2024-2025學年安徽省黃山市高一下學期期末質(zhì)量檢測

數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)z=(2-i)i對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列各組向量中，可以作為基底的是

A.a=(0,0),b=(2,-2)B.a=(1,-2),b=(-5,10)

C.1=(3,4),b=(-4,3)D.a=(1,-1),b=(2,-2)

3.某小區(qū)隨機調(diào)查了10戶居民月均用水量，數(shù)據(jù)如下(單位：噸)：6,6,6,7,7,8,9,9,10,11.估計

該小區(qū)每戶居民月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為

A.7B.7.5C.8D.8.5

4.在Az48c中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a<bcosC,則△ABC為

A.銳角三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

5.已知/,機是兩條不同的直線，a是一個平面,則用與Q所成的角相等”是“〃/m”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知向量優(yōu)b,c,滿足1+3+^=6,且|菊=1,|石|=，1,花|=二，則五與下夾角佗余弦值為

A.2B--CD—

f6535

7.黃山市境內(nèi)風光奇絕，擁有12處國家級重點風景名勝區(qū)，在五一假期期間展現(xiàn)出獨特的旅游魅力.對于

A,B兩個旅游景點，通過大數(shù)據(jù)觀測發(fā)現(xiàn)，游客選擇A景點出游的概率為白，選擇B景點出游的概率為

A,4兩個景點都不選的概率為得，則A,4兩個景點都選的概率為

A—B—C—D—

15101515

8.一封閉圓錐容器的軸截面是邊長為3的等邊三角形，一個半徑為學的小球在該容器內(nèi)自由運動，則小球

能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為

7QS

A.-7TB.2nC.［兀D.［兀

442

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖(1)形成“右拖尾”形態(tài)，圖(2)形成對稱

形態(tài)，圖(3)形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的有

A.圖(1)的眾數(shù)〈中位數(shù)<平均數(shù)B.圖(1)的眾數(shù)〈平均數(shù)〈中位數(shù)

C.圖(2)的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)D.圖(3)的中位數(shù)〈平均數(shù)〈眾數(shù)

10.如圖，在正四棱柱力中，底面正方形"CO邊長為，？，44=3,M為線段上的一

個動點，則下列說法中正確的有

A.已知直線/為平面46。和平面A8C。的交線，則平面力8當久內(nèi)存在直線與/平行

B.三棱錐M-&GD的體積為定值

C.直線MG與平面&GD所成角最大時，=1:3

D.\MAX\+的最小值為12+3V5

11.在443。中，角A,B,C所對的邊分別為小b,c,且acosC+qasinC=b+2c,a2sinBsinf=3,

AO為角A的平分線交8c于。，則

A.4=|TTB.△48c的面積為2c

C.AD<1D.a>2\T1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.從3,4,5這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù),分別記為相，”，記力="10gmnvl”，則P(A)=.

13.如圖，在四棱錐P-48C0中，底面A3CD為正方形，側(cè)面胡。為正三角形，48_LP0,則側(cè)面P8c與

底面48C。所成角的正弦值為.

B

14.已知平面向量2,b,0滿足|4|二|32—b|=1,憶|=2,(a,c)=貝i」|5—的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知復(fù)數(shù)為=1一at,z2=-1+3i,其中。是實數(shù).

(1)若求a的取值范圍;

(2)若a?Zi+Z2<0，求a的值.

16.(本小題12分)

為完善學校體育教學模式，提高學生體育與健康素養(yǎng)，現(xiàn)對某校3000名高中學生每天的運動時間進行調(diào)查,

隨機抽取了100名學生進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生每天平均運動時間(單位：分鐘)的頻率分

布宜方圖，將每天平均運動時間不低于85分鐘的學生稱為“運動愛好者”.

頻率

(1)試求頻率分布直方圖中的〃值和該校學生中“運動愛好者”的人數(shù)；

(2)在抽取的100名學生中，隨機選取了10名學生的每天平均運動時間(單位：分鐘)：勺，不，去，…，/0,

已知這10個數(shù)的平均數(shù)5=20,方差$2=25,若剔除其中的2Q和12這兩個數(shù)，求剩余8個數(shù)的平均數(shù)與

方差.

17.(本小題12分)

元蘿卜(SenseRobot)*下棋機器人是商湯科技于2022年推出的家庭消費級人工智能產(chǎn)品，該機器人融合了

傳統(tǒng)象棋文化和人工智能技術(shù)，不僅可以陪伴象棋學習，還可以進行象棋對弈.現(xiàn)有三個不同等級的元蘿

卜(SenseRobot)機器人，依次簡記為甲、乙、丙.

(1)某象棋手依次與甲、乙、丙各比賽一局，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的

概率分別為J，Lp求該棋手恰能連勝兩局的概率.

