高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?立山區(qū)校級期中）下列計算正確的是（）

A.（2D'=1?2廠1

1

B.（W=^

C.（匹）'=2eZx

D.[cos（3x+4）]'=-sin（3%+砂

2.（2025春?東莞市校級期中）函數(shù)/（x）=/的導(dǎo)數(shù)/（x）等于（）

11

A.2A-B.1C.-D.-4

22

3.（2025春?海南期中）已知函數(shù)/CO=x+hvc,則廣（。）的'直為（）

1

A.\-eB.-1C.\+eD.一

4.（2025春?湖北校級期末）設(shè)/⑴=%+"（加外一5（6>0）,對于Ax>0,4mf（l+2%）~f⑴=

（）

m+2

A.------B.2，〃+4C.2w+lD.4〃?+2

2

5.（2025春?濱海新區(qū)校級期中）函數(shù)/（x）="+/的圖象在工=0處的切線方程為（）

A.y=2x+lB.y=x+2C.y=x+\D.）=2什2

6.（2025春?寶安區(qū)校級期中）已知函數(shù)/（x）=ar-（a+2）x+bix+\（?GR）,若Vxi,A2G（0,+

8）,當(dāng)*Wx2時，八?。┮?"2）〉_2恒成立,則。的取值范圍是（）

X1-X2

A.（?8,-1）B.（?8,-J]C.（0,8]D.[0,8]

7.（2025春?東莞市校級期中）已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為力（x）（i=l,2,3）,若力（x）、力（x）、

A./1(d)>/?(?)>/i(a)

B.f\(a)>/3(a)>fila)

C.fz(a)>/i(a)>/3(a)

D.，3(a)>/i(a)>f2la)

8.（2025春?漳浦縣校級月考）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是

在函數(shù)的凸凹性與不等式方向留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)/（x）在（。，//）上的導(dǎo)函數(shù)為/

（x）,f（x）在（a,b）上的導(dǎo)函數(shù)記為r（x）.若在：小b）上廣（X）V0恒成立，則稱函

數(shù)/（X）在（/b）上為“凸函數(shù)”.己知函數(shù)f（x）=[—#+￥在（I,4）上為“凸函數(shù)”，

則實數(shù)/的取值范圍是（）.

5151

A.[3,+°°）B.（3,+8）C.[——，+8）D.（——，+8）

88

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2025春?南關(guān)區(qū)校級期中）下列求導(dǎo)正確的是（）

A.[x>[x+e3y=Vx4-3e2

n,cosxv_xsinx+cosx

C.（4X-sin^）r=4xZn4

D-（3）'=熹

（多選）10.（2025春?湖南期中）已知不等式e*+（a-1）”>。優(yōu)對任意x>0成立，則實數(shù)〃的取

值可以為（）

211

A.-B.-C.-D.e

522e

（多選）11.（2025春?南崗區(qū)校級期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,f（x）的部分圖象

B.f（X）在（X2，X3）上單調(diào)遞減

C.可是/（x）的極小值點

D.X2是/（X）的極小值點

三.填空題（共3小題）

12.（2025春?寶山區(qū)校級期中）函數(shù)/（%）=cos2x在x=0處的切線方程為

13.(2025春?湖北期中)已知函數(shù)/(x)=/b.W在點、(1,/(I))處的切線方程為y=4x3,則

a+b=.

111

14.(2025春?船營區(qū)校級期末)已知a>1,若對于VxW片，+8),不等式一一％+ln3x<--+Ina

33xaex

恒成立，則。的取值范圍為.

四.解答題(共5小題)

15.(2025春?東莞市校級期中)若/'(%)=段%3一%,xWR,求：

(1)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)/(x)在［0,2］上的最小值和最大值.

16.(2025春?東莞市校級期中)已知函數(shù)5(x)=x-Inx-m.

(1)若/(X)有兩個零點幻，X2，且X2>XI,求機(jī)的取值范圍；

2(1)

(2)在(1)的條件下，求證：X1+X2>^-.

17.(2025?鞍山模擬)己知函數(shù)/(%)=2"》一6+1)/—丘+1(%>0).

