專題1.3勾股定理的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)

I.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題；

教學(xué)目標(biāo)2.通過(guò)觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

3.能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形，并能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。

1.重點(diǎn)

（1）勾股定理的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景：理解勾股定理在解決實(shí)際問(wèn)題（如測(cè)量距離、計(jì)算幾

何圖形邊長(zhǎng)、判斷直角三角形等）中的作用，能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；

（2）解題思路與方法：直角三角勾股定理。

2灘點(diǎn)

教學(xué)重難點(diǎn)（1）實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模：將生活中的問(wèn)題（如梯子滑動(dòng)、螞蟻爬行路徑最短等）抽

象為宜角三角形問(wèn)題，準(zhǔn)確找到三邊對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義；

（2）立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化：在圓柱、長(zhǎng)方體等立體圖形中，通過(guò)展開(kāi)圖確定直

角三角形的位置，避免空間想象偏差導(dǎo)致的錯(cuò)誤；

（3）分類討論與方程思想：當(dāng)問(wèn)題中邊長(zhǎng)關(guān)系不明確時(shí)，能運(yùn)用分類討論思想分析多

種情況，并通過(guò)列方程求解未知數(shù)。

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在

具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第

三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

【即學(xué)即練1】

【答案】秋千繩索08的長(zhǎng)為14.5尺

【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）

【詳解】解：設(shè)秋千繩索08的長(zhǎng)為x尺，

所以，秋千繩索。8的長(zhǎng)為14.5尺.

⑴請(qǐng)求出觀測(cè)點(diǎn)。到公路MN的距離；

⑵此車沒(méi)有超速，理由見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）、含30度角的直角三角形

【分析】此題主要考查了30度的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（2）先求出A”的長(zhǎng)，再求出48的長(zhǎng)，進(jìn)而求出汽車的速度，即可得出答案.

團(tuán)此車沒(méi)有超速.

知識(shí)點(diǎn)2：平面展開(kāi)圖最短路徑問(wèn)題

幾何體中最短路徑基本模型如下:

階梯問(wèn)題長(zhǎng)方體

基本思路：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾

股定理求解

【即學(xué)即練2】

1.綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為5、3、1,A

和8是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到6點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到6點(diǎn)

的最短路程是多少？

【變式探究】

（2）如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是48厘米，高是7厘米，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)

沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高10厘米，底面周長(zhǎng)為24厘米，在杯內(nèi)壁離杯底2厘米的點(diǎn)A處有?滴

蜂蜜.此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿1厘米，且與蜂蜜相對(duì)?的點(diǎn)8處，則螞蟻從外壁8處到內(nèi)壁A處

所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計(jì)）

【答案】（1）13；（2）該螞蟻爬行的最短路程是25厘米；（3）螞蟻從外壁8處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路

程是15厘米

【知識(shí)點(diǎn)】線段問(wèn)題（軸對(duì)稱綜合題）、求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了平面展開(kāi)一一最短路徑問(wèn)題，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性

質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；

（2）將圓柱體展開(kāi)，利用勾股定理求解即可;

故答案為：13；

（2）將圓柱體側(cè)面展開(kāi)，如下圖：

???該螞蟻爬行的最短路程25厘米；

題型01勾股定理應(yīng)用之梯子滑落高度

【答案】4m

【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用）

答：梯子的頂端將沿墻向下移動(dòng)的距離AC為4m.

【答案】2.2米

【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用）

⑴求這架梯子的頂端距離地面的高度.

⑴求風(fēng)箏的垂直高度CE;

⑵如果小明想風(fēng)箏沿。。方向下降12米，則他應(yīng)該往問(wèn)收線多少米？

⑵他應(yīng)該往回收線8米

【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：

（I）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解；

（2）設(shè)風(fēng)箏沿8力向下降12米后到達(dá)點(diǎn)尸，連接6尸，根據(jù)勾股定理求出切,的長(zhǎng)，即可求解.

（2）解：如圖，設(shè)風(fēng)箏沿CO方向卜.降12米后到達(dá)點(diǎn)八連接所，

團(tuán)他應(yīng)該往回收線8米.

