安徽省馬鞍山市202牛2025學年高一下學期期末教學質量監(jiān)測

數(shù)學試卷

一、單選題

1.已知或數(shù)Z滿足i.Z=l-i，則|z|=（）

A.gB.1C.V2D.2

2.已知平面向量”，。滿足：同=1,卜卜2,〃與〃的夾角為120。，則（）

A.—>/3B.-1C.1D.y/3

3.已知某圓錐的母線與底面所成的角為60。，且母線長為2,則該圓錐的表面積為（）

A.27rB.371C.（26+3）兀D.（45/5+3）兀

4.為慶祝中華全國點,工會成立100周年,某單位舉行工會知識競賽，講入決賽的8名詵手得分如下：82,

85,80,91,87,80,88,90.則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）

A.88B.89C.90D.90.5

5.對空中移動的目標連續(xù)射擊三次，設事件A=”三次都擊中目標”，4=“三次都沒擊中目標”，C="恰有

兩次擊中目標”，。=”至少有兩次擊中目標“，下列關系中不正確的是（）

A.Aa。B.BVD=0C.A<JC=DD.A\JC=B\JD

6.已知，〃，〃是兩條不同的直線，a，B,/是三個不同的平面，下列結論正確的是（）

A.若〃〃?〃，a!Ifttm±a?貝B.若"〃/〃，n/!a,則〃〃/a

C.若a_L〃，4_Ly,則a~LyD.若〃〃/〃，〃?ua,〃u，，則a//，

7.在2025年春晚的舞臺設計中，工程師設計了一個三角形裝飾燈架A8c用于懸掛燈光設備.已知燈架的兩

邊AA=8米，47=10米，且NR4C=120。.為了加固結構，需從邊BC的中點。到頂點A安裝一條加固桿4）,

則加固桿AO的長度為（）

A.&T米B.VJT米C.百米D.鬧米

8.在VABC中，CD=IDA?AE=3EB，直線BD與CE交于點、M,則AM=（）

2—12—1一

A.-A8+-ACB.-AB+-AC

3339

Q1_Q1.

C.—AB4—ACD.—ABH—AC

9993

二、多選題

9.已知Z1,Z2為復數(shù)，下列命題為真命題的是()

A.若z；eR,則4ERB.若Z]CR,則1wR

C.若Z]=Z2，則D.若z；+z；=0,則％=Z2=0

10.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,若a=2,b=應,則B可以是（）

A.15°B.30。C.45°D.60°

11.如圖是一個由直三楂柱與半個圓柱拼接而成的簡單組合體，4A，底面ABC,A3SAC,且A3=AC=2,

裕=3/為該組合體曲面部分上一動點，下列結論正確的是()

A.存在點尸，使得8P〃AG

B.一質點從點8沿著該組合體表面運動到C1的最短路程為府方

C.三棱錐A網(wǎng)體積的最大值為1+夜

D.當P八_L平面A3。時，直線E4與底面48。所成角的正切值為走

三、填空題

12.已知平面向量。二("1,2-/),Z?=(3,-2),若〃/必，則/=.

13.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別是gg,則密碼被成功破譯的概率是.

14.如圖，等腰三角形人8C的底力4C=2,將VA8C繞頂點A旋轉。角后得到VAO￡,且C￡>=2,分別沿

著AC,A。將VABC,VADE折起，使得E重合于點P,得到三棱錐尸-AC。，若三棱銖尸-AC0外

4

接球的半徑為則VA8c的面積為.

四、解答題

15.某校對高一年級的學生進行了一次測試.整理參加此次測試的學生的分數(shù)得到如圖所示的頻率分布直方

圖.

頻率

⑵從分數(shù)在［65.85)內的學生中抽取15人，求分數(shù)在［75,85)內被抽取到的學生人數(shù)；

(3)估計此次測試分數(shù)的平均值；〔同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表).

16.如圖，在直四棱柱43co—A/CQ中，AB//CD,DC±AD,且CD=&AB=&AD，點、M為棱DDT

(1)證明：ON〃平面M&C；

(2)證明：平面MB。，平面8BCC.

17.在VA8C中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,已知2反osC=〃—c.

⑴求8；

(2)若b=\［?>,且sinAsinC=—,求—i—.

5ac

題號12345678910

答案CBBCDAABBCABC

題號11

答案ACD

1.c

根據(jù)復數(shù)的除法運算求得Z,再根據(jù)豆數(shù)的模公式求解.

【詳解】由題，2=?=—i(l—i)=-l—i,

所以|z|=E=>/L

故選：c.

2.B

根據(jù)向量數(shù)量積的定義運算得解.

【詳解】a2=/Mcos(a,b)=lx2x-;)=一1.

故選：B.

3.B

由給定條件列出關于圓錐底面圓半徑，圓錐母線/的關系式，求得，進而求出圓錐的表面積.

【詳解】設圓錐的底面圓半徑為，圓錐母線為/,

由圓錐的結構特征知：cos60°=y,即/=2八所以r=1,

所以圓錐的表面積S=nr'+nrl=n+2n=3n.

故選：B.

