考點13.二次函數(shù)的應用（精講）

【命題趨勢】

二次函數(shù)的應用在中考中較為常見，其中二次函數(shù)在實際生活中的應用多為選填題，出題率不是特別

高，一般需要根據(jù)題意自行建立二次函數(shù)模型；而利用二次函數(shù)圖象解決實際問題和最值問題則多為解答

題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數(shù)據(jù)較大，還需根據(jù)實際情況判斷所求結果是否有合

適，需要考生在做題過程中更為細心對待。

【知識清單】

1：二次函數(shù)的實際應用（☆☆）

1）用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：

（1）審：仔細審題，理清題意；

（2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析?，設出適

當?shù)奈粗獢?shù)；

（3）歹U：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；

（4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質等求解實際問題；

（5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論。

2）利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的最

值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題.

3）利用二次函數(shù)解決拱橋（門）/隧道/噴泉/球類運行軌跡類問題的方法：先建立適當?shù)钠矫嬉私亲鴺讼担?/p>

再根據(jù)題意找出已知點的坐標，并求出拋物線的解析式,最后根據(jù)圖象信息解決實際問題。

4）利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量及范圍,再利用相關的圖形面積公式，列出函數(shù)關系

式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題。

5）利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結

合宜線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題二中與動點有

關的條件進行計算。

2：二次函數(shù)的幾何問題（☆☆☆）

二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、

最大（小）面枳、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐

標和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型,從而使問題得到解決解這類問題的關鍵就是要善

于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關性質和知識，并注意挖掘題I中的一些除含條件，以達到解題目的。

1）二次函數(shù)與幾何圖形的長度（面積）問題

二次函數(shù)與幾何圖形的長度（面積）問題?般是利用距離或面積公式表示出圖形長度（面積）的函數(shù)關系

式（一般是二次函數(shù)的表達式），再利用函數(shù)的解析式的特點求長度（面積）的最值問題；此外還會涉及到

長度（面積）相等、給出長度（面積）的值等問題，其核心處理方法都是表示出長度（面積）的表達式，

再去研究相關的性質。

2）二次函數(shù)與特殊三角形

（1）在二次函數(shù)的圖象中研究等腰三角形問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂確與底角分類討論

的關鍵，借助等腰三角形的等邊疝等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段；

（2）在二次函數(shù)的圖象中研究直角三角形問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論

的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。

3）二次函數(shù)特殊平行四邊形

在二次函數(shù)的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉化，同時此類問題也

會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的。

4）二次函數(shù)與線段和、差的最值問題

在二次函數(shù)的圖象中研究線段的和、差最值問題，一般會用到將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、瓜豆原理等來解

決相關最值問題。

5）利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式,

設出該點的旦L；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段也也或其他點的為I等；最后結合題

干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，

否則該點不存在。

【易錯點歸納】

1.二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐

標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論.

【核心考點】

核心考點L二次函數(shù)的實際應用

例I:（2025年江蘇省泰州市中考數(shù)學真題）某公司的化工產(chǎn)品成本為30元/千克.銷售部門規(guī)定：一次性

銷售1000千克以內時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.3

元.考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售.一次性銷售利潤

.y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數(shù)關系如圖所示.

⑴當一次性銷售800千克時利潤為多少元？（2）求一次性銷售量在1000~1750kg之間時的最大利潤;

⑶當一次性銷售多少千克時利潤為22100元？

變式1.（2025年浙江省湖州市中考數(shù)學真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚,

由銷售經(jīng)驗可知，這種淡水魚的H銷售量），（千克）與銷售價格x（元/千克）（30Wx<60）存在一次函數(shù)關

系,部分數(shù)據(jù)如下表所示:

銷售價格X（元/千克）5040

E銷售量），（千克）100200

⑴試求出關于x的函數(shù)表達式.（2）設該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因

素，求當銷售價格大為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？

變式L（2025年浙江省嘉興市中考數(shù)學真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務.

如何把實心球擲得更遠？

素材1

小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線.點A距離

地面1.6m,當球到OA的水平距離為1m時，達到最大高度為l.Xm.

oR

素材2

根據(jù)體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方1m處（如圖）柒起距離地面高為2.45m的橫線.球從點

A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離OC=8m.

oc

問題解決

任務1

計算投擲距離建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離OB.