【變式2】學(xué)過(guò)《勾股定理》后，某班興趣小組來(lái)到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿A3的高度，得到如下信息：

①測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)3米（如圖1）；

②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子另一端的手到地面的距離CO為3米,到旗桿的距離為10米（加

圖2）.

根據(jù)以上信息，求旗桿A4的高度.

E

BCP

D

【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）

答：旗桿A3的高度為1米.

【變式3】學(xué)過(guò)《勾股定理》后，八（1）班數(shù)學(xué)興趣小組來(lái)到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿A8的高度.小華測(cè)得從旗桿

頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)2米（如圖1）,小明拉著繩子的下.端往后退，當(dāng)他將繩子拉直時(shí)，

小凡測(cè)得此時(shí)小明拉繩子的手到地面的距離CO為I米，到旗桿的距離CE為9米（如圖2）.

⑴設(shè)AB長(zhǎng)為1米，繩子為X,AE為米（用x的代數(shù)式表示）；

⑵i青你求出旗桿的高度A8.

（2）13米

【知識(shí)點(diǎn)】列代數(shù)式、求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用.

答：旗桿的高度A8為13米.

題型03勾股定理應(yīng)用之小鳥(niǎo)飛行的距離

【典例1】如圖，樹(shù)根下有一個(gè)蛇洞，樹(shù)高15m,樹(shù)頂有一只鷹，它看見(jiàn)一條蛇迅速向洞口爬去，與洞口的

距離還有3倍樹(shù)高時(shí)，鷹向蛇撲過(guò)去.如果鷹與蛇的速度相等，鷹與蛇的路線都是直線段，請(qǐng)求出鷹向何

處撲擊才能恰好抓到蛇.

n)

【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥(niǎo)飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)C8的氏為.m,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】如答圖，

【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥(niǎo)飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）

C

A

亍

BD

【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥(niǎo)飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）

4c

,z.

.Z

Z.

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z

z

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舉-..nE'

BD

⑴求一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了多少米？

⑵如圖2,臺(tái)風(fēng)過(guò)后，高18米的樹(shù)A8在點(diǎn)M處折斷，大樹(shù)頂部落在點(diǎn)。處，則樹(shù)A3折斷處M距離地面

多少米？

【答案】⑴20米

⑵5米

【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥(niǎo)飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）、求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短"可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)尖進(jìn)行直線飛行，飛行的路程最短，運(yùn)用勾股

定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出；

（2）由勾股定理求出8M的長(zhǎng)，即可求解.

答：至少飛了20米；

答：樹(shù)A8折斷處例距離地面5米.

題型04勾股定理應(yīng)用之大樹(shù)折斷前的高度

【典例1】如圖，強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得?棵大樹(shù)在離地面6米處折斷倒下，大樹(shù)頂部落在離大樹(shù)底部8米處，大

樹(shù)折斷之前有多高?

【答案】大樹(shù)折斷前面16米

【知識(shí)點(diǎn)】求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.

答：大樹(shù)折斷前高16米.

【變式1】如圖，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部3著地且離旗桿底部A的距離

為4m.

⑴求旅桿在距地面多高處折斷；

【答案】⑴3m

⑵行人在距離旗桿底部5m處沒(méi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)

【知識(shí)點(diǎn)】求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

答：旗桿距地面3m處折斷.

（2）解：如圖,

RR'

答：行人在距離旗桿底部5m處沒(méi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn).

【答案】甲樹(shù)原來(lái)的高度為19米

【知識(shí)點(diǎn)】求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】問(wèn)題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

答：甲樹(shù)原來(lái)的高度為19米.

⑴求這兩棵樹(shù)的水平距離。尸：

（2）求樹(shù)A8的高度.

【答案】⑴

（2）6/??

【知識(shí)點(diǎn)】求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

即這兩棵樹(shù)的水平距離為3m.

即樹(shù)A8的高度為6m.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理的實(shí)際應(yīng)用.

題型05勾股定理應(yīng)用之水杯中的筷子問(wèn)題

【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】此題主要考杳了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)牙刷的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

根據(jù)杯子內(nèi)牙刷的長(zhǎng)度取值范圍得出杯子外面長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)牙刷的長(zhǎng)度為次

團(tuán)在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最長(zhǎng)是等于杯子斜邊長(zhǎng)度，

【變式1】如圖，一支鉛筆放在圓柱形的筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是加〃?，內(nèi)壁高為12cm.若鉛筆的

長(zhǎng)為20cm,則這只鉛筆露在筆簡(jiǎn)外面的長(zhǎng)度最小是cm.