(1)當(dāng)4=0時，證明：/J)W0；

(2)若/(x)存在極大值，且極大值大于0,求A的取值范圍.

18.(2025?溫州二模)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+第(GGR).

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(,v)在區(qū)間(-1,0)上恰有一個零點，求a的取值范圍；

(3)當(dāng)。>0時，解方程/'(x)-f(x)=道匚一仇蓼?.

19.(2025春?吉林期末)己知函數(shù)/(x)=2x//ix-a(.r2-1)(加R).

(1)若4=1,求證：f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

(2)若/(x)W0在［1,+8)上恒成立，求。的取值范圍：

(3)證明：!■+、+.+…+/+1)+2(算1)(九WN").

【解答】解：因為r(x)=i+3故r?)=i+e?

人V

故選：C.

4.(2025春?湖北校級期末)設(shè)/(%)=%+對于zJx>0,4m⑴二

x4XT0〃

()

m+2

A.------B.2，〃+4C.2/M+ID.4〃?+2

2

【解答】解：由r(%)=l+箴+黃=(⑴=1+段+f=m+2,

故Um"1+2牛)―/(1)=2um"1+2祟一/⑴=2f(l)=2(w+2)=2,〃+4.

故選：B.

5.(2025春?濱海新區(qū)校級期中)函數(shù)/(公="+f的圖象在工=0處的切線方程為()

A.y=2x+\B.y=x+2C.y=x+lD.y=2x+2

【解答】解：/(r)=〃+2r,則/(0)=1,

又f(0)=1,

則所求切線方程為)，?l=x,即y=x+l.

故選：C.

6.(2025春?寶安區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(%)=ax2-(?+2)x+lnx+\(?6R),若/□,乂W(0,+

8),當(dāng)X1WX2時，f("i)f("2)>_2恒成立,則4的取值范圍是()

%1-孫

A.(-oo,-I)B.(-oo,-IJC.(0,8]D.[0,8]

【解答】解：不妨設(shè)OVxiVr,

若Wxi,X2E(0,+°°),當(dāng)幻W%2時，—2恒成立,

X1-X2

此時f(XI)+2X1<f(X2)+2X2對一,切OVxi<X2都成立，

令tn(x)=f(x)+2x,

此時機(jī)(x)=av2-or+/zu+1,函數(shù)定義域為(0,+°°),

此時問題轉(zhuǎn)化成〃？(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

7c,12ax2-ax+l

Xm(x)=2ax-a+-=----------------,

XX

1

當(dāng)a=0時，

所以函數(shù)加(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)aNO時，

此時需滿足〃/(x)20在(0,+8)上恒成立，

即2^2ovil'O在(0,+8)上恒成立，

易知函數(shù)y=2aP-at+1過定點(0,I),對稱軸為％

此時需滿足〃>0且2a(32一1Q+1>o,

解得0<〃W8,

綜上所述，。的取值范圍為：0,8].

故選：D.

7.(2025春?東莞市校級期中)已知函數(shù)力(x)的導(dǎo)函數(shù)為力(幻3=1,2,3),若力G)、拉(x)、

A.fI(4)>/2(fl)>/3(。)

B.fi(〃)>/3(a)>fi(a)

C./2(a)>f\(a)>f3(a)

D.f3(a)>f\(a)>/21a)

【解答】解:由圖可知，fl(x),fl(x)在x=a處的切線斜率為正數(shù)，且力(x)的圖象在x=a

處更陡，而力(x)在x=a處的切線斜率為負(fù)數(shù)，

所以八(〃)>/2(。)>/3(。).

故選：A,

8.(2025春?漳浦縣校級月考)丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是

在函數(shù)的凸凹性與不等式方向留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)/(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為了

(x),f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)記為/'(x).若在：小b)±f(x)V0恒成立，則稱函

數(shù)/(x)在(小b)上為“凸函數(shù)”.已知函數(shù)/(x)=]-$3+|(2在(],4)上為“凸函數(shù)”，

則實數(shù)，的取值范圍是().