任務2

探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量

任務3

提出訓練建議為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議.

例3:（2025年山東省威海市中考數(shù)學真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道.圖1是項目俯視示意圖.步

行通道的一側是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一-側是方形水池.圖2是主視示意圖.噴水裝置。4的

高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最

高點B,此時距路面的最大高度為3.6米.為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜

防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點用處，另一端與踣面的垂直高度NC為1.8米，且與噴泉水流

的水平距離N。為0.3米.點C到水池外壁的水平距離CE=0.6米，求步行通道的寬。E.（結果精確到0.1

米）參考數(shù)據(jù)：拒“41

〔

噴

步

水

行水

裝

通

置

道池

Ml

變式L（2025年吉林省長春市中考數(shù)學真題）2023年5月8日，C919商業(yè)首航完成一一中國民商業(yè)運營

國產(chǎn)大飛機正式起步.12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮〃（寓意"接風洗塵"、是國際民

航中高級別的禮儀）.如圖①，在??次“水門禮〃的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱

近似看作形狀相同的地物線的一部分.如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水

柱在物線的頂點〃處相遇，此時相遇點〃距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米.若兩輛消防車同時

后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口4、8’到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點”距地面一

米.

圖①圖②

例4：（2025?河北保定?統(tǒng)考二模）如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點E的坐標為

卜|，-1。）.運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經(jīng)過原點。的拋物線.在跳某個規(guī)定動作時，

運動員在空中最高處A點的坐標為卜?），正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻

騰、打開動作，并調整好入水姿坍，否則就會失誤.運動員入水后，運動路線為另一條拋物線.

⑴求運動員在空中運動時對應拋物線的解析式并求出入水處8點的坐標；

（2）若運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好距點上的水平距離為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？

2127

通過計算說明理由；（3）在該運動員入水點的正前方有M,N兩點,且EN=—,該運動員入水

后運動路線對應的拋物線解析式為.V=a（x-h）2+k,且頂點C距水面4米，若該運動員出水點D在MN之間

（包括M,N兩點），請直接寫出。的取值范圍.

變式1.（2025?廣東深圳??？寄M預測）己知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優(yōu)異成績，為研究他

從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態(tài)，如圖，以起跳點為原點0,水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我

們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度），（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關系，記點A為該二次函數(shù)圖象

與工軸的交點，點B為該運動員的成績達標點，8C_Lx軸于點C,相關數(shù)據(jù)如下：

⑴請求出笫一次跳躍的高度y（米）與水平距離八（米）的二次函數(shù)解析式

⑵若該運動員第二次跳躍時高度？（米）與水平距離X（米）滿足），=-0.05/+1.以，則他第二次跳躍落地

點與起跳點平面的水平距離為〃=米，d30,成績是否達標？.（填寫是或否）

例5：（2025年貴州省中考數(shù)學真題）如圖①，是?座拋物線型拱橋，小星學習二次函數(shù)后，受到該圖啟示

設計了?建筑物造型，它的截面圖是拋物線的?部分（如圖②所示），拋物線的頂點在。處，對稱軸OC與

水平線OA垂直，。。-9,點A在拋物線上，且點A到對稱軸的距離。A-3,點3在拋物線上，點6到對稱

軸的距離是1.⑴求拋物線的表達式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在。。上找一點P,加裝拉桿QAM,

同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點P的位置并求出坐標；（3）為了造型更加美觀，小星重新設

計拋物線，其表達式為），=-丁+2/4+力當44xW6時，函數(shù)），的值總大于等于9.求〃的取值范

圍.

圖①備用圖

變式L（2025?廣東佛山??？既＃┕磐駚恚瑯蚪o人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于

運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省

趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝

肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形.

⑴某橋人主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m,拱高4O=10m,則這條橋主橋拱的半

徑是m.（2）某橋8的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MV=10m,拱頂P（拋物線頂點）距

離水面4m,求橋拱拋物線的解析式；（3）如圖③，某時橋A和橋B的橋下水位均上升了2m,求此時兩橋的

水面寬度.

