L3勾股定理的應(yīng)用北師大版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)

分?jǐn)?shù)：120分考試時(shí)間：120分鐘；命題人:

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7m,頂端距

離地面2.4m.如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2TH,則小巷的寬度為（）

B.1.5771C.2.2mD.2.4m

2.某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng).如圖，當(dāng)張角為乙以4F時(shí)，頂部邊緣8處

離桌面的高度8C為14cm,此時(shí)底部切緣/處與C處間的距離AC為48cm,小如成員調(diào)腦張角的大小繼續(xù)探

究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為ND4F時(shí)。是B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），頂部邊緣。處到桌面的距離OE為40cm,則底部邊緣力處

與E之間的距離/^為（）

A.30cmB.28cmC.41cmD.18cm

3.如圖是一個(gè)臺(tái)階示意圖，每一層臺(tái)階的高都是20sn,寬都是50cm,長(zhǎng)都是40cm,一只螞蟻沿臺(tái)階從

點(diǎn)4出發(fā)到點(diǎn)B,其爬行的最短線路的長(zhǎng)度是（）.

C.130cmD.150cm

4.勾股定理在生活中有著極其廣泛的應(yīng)用.如圖是某臨街店鋪在窗戶上方安裝的遮陽(yáng)棚，其側(cè)面如圖所示,

遮陽(yáng)棚收攏緊貼墻面自然下垂時(shí)，遮陽(yáng)棚棚骨外端。距離地面100cm（即CE=100cm）,將其展開(kāi)至點(diǎn)B距

離墻面168cm的位置時(shí)（即水平距彎8D=168cm）,AB=232cm,則此時(shí)棚骨外端8離地面的垂直高度是

()cm.

A.332-40/2B.233-40/2C.172D.172-4072

5.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解

決為案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)4B,連接力8,作48的垂直平分線CD交

A8于點(diǎn)D,交弧4B于點(diǎn)C,測(cè)出4B=8sn,CD=2cm,則圓形工件的半徑為

（）

A.4cm

B.5cm

C.7cm

D.10cm

6.如圖1是一個(gè)可調(diào)節(jié)平板支架，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，已知平板寬度A8為16cm,支架8C的長(zhǎng)度為

12cm,^ABC=90°,保持此時(shí)△ABC的形狀不變，當(dāng)CB平分乙AC。時(shí)，點(diǎn)8到的距離是（）

圖I圖2

A.8cmB.8.6cmC.9cmD.9.6cm

7.中國(guó)結(jié)寓意團(tuán)圓、美滿，以獨(dú)特的東方神韻體現(xiàn)中國(guó)人民的智慧和深厚的文化底蘊(yùn)，徐明家有一個(gè)菱形

中國(guó)結(jié)裝飾如圖，測(cè)得8。=6cm,AB=5cm,直線J.48交兩對(duì)邊于點(diǎn)E,F,則線段EF的長(zhǎng)為（）

AA24.fBn.—48cmC.4cmD.5cm

8.如圖，在底面周長(zhǎng)約為6米的石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面盤

繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)力到點(diǎn)C,8為力C的中點(diǎn)），每根華表刻有雕龍

的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為（）

A.20米

B.25米

C.30米

D.15米

9.如圖，某學(xué)校為開(kāi)展勞動(dòng)教育在校園農(nóng)場(chǎng)中開(kāi)墾了一塊四邊形菜地4BCD,測(cè)得

乙ABC=90°,AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,則這塊菜地的面積

是（）

A.104m2B.114m2C.118m2D.122m2

10.如圖，一架靠墻擺放的梯子長(zhǎng)15米，底端離增腳的距離為9米，則梯子頂端離地面的

距離為（迷

A.15

B.12

C.10A

D.6

11.如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體盒子上，一只螞蟻在Dig的中點(diǎn)M處，它到BBi的

中點(diǎn)N的最短路線是（）

A.8

B.275

15.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻.一架梯子斜靠在左墻時(shí)?，弟子底端到左墻角的距離為0.7zn,頂端距

離地面2.4m.若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2m,則小巷的寬度為m.

16.如圖是某超市購(gòu)物車的側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖.測(cè)得支架AC=24cm,CB=18cm,兩輪中心的距離力8=

30cm,則點(diǎn)C到48的距離為cm.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.（本小題8分）

如圖，在四邊形48CD中，/-ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面

積.

18.（本小題8分）

如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm,側(cè)棱長(zhǎng)為6cm,一只螞蟻從四棱柱底面上的點(diǎn)4沿著棱柱表面爬到C'

處，求出螞蟻需要爬行的最短路徑的長(zhǎng).

19.（本小題8分）

如圖，在銳角三形4BC中，AB=13,4C=15,點(diǎn)。是BC邊上的一點(diǎn)，BD=5,AD=12,求團(tuán)718C的面

積.

