專題13特殊平行四邊形

目錄

01理?思維導圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：矩形的性質(zhì)與判定

知識模塊二：菱形的性質(zhì)與判定

知識模塊三：正方形的性質(zhì)與判定

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（12大基礎考點）

考點一：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求角度

考點二：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求線段長

考點三：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求周長

考點四：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求面積

考點五：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求點的坐標

考點六：利用特殊四邊形的性質(zhì)證明

考點七：特殊四邊形的折疊問題

考點八：證明四邊形是特殊四邊形

考點九：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求角度

考點十：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求線段長

考點十一：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求周長

考點十二：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求面積

04破.重點難點：突破重難點，沖刺高分。（6大重難點）

重難點一：與特殊平行四邊形有關(guān)的最值問題

重難點二：中點模型

慳難點三：十字架模型

重難點四：半角模型

重難點五：一線三垂直模型

重難點六：對角互補模型

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）

易錯點1：未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理

易錯點2：求菱形面積時出錯

）思維學電

具有平行四邊形所有性質(zhì)

四個角都是亙角

強------------------

-------時角線相等

既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

有f角是直角的平行四邊形

角I----------------------------------

--------1有三個角是直角的四邊形

判定對角線對角線相等的平行四邊形

運用勾股定理求邊或?qū)蔷€的長

應用---------------------------------

---------運用對角線相等證明四個小三角形的面積相等

具有平行四邊形所有性質(zhì)

邊四條邊都相等

兩條對角線互相垂直

對角線-----------------------

菱形每一條對角線平分一組對角

有一組鄰邊相等的帝亍四邊形

特殊平行四邊形I]邊

------四條邊都相等的四邊形一

對角線互相垂直的平行四邊匕

具有平行四邊形所有性質(zhì)

邊四條邊都相等

角四個角都是直角

相等

對角線互相垂直平分

每條對角線平分一組對角

正方形軸對稱圖形4條對稱軸

對稱住

中心對稱圖形

邊有一組鄰邊相等的矩形

角有一個角是直角的蒸形

判定

對角線互相垂直的矩形

―又惟維：―I-|---對--角---線--相---等--的--菱---形-------

基礎如投

2

知識模塊一：矩形

知識點一：矩形的性質(zhì)

性質(zhì)符號語言圖示

邊兩組對邊平行且相???川邊形ABCD是矩形

A

等，AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD//BCD

???西邊形是矩形

角四個角都是直角ABCD

JZBAD=ZBCD=ZABC=ZADC=90°

BC

對角線兩條對角線互相平???西邊形ABCD是矩形

分且相等.\AO=CO=BO=DO

【補充】

1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經(jīng)常會用到等腰三角形的性質(zhì)解決問題.

3）利用矩形的性質(zhì)可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.

知識點二：矩形的判定

判定定理符號語言圖示

一個角是直角的平行在平行四邊形ABCD中，/\D

四邊形是矩形VNABC=90。，???平行四邊形ABCD是矩o

BC

角形

三個角是直角的四邊在四邊形ABCD中，AD

形是矩形VZB=ZA=ZD=90,>,二

BC

???四邊形ABCD是矩形

對角線對角線相等的平行四在平行四邊形ABCD中，AD

邊形是矩形VAC=BD,J平行四邊形ABCD是矩形

BXC

3

知識模塊二：菱形

知識點一：菱形的性質(zhì)

性質(zhì)定理符號語言圖示

邊四條邊都相等???四邊形ABCD是菱形

AL

AAB=CD=AD=BCV

對角對角線互相垂直，且每一條???四邊形ABCD是菱形???ACJ_BD,

AC平分NBAD,AC平分NBAD,

線對角線平分一組對角r

AC平分/BAD,AC平分NBAD

【補充】

1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

2）菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形.

3）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.

4）菱形的面積公式：

①菱形的面積=底、高，即5=ah

②菱形的面積;兩條對角線長的乘枳的-半，即S=

知識點二：菱形的判定

判定定理符號語言圖示

四條邊相等的四邊形是在四邊形ABCD中，

邊菱形.VAB=BC=CD=AD,四邊形ABCD是菱

形C

一組鄰邊相等的平行四在平行四邊形ABCD中，

邊形是菱形.VAB=BC,???平行四邊形ABCD是菱形

對角線對角線互相垂直的平行在平行四邊形ABCD中，A

四邊形是菱形.VAC1BD,，平行四邊形ABCD是菱形

C

4

知識模塊三：正方形

知識點一：正方形的性質(zhì)

I）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.

2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.

【補充】

I）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

2）?條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45。.

3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.