例6：（2025年黑龍江省大慶市中考數(shù)學真題）如圖1,在平行匹邊形A6CQ中，ZABC=120%已知點產(chǎn)在

邊AB上，以lm/s的速度從點A向點8運動，點。在邊BC上，以Gm/s的速度從點8向點。運動.若點P,

。同時出發(fā)，當點P到達點8時，點Q恰好到達點C處，此時兩點都停止運動.圖2是V8PQ的面積y（m2）

與點P的運動時間Ms）之間的函數(shù)關系圖象（點M為圖象的最高點），則平行四邊形43C。的面積為（）

D.24Gm2

變式L（2025年遼寧省錦州市中考數(shù)學真題）如圖，在RtZXABC中，ZACB=9O°,AC=3,8c=4,在

JJEF中,DE=DF=5,EF=8,8c與在同一條直線上，點。與點E重合.以每秒1個單位

長度的速度沿線段瓦?所在直線向右勻速運動，當點8運動到點尸時，A8C停止運動.設運動時間為/秒，

5BC與.QE/重疊部分的面枳為S,則下列圖象能大致反映S與f之間函數(shù)關系的是（）

核心考點2.二次函數(shù)綜合問題

例7：（2025年青海省西寧市中考數(shù)學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線/與4軸交于點4（60）,與

），軸交于點》（0,-6），拋物線經(jīng)過點4B，且對稱軸是直線x=l.

⑴求直線/的解析式；⑵求拋物線的解析式；⑶點。是直線/下方拋物線上的一動點，過點P作軸,

垂足為C,交直線/于點D,過點P作尸M_L/,垂足為M.求PM的最大值及此時。點的坐標.

Q

變式1.（2025年遼寧省撫順市、葫蘆島市中考數(shù)學真題）如圖，拋物線1y=奴2+1”+。與大軸交于點A和

點8（3.0）,與），軸交于點。（0,4）,點P為第一象限內拋物線上的動點過點P作PE_Lx軸于點E,交BC于

點F.⑴求拋物線的解析式；（2）當痔的周長是線段P尸長度的2倍時，求點尸的坐標;

⑶當點。運動到拋物線頂點時，點。是1y軸上的動點，連接8Q,過點8作直線/18Q,連接。尸并延長交

直線/于點M.當8Q=BM時，請直接寫出點的坐標.

例8：（2025年浙江省湖州市中考數(shù)學真題）如圖1,在平面直角坐標系xO.v中，二次函數(shù)），=/-4x+c的

圖象與），軸的交點坐標為（0,5）,圖象的頂點為M.矩形A8CO的頂點。與原點O重合，頂點A,C分別在

⑴求，?的值及頂點M的坐標?（2）如圖2,將矩形ABC。沿x軸正方向平移f個單位（0</<3）得到對應的矩

形A'8'C'。.已知邊CD,49分別與函數(shù)y=f-4x+c的圖象交于點P,Q,連接產(chǎn)。，過點P作尸G_LA9

于點G.①當/=2時，求QG的長；②當點G與點。不重合時，是否存在這樣的『，使得"GQ的面積為1?

若存在，求出此時,的值：若不存在，請說明理由.

變式L（2025年山東省青島市中考數(shù)學真題）許多數(shù)學問題源干生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用

數(shù)學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學研究的對象一一拋物線.在如圖②所示的直角坐

標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨Q4,。8的交點.點C為拋物線的頂點，點A,8在拋物線上，

OA,05關于y軸對稱.OC=1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A,B兩點之間的距離是4分米.（1）

求拋物線的表達式；（2）分別延長A。，40交拋物線于點凡E,求E,產(chǎn)兩點之間的距離；（3）以拋物線與坐

標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S，將拋物線向右平移〃?（"4。）個單位，得到一條新拋物線，以新

拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為邑.若邑二；3&,求〃?的值.

