專(zhuān)題1.18垂直平分線(xiàn)（直通中考）

【知識(shí)回顧】

1、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理:線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的到這條

線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

2、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)判定定理：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分

線(xiàn)上.

C.14D.15

2.（2019?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以線(xiàn)段AB的兩端點(diǎn)A,B為圓心，大于^AB長(zhǎng)為半徑

畫(huà)孤，在線(xiàn)段AB的兩側(cè)分別交于點(diǎn)E,F,作直線(xiàn)EF交AB于點(diǎn)0.在直線(xiàn)EF上任取一點(diǎn)P（不與0重合），

)

C.11D.13

4.（2015?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在0ABC中，AC=4cm,線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)N,0BCN

的周長(zhǎng)是7cm,則BC的長(zhǎng)為（）

5.（2015?福建三明?中考真題）如圖，在財(cái)4C中，0ACB=9O°,分別以點(diǎn)A和3為圓心，以用同的長(zhǎng)（大

于,44）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和M作直線(xiàn)MN交48于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,連接CQ,下列結(jié)

論錯(cuò)誤的是（）

A.AD=BDB.BD=CDC.^A^BEDD.BECD=^EDC

6.（2012?湖北荊門(mén)?中考真題）如圖，團(tuán)ABC是等邊三角形，P是0ABe的平分線(xiàn)BD上一點(diǎn)，PE0AB于點(diǎn)

E.線(xiàn)段BP的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)Q.若BF=2,則PE的長(zhǎng)為（）

8.（2023?廣東深圳?校聯(lián)考二模）卜.列選項(xiàng)中的尺規(guī)作圖，能推出PA=PC的是（）

9.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考二模）如圖，銳角回ABC中，BC>AB>AC,求作一點(diǎn)P,使得回BPC與回A互補(bǔ),

甲、乙兩人作法分別如下:

甲：以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AC于P點(diǎn)，則P即為所求.

乙：作BC的垂直平分線(xiàn)和E1BAC的平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于P點(diǎn)，則P即為所求.

對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列敘述正確的是（）

A.兩人皆正確B.甲正確，乙錯(cuò)誤C.甲錯(cuò)誤，乙正確D.兩人皆錯(cuò)誤

10.（2023?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在西8。中，13c=50。，團(tuán)8=35。，分別以點(diǎn)A,3為圓心，大于^44

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)歷，N,直線(xiàn)MN交8c于點(diǎn)。，連接AD.則團(tuán)D4C的度數(shù)為（）

A.85°B.70°C.60°D.25°

二、填空題

11.（2019?江蘇南京?統(tǒng)考中考真題）如圖，在團(tuán)ABC中，BC的垂直平分線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)D,CD平分（3ACB.若

AD=2,BD=3,則AC的長(zhǎng)為.

A

12.（2013?江蘇泰州?中考真題）如圖，0ABe中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分線(xiàn)/與AC相交于點(diǎn)D,則

0ABD的周長(zhǎng)為—cm.

A//B

三、解答題

20.(2017?江蘇連云港?中考真題)如圖，已知等腰三角形43C中，=點(diǎn)。，上分別在邊W5、

dC上，且疝)j狂，連接立、CD,交于點(diǎn)尸.

(1)判斷乙0E與N48的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求證：過(guò)點(diǎn)X、尸的直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段3C.

(2)求/比＞的長(zhǎng).

23.（2011?廣東汕頭?統(tǒng)考中考模擬）如圖所示,在RtmABC中，0C=9O\G3A=3O\

（1）尺規(guī)作圖：作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)I（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）在己作的圖形中，若I分別交AB、AC及BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D、E、F,連接BE.求證：EF=2DE.

B

24.（2019?河北?模擬預(yù)測(cè)）課本例題

理由是：“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

所以4。垂直平分EF.

理由是："到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距啕相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上〃.

老師觀點(diǎn)

老師說(shuō)：小明的做法是錯(cuò)誤的！

請(qǐng)你解決

⑴指出小明做法的錯(cuò)誤；

⑵正確、完整的解決這道題.

參考答案

1.B

故選B.

【點(diǎn)撥】考核知識(shí)點(diǎn)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn).理解線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)是關(guān)鍵.

2.C

【分析】依據(jù)分別以線(xiàn)段AB的兩端點(diǎn)A,B為圓心，大「JAB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在線(xiàn)段AB的兩側(cè)分別

交于點(diǎn)E,F,作直線(xiàn)EF交AB于點(diǎn)0,即可得到EF垂直平分AB,進(jìn)而得出結(jié)論.

解：???由作圖可知，EF垂直平分AB,

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查不基本作圖、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法，

利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等解決問(wèn)題.

3.A

【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AB,利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義得到DA=DB,然后利用等線(xiàn)

段代換得到4BDC的周長(zhǎng)=AC+BC.

解：由作法得MN垂直平分AB,

0DA=DB,

□3BDC的冏長(zhǎng)=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段；作一個(gè)角等于已

知角：作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；作己知角的角平分線(xiàn)；過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)）.也考查了線(xiàn)段垂直平

分線(xiàn)的性質(zhì).

