2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生要務(wù)必填涂答題卷上的有關(guān)項目.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如

需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作

答的答案無效.

4.請考生保持答題卷的整潔,考試結(jié)束后，將答題卷交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合11J,11),則人山一()

A.{XY<xv3}B.|x|-l<x<l}

C.{0,1,2)D.|x|-l<x<l}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解.

【詳解】集合A={x|-4cxWl},B={x\-\<x<3},所以Ac8={x|-lvxW1}.

故選:D

2.復(fù)數(shù)2的共軌復(fù)數(shù)是()

1-1

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-l+i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法結(jié)合共匏復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.

22(l+i)2

【洋解】因為二一二八"因此復(fù)數(shù)二二的共枕復(fù)數(shù)是l—i.

l-i+1-1

故選：A.

3.已知正方形ABC。的邊長為1，AD=b^BD=c，則,+"c卜()

A.1B.2C.V2D.2>/2

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的線性運算化簡:+)+\，即可得解.

【詳解】因為BD=AD-AB=b-a，則。+/"。=?+匕+僅一。)=20,

因此，a+b+c=2|/?|=2.

故選：B.

4.已知S〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，S3=6,$6=3,則%=()

A.-9B.-5C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到方程組，解出4，”,再利用等差數(shù)列通項公式即可得到答案.

3x2,,

3a4-----a=6

}24=3

詳解】由題意得,U，解得V

6x5d=-\

----cl=3

2

則的=4+8d=3—8=—5.

故選：B.

5.學(xué)校組織學(xué)生參加勞動基地實踐活動，將4名學(xué)生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3個項目進行

勞動技能訓(xùn)練，每名學(xué)生只分配到1個項目，每個項目至少分配1名學(xué)生，則不同的分配方案共有()

A.24種B.36種C.48種D.72種

【答案】B

【解析】

【分析】將四名學(xué)生分為三組，再將這三組學(xué)生分配給三個項目即可，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】將四名學(xué)生分三組，每組人數(shù)分別為2、I、1，再將這三組學(xué)生分配給三個項目即可，

所以，不同的分配方案種數(shù)為C：A；=6x6=36種.

故選:B.

6.某車間為規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次實驗，收集數(shù)據(jù)如表所示:

零件個數(shù)/個1020304050

加工時間/min62758189

y2

根據(jù)計算可知加工時間（y）關(guān)于零件數(shù)W的一元線性回歸方程為y=0.67x+54.9,則為二（）

A.65B.65.3C.68D.68.3

【答案】C

【解析】

【分析】求出樣本點中心的坐標(biāo)，代入回歸直線方程，可求得）2的值.

.呼露、山卜收+將旭-r汨—10+20+30+40+50—62+%+75+81+89y+307

【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=------------------=30,y=-----------------=—2-----,

555

將樣本點中心（元,?）代入回歸直線方程可得0.67x30+54.9=*」產(chǎn)，解得％=68.

故選：C.

7.某海灣一固定點處大海水深〃與時間/之間的關(guān)系為d（/）=10+4cos（g],則該處水位變化速度的最

大值是（）

兀71

A.—B.-D.4

63

【答案】C

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求瞬時速度，對求導(dǎo)即可得到最大值.

【詳解】由d（f）=10+4cos（3）,得d'（f）=—§sin力??，

16J3\673

則該處水位變化速度的最大值是

3

故選：C.

8.某工廠近兩年投產(chǎn)高新電子產(chǎn)品，第一個月產(chǎn)量為1000臺，合格品率為80%,以后每月的產(chǎn)量在前一個

月的基礎(chǔ)上提高20%,合格品率比前一個月增加1%.已知第〃個月且〃K12）生產(chǎn)合格品首次

突破5000臺，則〃的值為（參考數(shù)據(jù)：1.28之4.3）（）

A.8B.9C.10D.II

【答案】D

C.s>(r2D.p

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線易得從＜〃2，/＜。2,然后可逐項判斷.

【詳解】???x?N3，CT；）,y~N（〃2，b；），

???兩曲線分別關(guān)于直線X=M，X=〃,對稱，由圖可知從＜小，故A正確；

又從V〃2,所以P（X'M）＞尸（XN/zJ,故B正確；

又x的正態(tài)密度曲線比丫的正態(tài)密度曲線更“高瘦”，所以巧＜。2,故C錯誤；

又巧＜%，所以尸（丫之0）＞夕（/之/），故D正確；

故選：ABD.