(2)現(xiàn)有一象棋初學者與甲進行比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，沒有平局，比賽進行到一方

先得2分為止，先得2分的一方贏得比賽，且每局比賽結(jié)果相互獨立，比賽最多進行3局.已知甲在第一局

獲勝的概率為；，從第一局開始，每局結(jié)束后甲進行勝率調(diào)整如下：若木局獲勝，則下一局獲勝的概率為

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=(2-i)i=l+2i,

故？對應(yīng)的點(1,2)在第一象限，

2.【答案】C

【解析】解：因為3x3-(—4)x400,所以2與萬不共線，故選C.

3.【答案】D

【解析】解：將數(shù)據(jù)由小到大排列得：6,6,6,7,7,8,9,9,10,11.

樣本容量"=10,60%分位數(shù)的位置0.6x10=6,

所以樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為為第6項和第7項數(shù)據(jù)的平均值，

即等=8.5,

故選。.

4.【答案】D

【解析】解：因為QVbcosC,由正弦定理得sin4<sin8cosC,

所以sin(B+C)<sinFcosC.

所以sinBcosC+cosFsinC<sin8cosC,

所以cosBsinC<0,

因為CW(0,7T),sinC>0,所以cosBvO,

所以BW售,7T),

所以△ABC為鈍角三角形.

故選D.

5.【答案】C

【解析】解：當/，機與a所成的角相等時，/與〃，可能平行，可能相交，也可能異面；

如果1〃m,當/,〃?都平行于平面1時，它們與a所成的角都為0°;當/，機都垂直于平面a時，它們與a所成的

角都為90。;當不〃與平面。相交時，根據(jù)直線與平面所成角的定義,它們與。所成的角也相等,所以由“，〃m”

可以推出，〃與a所成的角相等“，

即“/,〃?與a所成的角相等”是“〃/小”的必要不充分條件.

6.［答案】C

【解析】解：由五+8+=G可得五+2=—匕,

等式兩邊平方得b2=a2+c2+2a-c,

即2ac+4=2,

因此為1=一1.

設(shè)3與m的夾角為6,則cos。=奇2=/=一1，

1aHe|V33

故選C.

7.【答案】B

【解析】設(shè)事件A為"選擇A景點”，事件3為”選擇3景點”,

由兩個景點都不選的概率為P(彳nN)=高

得至少選一個的概率為P(AUB)=1-P(Wn耳)=1一卷=得,

而P(AU8)=PQ4)+P(B)-PQ4AB),

磊=尚+白P0n8),

wcD、23431

P(.4nF)

故選8.

8.【答案】A

【解析】解：圓錐的母線長與底而圓的直徑均為3,在圓錐內(nèi)里側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域是一個圓臺的側(cè)面,

該作出軸截面如下圖所示:

因為圓錐的軸截面是邊長為3的等邊三角形，又小球的半徑為三,且小球在該容器內(nèi)自由運動，圓臺的下

底面半徑為1,上底面半徑為:，母線長為1,所以在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域是圓臺側(cè)面積，在

圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是?個圓，其半徑為所以小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為

送+1)x1+7rxe)=與.

故選4

9.【答案】AC

【解析】解：圖(1)眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，A正確,8錯誤;

圖(2)的分布直方圖是對稱的，平均數(shù)=中位數(shù)二眾數(shù)，C正確；

圖(3)左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，。錯誤.

故選：AC.

10.【答案】BC

【解析】解：選項A,因為4G/A4C,力iQC平面ABCD,

ACABCD,所以4G〃平面ABCD,

旦4Gu平面4G。，

所以平面4G。和平面ABCD的交線Z〃4G，

而4cl與平面A831A相交，則平面內(nèi)不存在直線與4G平行,

即不存在直線與百線/平行，故A錯誤：

選項氏因為〃/1］。,B1CC平面

&。(=平面/11。10,所以當C〃平面41G0,

所以點M到平面&GD的距離為定值，

而三角形4GD的面積為定值，

故三棱錐M-4G。的體積為定值，故8正確；

選項c,記M到平面4G。到距離為d,

由選項8可知，d為定值，記直線MG與平面4G。所成角為。6［0,今,

貝Ijsin”品，又正弦函數(shù)在［0,學上單調(diào)遞增，則。最大時，sinJ最大,

從而即為IMGI最小時,此時MC11C4,

在△BGC中，B1Gx(?(?!=GMx81c,

又=J(V-3)2+32=2>/~~3,

所fiFr以111G/^MAi=，8[C^[XCLC]=m13x3=53.

