高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：立體幾何初步

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?浙江期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

B.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐

C.棱臺(tái)的各側(cè)梭延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

D.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

2.（2025春?長(zhǎng)春期中）已知直角梯形A4C。中，ABLAD,AB//CD,A8=6,CO=4,AD=272,

則直角梯形4BCO的直觀圖A'B'CfD'的面積為（)

A.5B.5V2C.10D.10V2

3.（2025春?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期中）己知〃?，〃表示不同的直線,a,0表示不同的平面，A表示點(diǎn)，則下

列命題正確的是（）

A.若直線m上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面a內(nèi)，則m//a

B.若"?ua,"up,且a〃。,則“?〃〃

C.若,"UCG則〃?〃)

D.若0（00=加，且AWa,AWB，貝U

（2025秋?麗江月考）已知圓錐的軸截面為正三角形，且圓錐的體積為口箸，若該圓錐的底面圓周

4.

和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

371327r

A.—B.2TTC.6TTD.一

23

5.（2025春?安徽月考）如圖，已知在長(zhǎng)方體A8CO-4B1CO1中，AA\=2AB=2,AD=3,點(diǎn)E在

棱8c上，且BE=2EC,則直線4E與直線。。1所成角的余弦值為（）

G

A

B；C

E

AD

6.（2025?杭州校級(jí)學(xué)業(yè)考試）在正四棱臺(tái)A8CQ-A山ICIOI中，AB=2A\B\,44=2,且異面直線

A4與C。所成的角為6（）。，則該正四樓臺(tái)的體積為（）

7.（2025?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知兩個(gè)四棱錐P-4BCO與P2-A8CQ的公共底面是邊長(zhǎng)為2

的正方形，頂點(diǎn)P、尸2在底面的同側(cè)，棱錐的高尸1。1=P2。2=8，。1、3分別為4B、C。的中

點(diǎn)，P1D與P1A交于點(diǎn)E,P1C與P2B交于點(diǎn)F.則四棱維P-4BFE的體積為（）

BP.

8.（2025?惠州模擬）如圖，ABC-A'3,C為直三棱柱，用一個(gè)平行于底面A6C的平面a截此三

棱柱，記下列三個(gè)三棱錐A'-ABC,Af-BCB',A'-BfCC在平面a上方的部位體積為

%,V2,%,并記三個(gè)三棱錐被平面a截得的面積分別為Si,S2,S3,那么當(dāng)口+出=2吻時(shí)，"=

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2025春?長(zhǎng)春期中）已知圓錐S。的母線長(zhǎng)為4,其側(cè)面積是底面積的2倍，則（）

A.該圓錐的表面積為127r

B.該圓錐的體積為8757r

C.該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓

D.該圓錐軸截面為等邊三角形

（多選）10.（2025春?重慶校級(jí)期中）已知〃3〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則

下列命題正確的是（）

A.若m//n>〃ua,則m//a

B.若〃?〃a,a//p,Min//

C.若〃?〃a,則

D.若a〃p,mua,則小〃0

（多選）11.（2025春?長(zhǎng)春期中）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正

多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.按照以下方式可構(gòu)造一個(gè)半正多面體：如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正

方體中，B\E\=B\F\=B\G\=a,A]E2=A\F2=A]G2=afaE（0,4）,過(guò)Ei,Fi,Gi三點(diǎn)可

做一截面，類似地，可做8個(gè)形狀完全相同的截面.關(guān)于該幾何體，下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)〃=1時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體

B.當(dāng)〃=3時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體

C.若該幾何體是由正八邊形與正三角形圍成的半正多面體，則邊長(zhǎng)為4-2近

D.若該幾何體是由正方形與正三角形圍成的半正多面體，則體積為32

三.填空題（共3小題）

12.（2025?棗莊校級(jí)二模）在三棱錐。-48C中，/XABC是邊長(zhǎng)為V5的等邊三角形，側(cè)面。48_1_底

面ABC,NAOB=120°.若三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積

為,三棱錐。-A8C體積的最大值為.