4.C

根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

【詳解】進入決賽的8名選手得分按照從小到大排列如下：80,80,82,85,87,88,90,91,

因為8x80%=6.4,所以這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為90.

故選：C.

5.D

結合集合的包含關系及交集及并把運算檢驗各選項即可判斷.

【詳解】對空中移動的目標連續(xù)射擊三次，

則樣本空間為。=｛三次都擊中目標，恰有兩次擊中目標，恰有一次擊中目標，三次都沒擊中目標｝,

“至少有兩次擊中目標”包含：恰有兩次擊中目標和三次都擊中目標，

由題意可得，A=。，選項A正確；B\D=0f選項B正確；AKJC=D,選項C正確;

BD包含：三次都擊中目標，恰有兩次擊中忖標，三次都沒擊中目標，

故AC^B\D,選項D錯誤.

故選：D

6.A

根據(jù)線線，線面，面面的位置關系，即可判斷選項.

【詳解】對于A,若mH〃,。///，m_La,則〃，尸，故A1E確；

對干B,若〃?〃〃，〃〃a,則〃"心或機ua,故B錯誤；

對于C,若。，尸，八丫,則或。與夕相交，故C錯誤；

對干D,若機〃〃，機ua,〃u￡,則a//尸或a與夕相交，故D錯誤.

故選:A.

7.A

由題可得AD二;(A8+4C),利用向量數(shù)量積運算求解.

【詳解】因為。是3C的中點，AB=8,AC=10,ZBAC=12()\

所以4O=；（4B+AC）,

所以,4?=AZ）2=；（AB+4C64+l（J0+2x8xl0x21,

AD=B.

故選:A.

8.B

根據(jù)向量的線性運算結合向量共線的推論求解.

【詳解】如圖，由三點共線，可設AM=xA￡+(l-x)AC,

3,___3

又AE=]A8,AC=3AO，所以AM=；xA4+3(l-x)A。，

aQ

又民三點共線，則》+3(l-x)=l,解得X=g,

3X(XA21

AM=-X-AB+1--AC=-AB+-AC.

49I9)39

故選：B.

9.BC

對AD,舉反例說明；對B,由共柜復數(shù)的定義可判斷；對C,根據(jù)共擾復數(shù)的定義結合復數(shù)的乘法運算可

判斷.

【詳解】對于A,Qi2=-leR,比時Z=i￡R,故A錯誤；

對于B,若4eR,由共規(guī)復數(shù)的定義可得I=Z1eR,故B正魂：

對于C,設4=a+/?i(a,beR),由z=Z2，則一。i,

所以z,=(a-bi)(a+bi)=a2+b2eR,故C正確；

對于D,如馬甘，z2=1,滿足z；+z；=O,但Z］工z?00,故D錯誤.

故選：BC.

10.ABC

利用正弦定理可得sin5=￥sin4,結合sinAw(0,l］,可得sinBw(o,孝］,根據(jù)大邊對大角確定角〃范圍,

得解.

【詳解】由正弦定理，可得疝］8=如削=走疝］4,

a2

Qsin/\e(Oj］,「.sin8e(。.等］,又bva.貝故

/-

所以4c0。.

I4」

故選：ABC.

II.ACD

取4G的中點。一連接AQ并延長交與￡于尸，利用平行公理及平行四邊形的性質可證得選項A正確；對

于B,通過舉反例否定選項B；當點。是AG中點時，點P到44的距離d最大，通過計算可判斷c正確;

過p作DQ1平面ABC分別交B?于R,交8c于。，連接AD交8C于0,連接40,確定N以。為直線PA

與底面4BC的所成角，易得NPAD=N0AA,通過計算即可判斷D.

【詳解】對于A,取4G的中點連接AQ并延長交gG于P，連接用P.

因為A4工AC,且A4=AC=2,所以人。1=0吠，

2

所以四邊形A8/G是平行四邊形，所以。/〃4用，c/=A4,

由直三楂柱ABC—A8c知，AB=\B^

所以CP〃4B,ClP=AB,所以四邊形48尸G是平行四邊形，

所以AP〃AG，故A正確;

對于B,如圖，將側面A34A展開與底面48?在同一平面，g=J(2+3『+22=a，

即質點沿著面484A和底面ABC運動從點4到G的最短路程而，而回〈而行，故B不正確:

對于c,如圖，過C1作CQ〃交于2,當點尸是AG中點時，點P到A4的距離d最大，

4g=1+日

又因為sA即=1^x^=|x2x3=3,所以三棱錐f-48片體枳的最大值為v=；x3x(1+&)=1+&，故

c正確;

對于D,過。作平面A3c分別交4G于2，交8C于。，連接AO交4c于0,連接4。,

則/E4O為直線PA與底面ABC的所成角.

因為/>A_L平面A/C,PAu平面AAQR,平面44。21平面八"。=人。，

所以Q4J.4。,

又因為AA_LAOA。，所以NPADn/OAA,所以tan/PAO=tan/。41A=四=也.故D正班.

AyA3

故選：ACD.

12.4

利用平面向量共線的坐標關系列式求解.

【詳解】由?！╮WJ-2（r-l）-3（2-r）=0,解得/=4.