所以=J(q)2_0)=V,

丸=2-一？=宇

所以=1:3,故C正確;

選項D,作平面&B1CD與平面B&C的展開圖如圖所示,

貝+|MB|的最小值即為展開圖中線段力/的長，

RtABiBC中，BC=q，BB1=3,

則tan4=?,

所以“當8屋，從而44/8二條

在ZiAi&B中，由余弦定理可知，

21

做2=(門)+32-2X3X<3X(-2)

=12+3C，

從而|M4|+|MB|的最小值為J12+3/?，故。錯誤，

故選BC.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于人，由QCOSC4-\f~~3as\nC=b+2c及正弦定理，得sinAcosC+I5sinAsinC=sinF+

2sinC,

又sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以UsinAsinC=cosAsinC+2sinC,

又CG(O,TT),sinC>0,

得：VSsinA—cosA=2,

即2sin(A-[)=2,即sinQ4—芻=1,

bb

因4€(0,兀)，故4T=?,得力=各選項A正確；

對干B,由正弦定理，得a=2Rsin4,sin8=/sinC=加

(R為外接圓的半徑)，

代入MsinOsinC=3,得；(2/?s：n21)2?44=3,

化簡得bcsin?4=3,因為力二尊sinA=孕，代入得be=4,

所以三角形面積

S=jbesin/l=ix4x^=y/~3f選項8錯誤;

,

對于C,由題意：S^ABC=SA/1BD+^hACD

即B=\AD?C?sin60°+^AD?b-sin60°=^-AD?(b+c),

4

所以4。=

b+c'

由b+cN=4（當且僅當力=c=2時取等）,

故401,選項C正確；

對干。，因為｛=《?，be=4,

J

所以M=b2+c2-2bccosA

=b2+c2-2x4x（-i）

=Z?2+c2+4

由力2+c2>2hc=8（當且僅當b=c=2時取等），

故G?Z8+4=12,即Q>2，耳，選項D正確.

12.【答案】1

【解析】解：從3,4,5這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，分別記為（m,n）,有:

（3,4）、（3,5）、（4,5）、（4,3）、（5,3）、（5,4）,共6種，

而要滿足logm^Vl，即nvm有:（4,3）、（5,3）、（5,4）,共3種,

因此PQ4）=D

O乙

故答案為".

13.【答案】罕

【解析】解：如圖:

取A。、BC的中點分別為E、F,連接PE、EF、PF.

因為底面48C。為正方形，所以因此AOJ.EF、EF1BC.

因為a8J.P0,所以EF工PD,而P。、力。匚平面%。，PDC\AD=D,

因此EF_L平面PA。，而EFu平面A8CD,所以平面PAD_L平面A8CD,交于力。.

因為AP/ID為正三角形，所以4C1PE,而PEu平面P4O,因此PE1平面人8CQ,

而EFu平面ABCD,所以PE1EF.

因為力D1PE,ADLEF,PE、EFu平面PEEPEdEF=E,所以A。1平面PEF,

因此由4)〃BC得：8C1平面PEF,所以由PFu平面尸E尸得：BC1PF,

因此"Ff是側(cè)面PBC與底面NBC。所成角的平面角.

設(shè)正方形A8C。的邊長為2,則EF=2,PE=C，

因此由PEIEF得：PF=C，所以sin4PFE=僚=詈=手，

即側(cè)面PBC與底面ABCD所成角的正弦值為子.

故答案為手.

14.【答案】＜7-1

【解析】解：如圖:

設(shè)施=1，AC=3o.AD=b^5HI|K-Z|=[RD\.

因為|Z|=1,=2,{a,c)=l，所以4c=|而|=3,AB=\AB\=2,^BAC=(afc)=p

因此在△ABC中，由余弦定理得：BC=J32+22-2X3X2COS^=\T7.

因為|3Q-B|=1，所以I而|=1,因此點。在以點C為圓心，半徑為1的圓上運動，

所以當點。運動到線段8C與圓C的交點￡時，BD最小,最小為8C—1=/7—1.

故答案為

15.【答案】解：(1)因為“是實數(shù)，所以izj=vi+M,|Z2|=>no,

因此由>他2|得：解得。<一3或Q>3,

所以。的取值范圍是(一8,-3)U(3,+8).

(2)因為a是實數(shù)，所以Q?Zi+z?=a(l-ai)+(-1+3i)=a-a2i-1+3i=(a-1)+(3-a2)i.

因為-Z1+Z2VO,所以a?Z]+z2為實數(shù)且該實數(shù)VO,

因此{:二fl。"解得a=-C

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

16.【答案】解：(1)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積之和為I,

所以20x(0.005+0.010+0.011+0.0125+a+0.009)=120x(0.0475+a)=10.95+20a=1

解得Q=0.0025.

“運動愛好者”即每天平均運動時間不低于85分鐘的學生，

[85,1。。)與口。0,120]的頻率和為15x0.010+20x0.0025=0.2,

該校共有3000名學生，所以“運動愛好者”的人數(shù)為3000x0.2=600人.