13.（2025春?丹東期末）己知等邊△43C的邊長(zhǎng)為4舊，AD是3c邊上的高，以AO為折痕將△ACO

折起，使N8/）C=60°,則三棱錐A-8C。外接球的表面積為.

14.（2025春?天津期中）阿基米德（.Archimedes,公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)

學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并

且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，

在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，圓柱的底面直

p

18.(2025春?長(zhǎng)春期中)如圖，長(zhǎng)方體ABCO-AiBiCiDi中，AB=AD=\,A4=2,點(diǎn)O為AC與

8。的交點(diǎn)，點(diǎn)P為。Qi的中點(diǎn).

(1)求證：直線8Qi〃平面以C；

(2)求三棱錐%。的體積.

19.(2025春?江北區(qū)校級(jí)期中)己知四棱錐P-A8C。的底面A8CO為是邊長(zhǎng)為1的正方形，PC±

平面ABCD

(1)求證：8QJ_平面以C：

(2)若尸C=BC,平面附B與平面PC。的交線為/,求直線/與直線布所成角的余弦值；

/X

(3)若￡為尸8中點(diǎn)，且直線。E與平面A8E所成角的E弦值為不，求PC.

P

DA

高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：立體幾何初步

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號(hào)12345678

答案CADDCBBB

二.多選題（共3小題）

題號(hào)91011

答案ACDADBC

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?浙江期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

B.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐

C.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

D.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的兒何體，若側(cè)棱不平行，則不為棱柱，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，則頂角為60°,

若為六棱錐，則60°X6=360°,為一個(gè)周角，故為平面圖形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由棱臺(tái)的定義，棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，C正確：

對(duì)于。，以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)軸是梯形的斜邊，則旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，。

錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2025春?長(zhǎng)春期中）己知直角梯形ABC。中，ABLAD,AB//CD,AB=6,CD=4,AD=272,

則直角梯形ABCD的直觀圖A'B'CD'的面積為（）

D.________________C

AB

A.5D.5日C.10D.10v^

【解答】解：因?yàn)橹苯翘菪蜛BC。中，AB1AD,AB//CD,AB=6,CD=4,AD=272,

所以SABCD=i（6+4）x2y2=IOV2,

故直角梯形44co的直觀圖A'B'CO’的面積為：號(hào)SABCDqX10a=5.

故選：A.

3.（2025春?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期中）己知〃?，〃表示不同的直線，a,0表示不同的平面，A表示點(diǎn)，則下

列命題正確的是（）

A.若直線m上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面a內(nèi)，則m//a

B.若〃?ua,〃u0,且a〃。，則〃

C.若mua,〃u0,則〃?〃〃

D.若aH0=M,且Awa,AEfi,MOAErn

【解答】解：已知〃?’〃表示不同的直線,a.R表示不同的平面.A表示點(diǎn).

對(duì)于A,若直線機(jī)上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面a內(nèi)，

則mca,

即4錯(cuò)誤:

對(duì)于B,若/"ua,〃u0,且a〃B，

則m//n或m與n異面，

即〃錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若〃?ua,〃u（3,

則機(jī)與〃的位置關(guān)系不確定，

即C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若aC0=/〃，且AWa,A印，

則人日〃，

即。正確.

故選：D.

4.（2025秋?麗江月考）已知圓錐的軸截面為正三角形，且圓錐的體枳為口等，若該圓錐的底面圓周

和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

371327T

A.—B.2nC.6TTD.---

23

【解答】解：因?yàn)榫W(wǎng)錐的斜截面為正三角形，且圓錐的體積為4詈，

所以作出示意圖如下:

設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的母線/=2r,?/i=V3r.

所以圓錐的體積為?xnr2xV3r=——,解得丁=加，則九=瓜,

33

設(shè)球的半徑為R,球心到圓錐底面的距離為d,

=R+d

所以球的表面積為4"收=亨.

故選：D.

