第1章推理與證明?基礎通關

建議用時：60分鐘，滿分：120分

一、選擇題：（本大題共9小題，每小題3分，共27分.下列各小題均有四個

選項，其中只有一個是正確的

I.下列句子中屬于命題的是（）

A.美麗的天空B.你的作業(yè)完成了嗎？

C.過直線/外一點作/的垂線D.兩直線平行，同位角相等

2.在一個直角三角形中，有一個銳角等于30。，則另一個銳角的度數(shù)是（）

A.150°B.50°C.70°D.60°

3.卜列命題中，為假命題的是（）.

A.對頂角相等B.同旁內角互補

C.等角的補角相等D.三角形兩邊之和大于第三邊

4.在第36屆全國中學生物理競賽決賽中，華師一物理競賽團隊有5位同學獲金牌，并全部

進入國家集訓隊.五位同學猜誰是第一名，A說：是8,8說：是。，C說：是A,。說:

8說錯了，￡說：不是我.教練說：你們中只有一人說對了，那么第一名是（）

A.BB.CC.DD.E

5.對于命題“若卜|>3,則x>y"，下面四組關于右丁的值中，能說明它是假命題的是

（）

A.x=-4,y=B.x=5,y=-2

C.x=\,y=0D.x=-3,y=-4

6.下列語句中，正確的是（）

A.三角形的外角和大于它的內角和B.三角形的一個外角等于它的兩個內角的和

C.三角形的內角小于它的外角D.三角形的外角和是180。

7.如圖，在△力4。中，N8=46。，NC=54。，4。平分/8/C,交BC于D,DE//AB,交

4c于點￡,則/力。七的大小是（）

試卷第1頁，共6頁

A

C.46°D.54°

8.對真命題“平行于同一條直線的兩直線平行”的證明過程如圖所示，則下列正確的是（）

A.①處為兩直線平行，同位角相等B.①處為同位角相等，兩直線平行

C.②處為同位角相等，兩直線平行D.②處為兩直線平行，同位角相等

9.在探究證明“三角形的內角和等于180。”時，綜合實踐小組的同學作了如圖四種輔助線,

其中不能證明“三角形的內角和等于180?！钡氖牵ǎ?/p>

A.如圖①，過點C作E/〃48

B.如圖②，延長/C到少，過點C作CE8

C.如圖③，過AB上一點、D作DE〃BC,DF//AC

D.如圖④，過點。作。E〃BC

二、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

試卷第2頁，共6頁

10.把命題“同旁內角互補，兩直線平行”改寫成“如果…，那么…”的形式：

11.如圖所示，用直尺和三角尺作直線48〃CQ,這種作法的依據(jù)是—.

12.能清楚地規(guī)定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的.判斷某一

件事情的句子叫做.正確的命題稱為,的命題稱為假命題.

13.已知：如圖，在RlZs/BC中，乙4cB=90。，CDLAB,若乙48=26。,則N4=.

14.用反證法證明命題”三角形中至多有兩個角大于60?！睍r，應假設.

15.如圖，在中，Z^C=90°；NC/B=4()。，。是直線川？上的一個動點，連結

CD,將△CQ4沿著C。翻折得到△€/)￡1,當QE與△力灰?的邊垂直時，/CO4的度數(shù)

是.

三、解答題：(本大題共10個小題，共75分.)

16.下列句子中哪些是命題？

(1)直角三角形的兩個銳角互余.

(2)正數(shù)都大于0.

(3)如果N1+N2=I8O。，那么/I與N2互補.

(4)太陽不是行星.

(5)對頂角相等嗎?

(6)作一個角等于已知角.

試卷第3頁，共6頁

R

A卜E/F/B

CND

(1)求證：AB//CD,

(2)若/。=47。,/氏%=80。，求乙1EP的度數(shù).

22.如圖，點E、/分別在C。、AB上,連接BE、CF、DF,BELDF于點、G,2CM.

⑴求NCF。的度數(shù)；

(2)若N2+NO=90。，求證：AB//CD.