圖①圖②

例9：（2025年湖北省十堰市中考數(shù)學真題）已知拋物線），=〃/+/狀+8過點4（4,8）和點。（8,4）,與），軸交

于點A.（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1,連接A4,8C,點。在線段A8上（與點A4不重合），點尸是OA

的中點，連接尸￡），過點。作交BC于點E，連接石尸，當,QEF面積是△AO尸面枳的3倍時，求

點D的坐標；⑶如圖2,點〃是拋物線上對稱軸右側的點，”（現(xiàn)0）是x軸正半軸上的動點，若線段08上

存在點G（與點0,8不重合），使得NGBP=/HGP=NBOH,求機的取值范圍.

變式1.（2025年遼寧省鞍山市中考數(shù)學真題）如圖1,拋物線）=aF+gx+c經(jīng)過點（3,1）,與），軸交于點

7

8（0,5）,點七為第一象限內拋物線上一動點.（1）求拋物線的解析式.（2）直線），=：工-4與x軸交于點A,與

y軸交于點。，過點E作直線所_!_%軸，交4。于點片連接8￡.當跳：=。尸時，求點￡的橫坐標.⑶如

3

圖2,點N為x軸正半軸上一點,OE與BN交于點M.若由BN,…Ep,求點E的坐標.

圖1

例10：（2025年青海省中考數(shù)學真題）如圖，二次函數(shù)），=-丁+慶+°的圖象與/軸相交于點人和點。（1,0）,

交y軸于點8（0,3）.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設二次函數(shù)圖象的頂點為P,對稱軸與X軸交于點Q,

求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）：⑶二次函數(shù)圖象的對稱軸I：是否存在點使得AM8是以

為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）.

圖I圖2

變式1.（2025年江蘇省常州市中考數(shù)學真題）如圖，二次函數(shù)了=5^+法-4的圖像與x軸相交于點

4-2,0）、B,其頂點是C.⑴〃=；（2）。是第三象限拋物線上的一點，連接0。，tan"a）=T；

將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點。，過點（上0）作x軸的垂線/.已知在/的左側，平移前

后的兩條拋物線都下降，求女的取值范圍；（3）將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交

于點。，且其頂點。落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ.已知△PC。是直角三角形，求點P的坐標.

變式2.（2025年湖南省婁底市中考數(shù)學真題）如圖，拋物線），=/+灰+。過點八（一］,0）、點網(wǎng)5,0）,交），

軸于點C.⑴求Ac的值.（2）點尸（天,兄）（。＜毛＜5）是拋物線上的動點0當與取何值時，一PBC的面積最

大？并求出APBC面積的最大值；②過點P作莊_Lx軸，交8C于點E,再過點P作尸尸〃大軸，交拋物線

于點F，連接E/L問：是否存在點P,使！2所為等腰直角三角形？若存在，請求出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

例11:（2025年西藏自治區(qū)中考數(shù)學真題）在平面直角坐標系中，拋物線），=-/+區(qū)+。與x軸交于A（_3,O）,

⑴求拋物線的解析式；（2）如圖甲，在），軸上找一點。，使二ACD為等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

⑶如圖乙，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、。兩點使以點A,C,P,。為頂點的四邊形是菱形？

若存在，求出P、。兩點的坐標，若不存在，請說明理由.

變式1.（2025年山東省淄博市中考數(shù)學真題）如圖，一條拋物線），=?2+從.經(jīng)過,Q4B的三個頂點，其中。

為坐標原點，點A（3,-3）,點3在第一象限內，對稱軸是直線x=且“MB的面積為18

⑴求該拋物線對應的函數(shù)表達式：（2）求點8的坐標；（3）設。為線段的中點，P為直線OB上的?個動點，

連接A尸，CP,將△ACP沿CP翻折，點A的對應點為A.問是否存在點尸，使得以A，P,C,B為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

變式2.（2025年內蒙古中考數(shù)學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線〉，=-/+a+。與工軸的交點

分別為A和8（1,0）（點A在點8的左側），與V軸交于點。（0,3）,點尸是直線AC上方拋物線上一動點.（1）

求拋物線的解析式；（2）如圖1,過點P作x軸平行線交4。于點E,過點P作），軸平行線交x軸于點。，求

PE+PD的最大值及點P的坐標；（3）如圖2,設點M為拋物線對稱軸上一動點，當點P,點M運動時，在

坐標軸上確定點N,使四邊形QMCN為矩形，求出所有符合條件的點N的坐標.