（2）已知10個數(shù)的平均數(shù)土=20,

設(shè)剔除20和12后,剩余8個數(shù)依次為丫1，丫2…為，

其平均數(shù)為小其方差為貸，

剔除20和12后，8個數(shù)的總和為10X20-20-12=168,

則亨=喈=21,

由10個數(shù)的方差S?=25,得￡耳（與-20）2=10x25=250,

22

而空=1（兒一21）=￡2（陽一20）-（20-20）2-（12—2o）2

=250-64=186,

則￡=扛之式力-21）2=等=23.25.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

17.【答案】解：（1）棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為:、：、i,各局結(jié)果獨立,

“伶好連勝兩局”包含兩種情況：

情況1：勝甲、勝乙、負丙，概率為

情況2：負甲、勝乙、勝內(nèi)，概率為（1—：）xJx；=；xJx；二=，

所以該機手恰能連勝兩局的概率為I+士=

????o44O

（2）甲贏得比賽的情況包括：

2:。獲勝：第一局勝且第二局勝，

概率為:g-2t）；

2:1獲勝：

第一局勝、第二局敗、第三局勝：

概率為：1（j+2t）Q+t）；

第一局敗、第二局勝、第三局勝：

概率為:?+￡）?—2t）,

所以甲扁得比賽的概率為

11111111

P=2t）+2傷+2。（2+￡）+2（2+￡）傷_2，）

=所以￡"，

因為0<t<^,

所以,的取值范圍為EW).

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

18.【答案】⑴由2btanC=c(tan44-tanC),

4HsinCfsinA,s\nC\

得

2b--C-O-S-C7=c\lc-os/l-+-cost/

去分母得2bsinCeosA=c(sin力cosC+sinCeosA)=csin(/l+C)=csinB,

得2sinBsinCeosA=sinCsinB

而B,C為三角形內(nèi)角，所以sinCsinBH0

所以cos/l=g,因A為三角形內(nèi)角，故A=

(2)由(1)知A=%

據(jù)題意知|尼|=3,\AB\=9,則旅?四=\AC\x\AB\xcos/l=當

\BM\:\MC\=2:1,得兩耳？，

.一?一?2...?.

AM-AB=^AC-AB)y

從而得而7=；而+凈前，

JJ

則I祠|2=G通+:前)2=白而產(chǎn)+前前|2+3彳月.而

=^1x81+^4x9+|4x^2=719,

故,4M=

(3)因sin(TI—A)=sin4cos(?-8)=sinB,cos2C-1=-2sin2C,

從而(。2+b2+C2)|^-2^——+—；\-----^T-r

[stnz(7r-/l)COS2(^-B)cos2C-l

11

=(a2+b2+c2)+?2n+?

sinBsinC

bca3

而由「sin而S=-sirnre=-sri-"r=~y_r3T=2,

得a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC,

得/+/j2+c2=4(sin2A+sin2B+sin2C),

所以(。2+b2+C2)siMgQ+cos20-B)-C0S2C-1

=4(sin2A+sin2B+sin2C)(—\—I--\—I---二)，

'八sWAsin2Bsin2C

111.

>4(sin2Ax—---Fsin2Bx——---hsin2Cx——)2

sin2Asin2Bsin2C

=4(1+1+l)2=36,

2

當且僅當siM/=sin/?=sin2c時取等號,即/=￡?=C=號.止二時Q=h=c=sin>4=sin￡?=sinC=

故［Q2+/+f2）卜焉萬+_益聶］最小值為9X4=36.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

19.【答案】解：（1）證明：在梯形5CE"中，因為BF〃CE,所以翻折后有48〃。。，RAF//ED,

因為AB（t平面C￡）E,DCc￥rSlCDE,故力8〃平面CQE,同珅可得力F〃平面COE,

因為48n/IF=4,71B,AFu平面人BE

所以平面4B/7/平面CDE,

又因為BFu平面ABF,所以B/〃平面CDE.

(2)(i)ADLAB,ADA.AF,4B,AFc^ffiABF,ABnAF=A,

所以力D_L平面4B凡BFu平面ABF,

^VXBFLAD,又AD〃BC,

則B產(chǎn)1BC,

如圖，在平面8CE內(nèi)過。作CG18E,垂足為G,

因平面FBE1平面CBE,平面尸BEn平面CBE=BE,

從而CG1平面FBE,BFu平面FBE,

所以8尸1CG,

BC,CG<=T?BCE,BCCCG=C,

所以8F_1_平面5CE.

(ii)

E

X

AB!/DC,AF//DE,則乙/AB=乙EDC=a,

過點。作/X7的垂線7,分別以0/1,。。所在直線及直線/為無,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系。-xyz,

則D(0,0,0),4(5-t,0,0),C(0,t,0),5(5-t,t,0),F(0,4cosa,4sina),

F(5-t,2cosa,2sina),

在平面EFB中，SF=(0,2cosa-t,2sina),EF=