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置

時(shí)，利用勾股定理可求得鉛筆露出筆筒部分的最小長(zhǎng)度.

故答案為：5.

3cm

【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出收納盒里面筷子的最大長(zhǎng)度是解題的關(guān)犍.求出

筷子露在收納盒外的最長(zhǎng)長(zhǎng)度和最短長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論.

當(dāng)筷子放進(jìn)收納盒里露出部分最短時(shí)與底面對(duì)角線和高正好組成直角三角形，

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】木題主要考查了勾股定理的利用，構(gòu)造出直角三:角形即可求解.

【詳解】解：筷子露在杯子外面的最短長(zhǎng)度即筷子在杯子里面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即筷子，圓柱的高，圓柱的直

徑正好構(gòu)成直角三角形.如下：

故答案為5

題型06勾股定理應(yīng)用之航海問(wèn)題

【典例1】有一艘游輪即將靠岸，當(dāng)游輪到達(dá)8點(diǎn)后熄滅發(fā)動(dòng)機(jī)，在離水面高度為5m的岸上，工作人員用

繩子牽引靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子4c的長(zhǎng)為13m.（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）

【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查勾股定理解應(yīng)用題，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖所示：

【變式I】如圖，一艘輪船先從4地出發(fā)行駛到B地，又從4地行駛到。地，8地在A地南偏西的方向，

距離4地80海里，C地在8地北偏西的方向，距離8地100海里.

北

U

50°北

B

⑴表示出B地相對(duì)于C地的位置：

（2）求A,。兩地之間的距離.

【答案】（1）/3地在。地南偏東50。的方向，距離C地100海里

【知識(shí)點(diǎn)】方向角的表示、解決航海問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了方向角，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

（1）結(jié)合圖形觀察即可求解；

【洋解】（1）解：如圖，

（3C地在8地北偏西50。的方向，距高B地100海里

回8地在C地南偏東50。的方向,距離。地100海里;

⑴求A,C兩港口之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）A港口在C港口的什么方向上？

（2）A港口在C港口的南偏西15。的方向上

【知識(shí)點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題、解決航海問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和方向角；

團(tuán)A港口在。港口的南偏西15。的方向上.

［變式3】釣魚(yú)島及其附屬島嶼是中國(guó)的固有領(lǐng)上，我國(guó)對(duì)釣魚(yú)島的巡航已經(jīng)常態(tài)化.如圖，甲、乙兩艘海

警船同時(shí)從位于南北方向的海岸線上某港口夕出發(fā)，各自沿一固定方向?qū)︶烎~(yú)島巡航，若甲船每小時(shí)航行6

海里，乙船每小時(shí)航行8海里.

⑴若甲乙兩船離開(kāi)港口一小時(shí)后分別位于Q、R處（圖I）,且相距10海里，如果知道甲船沿北偏東72方

向航行，你知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）乙船沿南偏東18。方向航行，理由見(jiàn)解析

⑵他能在14分鐘內(nèi)到海岸線，理由見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

回乙船沿南偏東18。方向航行;

團(tuán)他能在14分鐘內(nèi)到海岸線.

題型07勾股定理應(yīng)用之河的寬度

【答案】需要3.5天才能把隧道AC鑿?fù)?/p>

【知識(shí)點(diǎn)】求河寬（勾股定理的應(yīng)用）

答：需要3.5天才能把隧道AC鑿?fù)?

【答案】2米

【知識(shí)點(diǎn)】求河寬（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查/勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫(huà)小意圖找出與所求邊長(zhǎng)相關(guān)線段所構(gòu)成直角三角形是解

題關(guān)鍵.

根據(jù)河水深度、竹竿到岸邊的距離、竹竿長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

答：河水的深度為2米.

【答案】56米.

【知識(shí)點(diǎn)】求河寬（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理直接計(jì)算即可求解，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

（1）求A、C兩地之間距離.（結(jié)果精確到1米）

【答案】（1）A、C兩地之間距離為1930米

⑵小華先到達(dá)。地

【知識(shí)點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題、含30度角的直角三角形、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)、求河寬（勾股定理的

應(yīng)用）

【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，方位角等知

識(shí)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

又自兩人速度相同，

所以小華先到達(dá)。地.