例12：（2025年湖北省鄂州市中考數(shù)學真題）某數(shù)學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型

拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點。到定點廠（（），；]的距離始終等于它到定

直線/：丁二-；的距離PN（該結論不需要證明）.他們稱：定點尸為圖象的焦點，定直線/為圖象的準線，

4a

）,=—；叫做拋物線的準線方程.準線/與），軸的交點為”.其中原點。為廣〃的中點，F(xiàn)H=2OF=[.例

4a2a

如,拋物線y=2/,其焦點坐標為尸卜,J1,準線方程為/：y=~,其中PF=PN,FH=2OF=^-.

\0784

【基礎訓練】（1）請分別直接寫出拋物線y=的焦點坐標和淮線/的方程：,;

【技能訓練】（2）如圖2,已知拋物線y=[/上一點P（%,%乂%＞°）到焦點尸的距離是它到"由距離的3

倍，求點尸的坐標；

【能力提升】⑶如圖3,已知拋物線y=的焦點為凡準線方程為/.直線%交y軸于點C,

42

拋物線上動點P到x軸的距離為4,到直線m的距離為4,請直接寫出4+4的最小值；

【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線），=加僅＞。）平移至產(chǎn)“（??療+〃（。＞0）.拋物線

尸〃（.."『+/＞（））內有一定點尸（/?/+*｝直線/過點M（〃，女且與X軸平行.當動點P在該拋物

線上運動時，點P到直線/的距離出始終等于點P到點尸的距離（該結論不需要證明）.例如：拋物線

），=2（x-1）2+3上的動點0到點?（1,1）勺距離等于點p到宜線/：尸1的距離.

請閱讀上面的材料，探究下題：⑷如圖4,點。是第二象限內一定點，點戶是拋物線上

一動點，當PO+0。取最小值時，請求出./OQ的面積.

變式1.（2025年寧夏回族自治區(qū)中考數(shù)學真題）如圖，拋物線y=o?+飯+3（"0）與x軸交于A,A兩點,

與y軸交于點C.已知點A的坐標是（-1,0）,拋物線的對稱軸是直線x=l.

備用圖

⑴直接寫出點8的坐標；（2）在對稱軸上找一點P,使PA+PC的值最小.求點『的坐標和P4+PC的最小值；

⑶第一象限內的拋物線上有一動點M,過點M作MN_Lx軸，垂足為N,連接8c交MN于點Q.依題意

補全圖形，當MQ+四CQ的值最大時，求點M的坐標.

考點13.二次函數(shù)的應用（精講）

【命題趨勢】

二次函數(shù)的應用在中考中較為常見，其中二次函數(shù)在實際生活中的應用多為選填題，出題率不是特別

高，一般需要根據(jù)題意自行建立二次函數(shù)模型；而利用二次函數(shù)圖象解決實際問題和最值問題則多為解答

題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數(shù)據(jù)較大，還需根據(jù)實際情況判斷所求結果是否有合

適，需要考生在做題過程中更為細心對待。

【知識清單】

1：二次函數(shù)的實際應用（☆☆）

1）用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：

（1）審：仔細審題，理清題意；

（2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析?，設出適

當?shù)奈粗獢?shù)；

（3）歹U：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；

（4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質等求解實際問題；

（5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論。

2）利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的最

值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題.

3）利用二次函數(shù)解決拱橋（門）/隧道/噴泉/球類運行軌跡類問題的方法：先建立適當?shù)钠矫嬉私亲鴺讼担?/p>

再根據(jù)題意找出已知點的坐標，并求出拋物線的解析式,最后根據(jù)圖象信息解決實際問題。

4）利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量及范圍,再利用相關的圖形面積公式，列出函數(shù)關系

式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題。

5）利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結

合宜線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題二中與動點有

關的條件進行計算。

2：二次函數(shù)的幾何問題（☆☆☆）

二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、

最大（小）面枳、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐

標和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型,從而使問題得到解決解這類問題的關鍵就是要善

于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關性質和知識，并注意挖掘題I中的一些除含條件，以達到解題目的。