5151

A.[3,+°°)B.(3,+8)C.[——，+8)D.(——，+8)

88

【解答】解:由于/(x)=第一;小+戰(zhàn)2，則/(")=/-*+3x,f(x)=3/-2AT+3,

由于/(x)在(1,4)上為“凸函數(shù)”,

則（（x）=3f-2a+3Vo在（1,4）上恒成立，即竽+5在（1，4）上恒成立,

由對勾函數(shù)的性質(zhì)知y=^a+3在（1,4）上單調(diào)遞增，

于是y=+}€（3,為，故色學(xué)

故選：C.

二.多選題(共3小題)

(多選)9.(2025春?南關(guān)區(qū)校級期中)下列求導(dǎo)正確的是()

A.(xy[x+e3y=+3e2

?,cosx、,xsinx+cosx

B.(—)=-----J2—

C.(4X—sin/'=4xln4

D?(噌)'=高

【解答】解:對于4'=(x芬'=孥，A錯誤;

atn(os%、，—xsinx—cosxxsinx+cosx-rm

對于8,(—)=----中-----=------衣-----，B正確；

對于C,(4A-sin-)=(4、)'=4，?4,C正確；

4

對于O,=-An4=-7^in-

',2)xlnlO2xlnlO

故選：BC.

（多選）10.（2025春?湖南期中）已知不等式e”+（a-I）X2歷x對任意x>0成立，則實數(shù)。的取

值可以為（）

211

A.-B.-C.——

522e

【解答】解：原不等式可化為泮+歷ea'/x+Ei..a>o）

令函數(shù)/（x）=x+lnx,那么原不等式等價于/（*）（x）,

易知函數(shù)/（工）=x+//tr在（0,+8）上單調(diào)遞增，

因此/2/（x）可化為葉*2M

取對數(shù)即得ax^bix,因此a>竽恒成立.

人

令函數(shù)9（%）=塔0>0）,

那么導(dǎo)函數(shù)9'（%）=號2，

由g'(x)V0,可得x>e,由g'(x)>0,可得0Vx<e,

可知g（x）在（e,8）上單調(diào)遞減，在（0,e）上單調(diào)遞增,

最大值為g（e）=第=：

所以9。）工：，故。之；，即實數(shù)。的取值范圍為弓，+00）.

符合條件的選項有ABD.

故選：ABD.

（多選）11.（2025春?南崗區(qū)校級期中）已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,f（x）論部分圖象

C.加是/（X）的極小值點

D.X2是f（x）的極小值點

【解答】解：根據(jù)圖可知：當(dāng).詫（XI,X3）時，導(dǎo)函數(shù)/'（X）>0,

因此/（X）在XW（XI，X3）上單調(diào)遞增，

因此/（X）在（XI,X2）上單調(diào)遞增，在（X2,X3）上也單調(diào)遞增，所以選項人正確，選項“。借

誤；

乂根據(jù)圖可知f（XI）=0,且在XI左邊導(dǎo)數(shù)/（x）<0,

因此/（X）在XI左邊附近電調(diào)遞減，因此XI是函數(shù)/（X）的極小值點，所以C正確.

故選：AC.

三.填空題（共3小題）

12.（2025春?寶山區(qū)校級期中）函數(shù)/（x）—cos2x在x-0處的切線方程為y—1.

【解答】解：因為/（x）=coslv?所以/'（x）=-2sinlv,

所以/（0）=1,/（0）=0,

所以/（x）=cosZi在x=0處的切線方程為y?l=0X（x-0）,即y=l.

故答案為：y=1.

13.（2025春?湖北期中）已知函數(shù),f（x）=。/在點（1,/（D）處的切線方程為y=4x?3,則

a+b=3.

【解答】解：因為/（x）=a?-bx2,

所以，(A-)=3<xi^2bx>

根據(jù)題意可得/(I)=1，/(1)=4,

/(1)=a-b=\,f(1)=3a-2b=4,

解得4=2,b=1,所以a+b=3.

故答案為：3.