10.已知數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蜑镾“，an=-....（ZZGN"）,則（）

A.數(shù)列｛q｝是遞減數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時，4取得最小值

C.數(shù)列｛5“｝是遞減數(shù)列D.當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時，S,取得最小值

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值法可判斷A選項；分析數(shù)列｛〃〃｝單調(diào)性，可判斷B選項；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷

C選項；解不等式/＜（）,可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為』二-；生=-5,4=6,則故數(shù)列｛《,｝不單調(diào)，A錯；

1511

對于B選項，々二71-2十2二］?U,

“2/?-152〃—1522（2/?-15）

當(dāng)〃W7且"N"時，an＜-且數(shù)歹U｛a,｝單調(diào)遞減，

當(dāng)〃N8且〃￡N*時，可＞；且數(shù)列｛q｝單調(diào)遞減，

故當(dāng)日僅當(dāng)〃=7時,凡取得最小值.B對:

—2

對于C選項，由%=-------＞（）可得〃=1或〃N8,

2/7-15

故當(dāng)〃28時，Sn-Sn_}=an＞Of故數(shù)列⑸}（〃28）單調(diào)遞增,C錯：

對于D選項，由4=上二V0可得2＜〃＜上，

2n-\52

故當(dāng)3W〃W7時，。〃＜0：當(dāng)〃之8時，?！ǎ?,

所以，當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時，S“取得最小值，D對.

故選:BD.

11.已知函數(shù)f（%）=d+（々+1）工2+田：+（々-1）,則（）

A.函數(shù)/（力有兩個極值點B.函數(shù)“X）在（0,+8）單調(diào)遞增

C.3^GR?函數(shù)/（五）恰有兩個零點D.Va“，函數(shù)/（x）在（YQ,0）上有最大值

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的極值點及單調(diào)性可判斷A,B；取特殊值。=1,可解得函數(shù)的零點個數(shù)，從

而判斷C；利用函數(shù)單調(diào)性求得極大值，再與端點值比較大小確定最大值，可判斷D.

【詳解】由/（力=/+（。+1）%2+0￥+（。-1）求導(dǎo)可得/f（x）=3x2+2（6Z+1）X+6Z,

令r（x）=3f+2（a+l）x+a=0,

則A=4（4+l）2-12〃=4/-4〃+4=4＞一；）+3＞（），

所以方程/'（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)為王,々，不妨令王＜馬；

對干A,則x＜%時，r（x）＞0,/（同單調(diào)遞增；

玉＜XVX2時，/'（x）＜。，/（“單調(diào)遞減；

x＞"2時，/'（%）＞0,單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（無）有兩個極值點，故A正確；

2/+1

對于B,根據(jù)韋達定理，X,+X2=-^\X,X2=-＞

33

若〃<0,則%%=]<0，則％<0<工2，

所以，xe(o,x2)w,//(X)<0,/(x)單調(diào)遞減；

%?%,物)時,r(x)>0,〃力單調(diào)遞增,故B錯誤；

對于C,取4=1時，/(x)=x34-2X2+X=X(X+i)2,

令/(x)=o,解得x=0或x=—1,

此時，函數(shù)/(戈)恰有兩個零點，故c正確；

對干D,因為。22,所以玉+七=-2"；"<°，西工2=1>0，則％<W<0，

所以，X￡(YO，X)時,r(x)>0,〃力單調(diào)遞增;

X€(X，W)時，r(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

xw(電,0)時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

所以，函數(shù)/(力在X=X處取得極大值/(Xj)=+(a++3+(4一]),

又f(0)=a_1,則/(xj_/(0)=X13+(a+])與2+g=%(玉+])a+a),

又因為x=-(〃+i)-J/士!,

13

所以二生生近三巨〈O.

13

2a-1-J/一〃+12〃-1一。a-\八

X+a=----------------->--------=---->0，

1333

所以/(%)—/⑼>。，即/(內(nèi))>〃0)，

則函數(shù)/(八)在％=玉處取得極大值/(%)就是在(-A0)上最大值，

故D正確.

故選:ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空2分，第二空3分.

12.(1+xf展開式中d的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】20

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接列式求解.

【詳解】(1+x)6展開式中含V的項為C*3=20V,

所以(l+x)6展開式中的系數(shù)為20.

故答案為：20

13.已知直線y=x+2與曲線)=ln(x+a)相切，則

【答案】3

【解析】

11

【分析】設(shè)切點為(xo,y°),求出函數(shù)y=ln(x+〃)的導(dǎo)數(shù)為:/=-----,得k切=------=1,并且yo=

x+〃/+〃

xo+2,y0=ln(xo+〃),進而求出

【詳解】設(shè)切點為(xo,yo),由題意可得：曲線的方程為y=ln(x+〃)，所以y'=—.

X+Q

1

所以卜切=-----=1>并且yo=Xo+2,yo=ln(xo+〃)，解得：yo=O,x0=-2,。=3.

故答案為3.

【點睛】本題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，屬

于基礎(chǔ)題.