1）二次函數(shù)與幾何圖形的長度（面積）問題

二次函數(shù)與幾何圖形的長度（面積）問題?般是利用距離或面積公式表示出圖形長度（面積）的函數(shù)關系

式（一般是二次函數(shù)的表達式），再利用函數(shù)的解析式的特點求長度（面積）的最值問題；此外還會涉及到

長度（面積）相等、給出長度（面積）的值等問題，其核心處理方法都是表示出長度（面積）的表達式，

再去研究相關的性質。

2）二次函數(shù)與特殊三角形

（1）在二次函數(shù)的圖象中研究等腰三角形問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂確與底角分類討論

的關鍵，借助等腰三角形的等邊疝等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段；

（2）在二次函數(shù)的圖象中研究直角三角形問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論

的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。

3）二次函數(shù)特殊平行四邊形

在二次函數(shù)的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉化，同時此類問題也

會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的。

4）二次函數(shù)與線段和、差的最值問題

在二次函數(shù)的圖象中研究線段的和、差最值問題，一般會用到將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、瓜豆原理等來解

決相關最值問題。

5）利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式,

設出該點的旦L；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段也也或其他點的為I等；最后結合題

干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，

否則該點不存在。

【易錯點歸納】

1.二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐

標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論.

【核心考點】

核心考點L二次函數(shù)的實際應用

例I:（2025年江蘇省泰州市中考數(shù)學真題）某公司的化工產(chǎn)品成本為30元/千克.銷售部門規(guī)定：一次性

銷售1000千克以內時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.3

元.考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售.一次性銷售利潤

.y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數(shù)關系如圖所示.

⑴當一次性銷售800千克時利潤為多少元？（2）求一次性銷售量在1000~1750kg之間時的最大利潤；

⑶當一次性銷售多少千克時利潤為22100元？

【答案】⑴當?次性銷售800千克時利潤為16000元；⑵?次性銷售量在1（XH750kg之間時的最大利潤

為22500元；⑶當一次性銷售為1300或1700千克時利潤為22100元.

【分析】（1）用銷售量x利潤計算即可;（2）根據(jù)一次性銷售不低于1000千克時,每增加1千克降價0.01元

求出銷售單價，再乘以銷售量即可列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質求最值；

（3）根據(jù)（2）中解析式，令》22100,解方程即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當產(chǎn)800時，y=800x（50-30）=800x20=16000,

自當一次性銷售800千克時利潤為16000元；

（2）解：設一次性銷售量在1000-7750%之間時，銷售價格為50-30-0.01（不一1000）=-0.01工十30,

回），=x（-0.01x+30）=-0.0lx2+30x=-0.01（x2-3000）=-0.01（x-l5OO）2+22500,

0-0.01<0,1000<x<1750,（3當x=1500時，y有最大值，最大值為22500,

但一次性銷售量在1000?1750kg之間時的最大利潤為22500元；

（3）解：由（2）知，當工=1750時，y=-0.01（1750-15OO）2+22500=16250<22100,

團當一次性銷售量在10007750kg之間時，利潤為22100元，

2

（?）-0.01（x-1500）+22500=22100,解得$=1700,x2=13OO,

回當一次性銷售為1300或1700千克時利潤為22100元.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，根據(jù)等量關系列出函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質是解答本題關鍵.

變式1.（2025年浙江省湖州市中考數(shù)學真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，

由銷售經(jīng)驗可知，這種淡水魚的日銷售量.V（千克）與銷售價格x（元/千克）（30<x<60）存在一次函數(shù)關

系，部分數(shù)據(jù)如下表所示:

銷售價格X（元/千克）5040

E銷售量），（千克）100200

⑴試求出y關于x的函數(shù)表達式.（2）設該經(jīng)銷商俏售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因

素，求當箱售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？

【答案】（1）>=一10工+600

⑵銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元

【分析】（1）設與x之間的函數(shù)關系式為，=公+〃，由表中數(shù)據(jù)即可得出結論；

（2）根據(jù)每日總利潤=每千克利澗x銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質求最值即可.

【詳解】（1）解：設），關于x的函數(shù)表達式為丁=依+可女工0）.