故答案為：4.

13.—

3

根據(jù)題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質可得

答案.

【詳解】因為甲乙兩人能成功破譯的概率分別是:（，

所以密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率片=[1-￡|（1-：）=:，

12

故該密碼被成功破譯的概率P===

9

故答案為：p

14.返或立

33

根據(jù)題意，可得三棱錐A-PC。為正三棱錐，作A〃_L平面PC。，外接球的球心。在A”上，結合

?！?=（人〃一關系求出AC,得解.

【詳解】由題，AC=AP=AD,PC=PD=CD=2,則三棱錐尸一AC。即三棱錐A—PCQ為正三棱錐,

如圖，作AH_L平面尸6,垂足為“，則三棱錐P-AC。外接球的球心。在A”上，

〃是△QCQ的中心，CH=巫,又外接球的半徑R=2，則的=找_"處」=2,

33V933

乂OH2=（AH—R）2,即S=（A“—g）,解得A//=2或,,

若AH=2,則在Rt中，AC2=AH1+HC2，由此可得3號，

設VABC邊8c上的高為人則〃=叵，

3

所以VABC的面積為』x2x?^=叵.

233

若則在Ri.AHC中，AC2=AH2+HC2,由此可得4c24，

設V八8c■邊6c上的高為〃，則/?=①,

3

所以VA4C的面積為LX2XE=E.

233

故答案為：叵或立.

33

15.⑴〃2=0.024

⑵9人

(3〃5

(I)利用各組的頻率和為I,求出血；

(2)根據(jù)分層抽樣確定抽樣比計算；

(3)利用頻率分布直方圖估算平均數(shù)公式計算.

【詳解】(1)S(0006+0.014+0.020+/?+0.036)x10=1,得加=0.024.

(2)分數(shù)在［65,75)與［75,85)內的頻率之比為2:3,

故［75,85)被抽到的人數(shù)為15、'=9(人).

(3)x=(50x0.006+60x0.014+70x0.024+80x0.036+90x0.020)xl0=75.

16.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(1)取8(中點為/),證明四邊形加/”分為平行四邊形，可得DNHPM,根據(jù)線面平行的判定定理得證；

(2)連接￡)3,可證DV_L〃C,得DN上平面BRQiC,結合(1)DN//PM,可得FM_L平面,根

據(jù)面面垂直的判定定理得證.

【詳解】(1)取BC中點為P,連接和PN,

。__C.

因為點N為8c的中點，所以PN=5他，PNUBB\,

因為點M為。2的中點，所以=MDI/BB、,

所以MD/JPN,MD=PN,故四邊形MDVP為平行四邊形,

所以DNHPM,又因為平面PMu平面MB1。,

所以。V//平面MBQ.

(2)連接08,由A3//C。，DCLAD.ABLAD,

又。。=0A8=友人。，則。4=0(7,

因為點N為EC的中點，所以ON_LBC,

又84_1,平面ABC。，ONu平面ABC。，所以8q_LDN,

又BB"BC=B,8cB禺u平面BBCC，所以ON工平面8BCC,

由（1）為DNHPM,所以PMJL平面BBCC，

因為PMu平面M8c,所以平面MB。1平面

17.⑴B

（2）14=^

ac4

（I）利用正弦定理邊化角，再結合三角恒等變換運算求解；

（2）利用正弦定理可得《=1，利用余弦定理可得〃+c=亞，即可得結果.

55

【詳解】（1）因為2/?COSC=2a-c,由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA—sinC,

口sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cos8sinC,

則2sinBcosC=2sin3cosc+2cos^sinC-sinC,可得2cos^sinC-sinC=0,

又因為Cw（O,兀），則sinC>0,可得cos5=g,

且Be（Oi）,所以4=?

（2）因為8=b—5/3,

acbx/3

由正弦定理sinA-sinC-sinB一耳一，可得sinA=］，sinC=］，

萬

則sinAsin。=絲=’,即ac=±

455

由余弦定理/=c/+c2-2accos8=（。+c）~-lac-2accosB,

即3=（〃+c『—解得〃+c=孚，

所以

acac4

18.（l）g

（2）（i）這個方法不公平，理由見解析；（ii）;

（1）由占典概型概率公式計算即可得解；

（2）（i）利用列舉法，結合古典概型即可得解：

(ii)利用列表法，結合古典概型即可得解；

【詳解】(1)第一局共有3種對弈方式：(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，所以由乙、丙兩人進行對弈的

概率為:.

(2)(i)連續(xù)擲骰子兩次的樣本空間。={(，兒")版〃￡{1,2,3,4,5,6}}共有36個樣本點.

設事件4={(9)1*〃⑷}，則

4={(1,2).(2.3).(3.4),(4.5).(5.6).(2,1).(3.2).(4.3),(5.4).(6.5).(1.1).(2.2).(3,3),(4.4)(5.5),(6.6)),

共有16個樣本點，故乙先落子的概率為*A)=黑=^=：,

因為P(A)HT，所以這個方法不公平

(i：)輪空情況如下表所示:

第局第二局第三局第四局

乙

甲

丙

乙

甲

丙

乙

甲

乙

甲