題型08勾股定理應(yīng)用之臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度

⑴求BC的長(zhǎng);

（2）19.6.

【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】此題考查了平移的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用.

（1）根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，把樓梯臺(tái)階的橫豎分別向上向左平移，進(jìn)一步求出面枳即可.

故答案為：19.6

【答案】60平方米

【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】根據(jù)勾股定理先求出棚頂?shù)膶?，然后根?jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可求出需要多少塑料薄膜.

棚的長(zhǎng)d為12m,

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用能力，理清題意，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖所示是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別等于6cm.2cm,A和B是這兩個(gè)

臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)經(jīng)過(guò)臺(tái)階爬到點(diǎn)3的最短路線有多長(zhǎng)？

B

【答案】25cm

【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度（勾股定理的應(yīng)用）、求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】展開(kāi)后得到直角三角形八CB,根據(jù)題意求出AC、BC,根據(jù)勾股定理求出AB即可.

【詳解】解：如圖，將臺(tái)階展開(kāi)，

由題意得;AC=6x3+2x3=24,BC=7,.

所以由勾股定理得：AB2=AC2+RC2=625,

即A8=25（cm）,

答：螞蟻爬行的最短線路為25c〃?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)勾股定理，平面展開(kāi)一一最短路徑問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能理解題意知道是

求出直角三角形ABC的斜邊AB的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵.

【變式3】如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米.

⑴如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的

高為多少分米？

（2）八和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食

物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)。的最短路程為多少分米？

【答案】（I）每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米.

⑵螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米.

【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度（勾股定理的應(yīng)用）、求最短路徑（公股定理的應(yīng)用）

【分析】（1）設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

（2）先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】（1）解：設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，

根據(jù)題意得，18x（4+x）x4=432,

解得x=2,

答：每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米；

（2）四級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為18分米，寬為（2+4）x4=24分米，

則螞蟻沿臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到C點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).

答：螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和

寬即可解答.

題型09勾股定理應(yīng)用之汽車是否超速問(wèn)題

電瓶車電瓶車

【答案】這輛觀光電瓶車超速了

【知識(shí)點(diǎn)】判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）

???這輛觀光電瓶車超速了.

【變式1】某城市交管部門(mén)規(guī)定：小汽車在城市快速路上行駛速度不得超過(guò)80千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車

在一條城市快速路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方50米處，過(guò)了4秒后，測(cè)得

小汽車與車速檢測(cè)儀之間的距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？

【答案】這輛小汽車超速了

【知識(shí)點(diǎn)】判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理列式求出6C,再根據(jù)速度=路程+時(shí)間求出小汽車的

速度，然后化為千米/小時(shí)的單位即可得解.

30米/秒=108千米/時(shí)＞80千米/時(shí)，

所以，這輛小汽車超速了.

【變式2】為了積極響應(yīng)國(guó)家新農(nóng)村建設(shè)，某鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的廣播形式進(jìn)行宣傳.如圖，筆直公路

M/V的一側(cè)有一報(bào)亭A,報(bào)亭A到公路MN的距離AB為600米，且宣講車P周圍1000米以內(nèi)能聽(tīng)到廣播

宣傳，宣講車P在公路MN上沿PN方向行駛.

A

MPBN

⑴請(qǐng)問(wèn)報(bào)亭的人能否聽(tīng)到廣播宣傳，并說(shuō)明理由；

⑵如果能聽(tīng)到廣播宣傳，己知宣講車的速度是200米/分，那么報(bào)亭的人總共能聽(tīng)到多長(zhǎng)時(shí)間的廣播宣傳？

【答案】（I）報(bào)亭的人能聽(tīng)到廣播宣傳，理由見(jiàn)解析

⑵報(bào)亭的人總共能聽(tīng)到8分鐘的廣播宣傳

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，垂線段最短:

【詳解】（1）解：報(bào)亭的人能聽(tīng)到廣播宣傳，理由如下：

團(tuán)報(bào)亭的人能聽(tīng)到廣播宣傳.