20.（本小題8分）

如圖，一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)4處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角頂點(diǎn)G處，若AB=

3cm,BC=5cm,BF=6cm,問(wèn)蜘蛛要沿著怎樣的路線爬行，才能最快抓到蒼蠅？這時(shí)蜘蛛走過(guò)的路

程是多少厘米？

21.（本小題8分）

如圖，在△4BC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面積.

某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程.

22.(本小題8分)

某校八年(1)班的小華和小軒學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE,他們進(jìn)行了如下操

作：①測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為12米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線8c的長(zhǎng)為20米；③牽線放

風(fēng)箏的小明的身高為1.5米.

(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE；

(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向再卜降4米，則他應(yīng)該再收回多少米線？

23.(本小題8分)

森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用￡機(jī)灑水的方式

撲滅火源.如圖，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向48,由點(diǎn)4飛向點(diǎn)已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，已知力B二

1000m,AC=600m,BC=800zn,飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響.(1)在飛機(jī)飛行過(guò)程中，

求飛機(jī)距離著火點(diǎn)C的最短距離；

(2)若該飛機(jī)的速度為147H/S,要想撲滅著火點(diǎn)C估計(jì)需要15秒，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明著火點(diǎn)C能否被飛機(jī)撲

滅.

24.(本小題8分)

如圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)測(cè)得/IB=CD=6d771,BC=3dm,AD=9dm,其

中與BD之間由一個(gè)固定為90。的零件連接(即乙480=90°).

(1)請(qǐng)求出BD的長(zhǎng)度;

(2)根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC1CD,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn).

25.(本小題8分)

如圖是“夢(mèng)起航”游樂(lè)場(chǎng)的部分平面圖，摩天輪和淘氣堡均在入口力的正北方向，入口力和出口8在同一條

直線上，DALAB,測(cè)得48=80m,AD=135m,BC=100m.

(1)求摩天輪C到淘氣堡。的距離;

(2)現(xiàn)要在距離摩天輪457n的E處修建游樂(lè)項(xiàng)目旋轉(zhuǎn)木馬(CE=45m),點(diǎn)8,C,E在同一條直線上，此時(shí)恰

好DE1EC,求淘氣堡。到旋轉(zhuǎn)木馬E的距離.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】如圖，由題意知NACB=4BDE=90°,CB=0.7m,AC=2.4m,DE=2m.

在△48c中，AB2=AC2+BC2=2.42+0.72=6.25,

所以A8=2.57Tl.

因?yàn)?8=BE,

所以BE=2.5m,

2

所以W=BE2_DE2=2.52-2=2.25,

所以BD=1.5m,

所以CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2(m),即小巷的寬度為2.2m.

故選C.

2.【答案】A

【解析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得44CB=N/1E0=90。,48=40,先在RtEMCB中，由勾

股定理求出力B的長(zhǎng)，后在中，由勾股定理即可求出4E的長(zhǎng)即可得到答案.熟練運(yùn)用勾股定理求

線段長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：LACB=Z.AED=90°,AB=AD,

&.Rt0ACS中，由勾股定理得A8?=AC2+BC2=482+142=2500,

:.AD=AB—50cm,

在"△AE。中，由勾股定理得4E2=力。2一。七2=502-4。2=900,即8f=30cm.

故選:A.

3.【答案】C

【解析】把這個(gè)臺(tái)階示意圖展開(kāi)為平面圖形如圖，在RtzMCB中，???4C=50cm,FC=120cm,

222

AB=50+120=1302,...AB=130cm..,.一只螞蟻沿臺(tái)階從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)從其爬行的最短線路4B的

長(zhǎng)度是130C7幾故選C.

H

4.【答案】C

【解析】解：由題意得：AC=AB=232cm,CE=100cm,BD=168cm,Z.ADB=90°,BF=DE,

在RtA/lDB中，由勾股定理得：AD=y/AB2-BD2=V2322-1682=160(C7n),

BF=DE=AE-AD=AC+CE-AD=232+100-160=172(cm),

故選：C.

由題意得出4c=48=232cm,CE=100cm,BD=168cm,LADB=90°,BF=DE,再由勾股定理求

出HD=160cm,然后由8/=DE=4E-AD=AC+CE-AD,即可得出答案.

本題考查了勾股定理的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：如圖，設(shè)圓心為。，連接0氏設(shè)。8=0C=rcm.

R￡A08C中，DB=^BC=4cm,

根據(jù)勾股定理得：

OC2-^-BC2=OB2,即：

(r-2)2+42=r2,

解得：r=5；

故圓形工件的半徑為5cm,

故選:B.

由垂徑定理，可得出的長(zhǎng)：連接08,在RtAOBC中,可用半徑08表示出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)勾股定

理求出得出圓形工件的半徑.