14.(2025春?船營區(qū)校級期末)已知〃>1,若對于VxG[1/+8),不等式二-x+ln3x<-^―+Ina

33xaex

恒成立，則。的取值范圍為+oo)_.

11111

【解答】解：不等式h-x+ln3x<--+Ina,可化為丁+/n(3x)<--+Ina+x=--+

3xaex3xaexaex

i

/n(aev),x>^?

令/(%)=]+m為，(xNl)，求導(dǎo)得f'。)=zo，

/./(x)在(1.+8)卜單調(diào)遞增.

11

Va>1,%>-?，3x21,ex>e^>e0=1,則

?J

?,?不等式工+ln(3x)<――4-ln(ae*),即為f(3x)W/O

3xaex

???3xWa",即翼對x€(，+8)恒成立，

令=條，則g'QO=

當(dāng)xE4,1)時，gr(x)>0?當(dāng)xW(1,+°°)時，g'(x)<0,

1

???g(X)在(一,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

3

???g(%)Sg(l)=去Ma>|,即4的取值范圍為，,+00).

故答案為：弓，+00).

四.解答題(共5小題)

15.(2025春?東莞市校級期中)若/'(X)xERf求：

(1)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)/(.O在[0,2]上的最小值和最大值.

【解答】解：(1)若/(%)=《二一X,XER,

則，(X)=(X-1)(X+1),

當(dāng)xV-1或工>1時，f(x)>0：當(dāng)-1V/V1時，/(x)<0,

故/(x)的增區(qū)間為(-8,-1),(1,十8)，減區(qū)間為〈-1,1).

(2)由(1)可得f(x)在［。，1］為減函數(shù)，在［1,2］上為增函數(shù)，

999

故/(x)min=/(1)=-手，/Wmax=max{/(0),f(2)］=max{0,=3,

16.(2025春?東莞市校級期中)已知函數(shù)/(x)=x-Ins-rn.

(1)若/(X)有兩個零點m,X2,且X2>X1,求〃?的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，求證：.+為2>筆滬.

【解答】解：(1)，(x)=?,當(dāng)0<x〈l時，f(x)<0,當(dāng)K>1時，f(x)>0,

因此/(x)在(0,1)上為單調(diào)遞減，在(1,+°0)上為單調(diào)遞增，

因為/?)有兩個零點用，X2,因此f(x)min=f(1)=1-/n<0,因此〃>1,

當(dāng)機(jī)>1時，/(/'")=e'n,>0,而/(*)=泮-2加，

設(shè)s(x)=F-2x,x>L則s'(x)=夕?2>0,因此s”)在(1,+8)上為增函數(shù),

因此s(x)>5(1)=e-2>0,因此/(*)>0,

而"〃?<1<一”，因此當(dāng)機(jī)>1時，/(x)確有兩個實數(shù)根，

綜上，〃怎(1,+8)；

(2)證明：由(1)可得0<xiVI<m,

先證明：X1+.V2>〃?+1,即證X2>"l+1-XI,

而JV2>〃?+1?Xl>1,因此即證/'(X2)>/(/7?+1-XI),

而/(X】)=/(X2)=0,因此即證m+\-xi-In(m+1-x\)-m<0,

即證1-xi-In(//:+1-x\)<0,而xi-=/〃,

因此即證：1-xi-In(1-bvci)<0,

]IITV1

設(shè)s(x)=1-x-In(I-//ix),0<x<1,貝—7——,

1_tnx

設(shè)則彳”

t(x)=1+Inx-1,0<r<1,t'(x)=<0,

因此f(x)在(0,1)_L為減函數(shù)，因此r(x)>r(1)-0,

因此s(x)在(0,1)上為增函數(shù)，因此s(x)<s(1)=0,

即I-xi-/〃(1-/nxi)<0成立，因此x\+x2>m+1,

2

設(shè)u(m)=Inm—fn>1,貝iju(m)=(:],1>。，

因此y(〃?)在(1,+°0)上為增函數(shù)，因此y(/??)>v(1)=0,

因此，mn>因此m+1>2,,/)(m>1),

因此與+小>2喘1).