MPiBPiN

團(tuán)報(bào)亭的人總共能聽(tīng)到8分鐘的廣播宣傳.

（2）i青你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小麗在家能聽(tīng)到廣播嗎？

⑵小麗在家能聽(tīng)到廣播，計(jì)算見(jiàn)解析

（3）小麗在家聽(tīng)到廣播宣傳的時(shí)間為14秒

【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查勾股定理的逆定理，勾股定理的應(yīng)用;

二小麗在家能聽(tīng)到廣播；

???移動(dòng)廣播車的速度為10米/秒，

答：小麗在家聽(tīng)到廣播宣傳的時(shí)間為14秒.

題型10勾股定理應(yīng)用之是否受臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題

⑴臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從笈點(diǎn)移到。點(diǎn)？

【答案】⑴20h

⑵16h

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.

13臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)20h從8點(diǎn)移到D點(diǎn):

0A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)16h.

⑴請(qǐng)判斷島嶼C是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？并說(shuō)明理由

（2）若臺(tái)風(fēng)影響島嶼C的時(shí)長(zhǎng)是1.6小時(shí)，求臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度.

【答案】（1）島嶼。是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；理由見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）

【詳解】（1）解：島嶼。是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；理由如下，

團(tuán)島嶼。是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；

北

⑴判斷農(nóng)場(chǎng)A是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由見(jiàn)解析；

【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）

此題考查了勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，正確理解題意確定直角三角形利用勾股定理進(jìn)

行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響.

H

我/

c

答：農(nóng)場(chǎng)4會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，

（2）解：如圖，

VC

北

X

\B

（1）臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從4點(diǎn)移到。點(diǎn)？

【答案】（1）8小時(shí)

（2）5小時(shí)

【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用勾股

定理求出8。的長(zhǎng)度.

（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算5。的長(zhǎng)，再根據(jù)時(shí)間二路程+速度進(jìn)行計(jì)算；

則臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)8小時(shí)從B移動(dòng)到。點(diǎn)；

北

\A不東

VE

B

團(tuán)人們要在臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)E點(diǎn)之前撤離，

答：游人在5小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn).

題型11勾股定理應(yīng)用之選扯距離相離問(wèn)題

⑵煤棧應(yīng)建在距A點(diǎn)多少千米處？

【答案】⑴24

Q）16千米處

［知識(shí)點(diǎn)］選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果即可求解；

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

故答案為：24；

D

C

,，

圖2

田煤棧應(yīng)建在距A點(diǎn)16千米處.

【答案】312.5米

【知識(shí)點(diǎn)】選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）

答:該超市C與車站。的距離CD是312.5米.

【知識(shí)點(diǎn)】選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）

【詳解】解：C,。兩村到七站的距離相等.

B

A

_b-----------------------------□_I

CD1

⑴政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)。，使Q到A、4兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長(zhǎng)；

【答案】⑴475米

⑵1（X）0米

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）、根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行

求解

【分析】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，確定出。、。的位置是本題的關(guān)

鍵.

【詳解】（1）解：如圖1,

B

”/

CQD1

圖1

即C。的長(zhǎng)為475米：

（2）如圖，作點(diǎn)4關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A8,交直線，于點(diǎn)尸.

B

A/

C?/P1D

,二________________J

A'E

圖2

題型12勾股定理應(yīng)用之幾何圖形中最短路徑問(wèn)題

【典例1】【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組在研究螞蟻在圓柱側(cè)面爬行問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)螞蟻沿圓柱側(cè)面從一點(diǎn)爬到

另一點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題與圓柱的展開(kāi)圖有關(guān).

【'實(shí)踐探究】設(shè)計(jì)測(cè)量方案：

第一步：測(cè)量圓柱的底面半徑，測(cè)得圓柱底面半徑是2厘米；

第二步：測(cè)量圓柱的高，測(cè)得圓柱的高為4厘米；

第三步：如圖，假設(shè)螞蚊在圓柱側(cè)面從點(diǎn)八爬到點(diǎn)8,研究其最短路徑情況.

【問(wèn)題解決】設(shè)螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)度為X厘米，通過(guò)計(jì)算即可求得最短路徑長(zhǎng)度.

（2）在展開(kāi)圖中，螞蟻的最短路徑是連接人4的線段長(zhǎng)，請(qǐng)你計(jì)算螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)8的最短路程.

