⑵等差數(shù)列(〃“}中,00=。|+〃9.()

(3)若等差數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和為Sn,則S6,$2,&8也成等差數(shù)列.()

(4)若|?。堑炔顢?shù)列,則對(duì)任意都有2atl+i=a?+a?+2.()

2.在等差數(shù)列{〃”}中,若0+42+的=3,由+的+恁切,則其公差等于()

A.2B.3C.6D.18

3.設(shè)等差數(shù)列{〃”}的前〃項(xiàng)和為S“,若3s3=S2+S_i,所2,則a』的值為()

A.7B.B10

C.12D.10

4.在等差數(shù)列{a”}中,S”為其前〃項(xiàng)和,若a[+〃8+。6=6,則S9=.

國(guó)微點(diǎn)提醒

1.掌握等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)若{“〃}是等差數(shù)列,公差為d,則加aktm,Ot+2w”…伏,,〃EN')是公差為〃遼/的等差數(shù)列.

(2)若S〃為等差數(shù)列{m}的前〃項(xiàng)和,則數(shù)列S〃”S2mSm,S3mslm,…也是等差數(shù)列.

⑶若S,為等差數(shù)列{?。那啊?xiàng)和,則數(shù)列{事}也為等差數(shù)列.

(4)若兩個(gè)等差數(shù)列{6},{乩}的前〃項(xiàng)和分別為S〃,T”,則詈=誓之

Dn<2n-l

(5)數(shù)列僅〃}是等差數(shù)列QS產(chǎn)A〃2+B〃(A,5為常數(shù)).

2.解題時(shí)靈活應(yīng)用以下結(jié)論

若等差數(shù)列{m}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃,則

(1)S2”=〃(0+?;?…=〃3”+斯+1);

⑵s偶s奇=

s偶a九+i

若等差數(shù)列優(yōu)〃}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃+1,則

吟平.

S儒n

題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

例1(1)(2024?新課標(biāo)全國(guó)H)記S“為等差數(shù)列{〃”}的前〃項(xiàng)和,若43+出=7,3。2+的=5,則

Sio=.

(2)廣豐永和塔塔高九層,每至夜色降臨,金燈齊明,塔身晶瑩剔透,遠(yuǎn)望猶如仙境.某游客從塔底層

(一層)進(jìn)入塔身,即沿石階逐級(jí)攀登,一步一階,此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景,

現(xiàn)知底層共二十六級(jí)臺(tái)階,此后每往上一層減少兩級(jí)臺(tái)階,頂層繞塔一周需十二步,每在下一層繞塔

一周需多三步,則這位游客從底層進(jìn)入塔身開(kāi)始到頂層繞塔一周停止共需()

A.352步B.387步C.332步D.368步

思維升華(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量m,d,小,S“,知道其中三個(gè)就能求

出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱(chēng)“知三求二”).

⑵確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量,即首項(xiàng)小和公差4

跟蹤訓(xùn)練1⑴(2025?南通模擬)已知等差數(shù)列{〃“)的前〃項(xiàng)和為S〃,且牛=5,小+S產(chǎn)46,則田Mo是

{斯}中的()

A.第28項(xiàng)B.第29項(xiàng)

C.第30項(xiàng)D.第32項(xiàng)

(2)若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣,

自冬至日起,其日影氏依次成等差數(shù)列,前三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為28.8尺,最后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和

為4.5尺,則春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為()

A.5.1尺B.4.5尺C.4.1RD.3.5K

題型二等差數(shù)列的判定與證明

例2(1)(多選)已知數(shù)列{?。那啊?xiàng)和為S”則“數(shù)列優(yōu)〃}為等差數(shù)列”的充要條件是()

A.當(dāng)門(mén)12時(shí),?!?1an=d(d為常數(shù))

B.an=kn+雙匕b為常數(shù))

C.Sn=an,加(。,〃為常數(shù))

D.2an^=an+an^2

(2)已知數(shù)列{4〃}中,671=2,。2=3,6f?=2?/Ji?n2+3(7Z>3).

①求。3的值;

②證明:數(shù)列{agi}(〃22)是等差數(shù)列;

③求數(shù)列{知}的通項(xiàng)公式.

思維升華判斷數(shù)列{〃”}是等差數(shù)列的常用方法

(1)定義法:對(duì)于〃22的任意自然數(shù),驗(yàn)證a圖,”為同一常數(shù).

(2)等差中項(xiàng)法:驗(yàn)證2處尸為+斯2(〃》3,成立.