本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

6.【答案】0

【解析】解：在中，AB=16,BC=12,

AC=y/AB2+BC2=20，

過(guò)點(diǎn)8作BEJ.C?！狐c(diǎn)E,CFJ.4C于點(diǎn)F,如圖所示：

:.BE=BF,

在ZM8C中，/.ABC=90°,AC=20cm,AB=16cm,

由三角形的面積公式得：S^ABC=^AC-BF=]-AB?BC,

,ABBC16X12cu，、

二DC"=k=F=9￡(cm)，

:.BE=BF=9.6cm,

.?.點(diǎn)B到CO的距離是9.6cm.

故選：D.

過(guò)點(diǎn)B作BE1CD于點(diǎn)E,。尸14。于點(diǎn)尸，根據(jù)角平分線性質(zhì)得8￡=8凡先在RtA/lBC中，由勾股定理

求出AC=20cm,再由三角形的面積公式求出BF=9.6cm,則BE=BF=9.6cm,由此即可得出答案.

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理及三角

形的面枳公式進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解：?.?四邊形4BCD是菱形,

:.0B—=3cm,AC1BD,

AB=5cm,

由勾股定理可得：。力=y/AB2-0B2=452-32=4(51),

???AC=20A=8cm,

???EF1AB,

菱形48CD的面積=EFAB=1.4C-BD,

二EF-5=ix8x6?

解得：EF=^-cm,

故選:A.

根據(jù)菱形對(duì)角線互相平分且垂直，可得0〃=gBQ=3cm,AC-BD,由勾股定理計(jì)算出04再根據(jù)菱形

的面積公式列等式EF-AB=*5BD,即可求解.

本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)菱形對(duì)角線互相平分且垂直解答.

8.【答案】4

【解析】解：如圖，根據(jù)題意可知，底面周長(zhǎng)約為6米，柱身高約16米，\D

、

、

[[、

AF=6,48=$x16=8（米），'、、

、

、■E

BF=7AF?+AB2=、62+82=10（米）,B\=

、

???雕刻在石柱上的巨龍至少為2X1O=20（米）.

、

故選：A.________'

AF

把圓柱體的側(cè)面展開(kāi)后是長(zhǎng)方形，每圈龍的長(zhǎng)度與高度和圓柱的周長(zhǎng)組成直角三角

形，根據(jù)勾股定理求出每圈龍的長(zhǎng)度，最后乘2即可得出結(jié)論.

本題主要考杳了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)A柱體的側(cè)面展開(kāi)，井分析出每圈龍的長(zhǎng)度與高度

和圓柱的周長(zhǎng)組成直角三角形.

9.【答案】B

【解析】解：連接HC,

B___________C

vZ.ABC=90°,AB=9m,BC=12m,

AC=AB2+BC2=V92+122=15(m)，

vCD=8?n,AD=17m,

???AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289,

222

AAC+CD=AD,

???△4CD是直角三角形,

Z.ACD=90。，

匹邊形48CD的面積=△A8C的面積+△4CD的面積

11

=^AB?BC+^AC-CD

11

=5x9x12+5x15x8

=544-60

=114(7*),

這塊菜地的面積為114m2,

故選:B.

連接AC，先在中，利用勾股定理求出4C的長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理證明△4CD是直角三

角形，從而可得NAC。=90。，最后根據(jù)四邊形A8CD的面積=M8C的面積+Zk4CD的面積，進(jìn)行計(jì)算即

可解答.

本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)

鍵.

10.【答案】B

【解析】解：???梯子長(zhǎng)15米，底端離墻腳的距離為9米，

二梯子頂端離地面的距離為：,152—端=12(米)，

故選：B.

根據(jù)勾股定理求解即可.

本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答.

11.【答案】D

【解析】解：①沿展開(kāi)，如圖所示，

一1

DM2GB

MN=JB1W+&M2=V22+62=2/10(cm).

②沿81G展開(kāi)，MN=y/MH2+NH2=V42+42=4/2(cm)，

4心<2/10?

???最短路線長(zhǎng)是4Mcm，

故選：D.

分兩種情形展開(kāi)解決問(wèn)題即可.

本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用.“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知，BC//EF,CE1EF,BF1EF,BF=2cm,

:.CE=BF=2cm,

.'.AC=AE-CE=6-2=4(cm)

在At△ABC中，LACB=90°,

:.AB=y/AC2+BC2=V42+32=5(cm).

故選：C.

根據(jù)題意可推出4C=4cm,然后在Rt△4BC中利用勾股定理求解即可.

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】2.5

【解析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，作圖，設(shè)米，==y米，兩次利用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】如圖，由題知，/-ACB=90°,/1E=1.3米，Z1C=0.7米，8。=0.9米，

設(shè)CD=x米，AB=DE=y米(％>0,y>0),則BC=(0.9+x)米,

在At團(tuán)48c中，AB2=BC2+ACZ,即y2=(O9+%)2+o72,

在At121CO5中，DE2=CD2+CE2,即丫2="+2"

(0.9+%)2+0.72=X2+22,解得X=1.5,

y2=1.524-22=6.25,解得y=2.5,

.?./B=DE=2.5米，即木板的長(zhǎng)為2.5米.