【答案】⑴4,6

【知識(shí)點(diǎn)】幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)、求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查圓柱側(cè)面展開(kāi)圖與勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將圓柱側(cè)面展開(kāi)，把立體圖形上的最

短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形中直角三角形的斜邊求解問(wèn)題.

（1）先根據(jù)圓柱的相關(guān)數(shù)據(jù)求出側(cè)面展開(kāi)圖長(zhǎng)方形的兩條直角邊的長(zhǎng)度，

（2）利用勾股定理求出展開(kāi)圖中連接A、ZT兩點(diǎn)線段的長(zhǎng)度，即螞蟻爬行的最短路程.

【詳解】（1）解：已知圓柱的高為4厘米，圓柱側(cè)面展開(kāi)后長(zhǎng)方形的高就等于圓柱的高，所以其中一條直

角邊為4厘米，

【答案】20s內(nèi)螞蚊能爬到點(diǎn)Q

【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題與勾股定理應(yīng)用，先得到長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)圖，再利用勾股定理

計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，

Q

【變式2】【問(wèn)題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2,A

和8是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到A點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到“點(diǎn)

的最短路程是多少？

（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，可得到長(zhǎng)為20.寬為15

的長(zhǎng)方形，連接A3,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到AB長(zhǎng)度為，就是最短路程.

【變式探究】

【拓展應(yīng)用】

【知識(shí)點(diǎn)】幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)、求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了平面展開(kāi)圖一最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；

（2）將圓柱體展開(kāi)，利用勾股定理求解即可；

（3）從玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作4關(guān)于￡G的對(duì)稱點(diǎn)C,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AC的長(zhǎng)度即為所求，利用

勾股定理求解即可.

故答案為：25；

（2）將圓柱體展開(kāi)，由題意得

（3）如圖,

E

【變式3】如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12,圓柱的高為8,在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A,。嵌有一圈長(zhǎng)度最

短的金屬絲.

1圖①1圖②

（1）現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿A4剪開(kāi)，所得的圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是_____

AA1AA'AA'ACA'

VT—

A.B.）C.

BCB'BC8'BCB,BCB'

⑵如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)3繞四圈到達(dá)點(diǎn)A,則所需金屬絲最短長(zhǎng)度是多少？

HG

/方j(luò)/。

AB

圖3

【答案】⑴4

【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】題目主要考查勾股定理及最短距離問(wèn)題，理解題意，作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵.

（1）結(jié)合圖形即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意得所需金屬絲最短長(zhǎng)度是以底面周長(zhǎng)4倍及高為直角三角形的斜邊長(zhǎng)，即可求解：

（3）分三種情況，作出相應(yīng)圖形，利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：將圓柱側(cè)面沿A3剪開(kāi)，所得的圓柱側(cè)面展開(kāi)圖只有選項(xiàng)A符合題意,

故選：A;

（2）若將金屬絲從點(diǎn)8繞四圈到達(dá)點(diǎn)4,

H。里

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)時(shí)一棵大樹(shù)在距離地面5m的點(diǎn)。處折斷，大樹(shù)頂端的著地點(diǎn)A與大樹(shù)底端B的距離為12m,

則這棵大樹(shù)折斷前的高度為（）

A.13mB.15mC.17mD.18m

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】根據(jù)大樹(shù)的折斷部分與未斷部分、地面恰好構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出直角三角形的

斜邊的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：團(tuán)樹(shù)的折斷部分與未斷部分、地面恰好構(gòu)成直角三角形，

即：這棵大樹(shù)在折斷前的高度為18m.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和是解答此題的

關(guān)鍵.

2.在樓長(zhǎng)為1的正方體中，頂點(diǎn)A,8的位置如圖所示，A處有一小蟲(chóng)，它沿正方體表面爬到點(diǎn)8處，則

小蟲(chóng)爬行的最短距離是（）

【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考杳平面展開(kāi)一最短路徑問(wèn)題.把此正方體的側(cè)面展開(kāi)，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A

和8點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離.

【詳解】解：如圖，展開(kāi)后可知:

回螞蟻所爬行的最短路線的長(zhǎng)是&.

