4.3對數(shù)

【知識梳理】

知識點(diǎn)一對數(shù)的有關(guān)概念

一般地，如果〃=N3>()，且〃KI)，那么數(shù)工叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=logW，

其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

常用對數(shù)與自然對數(shù)：

通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),以e(e=2.71828…)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),

logW可簡記為lgN,

logcN簡記為InN.

知識點(diǎn)二對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

一般地，有對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：

若q>0,且aW1,則爐=N<=Mog“N=x.

對數(shù)恒等式：

log4=x(a>0,且a#1).

知識點(diǎn)三對數(shù)的性質(zhì)

1.1的對數(shù)為零.

2.底的對數(shù)為1.

3.零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).

知識點(diǎn)四對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

如果A0,且M>0,N>0,那么：

⑴lOgo(M?M=lOgaM+log“N；

M

(2)bgR=log〃M—logJV；

(3)log.M〃=〃logaM(〃￡R).

知識點(diǎn)五換底公式

=

1.logf//?1(。>0,且aWl；c>0?且cW1；Zx>0).

2.對數(shù)換底公式的重要推論：

(l)logJV=j^^(N>0,且NW1；。>0,且aWl)；

⑵log〃"=?og”Ma>0,且啟1,Z?0)；

(3)log,aiog^clog<d=lo&d(a>0，Z?>0,c>0,d>0,且aWl,b#l,cWI).

【基礎(chǔ)自測】

1.下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）

A.e°=l與In1=0

--\\1

B.83=］與logQ=—

2

C.1。839=2與9*=3

D.log77=l與7=7

2.化簡去。8612—2108—的結(jié)果為（）

A.672B.12^/2C.10朗小D.1

1。田9_

log23-----------.

4.設(shè)3%《2E）=27,貝ijx=.

5.若對數(shù)logeM2A-3）有意義，則x的取值范圍是

【例題詳解】

一、指數(shù)式與對數(shù)式的互化

例I將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)54=625：

⑵2y=1

64

⑶￥=10；

⑷產(chǎn)=9；

⑸log216=4；

(6)log31=-2；

⑺噫(5+切=2；

⑻log,i(〃+2)=3.

跟蹤訓(xùn)練I將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式:

(1)3*=2;

(2)2'”=6;

⑶噫：=-2；

4

⑷1鳴00.01=-2.

二、利用對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值

例2求下列各式中x的值：

2

(l)log27x=--;

(2)logv16=-4；

(3)1g—■—=x；

1000

(4)-lne~y=x.

跟蹤訓(xùn)練2求下列各式中x的值：

(1)l0&￥3=y;

*16

(4)計(jì)算:

1%8

@lg51g20+(lg2)2

跟蹤訓(xùn)練4(1)(多選)已知。=恒2,〃=也3,則()

A.。+〃=也6

B.y=log34

3

C.2+y=log,12D.b-a=\g—

b

22

(2)llog62)+(log63)+31og62xHog6Vl8-|log62=

五、對數(shù)換底公式的應(yīng)用

例5⑴已知log|&9=a,1即=5,則*81=()

2-a

A.———B.c,且D.—

a+baba+ba+b

11/

(2)己知2"=5〃=10,則nl一十;=()

ab

1

A.1B.2cD.-

-15

(3)log1xlog1,1

32—xlog,——___?

O25527

跟蹤訓(xùn)練5(1)己知32=%也3=，則嘮，12=()

,,2a+ba2+b

A.a+bB.2a-bC.--------D.

⑵已知6，=2''=々(〃為常數(shù)，且?！?,。=1),則________.(用a表示)

x)'

六、對數(shù)的綜合應(yīng)用

例6地震的強(qiáng)烈程度通常用里震級M=lgA-愴&表示，這里A是距離震中100km處所測得地震的最大振

幅,

4是該處的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅，則里氏8級地震的最大振幅是里氏6級地震最大振幅的（）倍.