5.（2025春?安徽月考）如圖，已知在長(zhǎng)方體A8CO-48iCi￡>i中，44=2AB=2,AO=3,點(diǎn)E在

棱BC上，且尾=2應(yīng)?，貝J直線4E與直線所成角的余弦值為（）

【解答】解：以。為原點(diǎn)，分別以DA,DC,。功所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖,

：.AA\=2AB=2,4。=3,則4B=1,AA|=2,

(3,0,2),Ci(0,1,2),D\(0,0,2).

???點(diǎn)E在棱8c上，且晶=2R，BC=AD=3,

；?BE=2,EC=T,則E(I,1,0).

???A；E=(l-3,1-0,0-2)=(-2,1,-2),

GDI=(0—0,0-1,2-2)=(0,-1,0).

—；E,的五＞==-2X0+1X弁+(-2)XO=T，

???異面直線所成角的范圍是(0,芻，

工直線AiE與直線C\D\所成角的余弦值為

故選：C.

6.(2025?杭州校級(jí)學(xué)業(yè)考試)在正叫棱臺(tái)/WCD-AiKiCQi中，八"=24小，AAi=7.,且異面直線

人小與。。所成的角為60°,則該正四棱臺(tái)的體積為()

14V228V2

-------B.-------C.9V2D.3V2

【解答】解：作出示意圖如下:

???異面直線A4與。。所成的角為NAi/W=60°,

過(guò)41作AiMJ_AC于M,過(guò)M作MN_LAB于N,

貝i」4M_L4B,AiM_LNM,

又4MAMN=M,

???A8_L平面4MM???4N_LA8,

'：AB=2A\I3\,AA\=2,=4&s出60°=遍，4N=44cos600=1,

：.2A\B\=A\B\+2t：.A\Bi=2f：.AB=4,

MNAN-

,：△ANMs^ABC,-----=—,:.MN=1,/.AM=V2,

BCAB}

，該正四棱臺(tái)的體積為：

V=1x(2x2+4x4+V2x2x4x4)xV2=

故選；B.

7.（2025?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知兩個(gè)四棱錐Pi-ABCD與Pi-ABCD的公共底面是邊長(zhǎng)為2

的正方形，頂點(diǎn)P、P2在底面的同側(cè)，棱錐的高尸。1=尸2。2=6，。1、3分別為AB、C。的中

點(diǎn)，P1D與P2A交于點(diǎn)E,PC與尸28交于點(diǎn)F.則四棱維Pi-ABFE的體積為（）

【解答】解：連接尸iP2,016,O\D,如圖所示.

因?yàn)镻O平面A8CZ）,P2O2_L平面A8CQ,所以尸|01〃尸2。2,

又戶1。1=尸2。2,所以四邊形PlOl3P2是矩形，所以PlP2〃0l3,且尸1尸2=0。2,

又。，3分別為CD的中點(diǎn),所以且Oi3=4Q,

所以P\P1//AD且P\P2=AD,所以四邊形P\P2DA為平行四邊形，

乂對(duì)角線所以E為Pi。的中點(diǎn).

連接尸201,交所于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P作PIMJ_P20I于M,日題意知PM=P2B,故尸20I_LAB,

又PIOI_LA8,P201npi。1=。1,尸2。1,尸IOIU平面尸2尸1。1,所以AB_L平面P2PO.

因?yàn)镻iMu平面P2P1O1,故AB_LP]M.

又P2O\C\AI3=O\,尸2O1,A3u平面P2AB,所以PiM_L平面P1AB,即P\M是四棱錐Pi-ABFE

的高，

同理可得點(diǎn)尸為線段PC的中點(diǎn)，所以E尸〃C7Z且EF=^CO=1,

在RtAPzOzOi中，P201=VT+4=V7,則NO】=^P201=冬

所以S/IEFB=|X（1+2）X^=4^，

因?yàn)镻]M=PiOiSiMP'OiM=6乙P?0Q=V3x-^=曄I,

爾I、”/13>/72v^21、倍

所以力「ABFE=3X7-Xv-y-=■y*

故選:B.