4.C

【分析】利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)證得AN=BN即可求解.

解：(2M/V是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，

(3AN=BN,

008CN的周長(zhǎng)是7cm,

①BN+NC+BC=7(cm),

SAN+NC+BC=7(cm),

^AN+NC=AC,

@AC+BC=7(cm),

X(MC=4cm,

08C=7-4=3(cm).

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

5.D

【分析】根據(jù)題目描述的作圖方法，可知MN垂直平分44由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可進(jìn)行判斷.

解：I3MN為A6的垂直平分線(xiàn)，

^BDE=90°,故AE確，

幽4c8=90°,

^CD=BD,故B正確，

故C正確，

034*60°,ACM。，

^ECtED,

^ECD^EDC.故D錯(cuò)誤，

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟悉尺規(guī)作圖，根據(jù)題目描述判斷MN為A8的垂直平分線(xiàn)是關(guān)

鍵.

6.C

解：解析：鴕1ABC是等邊三角形P是13ABC的平分線(xiàn)，

00EBP=0QBF=3O0,

0BF=2,FQ0BP,

0BQ=BF*cos3O0=2x蛇=6,

2

團(tuán)FQ是BP的垂直平分線(xiàn)，

回BP=2BQ=2Q,

在Rt0BEF中，

加1EBP=3。"，

0PE=^BP=V3.

故選C.

7.B

團(tuán)點(diǎn)O是線(xiàn)段8c中垂線(xiàn)與AB的交點(diǎn)，

故選B

【點(diǎn)撥】考核知識(shí)點(diǎn)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn).理解線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)是關(guān)鍵.

8.D

【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)和線(xiàn)段中垂線(xiàn)的尺規(guī)作圖及其性質(zhì)即可得出答案.

解：A.由此作圖可知CA=CP,不符合題意；

B.由此作圖可知84=8尸，不符合題意；

C.由此作圖可知a4BP=E]rBP.不符合題意：

D.由此作圖可知附=尸(7,符合題意.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了基本作圖的方法.熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，并掌握基本幾何作圖是解題的關(guān)鍵.

9.A

【分析】甲：根據(jù)作圖可得AB=BP,利用等邊對(duì)等角得：0BAP=EAPB,由平角的定義可知：0BPC+0APB

=180?，根據(jù)等量代換可作判斷；

乙：利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)，證明RSBPG?RSCPH(HL),可得由BAC+國(guó)BPC=180。，作判斷即

可.

解：甲：如圖1,0AB=BP,

00BAP=HAPB,

E0BPC+3APB=18O°

a?lBPC+aBAP=180o,

回甲正確；

乙：如圖2,過(guò)P作PGMB于G,作PH團(tuán)AC于H,

0Ap平分回BAC,

0PG=PH.

但PD是BC的垂直平分線(xiàn),

0PB=PC,

BRtABPGERtACPH(HL),

0QBPG=0CPH,

歪BPC=[UGPH,

E0AGP=0AHP=9O0,

屋BAC+團(tuán)GPH=180°,

胴BAC+回BPC=180°,

團(tuán)乙正確：

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖■復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及

基本作圖.

10.C

【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得配AC=95。，由中垂線(xiàn)性質(zhì)知DA=DB,BP0DAB=0B=35°,從而得出答案.

解：在mABC中，00B=35°,0C=5O°,

盟BAC=180°(3B團(tuán)C=95°,

由作圖可知MN為AB的中垂線(xiàn)，

0DA=DB,

E0DAB=mB=35°,

屋CAD=mBACWAB=6(r,

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查作圖基本作圖，熟練掌握中垂線(xiàn)的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.歷

【分析】證出團(tuán)ACD=(3DCB=iaB,證明團(tuán)ACD砒ABC,得出AC:AB=AD:AC,即可得出結(jié)果.

解：團(tuán)BC的垂直平分線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)D,

@CD=BD=3,

E0B=0DCB,AB=AD+BD=5,

(3CD平分團(tuán)ACB,

(30ACD=0DCB=0B,

E0A=0A,

(30ACD00ABC,

0AC：AB=AD：AC,

0AC2=ADXAB=2X5=1O,

0AC=>/i()

故答案為：Vio.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)；證

明三角形相似是解題的關(guān)健.

12.6

解：解團(tuán)直線(xiàn)/垂直平分BC,

@DB=DC.

回團(tuán)ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm,

故答案為：6cm

13.24

【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到角之間的關(guān)系，再利用三角形內(nèi)角和180度求角.

解：山。石是AC的垂直平分線(xiàn)，

^EA=EC,

團(tuán)￡4。=團(tuán)C,

@(21MC=aME+[aEAC=19o+0EAC,

0A尸平分區(qū)BAG

在aABC中4B+回C+團(tuán)8AC=180°所以7O°+0C+20MC=18O%

田70°+?KAC+2K(190+回D4C)_18O°,

00C=(3EAC=24O,

故本題正確答案為24.

【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等于180度的應(yīng)用、角的概念及

其計(jì)算.

14.m+n.

解：(2AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D,0A=4O°,0AD=BD,0A=0ABD=4O°.