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，力的最大值是筷子的長(zhǎng)度減去杯子的高度，力的最小值是筷子和杯子

的高以及底面直徑組成直角三角形，筷子的長(zhǎng)度減去該直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度，據(jù)此求出杯子的高度以

及筷子和杯子的高以及底面直徑組成直角三角形，該直角三角形的斜邊長(zhǎng)，再利用勾股定理求出底面直徑

即可得到答案.

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)

【詳解】解：如圖所示：

A.2()海里B.24海里C.3()海里D.32海里

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)

【洋解】解："遠(yuǎn)航〃號(hào)沿東北方向航行，“海天〃號(hào)沿西北方向航行，

此遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它力離開(kāi)港口1.5小時(shí)，

故選:C.

6.如圖，庭院中有兩棵樹(shù)，喜鵲要從一棵高10m的樹(shù)頂飛到一棵高5m的樹(shù)頂上，兩棵樹(shù)相距⑵則喜鵲

至少要飛m.

【答案】13

【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥(niǎo)飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理，進(jìn)行計(jì)笄即可求解.

【詳解】解：如圖，

即喜鵲至少要飛13m.

故答案為：13

7.數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中有一道著名的“引葭（/面）赴岸〃題："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？"意思為：如圖，有一池塘，底面是邊長(zhǎng)為一丈（一丈等于十尺）

的正方形，池的中央生有一棵蘆葦，高出水面一尺，若將蘆葦引到池邊中點(diǎn)處，正好與岸邊齊平，則水深

【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）

故答案為：12.

8.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作.書(shū)中有個(gè)關(guān)于門(mén)和竹竿的問(wèn)題；今有戶不知而、廣，竿不

知長(zhǎng)短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問(wèn)戶高幾何？譯文：現(xiàn)有一扇門(mén)，不知道門(mén)的高度和

門(mén)的寬度是多少，現(xiàn)有一支竹竿，不知竹竿的長(zhǎng)短是多少.橫著放竹竿比門(mén)寬多出4尺，豎著放竹竿比門(mén)

高多出2尺，斜著放恰好與門(mén)的對(duì)角線一樣長(zhǎng)，如圖.設(shè)門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)為工尺，可列方程為.

【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.先求出門(mén)高和門(mén)寬，再根據(jù)勾股定理

【知識(shí)點(diǎn)】求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是:

（1）直接根據(jù)勾股定理求解即可；

故答案為：2.5；

【知識(shí)點(diǎn)】選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）

B

A

____□_________「E___?

DC1

⑴在圖中畫(huà)出從4至I]/再到8的最短路徑，并計(jì)算最短路徑的長(zhǎng)度（保留作圖痕跡）；

（2）C是河邊/上E兩地之間的一個(gè)地點(diǎn)，且與。處相距16米，如果從A先到C處飲水，再回到8處，

行走路程比（1）中的最短路徑長(zhǎng)多少？

【答案】⑴見(jiàn)解析，最短路徑的長(zhǎng)度50米

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、用勾股定理解三角形、根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解?、求最短路徑（勾股定理

的應(yīng)用）

【分析】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握利用軸對(duì)

稱解決最短問(wèn)題.

（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4,連接84'交直線/于點(diǎn)P,連接AP,點(diǎn)P即為所求，利用勾股定理求

出A'3可得結(jié)論；

（2）利用勾股定理求出AC,可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：（1）如圖，最短路徑為A玲

13.【問(wèn)題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度.

A

【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實(shí)地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端A的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩

子的長(zhǎng)度未知.

【實(shí)踐探究】設(shè)計(jì)測(cè)量方案：

第一步：先測(cè)量比旗桿多出的部分繩子的長(zhǎng)度，測(cè)得多出部分繩子的長(zhǎng)度是1m；

第二步:把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)。，再測(cè)量繩子底端C與旗桿根部點(diǎn)8之間的距離，

測(cè)得距離為5m.

【解決問(wèn)題】設(shè)旗桿的高度48為刈】，通過(guò)計(jì)算即可求得旗桿的高度.

(1)用含x的式子表示AC為m；

(2)請(qǐng)你求出旗桿的高度.

⑵12米

【知識(shí)點(diǎn)】列代數(shù)式、求旅桿高度(勾股定理的應(yīng)用)

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是