8.（2025?惠州模擬）如圖，ABC-A1夕C為直三棱柱，用一個(gè)平行于底面ABC的平面a截此三

棱柱，記下列三個(gè)三棱錐A'-ABC,A'-BCB'，川-B'CC在平面a上方的部位體積為

Vi,V2,V3,并記三個(gè)三棱錐被平面a截得的面積分別為Si,S2,S3,那么當(dāng)VI+V3=2V2時(shí)，=

1

2

【解答】解：如圖所示，設(shè)直三棱柱的底面積為S，體積為l

如圖所示，匕+匕=gv,所以彩=gv,

此時(shí)匕+V2+V3="+"=".

此時(shí)平面a在直棱柱的中間高度上，

故平面a與4'B,A1C,B'。相交于它們的中點(diǎn)處，此時(shí)截面如圖所示:

11C1

可知Si=S3=/S,52=/，S^=2

故選；B.

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2025春?長(zhǎng)春期中）已知圓錐S。的母線長(zhǎng)為4,其側(cè)面積是底面積的2倍，則（）

A.該圓錐的表面積為12n

B.該圓錐的體積為8757r

C.該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓

D.該圓錐軸截面為等邊三角形

【解答】解：圓錐S。的母線長(zhǎng)為4,其側(cè)面積是底面積的2倍，

設(shè)圓錐底面半徑為r,

則底面面積S\=nr,底面周長(zhǎng)C=2nr,

故側(cè)面面積S2=^c/=4nr,

由題意得S2=2SI,即4m?=2nJ,即r=2,

故側(cè)面面積S2=*/=4TU?=8TT,可得表面積為：8iT+4n=l2mA選項(xiàng)正確；

側(cè)面面積S2=8TT=%T?42,所以該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，C選項(xiàng)正確；

設(shè)該圓錐母線與底面所成角為a,則8sa=：=）即a=60°,故圓錐軸截面為等邊三角形，D

V4

選項(xiàng)正確；

則該圓錐的體積V=gsi/?=|.Si/sina=iX4TTX4X苧=?早n，A選項(xiàng)不正確一

故選：ACD.

（多選）10.（2025春?重慶校級(jí)期中）已知辦〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則

下列命題正確的是（）

A.若"?〃〃，〃ua,ni<ta,則

B.若〃?〃a,a〃仇則〃?

C.若〃7〃a,〃〃a,WOm//n

D.若a〃0,mua,則M〃°

【解答】解:若〃?〃〃，〃ua,則〃?〃a,所以A選項(xiàng)正確;

若機(jī)〃a,a//P，則〃i〃0或機(jī)u0,所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若用〃叫〃〃a,則〃?〃〃或機(jī)與〃相交或異面，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若a〃B，"?ua,則機(jī)〃0,所以。選項(xiàng)正確.

故選：AD.

（多選）11.（2025春?長(zhǎng)春期中）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正

多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.按照以下方式可構(gòu)造一個(gè)半正多面體：如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正

方體中，B\E\=B\F\=B\G\=a>A\E2=A\Fi=A\G2=a,…，aE(0,4),過(guò)Ei,Fi,Gi三點(diǎn)可

做一截面，類似地，可做8個(gè)形狀完全相同的截面.關(guān)于該幾何體，下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)。=1時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體

B.當(dāng)〃=3時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體

C.若該幾何體是由正八邊形與正三角形鬧成的半正多面體，則邊長(zhǎng)為4-2企

D.若該幾何體是由正方形與正三角形圍成的半正多血體，則體積為32

【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，當(dāng)。=1時(shí)，8個(gè)頂角的截面為零邊三角形，但其余保留的每個(gè)面不是正

八邊形，所以4選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)8選項(xiàng)，當(dāng)。=3時(shí)，8個(gè)頂角的截面為正六邊形，其余保留的每個(gè)面是正方形，所以B選項(xiàng)正

確：

對(duì)C選項(xiàng)，如圖，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為4的正方體中，B\E\=B\F\=B\G}=a,A\E2=A\F2=A\Gi=a,…，

ae(0,4),

所以EIGI=&Q,EIF2=4-2?,

當(dāng)此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時(shí)，魚(yú)a=4-2a,(2+&)a=4,解得Q=舟=

4-2V2,故C正確；

對(duì)于。，當(dāng)此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時(shí)，臼尸2=4-2〃=0,

所以〃一2,表面積為6x2及x2在+8xV：x(2魚(yú)尸=48+168，。錯(cuò)誤.