17.(2025?鞍山模擬)已知函數(shù)/'(x)=2)%—(5+1)/一依+1。>0).

(I)當(dāng)k=0時，證明：/'X)W0；

(2)若/(X)存在極大值，且極大值大于0,求k的取值范圍.

【解答】解：(1)證明：根據(jù)已知：函數(shù)f(%)=2hu;—G+l)x2-kx+ia>0).

2=0時.，/(%)=2阮i-f+l,f\x)=|-2x=

0<%<1時，f(x)>0；x>\時，f(x)<0,

所以J'(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(x)</(1)=0.

(2)r(x)=|-(fc+2)x-/c=(x+1)[|-(/c+2)],

女〈?2時，f(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值；

99

k>-2時，0。〈品時，/(外>0；品時，/(X)<0,

所以/(X)在區(qū)間(0,系)上單調(diào)遞增，(系，+8)上單調(diào)遞減，

K'VLK"vL

所以/(.i)的極大值為/(系)=2仇高一白=2仇殺+啟一1,

2

令g(x)=2bvc+x-1(x>0)?則g'(x)=：+1>0,

所以g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，由已知9(京)>9(1),

rvI4

2

所以丁二；>1，解得&V0,

k+2

綜上，&€(-2,0).

18.(2025?溫州二模)已知函數(shù)/(戈)=ln(x+1)+筆(cGR).

人1JL

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(X)在區(qū)間(-I,0)上恰有一個零點，求〃的取值范圍；

(3)當(dāng)。>0時，解方程/'(x)-/(x)=與二一仇等L

【解答】解：(1)因為/(%)=①(％+1)+魯(%>-1),

人IJL

所以/。)=與+—

X+1(%+1)2(%+1)2

當(dāng)時，因為x>-1,所以x+l+“2x+l>0,即r(x)>0,/(x)在定義域內(nèi)(-1,+8)

單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時，由/(x)vo=-IVxV-1-4；由F(x)>0=>x>-\-a.

所以/(x)在(-1,-I-?)上單調(diào)遞減，在(-I-，+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，/<v)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時，/(x)在(?1,-\-a)上單調(diào)遞減，在(-1-+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，當(dāng)時，/(%)在(?1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且注意到/(0)=0,

因此/(x)在區(qū)間(-1,0)上無零點；

當(dāng)4Vo時，考慮到/(0)=0,為使(-1,0)內(nèi)有零點，則極小值點小于零，即-1-〃<()=〃

>-1,

結(jié)合“V0,則。的取值范圍為(-1,0).

(3)由題，/'(X)-/。)=衛(wèi)爺譚里上一仇(％+1)，記上式為g(X)，

則g'(x)=-(。+1)%+產(chǎn)VO,g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

。+1)

因此g(x)='-W5尸,僅有一個解，

注意到待求方程g(x)=%1-仇鳥也=鳥」+In底?L

對g(X)中含4的部分單獨考察，即〃(-『-X+1),

其中關(guān)于X的多項式的解為2=生鏟，

因此』=乩2時可消去a.

當(dāng)％=與土?xí)r，有g(shù)(鳥乂)=底丁+伍％1,滿足題意;

乙乙乙乙

等二1時，有。(芍匚)=亨+仇字，不符合題意?

當(dāng)％=

乙乙乙乙

綜上，原方程的解為％=與工

19.(2025春?吉林期末)已知函數(shù)/(X)=2xbix-a(.r2-1)(?GR).

(1)若4=1,求證：f(X)在(0,+°°)上單調(diào)遞減;

(2)若/(x)W0在［1,+8)上恒成立，求。的取值范闈；

(3)證明：l+i+i+,,,+^^>ln(n+1)+(nEA/*).

乙Dzl(fcIJLJ

【解答】解:(l)證明：由a=l,那么函數(shù).f(x)=2xlnx-(x2-I),

因此導(dǎo)函數(shù)/(x)=2+2Air-2x,令函數(shù)/?(x)=2+2hvc-2r,

那么導(dǎo)函數(shù)八'(%)=孑-2,令V(x)=0,則x=