第五章直角三角形單元測試卷湘教版2025-2026學(xué)年八年級(jí)上冊

總分：120分時(shí)間：90分鐘

姓名：班級(jí)：成績：

一.單項(xiàng)選擇題（每小題4分，滿分40分）

題號(hào)1345678910

答案

1.以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）

A.3,4,6B.1,72,>/3C.45,45,90D.8,16,17

2.下列選項(xiàng)中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）

A.兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等

B.斜邊和一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等

C.兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等

D.三條邊長分別對(duì)應(yīng)相等

3.三角形的三邊長小b,c,滿足2"=3+勿2—c?,則此三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.以上均有可能

4.若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊長為（）

A.13B.13或而勺C.13或15D.15

5.如圖，已知OA=O8BC工AC于點(diǎn)C,點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)是-2,BC=1,那么數(shù)軸上點(diǎn)A所

表示的數(shù)是（）

A.>/5B.—>/5

C.樂D.-0

6.如圖，以宜角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外作王方形、半圓、等邊三角形、半圓,

這四個(gè)圖形中3，S：之間的關(guān)系滿足SI+S2=*的個(gè)數(shù)為（）

7.在RtAABC中，ZC=90°,若BC=3,4=30。，則AC的長度為（）

A.6B.3GC.3D.73

8.如圖，已知在RtZ\A8c中，NC=90°,8。平分/C3A,交AC于點(diǎn)。，若CO=3,AB=12,

則△A3。的面積為（）

A.9B.12C.18D.36

9.如圖，點(diǎn)E在等邊VABC的邊8c上，BE=4,射線C/）_L8C,垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)尸是射

線CO上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段A8上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF=5.則￡P(guān)+FP這

個(gè)最小值是（）

A.9B.10C.5GD.3不

10.如圖示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8、C分別在％軸正、負(fù)半軸上，點(diǎn)A在V軸正半軸上，

BD1AC（垂足為。）‘若以=3（。為原點(diǎn)），N的=45。，BD=9五,則點(diǎn)3的坐標(biāo)

二.填空題（每小題5分，滿分20分）

11.如圖，點(diǎn)石在/BOA的平分線上，ECJ_08于點(diǎn)。，點(diǎn)/在。4上，若4房=30。，"=3,

則E"=.

12.在直角三角形中，斜邊及其中線之和等于12cm,那么斜邊長是cm.

13.等邊三角形的高長為3,則面積為.

14.如圖，長寬高分別為3、2、1的長方體木塊上有一只小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長方體的外

表面爬到頂點(diǎn)〃，則它爬行的最短路程是.

B

O

F-A

第11題圖第14題圖

三.解答題(共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程)

15.如圖，在VABC中，點(diǎn)。在AC邊上，NB4D=40,NAHC的平分線交4。于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作所_LAB,交朋的延長線于點(diǎn)尸，且/A律=20,連接OE.

⑴求證：OE平分-49C；

(2)若人4=&人0=5,S=7,且5八8二12,求二的面積.

16.如圖1,在RlZ\A8C和Rt二AOE中，ZBAC=ZDAE=90,AB=ACfAO=AE,且

點(diǎn)。在8c邊上滑動(dòng)（點(diǎn)。不與點(diǎn)8,。重合），連接EC.

⑴求證；BD2+CD?=2AD2;

⑵如圖2,在四邊形A8CD中，ZABC=ZACS=ZADC=45.若%>=17cm,CQ=8cm,

求AO的長；

17.【資料】如圖①，這個(gè)圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人僅稱它

為“趙爽弦圖〃，該圖通過對(duì)圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理.

【拓展】根據(jù)以上材料，老師將圖①進(jìn)行了拓展：

⑴如圖①，若黃實(shí)的面積為L所拼得的大正方形的面積為25,每個(gè)朱實(shí)的面積是；

(2)如圖②，將長方形ABC。的四邊40、DC、CB、朋分別延長至E、F、G、，，使

得DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD,連接E尸、FG、GH、HE.

①求證：EF=GHx

②若A3=4,BC=3,則圖中陰影部分圖形的面積為.