知識點二：正方形的判定

定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊

形是正方形

判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形

矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形

菱形+一個角是直角有一個角是直角的菱形是正方形

菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形

考點者法

考點一：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求角度

1.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）矩形月8CZ）的對角線/C,8。相交于點O,點尸在矩形/BCD邊上，連接OF.若

口40〃=38。，匚50斤=30。，則二〃OF=

【答案】46?；?06。

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分點尸在44上和8c上兩種情況討論即可求解.

【詳解】解：???四邊形/出C。是矩形,

：,OA=OD,

：.UADO=nOAD,

,/口力￡加=38°,

5

???口月。。=口。40=38°

AUA0B=ADCh-J0AD=16°,

如圖所示，當尸點在48上時，

???口80/=30。,

:.口力。尸=匚力。8-匚6。E=76。-30。=46。

如圖所示，當點尸在8C上時,

???口8。/=30。,

???口月。片匚力。8+n6。￡=76。+30。=106<),

故答案為:46?；?06。.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?黑龍江大慶?中考真題)將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置，若CBAD=a,UCBE=S，則￡=()

A.45。+)B.45°+1GC.90°-^aD.90°-^a

【答案】D

【分析】由題意可得□尸BG=［：D4B=a,由菱形的性質(zhì)可得40n8C,UABD=UCBD=a^,由平行線的性質(zhì)可

得UD4B+匚4BC=18O。,進行計算即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：口qG=匚。44=a,

口四邊形力A8為菱形，

6

QADHBC,匚ABD=DCBD=a+￡,

^DAB+QABC=\SO0,

□LABC=UABD+□CBD=a+fi+a+p=2a+2p

Ca+2a+2^=180°,

匚夕=90。一|原

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?山東?中考真題)如圖，點E是正方形488內(nèi)的一點，將口48七繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到

UCBF.若口48后=55。，!I!ijD￡GC=度.

F

【答案】80

【分析】先求得口8所和口。8七的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：???四邊形48CO是正方形，

???口/〃。=90。，

???□4BE=55。,

AnC5E=9()°-550=35°,

?:口/lBE繞點、B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到口。8/

???□EBF=90BE=BF,

???口，/=45。，

???□EGC=口。8七+口8七產(chǎn)=35。+45。=80。，

故答案為：80.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)圖

形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

7

考點二：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求線段長

4.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形A4CQ的對角線4C與AD交于點O,DEI4c于點E,延長。E與〃。交

于點片若48=3,BC=4,則點尸到B力的距離為.

【答案是

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識，過點尸作切口48,垂足為H,利

用勾股定理求出力C的長，利用角的余弦值求出。尸的長，再利用勾股定理求出/C,從而得出BF,利用三角形

面積求出"/即可.

【詳解】解：如圖，過點F作尸HCDB,垂足為“，

n\2BAD=3BCD=^,AC=BD,

[48=3,BC=4,

□JC=BD=>jAB2+BC1=y/32+42=5,

□S=；AD3DC=\ACQDE,即!X4X3=：X5XOE.

ADC2242

解得：DE=j,

1—>(-1rTkX->DEDCart~3

Lcosaroc=-=-,即3=加

解得：

4

口產(chǎn)。=5/°產(chǎn)一-32=%

a7

匚BF=B5FC=4'=g

44

口sBDF=\BDUFH=；BFCDC,BP；x5xF//=|xZx3,

解得：尸

8

故答案為:看

5.（2024?海南?中考真題）如圖，菱形力8。的邊長為2,EJ^C=120°,邊48在數(shù)軸上，將4C繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3,則點A表示的數(shù)是（）

【答案】D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.作5口4￡?于點凡利用菱形的性質(zhì)，直角

三角形的性質(zhì)，勾股定理計算即可.

【詳解】解：作C/T/IE于點E

???urac=60°,

?;BC=2,

AZ?F-|z?C-l,CF-y/BC2Z?/^-

:"F=AB+BF=3,

AAE=AC=V^AFC^=^/32+（/=2仍，

???點E表示的數(shù)是3,

???點A表示的數(shù)是3-2A/5,

故選：D.

6.（2024.吉林?中考真題）如圖，正方形如昭。的對角線4。，8。相交于點O,點￡是04的中點，點?是0。上

一點.連接若口正0=45。，則令勺值為.

9

【答案嗎

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到□。力Z>45。,

AD=BC,再證明MAD,進而可證明口。七尸口匚。由相似三角形的性質(zhì)可得啜=寺=：,即

AiJ(Z42/JO2

【詳解】解：???正方形48C。的對角線力C,8力相交于點0,

,匚。1。=45°,AD=BC,

丁點E是04的中點，

.OE_\

**OA~2,

VUTO0450,

:.EFUAD,

???□OEF□匚0/0,

—即竺=!,

ADOA2BC2

故答案為:p

考點三：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求周長

7.(2023?遼寧丹東?中考真題)如圖,在矩形48co中，對角線NC與8。相交于點。，口/8。=60。，4E匚BD,

垂足為點￡尸是OC的中點，連接M,若石聲=2V5,則矩形力8C。的周長是()

A.16V3B.8V3+4C.4V3+8D.8V3+8

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出04=08,即可求證口48。為等邊三角形，進而得出點E為。8中點，根據(jù)中位

線定理得出8C=2EF=4V5,易得口。8。=30。，求出C7ABC匚tan[5CO=4,即可得出矩形的周長.