將工=50,），=100和x=40,y=2（X）分別代入，得：解得：《八小，

402+Z?=200[Z>=600

也關于x的函數(shù)表達式是：y=-10x+600；

（2）解：卬=（工-30）（一心+600）=-10丁+900工-18000,

gnn

0-10<0,自當工=-----二45時，在30?x<60的范圍內，

-20

W取到最大值，最大值是2250.

答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元.

【點睛】本題考杳一次函數(shù)、二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)等量關系寫出函數(shù)解析式.

變式2.（2025年湖南省益陽市中考數(shù)學真題）某企業(yè)準備對4,8兩個生產(chǎn)性項目進行投資，根據(jù)其生產(chǎn)

成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益以（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)

2

表達式為：>'4=-x,投資3項目一年后的收益.%（萬元）與投入資金工（萬元）的函數(shù)表達式為：

為=2x.（1）若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？⑵若對A,8兩個項目投入

相同的資金機（〃7>0）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則〃?的值是多少？（3）2025年，我國對小微企

業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策.該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得的減免稅款及其他結余資金共計32萬元,全部投入到A,

8兩個項目中，當A,8兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？

【答案】（1）4萬元⑵機=8

（3）當48兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元.

22I

【分析】⑴把x=10代入%=丁可得答案；⑵當…時，可得,=-汗+2根，再解方程可得答案;

⑶設投入到3項目的資金為x萬元，則投入到A項目的資金為（327）萬元,設總收益為），萬元，），=以+%

=-1x2+|x+^,rfuO<x<32,再利用二次函數(shù)的性質可得答案.

JJJ

2

【詳解】（1）解：團投資4項目一年后的收益以（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達式為：y4=-x,

2

當x=10時，y/,=-xl0=4（萬元）：

（2）回對8兩個項目投入相同的資金加（/n>0）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，

2J

0—/n=--w+2m,整￡電得：〃，一8〃？=0,

解得：叫=8,帆2=。（不符合題意），團機的值為8.

2

⑶yB=~x+2x

設投入到8項目的資金為x萬元，則投入到4項目的資金為（32-司萬元，設總收益為），萬元,

2/0\12r12864

0>'=>,4+>?=-(32-X)--X2+2A=--X2+-X+—,

JJJ

8

i.0<x<32,①當工=^7\=4時，城大=一2*16+當+”=16(萬元);

2xhJ555

囪當A,區(qū)兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元.

【點睛】本題考查的是正比例函數(shù)的性質，?元二次方程的解法，列二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質,

理解題意，選擇合適的方法解題是關鍵.

例2：（2025年河南省中考數(shù)學真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數(shù)學知識對羽毛

球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析.

如圖，在平面直角坐標系中，點4,C在x軸上，球網(wǎng)A8與y釉的水平距離OA=3m,G4=2m,擊球點?

在？軸上.若選擇扣球，羽毛球的飛行高度），（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數(shù)關系y=-0.4X+2.8；

若選擇吊球，羽毛球的飛行高度）、（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關系尸〃"-1）2+3.2.

⑴求點夕的坐標和。的值.（2）小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng).要使球的落地點到C點的

距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式.

【答案】⑴*0,2.8）,。=-0.4,（2）選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近

【分析】（1）在一次函數(shù)上y=-0.4x+2.8,令刀=0,可求得P（0,2.8）,再代入y=〃（x-l）2+3.2即可求得。

的值；（2）由題意可知OC=5m,令y=0,分別求得-0.4x+2.8=0,-0.4（.r-l）2+3.2=0,艮」可求得落地

點到O點的距離，即可判斷誰更近.

【詳解】（1）解:在?次函數(shù)y=-0.4x+2.8,令x=0時，y=2.8,0P（O,2.8）,

將P（0,2.8）代入y=〃（x-l）2+3.2中，可得：?+3.2=2.8,解得：n=-0.4；

（2）回OA=3m,CA=2m,EOC=5m,

選擇扣球,則令"0,即：-0.4x+2.8=0,解得:x=7,

即：落地點距離點O距離為7m,它落地點到C點的距離為7-5=2m,

選擇吊球，則令y=（）,即：-0.4（x-l）2+3.2=0,解得：％=±2&+1（負值舍去），

即：落地點距離點0距離為（2&+l）m,團落地點到C點的距離為5-（2近-l）=（4-2后）m,

同4-20<2,仍選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近.