故答案為：2.5.

14.【答案】10

【解析】將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接力夕，:=1+3+1+3=8(cm),A'B'=6cm,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最

短，(43)2=82+62=1。2,.../8，=iocm.故答案為10.

15.【答案】2.2

【解析】略

16.【答案】y

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CO_LAB于點(diǎn)D.

因M4c=24cm,CB=18cm,AB=30cm,所以AC?+RC?="勿，所以△力口。是直角三角形，所

1177

以乙4cB=90°.因?yàn)椤?BC的面積=^AC-BC=^AB-CD,所以24x18=30-CD,所以CD=y,即

點(diǎn)C到4B的距離為（cm.

17.【答案】解：?.?48=90。，.?.△48。為直角三角形.又?.?43=3,BC=4,.?.根據(jù)勾股定理，

得AC2=AB2+BC2=52,-.AC=5.又???CD=12,AD=13,.'.AD2=132=169,CD2AC2=

122+52=144+25=169,二CD?+力。2=力屏，...△A。。為直角三角形，乙ACD=9U。.：.S也邊

SAABC+ShACD=\AB--CD=Ix3x4+ix5x12=36.故四邊形4BCD的面積是36?

【解析】略

18.【答案】解：如圖所示，當(dāng)沿著平面48夕片、平面48‘。'。'爬行時(shí)，4。'=，(6+5)2+52=

V146(cm).

當(dāng)沿著平面力B8Z'、平面BB'C'C爬行時(shí)，AC=V(5+5)2+62=/136=2\T34(cm),

因?yàn)?，?lt;/146,所以螞蚊需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是

【解析】略

19.【答案】解：在回4B0中，因?yàn)?8=13,BD=5,AD=12,+AD2=52+122=169,

因?yàn)锳B?=13?=169,即：BD2+AD2=AB2,所以，4DB=乙4。。=90°,

在Rt團(tuán)ADC中，由勾股定理得，CD2=AC2-ADZ=152-12z=92,

所以CO=9,所以BC=3。+CD=5+9=14.

所以品48c=|xZ?Cx=ix14x12=84.

【解析】略

20.【答案】解:如圖1,當(dāng)螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)先到BF上再到點(diǎn)G時(shí)，?.YB=3cm,BC=5cm,AC=

AB+BC=3-^-5=8(cm)J?BF=6cm,CG=BF=6cm.在Rt△4CG中，AG2=AC2+CG2=82+

62=100.如圖2,當(dāng)螞蚊從點(diǎn)4出發(fā)先到5尸上再到點(diǎn)6時(shí)，：8。=5371,，打；=8。=53?1,二86=

5+6=ll(cm).在RtaABG中，AG2=AB2+BG2=32+ll2=130.如圖3,當(dāng)螞蟻從點(diǎn)力出發(fā)先到E”

上再到點(diǎn)G時(shí)、?:DH=BF=6cm,HG=AB=3cm,???DG=DH+HG=64-3=9(cm),在Rt△ADG

中，AG2=452+DG2=52+92=106}13O>1O6>100,??.第一種方案最近,這時(shí)蜘蛛走過(guò)的路程是

10cm.

【解析】略

21.【答案】解：如圖，在△48C中，AB=15,BC=14,AC=13,設(shè)8。=X,則。。=14-%.由勾股

222

定理，得_BD2=152_%2,AD2=AC2_=^2,(14-X),故152-X==13-

(14-%)2,解得％=9.，4。=12,???SAABC=：BJ40=3x14x12=84.

【解析】略

22.【答案】解：⑴在Rt△血中,

由勾方殳定理得，CD2=BCZ-BDZ=202-122=256,

所以，CD=16（負(fù)值舍去），

所以，CE=CD+DE=16+1.5=17.5（米），

答：風(fēng)箏的高度CE為17.5米；

（2）如圖所示：在DC上取一點(diǎn)M,使CM=4米，連接BM,

由題意得，CM=4米，

DM=12米，

在/?￡△MDB中,

:.BM=7DM?+BD?=y122+12?=1271(米),

:.BC-BM=(20-12/1)米，

他應(yīng)該再收回(20-1271迷.

【解析】(1)利用勾股定理求出C。的長(zhǎng)，再加上DE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度;

(2)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

vAB=1000m,AC=600m,BC=800m,

AC2+BC2=6002+8002=10002,AB2=10002,

AAC2+BC2=AB2,

??.△ABC是直角三角形,

'-S&ABC=^AC-BC=^AB-CD,

600x800

A

CD=1000