14.在棱長為1個單位的正方體中，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下從頂點兒出發(fā)，每隔

1秒等可能地沿著棱移動1個單位，移動的方向是隨機的?設(shè)第八秒(〃wN')后，質(zhì)點位于平面A8CD的

概率為P”，貝iJ〃2=，Pn=.

411

【答案】①.-②.-(!--)

【解析】

【分析［根據(jù)給定條件，將正方體8個頂點分成兩層，求出質(zhì)點在同層內(nèi)移動的概率及移動到另一層的概

率，即可求出〃2；再求出遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法求出數(shù)列通項公式即可得解.

【詳解】正方體ABC?！狝qGA的8個頂點分居在兩層：上底面44GA和下底面A8CZ)內(nèi)，

每個頂點有3條棱連接到相鄰頂點，移動方向等可能，概率為3,

因此質(zhì)點在同層內(nèi)移動到另一頂點的概率為!■,質(zhì)點移動到另一層頂點的概率為:，

33

第〃秒后，質(zhì)點位于平面A8CQ的概率為幾，位于平面AqGR的概率為1-〃“，po=O,

則區(qū)即〃〃一:二!（〃2一：）,而〃1一!=一:’

333323226

于是數(shù)列｛〃.一工｝是以一）為首項，〈為公比的等比數(shù)列，〃〃-1=一：?（!）"，即〃"=!一:.（!）”，

263223223

411

故答案為：-；-（1--）

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.一袋子中有大小相同的10個小球，其中有3個白球，7個黑球.現(xiàn)從中依次摸出2個球，記摸到白球的

個數(shù)為X.

<1）若采用不放回摸球，求X的分布列；

（2）若采用有放回摸球，求X的數(shù)學(xué)期望與方差.

【答案】（1）分布列見解析；

321

（2）期望：，方差二.

55（）

【解析】

【分析】（1）求出X的可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列.

3

（2）X次2,才），利用二項分布的期望方差計算得解.

【小問I詳解】

依題意，X的所有可能取值為0』,2,

c°c2

P(X=())=皆春RX="詈管尸-2）=等4

jo

所以X的分布為:

X012

771

P

151515

33

【小問2詳解】依題意，X的所有可能取值為01,2,每次摸到白球的概率為二，則X8（2,二），

333721

所以X的期望E(X)=2xV，方差"XQZX/X至MG.

?u?IUl\JOU

16.如圖，在長方體A3CD-A4G。]中，AB=3,AD=AA^—\[3>Dg=3D1E.

（1）求證：AEJ.BR；

（2）求直線片。與平面AHE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵正

4

【解析】

【分析】（1）求出AE、4〃的坐標(biāo)，由八區(qū)占〃：。即可證明；

/\卜/W=（）.

（2）設(shè)平面ABE的法向量為〃=（x,y,z）,由則〈.,求出法向量為〃的坐標(biāo)，再由向量的夾角

n-BE=0

公式可得答案.

【小問1詳解】

以。為原點，ZM為x軸，。。為y軸，OR為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意得^(73,0,0),E(0,l,G),B、(733,73),D,(0,0，V3),

,7.AE=(-x/3,l,>/3),4。；=卜后-3,0),

???AE8Q=3-3+0=0,

AAE1B.D,.

【小問2詳解】

設(shè)平面AB石的法向量為n=（x,y.z）,

A（GO,O）,E（O,1,@,B（733,0）,

又AB=（0,3,0）,BE=（-x/3,-2,V3）,

n-AB=3），=0

則＜

n-BE--y/3x-2y+A/3Z=0

；?y=。，取x=1,則z=1,

???平面ABE1的一個法向量為〃=0,0』），B,D,=（-A/3,-3,0）

設(shè)直線8a與平面同班;所成角為。

八B自〃61亞

?sin0=-=I——------=―=——

-8a.同71+0+1x73+92V24

即直線BR與平面ABE所成角的正弦值為—.

4

17.已知數(shù)列｛〃”｝的前n項和為5?,q=1且“譚=2S〃+2（neN+）.

（1）若｛4｝為等比數(shù)列,求公比的值;

（2）若生=2,

（i）證明：數(shù)列｛。向+4｝為等比數(shù)歹小

（ii）求數(shù)列的前〃項和

a

n

【答案】（1）q=2；

（2）（i）證明見解析；（ii）7；=1（）-拳2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出9,再結(jié)合通項公式及前〃項和公式驗證判斷.

（2）（i）利用前〃項和與第〃項的關(guān)系及已知可得為+3一4+2=2。用，再利用等比數(shù)列定義推理即得;

（ii）由（i）的結(jié)論求得。e+%=3-2”7,再分奇偶求出4,最后利用錯位相減法求和即可.

【小問1詳解】

數(shù)列｛4“｝中,6=1，由q+2=2S“+2.得=2SI+2=2q+2=4.