(2)若他〃}是公差為C的等差數(shù)列,則像,的”,,伙+2M,…伙,加EN*)組成公差為〃出的等差數(shù)列;

(3)在等差數(shù)列{3}中,數(shù)列SH,S%s0,S3ms2m,…也是等差數(shù)列,且有§2廣〃(切+。2〃)=…=〃3+研),

S2n\=(2n\)an.

跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)等差數(shù)列{〃〃},{兒}的前〃項(xiàng)和分別為工,Tt?若對(duì)任意正整數(shù)〃,都有金=片,則

Tn4n-3

。3,a9nr.z、

8b5+匕7寸」'

A.-B.-C.-D.-

7214140

(2)(多選)(2024.廣州模擬)在等差數(shù)列短〃}中,0>0,則下列命題正確的是()

A.若《3+。7=4,則Sq=18

B.若。I+〃2=5,6/3+6/4=91則47+48=17

C.若515>0,5)6<0,則破>謠

D.若S9=Sio,則Si8>0

(3)等差數(shù)列{?。灿?〃+1項(xiàng),所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為132,所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為120,則,!=.

答案精析

落實(shí)主干知識(shí)

1.(1)2同一個(gè)常數(shù)d知小尸d(常數(shù))(〃22,〃£N")

⑵2A=。+。

2.(1)&+(山)d(2)〃a+若

n(ai+an)

2

3.(1)即+他=?$+0

(2)遞增遞減常數(shù)列

4.(2)天小

自主診斷

1(1)X(?.)X(3)X(4){

2.A3,A4.18

探究核心題型

例1(1)95

解析方法一(基本量法)

設(shè)數(shù)列伍”}的公差為",

則由題意得償j二

(3(。1+d)+%+4d=5

解得M7

(a=3,

則Sio=10m+等d

=10X(4)+45X3=95.

方法二(利用下標(biāo)和性質(zhì))

設(shè)數(shù)列{詼}的公差為d,

由a^ci4=a2+as=l,

3s+as=5,

得。2=1,05=8,

故仁菅苧=3,恁二11,

5—Z

貝IJ^01^10x]0=5(%+%)

=5X19=95.

(2)C[設(shè)從第〃層到第n+\層所走的臺(tái)階數(shù)為期,繞第〃+1層一周所走的步數(shù)為小,

由已知可得0=26,而必產(chǎn)2,ne(l,2,3,4,5,6,7),

^8=12,b,>bft+1=3,n^{\,2,3,4,5,6,7(,

所以數(shù)列(,“}為首項(xiàng)為26,公差為2的等差數(shù)列,故6=282〃,〃三{1,2,3,4,5,6,7,8},

數(shù)列{九}為公差為3的等差數(shù)列,故列=363",〃£{1,2,3,4,5,6,7,8},

設(shè)數(shù)列■“},{仇}的前〃項(xiàng)和分別為SntTn,

所以S8=鮑普二152,

78=%產(chǎn)=180,

&+4;152+180=332,

故這位游客從底層進(jìn)入塔身開(kāi)始到頂層繞塔一周停止共需332步.]

跟蹤訓(xùn)練1(1)C[設(shè)等差數(shù)列{m}的公差為d,

則腔5=Qi+4d=5,

4-Su=a】+11%+55d=46,

解得彳1=生

a=-2,

所以。3加)=(0+2")(。1+9〃)

=9X(5)=45,

令?!?。|+(〃1)4=132(〃1)=45,

得〃二30,

即43go是{〃”}中的第30項(xiàng).]

(2)A[設(shè)冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日

影長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列{斯},公差為d,由題意得

4++。3=28.8,

a10+?n+a12=4.5,

解得=105

m^{d=一0.9,

所以斯=41+(〃l)d=l1.40.9〃,

所以的=11.40.9X7=5.1,

即春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為5.1尺.]