斐建考朱'

18.如圖①，在VA8C中，若A8=6,AC=4,求BC邊上的中線A。的取值范圍.

【問題解決】

(1)解決此問題可以用如下方法：延長A。到點(diǎn)E,使7)E=AO,再連接的(或?qū)ⅰ窤CD

繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到△￡BO,把A3、AC,2AD集中在,A3E中，利用三角形三

邊的關(guān)系即可判斷.由此得出中線A。的取值范圍是:

【應(yīng)用】

(2)如圖②，在VABC中，點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，已知A8=10,AC=6,AD=4,求AC

的長；

【拓展】

(3)如圖③，在VA8C中，NC=90°,點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊AC上，過點(diǎn)。作

DN上DM交邊AC于點(diǎn)N,連接MN.已知4A/=1,BN=3,則MN的長為.

19.如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是8。延長線上一點(diǎn)，且CE=CD,

DM工BC,垂足為M.

⑴求證：0M垂直平分BE；

(2)若CM=2,求的長責(zé).

E

20.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,A4=10cm,AC=6cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線8C

以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

⑴若點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到8c的中點(diǎn)時(shí)，，的值是「

(2)4秒內(nèi)，若BP=AP,求研的長：

⑶當(dāng)一為直角三角形時(shí)，求/的值.

參考答案

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案BABBBDBCCB

二、填空題

11.【解】如圖，過點(diǎn)￡作石。，。八，交。4于點(diǎn)。

??,點(diǎn)E在N8OA的平分線上，ECLOB,

;ED=EC=3

yZAFE=30°,EDLOA

EF=2ED=6

故答案為：6.

12.【解】解：設(shè)斜邊的長為mm,則斜邊上的中線長度為gnm,

團(tuán)斜邊及其中線之和等于12cm,

0X+—x=12,

2

團(tuán)x=8,

即斜邊長是8cm,

故答案為：8.

13.【解】解：如圖，

設(shè)三角形A8C的邊長為“

^ADIBC

0BD=—AB=-a,

22

在Rt"8。中，BD2+AD2=AB2

團(tuán)仕力+32=d2,

（2）

解得〃=2石，（負(fù)根舍去）

團(tuán)S=328'3=36.

故答案為：3G.

14.【解】解：由題意有以下路線

路線一，如圖1,

H8

22

f\（AB=>/3+3=3N/2

1/I'

AC

國1

路線二，如圖2,

回3近<26<回，

因最短距離為3夜.

故答案為；3近.

三、解答題

15.【解】（1）證明：?.￡F_L45,交K4的延長線于點(diǎn)產(chǎn)，

/.ZAFE=90°.

ZAEF=2（T,

ZEAF=90°-ZAEF=90°-20°=70°.

?,?ZBAD=40°,

...NDAE=180°-40。-70°=70°.

如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M,ENiBC于息N,

/加平分NA6C,EhAB,交84的延長線于點(diǎn)尸，

：.EF=EN.

???/￡"=N7）4E=70，

.:AE平分N/ME

；.EF=EM,

/.EM=EN.

?/EM±AD,ENLCD,

二.DE平分/ADC；

（2）解：/。。的面積=\幺。石的面積+2"?。后的面積，

:.-ADEM+-CDEN=\2

22f

:.^（AD+CD）EM=\2t

.■.^x（5+7）EM=12,

:.EM=2,

;.EF=2,

.二ABE的面積=；ABM=；X6X2=6.