00DBC=3O°,E@ABC=40o+30o=70o,0C=18O°-40°-40°-30°=70°.

00ABC=0C.0AC=AB=m.

(30DBC的周長(zhǎng)是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n.

考點(diǎn)：1.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；2.等腰三角形的判定；3.三角形內(nèi)角和定理.

15.18

【分析】如圖作AH團(tuán)BC于H,連接AD,由EG垂直平分線(xiàn)段AC推出DA=DC,推出DF+DC=AD+DF,

可得當(dāng)A、D、F共線(xiàn)時(shí)DF+DC最小，最小值就是線(xiàn)段AF的長(zhǎng).

H

BC

E

0EG垂直平分線(xiàn)段AC,

0DA=DC,

0DF+DC=AD+DF,

但當(dāng)A、D、F共線(xiàn)時(shí)DF+DC最小，最小值就是線(xiàn)段AF的長(zhǎng).

0AH=12

(3AB=AC,AH0BC,

0BH=CH=1O,

回BF=3FC,

回CF=FH=5,

0DF+DC的最小值為13

E0CDF的周長(zhǎng)最短=13+5=18.

故答案為18.

【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)，解決最短問(wèn)題.

16.30

解：分析：由已知條件，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，得到EA=EC,進(jìn)而得到團(tuán)EADWECD,利用等腰三角形

的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)解答.

解答：解：回ED是AC的垂直平分線(xiàn)，

0AE=CE,

02EAC=0C,

又00B=9O°,0BAE=3O°,

00AEB=6O°,

XE0AEB=0EAC+@C=20C,

00c=30".

故答案為30.

17.30

【分析】由尺規(guī)作圖得到MN為AB的垂直平分線(xiàn)，然后利用垂直平分線(xiàn)性質(zhì)和勾股定理得到BC=12,

所以S^BCE=—BCxCE=—^12^5=30,

22

解；由作圖可知，例N垂直平分八氏

^AE=BE,

又a4C=18,EC=5,

^AE=BE=13,

又03c=90°,

^SBCE=—BCxCE=—xl2x5=30,

A22

故答案為30.

【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形和尺規(guī)作圖，能夠知道MN是AB的垂直平分線(xiàn)是解題關(guān)鍵

18.108

【分析】連接OB、OC,根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出團(tuán)BAO,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出0ABC,再根

據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB,根據(jù)等邊對(duì)等角可得0ABCH3BAO,再求出

0OBC,然后判斷出點(diǎn)。是0ABe的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC,再根據(jù)等邊對(duì)等角求出

@OCB=0OBC,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后根據(jù)等邊對(duì)等隹求出團(tuán)COE,再利用三角形的直角和定理列

式計(jì)算即可得解.

00BAC=54°,A0為團(tuán)BAC的平分線(xiàn)，

團(tuán)團(tuán)BAO=；0BAC=1x540=27%

又HAB=AC,

團(tuán)回ABC=g(18O00BAC)=yx(180°54°)=63°,

回DO是AB的垂直平分線(xiàn)，

BOA=OB,

00ABO=0BAO=27°,

E0OBC=0ABC0ABO=63°27O=36*,

MO為團(tuán)BAC的平分線(xiàn)，AB=AC,

00AOB00AOC(SAS),

EOB=OC,

13點(diǎn)。在BC的垂直平分線(xiàn)上，

又回DO是AB的垂直平分線(xiàn)，

0點(diǎn)0是團(tuán)ABC的外心，

00OCB=（?]OBC=36O,

。將13c沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，

□OE=CE,

團(tuán)團(tuán)COE=13OCB=36°,

在回OCE中，SOEC=18O°0COE（?OCB=18OO36<,36O=1O8O,

故答案為108.

【點(diǎn)撥】本題考杳了三角形綜合題，涉及了角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的

性質(zhì)與判定，二角形的外心，全等二角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線(xiàn)，

熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

19.（1）見(jiàn)分析;（2）0B=36°.

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，得到PA=PB,再由等腰三角形的性質(zhì)得到回PAB=（3B,從而得到答

案；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到如AQWBQA,設(shè)用B=x,由題意得到等式（MQCWB短BAQ=3x,即可得到

答案

解：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在AB的垂直平分線(xiàn)上，

所以PA=PB,

所以團(tuán)PABR1B,

所以0ApeWPAB+mB=2團(tuán)B.

（2）根據(jù)題意，得BQ=BA,

所以團(tuán)BAQWBQA.

設(shè)由B=x,

所lU0AQC=0B+aBAQ=3x,

所以回BAQ=13BQA=2x,

在△ABQ中，x+2x+2x=180°,

解得x=36°,即?B=36°.

【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等

腰三角形的性質(zhì).

20.（1）ZL4BE-ZACD（2）證明見(jiàn)分析

試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定SAS可證明團(tuán)ABE胴ACD,然后可得證：

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)，可由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定得證.

解：（1）/4BE=Z4CD.

因?yàn)槲慷U7,N3AE=NCAD,AE=AD，所以及4比絲AKD

所以44BE=4CD.

⑵因?yàn)?/p>