例2(l)BCD[對(duì)于A(yíng),當(dāng)心1時(shí),?!?必尸do數(shù)列{〃”}為等差數(shù)列,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若數(shù)列{?!保秊榈炔顢?shù)列,則an=aI+(771)d=dn+a\d,符合斯=加+b的形式,

若a?=kn+b,

則an+\an=k(n+1)+bknb=k(常數(shù)),即數(shù)列{斯}為等差數(shù)列,

故數(shù)列伍〃}的通項(xiàng)公式可以表示為"曰5+。=數(shù)列伍”}為等差數(shù)列,8正確;

對(duì)于C,若數(shù)列{〃”}為等差數(shù)列,則工=〃小+”押=(+(Q],符合S尸加+加的形式,

2

若Stl=an+hn,當(dāng)〃三2時(shí),

22

atl=SnS,i1=an+bna(n1)b(n1)=2an+ba,

當(dāng)n=\時(shí),符合上式,故m=2c〃z+〃a,即數(shù)列{〃〃}為等差數(shù)列,

故數(shù)列伍〃}的前〃項(xiàng)和可以表示為S產(chǎn),而+加的形式=數(shù)列{m}為等差數(shù)列,c正確;

對(duì)于D,由2a,1+\=atl+an+2,可得〃”.心=即2即1=數(shù)列{〃”)為等差數(shù)列,D正確.]

(2)①解在數(shù)列{斯}中,0=2,6/2=3,

且“尸2?!北?+3,

令〃=3,可得。3=2。2。i+3=7.

②證明由an=2an\an2+3(n^3),

當(dāng)〃22時(shí),可得斯+尸2。必?+3,

則(即1?!埃ā靶?)=3,

又由<71=2,42=3,可得。2。1=1,

所以{〃”+〃〃}是公差為3的等差數(shù)列,

即數(shù)列他叫開(kāi)}522)是公差為3的等差數(shù)列.

③解由②知,數(shù)列{%,⑸}是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,即。向斯=3〃2,

所以當(dāng)〃22時(shí),4”=。1+(。2。1)+(。3七)+(44。3)+…+(?!ㄋ?)

=2+[1+4+7+-??+(3〃5)]

一0?(九一1)(1+3〃-5)

-2H2

3)7.

=/尹4,

又3=2滿(mǎn)足上式,

所以u(píng)〃=H〃+4,

即數(shù)列{詼}的通項(xiàng)公式為

斯=|*〃+4.

跟蹤訓(xùn)練2⑴證明因?yàn)?5“$產(chǎn)為(〃22),

所以2S〃+i$=a〃+i,

則2S**S”+i=S"Sn+i,

因?yàn)镾i=6/i=1^0,易知S〃W0,

所以近近三二_J_=2,

^n-5n+i5n+isn

又注=2,

Si2】

所以數(shù)列{2}是首項(xiàng)與公差都為2的等差數(shù)列.

⑵解由⑴得;=2+2(〃1)=2〃,

貝J|S,二,

當(dāng)〃二1時(shí),

1

=A=2;

42

當(dāng)〃22時(shí)%=S”S“產(chǎn)11_i1

2n2(n-l)2n(n-l)

-2n(n-i)_M+l

所以b?=

101+1_49

所以吊+小0尸24101-1-50*

例3BC[對(duì)于A(yíng),由。|+。2+。3=5,。3+。4+。5=11,可得(43+。4+。5)31+。2+。3)=6(/=6,所以d=[,又由

的+。6+。7=(41+。2+〃3)+124=5+12=17w20,所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由02=12(?!浚?)=12@}")=24,所以B正確;

對(duì)于C,由85二絲絲詈應(yīng)=15。8<(),所以。8<(),又因?yàn)?1<(),可得,2,…,8),所以S6s5=。6<0,

所以C正確;

對(duì)于D,因?yàn)椋鹍}為遞增數(shù)列,可得公差辦0,因?yàn)椋?M向}為遞增數(shù)列,可得冊(cè)+2%+g@+1乜+「切>0,所

以對(duì)任意的〃22,an>0,但內(nèi)的正負(fù)不確定,所以D錯(cuò)誤.]

例4(1)D[由數(shù)列{%}為等差數(shù)列,

可知S4,S8s4,S2s8,S16S12,S20S5也為等差數(shù)列,

由Sq=2,S8=12,則S&S4=10,

故Si2s8=18,$的2=26,

S20sl6=34,

即有SI2=18+SL30,S)6=26+SI2=56,S2O=34+SI6=90.]

(2)A[因?yàn)椋梗?{>}均為等差數(shù)列,

所以與嗎二時(shí)小二也

加2/a]

因?yàn)橐?/p>

所以方翳翳]

例51155

解析令S奇=220,S偶=165,

若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10,則s偶s奇=5d,

所以55二54,所以上11;

若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),

設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n\,則

S奇=。|+。3+???+〃2〃1

S俘=42+。4+〃6+???+〃2”2

("-“S+a2n-2)

=(n1)a?

2

所以『三考智

解得片4,

所以第4項(xiàng)是此數(shù)列的中間項(xiàng),

S4220__

?4

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