則不=4,解得“二-2或^=2,

當(dāng)一時，-二—，2s.+2二生組,

1一（-2）J3

而%+2=（-2）向，顯然4汁2=25“+2不恒成立，因此夕w—2,

I_>

,,n+,

當(dāng)《二2時?，%=2"，s=^-=2~｝2S?+2=2=?,J+2,符合題意,

1-2

所以夕=2.

【小問2詳解】

（i）由?！?2=2S“+2,得%+3=2S“+]+2,兩式相減得a—一%+2=2（5Z一5“）=2q+1,

則%+3+%+2=2(%+2+%)，當(dāng)〃N2時，?！?2+%=2(%+%),

而%=4,4=2,則4+生=6=2(生+4),即〃eN‘，《+2+4+1=2(q+|+%),

所以數(shù)列｛4川+4｝為等比數(shù)列.

(ii)由(i)知等比數(shù)列｛《m+4｝的首項為3,公比為2,則。向+。”=3?2”7,

勺短+。川=3?2”，兩式相減得?！?2一%=3?2”T,

2-2

當(dāng)〃=2左一wN?時,a2k+l-生J=3?2*=3?,

k]_Ak

Xk2<+,_,W',

于是出E-4=￡(%+1-%)=3?——=4-1,a2M=4=2,則an=2；

1=1?一4

當(dāng)n=2%,左￡N?時，的人+2一。2大=3?=6-4”、

1-4A

a(6,6=2.4A-2,a=2-4k=22k+2~],則q=2"T

于2k+2~^=S2/+2-^2,)=-2k+2

i=\1-4

2〃4-12〃+1

因此〃eN*，%=2〃T

a〃2"T

3572〃+l\_3572/z-l2〃+1

則北二吩+或+了----+---------

5'”=耍+尹+尹小2"2"

I

兩式相減得：<=3+(1+；+…+白)一竽=3+12”T2//4-I_2〃+5

JJJJ2〃2"

2

2〃+5

所以4=1()

T

18.已知函數(shù)/(‘二e+”rT)(X>0,6/GR).

X

(1)當(dāng)。=-e時，求證:x2/(x)>e：

(2)討論f(x)的單調(diào)性;

(3)當(dāng)人21時，/(x)>e,求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；(3)[4c-e2,+oo)

【解析】

【分析】(1)構(gòu)造函數(shù)r(x)=x2f(x)-e=e'-er結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)最小值證明求解:

(2)求出導(dǎo)函數(shù)，再分aWl,ivQve?,〃=e2，]>1四種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；

(2)參變分離得到,構(gòu)造函數(shù)〃(x)二二求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最大值，從而

得到答案.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=.e時，設(shè)(力=x2f(x)-e=x2x-————-e=eT-e(x-l)-e=er-er?

所以，(x)=e-e單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>l時，?x)>Oj(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<xvl時，*力<0/(力單調(diào)遞減；

=z-e，-e-

所以'(八)min(0^>所以《力=人2/(八)一€二爐一ea之。，

所以f/a)2e；

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)=e+"7)的定義域為(0,+動,求導(dǎo)得

A

(ev+ajx2-2x^ex+ax-aj_ex(x-2)-x(x-2)(ex-a)(x-2)

f?"p'

當(dāng)時，ev>l>6/，er-tz>0,x3>0

當(dāng)x>2時，,f'(x)〉OJ(x)單調(diào)遞增：當(dāng)0vxv2時，/'(力<0,〃力單調(diào)遞減;

當(dāng)Ivave?時，x3>0?

令(e,-a)(x-2)=0,解得％=ln〃,匹,=2,

當(dāng)」〉2時,/”(力>0,7(力單調(diào)遞增；當(dāng)lna<x<2時，尸(x)vOJ(x)單調(diào)遞減;當(dāng)0cxeIna

時，r(x)>O,〃x)單調(diào)遞增;

當(dāng)Q>6?時，X3>0?

令(巳"-4)(工一2)=0,解得司=lna,x2=2,

當(dāng)x>lna時，r(x)>O,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2vxvlna時，r(x)<O,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<2

時，ra)>oj(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)〃=e?時，x3>0?

令(e'―/)(1_2)=0,解得百=%=2,

當(dāng)2>0時,r(x)?oj(x)單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)4Kl時，/(M在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)leave?時，/(工)在(O,lna),(2,+。)上單調(diào)遞增，在(lna,2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃=e?時，/(力在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃〉e?時，/(力在(0,2),(1呀+。)上單調(diào)遞增，在(2,In”)上單調(diào)遞增；

【小問3詳解】

當(dāng)工=1時，〃￡R/(l)=e符合題意：

當(dāng)xNl時，/(x)>e,則也駕二等價于。之二^恒成立，