【詳解】解：???四邊形48c。是矩形,

：?OA=OB,

??QBD=60。,

???口/4。為等邊三角形,

，點E為08中點，

???/是OC的中點，若EF=2逐,

AZ?C=2EF=4V5,

,/口/4。=60。,

AnCBD=3()0,

：.CD=BC2tan!ZZ?CJ=4v5x^=4,

，矩形相。。的周長=2(8C+C必=2(475+4)=80+8,

故選：D.

【點睛】矩形主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵

是掌握矩形的對角線相等，等邊三角形三線合一，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，以及

解直角三角形的方法和步驟.

8.(2023?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖：在菱形"CD中，4B=4,口力=120。，順次連接菱形"C力各邊中點E、F、

G、H,則四邊形EFG”的周長為()

C.4+4V3D.6+4V5

【答案】C

【分析】首先利用三角形的中位線定理證得四邊形ER7”為平行四邊形，再求對角線長度，然后利用三角形

中位線定理求出此平行四邊形邊長即可求出周長.

【詳解】

F、G、〃分別是邊48、BC、CD.04的中點,

EF=GH,同理

口四邊形KFGH是平行四邊形,

11

口四邊形力8CQ是菱形，AB=4,UJ=120°,

□對角線力C、互相垂直，

UADUBC,

□E^+DJ^C=I8O°,

□EJ^C=60°,AB=BC=4,

口匚43c是等邊三角形，

□JC=4,

在Ri匚力。8中，45=4,OA=^AC=2,

□^=V42-22=2V3>

□BD=4G

UEF=\AC=2,EH=\BD=2^,

□四邊形EFG”的周長為（2+275）x2=4+471

故選：C.

【點睛】本題考查了中點四邊形的知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用三角形的中位線定理，菱形的性質(zhì)及平行四

邊形的判定與性質(zhì)進行計算.

9.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長

是80cm,則圖中陰影圖形的周長是（）

A.440cmB.320cmC.280cmD.160cm

【答案】A

【分析】本題考杳平移的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)將陰影部分的周長轉(zhuǎn)化為邊長是80cm的正方形的周長加上邊

長是80cm的正方形的兩條邊長再減去2x20cm,由此解答即可.

【詳解】解：由圖可得：陰影部分的周長為邊長是80cm的正方形的周長加上邊長是80cm的正方形的兩條邊

長再減去2x20cm,

口陰影圖形的周長是：4x80+2x80-2x20=440cm,

12

故選:A.

考點四：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求面積

10.(2022.湖南邵陽?中考真題)已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為則矩形的面積為

cm2.

【答案】48

【分析】如圖，先根據(jù)勾股定理求出力”而二不=8cm,再由S矩形“8⑺=44x3C求解即可.

【詳解】解:在矩形48CD中，5C=6cm,JC=10cm,

，在Rt□48c中，J5=/102-62=8(cm),

?、S矩形力配笛=力4x3C=8x6=48(cm2)?

故答案為：48.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識.

11.(2024?廣東?中考真題)如圖，菱形力8CZ)的面積為24,點E是"的中點，點尸是8C上的動點.若匚8所的

面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】10

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出S"產(chǎn)6,

S初=8,根據(jù)ZU8"□菱形的面積求出？=；,笑=2,則可求出口。2的面積，然后利用

3Cr

S陰膨=S菱形43。。一SADETBEF-S(7)尸求解空口可，

【詳解】解：連接4尸、BD,

13

A

???菱形44C￡）的面積為24,點石是"的中點，"的面積為4,

匚月B￡）=；X；S菱形d8CD=6,548r=2S匚8￡片8,

設菱形48C。中8c邊上的高為h,

則上憶=妊_即上=遺，

S妥形布。8CU口“BC

,BF2

??——,

BC3

??SCDL%

?，S用影=S菱形486-5ADE~SBEF~SC°F=I（），

故答案為：10.

12.（2023?湖南?中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為4dm的正方形紙板

制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，I個正方形和1個平行四邊形組成.則圖中陰影部分

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點，求得。七的長，即可求解.

14

依題意，OD=^AD=2^.,OE=\OD=y/l

???圖中陰影部分的面積為。5=(?=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

考點五：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求點的坐標

13.(2024?吉林?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-4,0),點C的坐標為(0,2).以。4,OC

為邊作矩形O48C,若將矩形04"。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形ODC',則點8’的坐標為()

■了

1一產(chǎn)'

1_________C

AOC9x

A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到04=4,002,再由矩

形的性質(zhì)可得力8=OC=2,□JZ?C=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得O/l'=a=4,AB=AB=2,口04’4'=90。，據(jù)此可得答

案.