16.【解】（1）證明：在油5A8C中，AB=AC,NBAC=90，

.工MC是等腰直角三角形，

ZB=ZACB=45，

在心.4?！曛校琋ZME=90,

AD=AE，

由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=2AD2，

vZBAC-ZDAE-90，

ABAD+ADAC=ZDAC+ZCAE,

ZBAD=ZCAE,

在.B4。和二CAE中，

AB=AC

?/BAD=ZCAE,

AD=AE

.\.BAD^^CAE（SAS）t

:.BD=CE,/B=NACE=45，

Z.DCE=ZACB+ZACE=90，

.?iCDE是直角三角形，

由勾股定理得：DE?=CE2+CD?=BD?+CD。,

:.BD2+CD2=2AD2：

（2）過點(diǎn)4作Af_LAO,且使AD=AE,連接。￡,CE,如圖2所示：

ZE4D=90,

【4）石是等腰直角三角形，E

.?.N4兄=45，A

/\

由勾股定理得：DE=VAD2+AE2=>/2AD?/：

:.AD=—DE,

2

在工A8C中，ZABC=ZACB=45，

二ABC是等腰直角三角形，

.?./W=AC,NR4C=90,NB=NACB=45，圖2

/.ZBAC=ZEAD=90，

ZBAC+ZCAD=ZEAD+ACAD,

即N84O=NC4E,

在_"。和▲ACE中，

AB=AC

^BAD=Z.CAE,

AD=AE

:^ABD^ACE（SAS）,

BD=CE—17cm,

v/ADE=45，Z4OC=45，

：.ZCDE=ZADE+ZADC=90，

1瓦心是直角三角形，

在用AEDC中，CD=8cm,CE=\7cm,

由勾股定理得：DE=y]CE2-CD2=Vl72-82=15（cw）

五.,1572

..AD=—DE=—x15=------.

ooo

17.【解」（1）解：團(tuán)黃實(shí)的面枳為1,所拼得的大正方形的面積為25,

團(tuán)（4-〃『=1,"+從=25,

團(tuán)=12,

團(tuán)每個(gè)朱實(shí)的面積=；岫=6,

故答案為：6；

（2）①證明：回四邊形A8CD是長方形，

團(tuán)AD=BC,CD=AB,?ADC1BCF2ABe?DAB90?,

^DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD,

⑦DF=BH,

團(tuán)HBG^.FDE（SAS）,

0EF=GH；

②解：團(tuán)人8=4,4C=3,

⑦DE=DC=BG=AB=4,CF=BC=AH=AD=3,

團(tuán)陰影部分圖形的面積=3。42倉43?32我44?437.

故答案為:37.

18.【解】（1）解：延長AO到點(diǎn)E；使。七=4）,連接8E.

團(tuán)AO是邊3c上的中線，

^DC=DB,

AD=DE

/ADC=NEDB,

DC=DB

0CAD^.BED(SAS),

C

0AC—BE.

^\AB-BE\<AE<AB+BE,

B\AB-AC\<AE<AB+AC,

0AB=6,AC=4,

(32<2AD<10

故1<A￡><5.

故答案為：1<AD<5.

(2)解：延長4￡>到點(diǎn)G；使￡>G=A￡),連接BG.

團(tuán)AO是邊3。上的中線，

^DC=DB,

AD=DG

^\ZADC=ZGDB,

DC=DB

[3_C4Z注,8Gz)(SAS),

V

G

團(tuán)AC=6G,ZC4D=ZG.

0A8=10,AC=6,AD=4,

團(tuán)A8=10,BG=6,AG=2AD=S

^AG2+BG2=AB2.

0ZC4D=ZG=9O°.

^DC=ylAD1+AC2=2713?

故8c=2。。=4萬.

(3)解：延長MO到點(diǎn)Q使。Q=M力，連接AQ,NQ.

同點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，DN工DM,

BAD=DB,直線。N是線段MQ的垂直平分線，

田MN=QN,

AD=DB

田(/4OM=N8QQ,

DM=DQ

^..MAD^,QBD(SAS),

A

團(tuán)4M=3Q,ZA=ZDBQ.

團(tuán)BQ〃AC,

0ZC=9O°

團(tuán)NQBN=9()°,

0AM=l,BN=3,

⑦NQ^BM+BQ1=M

0M/V=V(O.

故答案為：Vio.

19.【解】（1）證明：如圖，連接以），

?「二ABC是等邊三角形，且點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

.?.NO8C」NA3C」x6()o=30。，ZACB=60°.

22

?：CE=CD,

NCDE=/E.

t-ZACB=ZCDE+ZE,

二.ZE=30°.

/.ZDBC=ZE=30°.

：.LiL)=hl).

又DM工BC,

.?.DM垂直平分戰(zhàn).

（2）解：由（1）可知48=60。，點(diǎn)