23.一次數(shù)學綜合實踐活動課上，老師提出了一個問題：如何證明三角形內角和等于180。

【定理證明】

(1)小紅的證明思路是：如圖1,在△力8c中，過點力作。E〃8C,再利用平行線的相關

知識來證明：/歷1C+N8+NC=18O。.請按照小紅同學的思路繼續(xù)完成證明過程；

【定理應用】

(2)如圖2,若/1=20。，N2=3()。，NBDC=95。，求/4的度數(shù).

24.在有理數(shù)運算、整式運算的學習中.我們感受到：這部分內容的學習都是從具體、簡單

的運算出發(fā)，歸納共性并驗證規(guī)律.請你類比方法解決下列問題：

觀察下列等式，并回答問題：

12-0-=1

2—2=3

試卷第5頁，共6頁

32-22=5

(1)將11寫成兩個正整數(shù)平方差的形式：=11;

(2)觀察、歸納，得出猜想,：用含有字母〃(〃>0,且〃為整數(shù))的等式表示上述的規(guī)律為:

(3)驗證：用已學的知識驗證上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

(4)延伸：兩個相鄰奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù).這個命題是命題(填“真，或

“假”).

25.如圖，在△力8c中，點。在8c邊上，ZBAD=\00°,/力。C的平分線交力C于點￡,

過點上作叱垂足為b,且乙4￡1尸=50。，連接BE.

(1)求/。力上的度數(shù)；

⑵求證：BE平分4BC；

(3)若4。=6,。。=10,三角形4C。的面積是16,求￡尸的長.

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】本題考查命題的概念，掌握判斷一件事情的語句，叫做命題是解題的關健.

根據(jù)命題的概念逐項判斷即可.

【詳解】解：A、美麗的天空，不是命題，故此選項不符合題意；

B、你的作業(yè)完成了嗎？，不是命題，故此選項不符合題意；

C、過直線/外一點作/的垂線，不是命題，故此選項不符合題意；

D、兩直線平行，同位角相等，是命題，故此選項符合題意；

故選：D.

2.D

【分析】本題考查了宜角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳用互余的性質，已知一個銳角為

30。，另一個銳角的度數(shù)即為90。減去已知銳角的度數(shù).

【詳解】解：?.?在百角三角形中，兩個銳角的和為90。.

.-.90°-30°=60°.

故選：D.

3.B

【分析】本題考查判斷命題的真假，根據(jù)對頂角，平行線的性質，補角，和三角形的三邊關

系逐一-進行判斷即“J.

【詳解】解：A、對頂角相等，原命題為真命題，不符合題意；

B、同旁內角不一定互補，原命題為假命題，符合題意；

C、等角的補角相等，原命題為真命題，不符合題意；

D、三角形兩邊之和大于第三邊，原命題為真命題，不符合題意；

故選B.

4.D

【分析】教練說：你們中只有一人說對了，根據(jù)6,。市互矛盾，由此即可求解.

【詳解】解：8說：是D,。說：6說錯了，教練說：你們中只有一人說對了，

???8和。的說法只能一真一假，不能同真，也不能同假；

二。和A,E說得都是假話，

二只有。說對了，

???第一名是E

故選：D.

答案第1頁，共13頁

【點睛】本題主要考查命題的邏輯推理，理解題目中教練，8和。的說法進行推導是解題的

關鍵.

5.A

【分析】本題考查了假命題，根據(jù)假命題的定義逐項判斷即可求解，掌握假命題的定義是解

題的關鍵.

【詳解】解：A、x=-4、時，卜|＞3,但x＜y,能說明命題是假命題，該選項符

合題意；

B、x=5,y=-2時，國＞|引，且不能說明命題是假命題，該選項不合題意；

C、x=l,?=0時，國＞3,且不能說明命題是假命題，該選項不合題意；

D、x=-3,，=-4時，國＜回，且不能說明命題是假命題，該選項不合題意；

故選：A.

6.A

【分析】本題考查三角形外角的性質和三角形內角和定理，根據(jù)三角形外角的性質和內角和

定理進行判斷即可.