【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的應用，理解題意，求得函數(shù)解析式是解決問題的關鍵.

變式1.（2025年浙江省嘉興市中考數(shù)學真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務.

如何把實心球擲得更遠？

素材1

小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線.點A距離

地面1.6m,當球到。4的水平距離為1m時，達到最大高度為L8m.

oR

素材2

根據(jù)體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方1m處(如圖)架起距離地面高為2.45m的橫線.球從點

4處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離0C=8m.

OC

問題解決

任務1

計算投擲距離建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離08.

任務2

探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量

任務3

提出訓練建議為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議.

【答案】任務一：4m；任務二：,m；任務三：應該盡顯提高就出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選

擇適當?shù)臄S出仰角

【分析】任務一：建立直角坐標系，由題意得：拋物線的頂點坐標為(LL8),設拋物線的解析式為

y=?(x-l)2+1.8,過點(0J6),利用待定系數(shù)法求出解析式，當y=0時求出x的值即可得到。8；

任務二：建立直角坐標系，求出任務二的拋物線解析式，得到頂點縱坐標，與任務一的縱坐標相減即可；任

務三：根據(jù)題意給出合理的建議即可.

【詳解】任務一：建立如圖所示的直角坐標系，

由題意得：拋物線的頂點坐標為（1,1.8）,設拋物線的解析式為+過點（0J6）,

06/4-1.8=1.6,解得a=-0.2,0y=-o.2（x-l）2+1.8,

當？=0時，-O.2（x-I）2+1.8=0,得$=4,x=-2（舍去），團素材1中的投擲距離。8為4m；

（2）建立直角坐標系，如圖，設素材2中拋物線的解析式為y=o?+灰+c,

由題意得，過點（0,1.6卜（1,2.45*8,0）,

c=1.6a=-0.15

圖，〃+/>+<?=2.45解得〃=10y=-O.I5x2+x+l.6

64。+88+c=0c=1.6

4ac-b~_4x(-0.15)xl.6-l2_494922

回頂點縱坐標為一一1.8=—(m),

4a4x(-0.15)-I?1515

用素材2和素材1中球的最大高度的變化量為百01；

任務三：應該盡量提高擲出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選擇適當?shù)臄S出仰角.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應用，求函數(shù)解析式，求拋物線與坐標軸的距離，正確理解題意建立

恰當?shù)闹苯亲鴺讼凳墙忸}的關鍵.

例3:（2025年山東省威海市中考數(shù)學真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道.圖1是項目俯視示意圖.步

行通道的?側是?排垂直于路面的柱形噴水裝置，另?側是方形水池.圖2是主視示意圖.噴水裝置久的

高度是2米，水流從噴頭A處噴巴后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最

高點從此時距路面的最大高度為3.6米.為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝?個透明的傾斜

防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點”處，另一端與鷗面的垂直高度NC為1.8米，且與噴泉水流

的水平距離NO為0.3米.點C到水池外壁的水平距離CE=0.6米，求步行通道的寬。E.（結果精確到0.1

米）參考數(shù)據(jù)：夜。1.41

B

【分析】先以點。為坐標原點，0C所在立線為刀軸，OA所在百線為y軸，建立平面百角坐標系，則A（0,2）,

8（236）,設設拋物線的解析式為尸?（x-2）2+3.6,把A（0,2）代入，求得a=-0.4,即1.8=-O.4（x-2）2+3.6,

再求出點。的坐標，即可求解.

圖2

團拋物線的最高點B,回設拋物線的解析式為），=a（x-2y+3.6,

把A（0,2）代入，得2=a（0—2丫+3.6,解得〃=-0.4,團拋物線的解析式為y=-0.4（x—2）2+3.6,

令y=L8,則1.8=-O.4（X—2）2+3.6,解得:x=2土乎,

3五\

121D2-I—--,1.8,EOE—xNDCE=2\0.306*3.2（米）,

k27D

答：步行通道的寬OE的長約為3.2米.

【點睛】本題考查拋物線的實際應用.熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質是解題

的關鍵.

變式L（2025年吉林省長春市中