故選：BC.

三.填空題（共3小題）

12.（2025?棗莊校級(jí)二模）在三棱錐。?A8C中，△ABC是邊長(zhǎng)為舊的等邊三角形，側(cè)面。48_1底

面ABC,ZADB=\20°.若三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為

5n,三棱錐D-ABC體積的最大值為￡.

【解答】解：如圖①，設(shè)△48C,△D48的外接圓的圓心分別為。|,。2,半徑為川，，2,三棱錐

力-人8c的外接球的球心為O,半徑為R,

設(shè)48的中點(diǎn)為￡則24=益而=2,即門=1,同理可得仁=1.

因?yàn)閭?cè)面D48_L底面4BC,EO1VAB,可得E3J■底面A8C,所以EO2_LEOI.

又。Oi_L底面A3C,O3J_側(cè)面DAB,所以四邊形0。小。2為矩形.

在RtZ\O64中，R?=吟+。。孑=琢+。住2=債+4一AE2?

因?yàn)榱=?所以MJ所以球。的表面積為5n.

設(shè)三棱錐。-ABC的高為力，過(guò)D作。”J_A8于點(diǎn)兒

由面面垂直的性質(zhì)可得，。9_L底面ABC,即。”為三棱錐O-A8C的高.

1

△D4B及其外接圓如圖②所示，由圖可知，當(dāng)。位于劣弧A8的中點(diǎn)時(shí)，h最大,最大值為5，

所以三棱錐D-ABC體積的最大值為V=|x^x3x1=^.

故答案為：571：二.

8

D

D

①

13.（2025春?丹東期末）已知等邊△A3C的邊長(zhǎng)為4百，A。是3c邊上的高，以AO為折痕將△ACO

折起，使NBOC=60°,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為52n.

【解答】解：根據(jù)題意作出示意圖，如下圖所示：

///?”、?二、、、、\\

BC

易知AO_LO8,ADLDC,又BDCDC=B,BD,OCu平面8OC,

所以4。_1_平面BDC,

設(shè)△BOC外接圓圓心為01,過(guò)O1做面80c垂線，

則垂線上所有點(diǎn)到△8。。頂點(diǎn)距離相等，且垂線與AD共面，

過(guò)A做上述垂線的垂線，垂足為02,所以得四邊形AQOi。為矩形,

取OiQ中點(diǎn)為O,易知。為三棱錐A-BCD外接球球心，

所以AO=OiS=6=OOi=3,

根據(jù)正弦定理有2001=益=等=4=0。1=2,

則0D滿足0。="戶+。。2=V13,

2

所以外接球的表面枳為47rx（＜13）=52TT.

故答案為：521r.

14.（2025春?天津期中）阿基米德（Archimedes,公元前287年■公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)

學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并

且球的表面枳也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，

在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，圓柱的底面直

徑與高都等于球的直徑，若球的體枳為36m則圓柱的表可枳為.

4o

所以球的體枳公為1口3=367T,所以r=3,

所以圓柱的表面積為nJxz+ZmbxGTTJnGnXgnSC.

故答案為：54TT.

四.解答題（共5小題）

15.（2025春?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)校級(jí)期中）已知正方體48CQ-All。。的棱長(zhǎng)為2,。為AC的中點(diǎn).

（I）證明:。1?！ㄆ矫?i?Ci；

（2）求.三棱錐B\-MBC\的體積.