4

A.1000B.100C.2D.-

3

跟蹤訓(xùn)練6芙薩克?牛頓，英國皇家學(xué)會會長，英國著名的物理學(xué)家，著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》、《光

學(xué)》為太陽中心說提供了強(qiáng)有力的理論支持，推動(dòng)了科學(xué)革命.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模

型：6=（4-4）e"+4,其中/為時(shí)間（單位：min）,4為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，。為冷卻后溫

度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為20℃的情況下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min,則k的值為（)

In2In3In2In3

A.B.----C.D.-

20To-To

【課堂鞏固】

1.已知j=5（a>0），則1強(qiáng)，5=（）

c.A2

A.2B.3D.

23

2.Ig8+31g5的值為()

A.-3B.-1C.1D.3

3.已知函數(shù)/(x)=log2M+力)，且/⑵=2J(3)=3,則()

A.a=l,b=AB.a=2,b=-2C.a=4,b=3D.a=4,/?=-4

4.己知某品牌手機(jī)電池充滿電炭為12(X)亳安，每經(jīng)過1小時(shí)，電量消耗20%,若電池電量不超過200亳安

時(shí)充電最佳，那么該手機(jī)至少可以待機(jī)小時(shí).(待機(jī)小時(shí)取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：愴2Ho.30，1g3?0.48)()

A.7B.8C.9D.10

5.(多選)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的是()

_1]]

A.10°=1與愴】=。B.273=—與log?7Q=-3

33

仁1。855=1與5|=5D.lnN=g與N=(g)°

22

7.計(jì)算：(lg5)-(lg2)+8^xlg%/2=--------------

8.log,3+log39+log327+log381=

9.若logl42=a,14"=5,用a,b表示log”28=

10.log5(log5(log,x))=0,x=.

11.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:

(l)]og216=4；

(2)log^27=-3；

⑶%x=3：

⑷5,=125:

⑸2-i=I；

⑹口=9.

12.求下列各式中的x值:

⑴logs%=3：

(2)log2(2x+l)=3；

⑶1og，=3；

o

v

(4)log:8=-3.

13.已知lg3=〃z,lg5=n,求1CM-"的值

14.計(jì)算下列各式的值：

⑴logs35+2log141—log5^—logsl4；

2

2

(2)[(1—Iog63)4-log62-log618]-rlog64：

(3)(log43+log83)(log32+log92).

【課時(shí)作業(yè)】

1.設(shè)”=log94,則3“的值是（）

A.1B.2C.4D.9

2.下列運(yùn)算中正確的是（）

log,8..

A.「二隔5B.log?=log6

log；54

啕7

C.Ig(2+5)=lg2lg5a+In(Ine)=7

3.已知Ig2=a,lg3=力，則10gli75=()

a-b+2b-2a+2b-a+22a-b+2

A.------------B.--------------C.------------D.--------------

2a2a2a2a

4.聲音的等級/(x)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度工(單位：W/m2)滿足/(x)=10xlg晶正.噴氣式飛機(jī)起飛

時(shí)，聲音的等級約為140dB；一般說話時(shí)，聲音的等級約為60dB,那么噴氣式飛機(jī)起K時(shí)聲音強(qiáng)度約為一

般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的()

A.倍B.1。8倍C.IO1。倍D.IO12倍

2

x+l,x<0Mlr

5.若函數(shù).f(x)=L+3),x>?！瘎t〃…))=()

A.B.D.4

6.已知。>1,b>\,且log26=log/,4,則〃〃的最小值為()

A.4B.8C.16D.32

7.已知函數(shù)/(x)為R上的偶函數(shù)，且對任意不玉?0,也)，均有(5一&)[/(%)-/(毛)]<0成立，若

〃=/(&),力=/(1叫；｝c=feM,則小b,e的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

8.我們可以把(1+1%)湖看作每天的“進(jìn)步〃率都是1%,一年后是1.()產(chǎn)；而把(1-1%嚴(yán)看作每天的“落后〃

率都是率,一年后是0.99城，大約經(jīng)過m天后“進(jìn)步”的是"落后〃的10倍,則m的值為(參考數(shù)據(jù)：

lgl.01?0.0043,lg0.99?-0.0044)()

A.100B.115C.230D.345

9.i?：(x/2)"-2loSl3-lne=

10.logzAlogm+e*