【詳解】解：A、三角形的外角和大于它的內角和，故符合題意；

B、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，故不符合題意

C、三角形的內角不一定小于它的外角，故不符合題意；

D、三角形的外角和是360。，故不符合題意；

故選：A.

7.A

【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，平行線的性質；根據(jù)三角形內角

和定理求得N4/1C=80。，根據(jù)角平分線的定義可得/相。=40。，進而根據(jù)平行線的性質，

即可求解.

【詳解】解：,??在△43C中,/8=46。，NC=54。,

ABAC=180°-46°-54°=80°,

?.?力。平分N8/1C,

-DE//AB,

答案第2頁，共13頁

/ADE=/BAD=40°,

故選：A.

8.C

【分析】本題考查平行線的判定與性質，根據(jù)平行線的判定與性質進行逐一判斷即可.

【詳解】解：已知：如圖，a//bta//c.

求證：b/c.

證明：作直線d分別與直線a,6,c相交.

.?./1+/2=180。（兩直線平行，同旁內角互補）

'：a//c,

/.Zl+Z3=180°,

/.Z2=Z3.

：.b//c（同位角相等，兩直線平行）.

故選：C.

9.D

【分析【本題主要考查三角形內角和的定理的證明，平行線的性質，熟練掌握轉化的思想以

及平角的定義是解決本題的關鍵.運用轉化的思想作出相應的平行線，把三角形的內角進行

轉化，再根據(jù)平角的定義逐一判斷即可得答案.

【詳解】?:EF〃AB,

Z.ECA=Z/l,NFCB=NB,

???NECA+ZACB+ZFCB=182。，

???/力+/3+//。8=180。，故A選項不符合題意，

?：CE〃/IB,

上FCE=ZJ,MECB=N3,

v4FCE+NECB+ZACB=180°,

.?.N4+/8+N4C8=180。，故B選項不符合題意，

?:DE〃BC,DF//AC,

：.ZADE=/BDF=NA,ZC=NAED,NAED=ZEDF,

ZC=ZEDF,

v/月。上+4ED卜+卜=18。"，

答案第3頁，共13頁

/+/8+NC=180。，故C選項不符合題意，

,:DE"BC,

："ADE=NB,NAED=ZC,不能證明“三角形的內角和等于180?！惫蔇選項符合題意，

故選：D

10.如果同旁內角互補，那么兩直線平行

【分析】本題考查了一個命題寫成“如果…那么…''的形式，一個命題都能寫成“如果…那

么…”的形式，如果后面是題設，那么后面是結論.

根據(jù)命題”同旁內角互補，兩直線平行”的題設和結論進行分析解答即可.

【詳解】解：“同旁內角互補，兩直線平行:"的條件是：“同旁內角互補”，結論為：“兩直線

平行,,,

???寫成"如果…，那么…”的形式為：“如果同旁內角互補，那么兩直線平行”，

故答案為：如果同旁內角可補.那么兩百線平行.

H.同位角相等，兩直線平行

【分析】本題考查了平行線的判定定理，根據(jù)平行線的判定定理即可得出答案.

由畫法可得：Nl=/2,則力8〃。。，這種作法的依據(jù)是同位角相等，兩直線平行，

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

12.定義命題真命題不正確

【分析】根據(jù)命題與定義的概念，真假命題的定義進行填空即可.

【詳解】解：能清楚地規(guī)定某名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義.判斷某

一件事情的句子叫做命題.正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

故答案為：定義；命題；真命題；不正確.

【點睛】本題主要考查了命題與定義，熟知相關概念是解題的關鍵.

13.26。##26度

【分析】本題考查了直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵.根據(jù)直

角二角形的性質即可求解.

答案第4頁，共13頁

【詳解】解：VZJC5=90°,ZJCD=26°,

NBCD=ZJCB-ZJCD=64°，

?.?CDLAB,

/.NCDB=90°,

:"B=90°-/BCD=90°-64°=26°.

故答案為：26°.

14.三角形中三個角都大于600

【分析】本題考查了反證法，反證法的步驟是：①假設結論不成立：②從假設出發(fā)推出矛

盾；③假設不成立，則結論成立.在假設結論不成立時，要注意考慮結論的反面所有可能

的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

【詳解】解：用反證法證明命題”三角形中至多有兩個角大于60。”時，應假設三角形中三個

角都大干60。.