【解答】解；（1）證明；如圖，設(shè)8Mm4。一4,連接笈〃,

所以四邊形BiBDDi為平行四邊形,

所以BD//B1DI,

又夕為AC的中點(diǎn)，”為Bid的中點(diǎn)，

所以D1”〃8P,且DiH=BP,

所以四邊形Q田BP是平行四邊形，

所以8”〃。1尸，又。1PU平面A18G,BHu平面AiBCi,

所以。1，〃平面AWCi；

根據(jù)題意可得三棱錐B\-A\BC\的體積為/=VB-A^C.=1X2X|X2X2=1.

16.(2025春?城東區(qū)校級(jí)期中)如圖，在四棱錐P?ABC。中，PQ_L平面ABC。，AB//DC,ADI.

DC,DA=AB=2,DC=4,E,/分別為棱CO,P。的中點(diǎn).

(1)求證：P4〃平面AEF；

(2)求證：AE_L平面PHD.

【解答】證明：(1)如圖，連接8E,設(shè)4。0月￡=。，連接。凡

所以四邊形ABED是平行匹邊形，

則。。=08,XDF=PF,則。尸〃P8,

因?yàn)?u平面AEF,/W立面AEA

所以P8〃平面AER

(2)由四邊形A8EO是平行四邊形，DA=AB=2,

所以四邊形為菱形，^\AEA.BD,

因?yàn)镻O_L平面ABCD,4Eu平面ABCD,所以POJ_4E,

又因?yàn)?DGPO=。，BD、POu平面尸BO,

所以AE_L平面P3D；

(3)由EC=DE,則EC=A3,又￡C〃A4,

所以四邊形ABCE是平行四邊形，

^AE//BC,又8CC平面4石/，AEcY?AEF,

所以8C〃平面

又P5〃平面AEF,PBCBC=B,PB、SCu平面P5C,

所以平面AE廣〃平面P8C.

17.(2025春?云南月考)在如圖所示的幾何體中，直線尸。_底面A8CD,M4〃PD,底面A8CO是

正方形，E,F,G分別為V從PC,P3的中點(diǎn)，AD=PD=2.

(1)求證：PB1AC；

(2)求證：平面E/P〃平面/WPM；

(3)求直線尸8與平面E尸G所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：連接30,???43C。為正方形，???AC_L3Q,

底面A8CD,ACu平面人8C。，APDLAC,

VBDQPD=D,BD,POu平面P8O,???AC_L平面P8Z),

〈PBu平面尸8。，：.AC1PB.

(2)證明：；G,尸分別為PB,PC的中點(diǎn).:、GF//BC,

'：BC//AD,：.GF//AD,

???GF仁平面ADPM,AOu平面ADPM,

???6小〃平面4。尸“，

同理可證GE〃平面AQPM,???GPGGE=G,GF、GEu平面上FG

,平面EFG〃平面ADPM.

(3)?.?PO_L平面ABC。，ABu平面ABCD,PD1AB,

又AOJ_A8,PDCiAD=D,.?.4B_L平面4QPM,

連接以，則NAP8為直線P8與平面AOPM所成的角，

；AD=PD=2,/.BD=V.4D24-AB2=V22+22=2/2，PB=>JPD2+DB2=22+(2V2)2=

2V3,

..7ADDAB2月

..sm^APB=^=^==y.

由（2）知平面E/P〃平面ADPM,

???直線PB與平面EFG所成的角與PB與平面AOPM所成的角相等,

???直線尸4與平面￡FG所成角的正弦值為g.

18.（2025春?長(zhǎng)春期中）如圖，長(zhǎng)方體A4CO-44iCiQi中，AB=AD=\,AAi=2,點(diǎn)。為4c與

8。的交點(diǎn)，點(diǎn)P為。。1的中點(diǎn).

（1）求證：直線B/）i〃平面物C；

（2）求三棱錐3-%C的體枳.

【解答】解：（1）證明：如圖，連接尸O,

則O為。。中點(diǎn)，又點(diǎn)〃為￡>5的中點(diǎn)，

所以AOi〃PO