故答案為：三角形中三個角都大于60。.

15.45?；?5?；?5。

【分析】本題主要考查了三角形折疊中的角度問題，分當。點在線段18上時，當點。在線

段力4延長線上討論，畫出對應的圖形，根據(jù)三角形內角和定理和折疊的性質求解即可.

【詳解】解：當。點在線段上且。f244時，如圖，

.??N8CE=90。，

由折疊可知：NECD=N8CDJNECB=45。,

2

-ZABC=90°t

.?.ZCDB=ZBCD=45°;

當。點在線段AB上且?！?4C時，

答案第5頁，共13頁

c

由折疊的性質可得4DCE=4BCD=1(90°-40°)=25。,

"CDB=90°-/BCD=65°；

當。點在線段力8延長線上且OK上時，如圖所示，

同理可得NCZ)8=45。；

當。點在線段48延長線上且OEX4C時，如圖所示,

???ACAB=40°,

.-.ZJD^=90o-40°=50°；

由折疊的性質可得NCDB=NEDC=g/ADE=25°；

綜上所述，當。七與△48。的邊垂直時，NCQ4的度數(shù)是45?；?5。或25。.

故答案為:45。或65?；?5。.

16.(1)(2)(3)(4)是命題

【分析】本題考查了判斷是否是命題.根據(jù)判斷一件事情的語句，叫做命題，命題是一個判

斷的語句，必須是一個完整的句子，據(jù)此逐一分析即可求解.

【詳解】解：(1)(2)(3)是命題，它們都對事情作出了肯定的判斷；(4)是命題，它對事

情作出了否定的判斷；(5)不是命題，只表示疑問，并未作出判斷；

答案第6頁，共13頁

(6)不是命題，只是描述了一個作圖的過程，不含有判斷的意思.

:.(1)(2)(3)(4)是命題，(5)(6)不是命題.

17.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了寫逆命題，判斷命題的真假及舉反例等知識，理解這些知識是關鍵；

(1)交換命題的條件與結論便得到其逆命題，判斷是真命題即可；

(2)先改寫成：“如果……，那么……”的形式，再交換命題的條件與結論便得到其逆命題,

判斷真假，若是假命題，則舉出符合命題條件，但不符合命題結論的例子即可.

【詳解】(1)解：逆命題：如果一條線段是一個三角形的中線，那么這條線段把這個三角形

分成兩個面積相等的三角形；是真命題；

(2)解：原命題：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角有公共頂點且相等；

逆命題：如果兩個角有公共頂點日相等,那么這兩個角是對頂角：

是假命題.

反例如下：如圖：N1=N2,且共頂點0,但這兩個角不是對頂角；

18.見解析

【分析】本題考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵.

根據(jù)內錯角相等，兩直線平行，得到力繼而得到NC+NCQE=180。，

Z￡+ZCDf=180°,即可得到4E||CO.

【詳解】證明：?.?44=/4。七，

:.AB^DE,

NC+NCQE=180。，

NC=NE,

NE+NCOf=180。，

BE//CD.

19.(1)20°

(2)20°

答案第7頁，共13頁

【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義.

(1)先由三角形內角和定理求出/84。=80。，再由角平分線的定義得到NC/E=40。，由

垂線的定義得到/8力。=90。，則/。48=90°-/8=20°,根據(jù)=NZME—NQ45即

可解題；

(2)仿照(1)的步驟求解即可.

【詳解】(I)解：???N8=70。，ZC=30°,

Z.BAC=1800-Z5-ZC=l800-70°-30°=80°,

???4￡平分/歷9,

:.NBAE=-ZBAC=-x80°=40°；

22

vADJ.BC,

.??N8D4=90°,

:.ZDAB=90°-/B=90°-70°=20°,

:./DAE=ZBAE-/DAB=40°-20°=20°；

(2)解：?.?力E平分4C,

："BAE=|NBAC=1(180°-Z5-ZC),

?；NBAD=90O-/B,

??"DAE=ZBAE-/BAD=1(180°-Z5-ZC)-(90°-Z^)=1(Z5-ZC),

vZ5-ZC=40°,

.-.ZZ)/l￡，=-x40o=20o.

2

20.參觀團只能去C、。兩地

【分析】本題主要考查了邏輯推理，由②可知，當去七時，則由⑤可知必須去/、。，則

由①④可知必須去8、C.則與③矛盾，則不去E,一定要去。，再由④可知，要去。，

由③可知不去8，由①可知不去兒據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由②。、￡1兩地至少去一處可知，若去￡地，則由⑤知，必須去4、。兩地,

由①和④知必須去反。兩地，但與③矛盾，

二不能去E地，

???必須去。地

.??由④知必須去。地，再由③知，不能去〃地，

答案第8頁，共13頁

二由①知也不能去力地，市⑤知也不能去E地，

故該參觀團只能去。、。兩地.

21.(1)見解析

(2)ZAEP=127°

【分析】本題考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定方法和性質，是解題的關鍵:

(1)由/2=/3,推出CE〃NE,進而推出/月VZ)=N1,即可得證；

(2)根據(jù)平行線性質，角的和差關系，以及對頂角相等，即可得出結果.

【詳解】(1)證明：???/2=/3,

-.CE//NF,

:"C=4FND,

又?.?NC=N1,

：?NFND=/T,

.'.AB//CD.

(2)?.?Z￡>=47°,Z￡'A/F=80o,AB//CD,

:"BED=ND=47。,N2=NEW/7=N3=80。，

：ZBEC=Z2+/BED=80。+47。=127°,

:"AEP=/BEC=\T1。.

22.(l)ZCFZ)-90°

(2)見解析

【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，直角三角形特征，熟練掌握平行線的判定,

同角的余角相等是解題的關鍵；

(1)根據(jù)垂直的定義和直角三角形特征可得/1+/。=90。，再通過等量代換即可求出

ZCTO=90°；

(2)根據(jù)同角的余角相等可得Nl=N2,再通過等量:代換可得Z2=ZC,即可證明AB//CD.

【詳解】⑴解：?:BE工DF,

.-.ZEGD=90°,

/.Zl+ZD=90°,

?/NC=N1,

ZC+ZD=90°,

.,.ZC,?L>=90u；

答案第9頁，共13頁

(2)證明：vBELFD,

ZDGE=90°,

Zl+ZD=90°,

???Z2+ZD=90°,

Z1=Z2,

?/ZC=Z1,

N2=NC,

J.AB//CD.

23.(1)見解析：(2)45°

【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理的證明及三角形外角的性質.

(1)根據(jù)平行線的性質得到NA4Q=N8,NC4E=NC,再利用平角的定義即可證明結論：

(2)延長8。交4C干巴根據(jù)三角形的一個外角等干與它不相鄰的兩個內角的和進行求解

即可.

【詳解】(1)證明：???￡)七〃8C,

:"DAB=NB,ZEAC=ZC,

Z.DAB+ZBAC+NEAC=180°,

Z5JC+Z5+ZC=180°：

(2)解：如圖，延長交,4C于E,

Q由三角形的外角性質得，Z3=Z1+Z4,N3+/2=N8Z)C=95。,

.-.Z1+ZJ+Z2=Z5DC=95°,

Z1=20°,Z2=30°,

/.ZJ=95°-20°-30°=45<>.

24.(1)6—2

⑵1-(〃-1)~=2〃-1

(3)證明見解析

(4)真

答案第10頁，共13頁

【分析】(1)根據(jù)6?-5?=11即可求解;

(2)由等式規(guī)律可得〃2-(〃-1)2=2〃-1,即可求解：

(3)展開計算驗證即可；

(4)設兩個相鄰奇數(shù)分別為2〃+1和2〃+3,由平方差公式進行計算即可判斷求出:

本題考查了平方差公式的應用，掌握平方差公式的應用是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：62-52=11,

故答案為:62-52;

(2)解：vl2-O2=1=1+0,

22-12=3，

32-22=5,

n2