【詳解】解：:點A的坐標為(-4,0),點C的坐標為(0,2),

?'。=4,002,

???四邊形O48C是矩形，

：,A3=OC=2,[ABC=90°,

???將矩形CM8C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形。/R。'，

：,0A=0A=4fA'B'=AB=2,nOAB=90°,

歹軸，

???點8'的坐標為(2,4),

故選：C.

14.(2024?遼寧?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xQj，中，菱形〃用C的頂點/在x軸負半軸上，頂點8在

直線)=%上，若點8的橫坐標是8,為點C的坐標為()

15

A.[-1,6)B.(-2,6)C.(-3,6)D.(-4,6)

【答案】B

【分析】過點8作8?？诠ぽS，垂足為點。，先求出4。,6),由勾股定理求得80=10,再由菱形的性質(zhì)得到

8C=8O=10,8CLIx軸，最后由平移即可求解.

【詳解】解：過點8作8?？凇份S，垂足為點。，

???頂點8在直線上，點8的橫坐標是8,

，4=8x：=6,即8。=6,

???8區(qū)6),

???勖口》軸,

，由勾股定理得：40=屈奇"=10,

???四邊形488是菱形，

???808010萬八軸，

，將點B向左平移10個單位得到點C,

**?點、C62,6),

故選：B.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點的坐標平移，熟練掌握知識點，正確添加

輔助線是解題的關(guān)鍵.

15.(2024?河南?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中，正方形48CD的邊"在x軸上，點A的坐標為(-2,0),

點E在邊CD上.將08CE沿8E折疊，點C落在點尸處.若點尸的坐標為(0,6),則點E的坐標為.

16

【分析】設正方形48CQ的邊長為&CQ與y軸相交于G,先判斷四邊形力OGQ是矩形，得出OG=4>a,OG=4O,

口EG。。。,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出"-6C-a,CE-FE,在RP6O尸中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)丁a的方程，求

出。的值，在REEG/中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于"的方程，求出CE的值，即可求解?.

【詳解】解：設正方形48CD的邊長為a,8與），軸相交于G,

：,OG=AD=a,DG=AO,DEG尸=90。,

???折疊,

:?BF=BC=a,CE=FE,

???點4的坐標為(-2,0),點尸的坐標為(0,6),

，力。=2,FO=6,

：,BO=AB-AO=a-2,

在R二匚40尸中，B^+FO^BF2,

(f?-2)2+62=a2,

解得4=10,

:?FG=OG-OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,

在R:匚EG/中，GE2+FG2=EF2,

A(8-CE)2+42=CE2,

解得CE=5,

：.GE=3,

.??點E的坐標為(3,10),

故答案為:(3,10).

【點睛】本題考查了止方形的性質(zhì)，坐標與圖形，矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用

勾股定理求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵.

考點六：利用特殊四邊形的性質(zhì)證明

16.(2024?山東東營?中考真題)如圖，四邊形/4CQ是矩形，直線￡廠分別交力Q,BC,BD于前E,F,O,

下列條件中，不能證明8。仃匚。OE的是()

A.。為矩形力"CO兩條對角線的交點B.EO=FO

C.AE=CFD.EFUBD

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的

判定是解題的關(guān)鍵.

由矩形的性質(zhì)得出匚8C,再由平行線的性質(zhì)得出口O8F=LOZ)￡,UOFB=COED,然后由全等三

角形的判定逐一判定即可.

【詳解】解：???四邊形是矩形，

：.AD=BC力。［BC,

"OBFWODE,nOFB^V.OED,

A、???€)為矩形"CO兩條對角線的交點，

：.OB=OD,

在DBO尸和DDOE中,

口OFBTOED

UOBF=UODE,

OB=OD

???LJ8QRJ口。OE(AAS),

故此選項不符合題意；

B、在匚80廠和口。。月中，

OFB=\2OED

0BF=ODE,

FO=EO

18

???LJ8"WOOE(AAS),

故此選項不符合題總；

C、?；4E=CF,

：.BC-CF=AD-AE,

即8F=QE,

在「8。戶和OOE中，

(COFB=U.OED

jBF=DE，

【匚OBF7ODE

/.□50raCD(7F(ASA),

故此選項不符合題意；

D、'：EF2BD,

：.[BOF=LDOE=90°,

兩三角形中缺少對應邊相等，所以不能判定匚。。,

故此選項符合題意；

故選：D.

17.(2024.山東青島?中考真題)如圖，菱形44CQ中，BC=W面積為60,對角線AC與4。相交于點O,

過點A作4E8C,交邊8。于點E,連接E。，則EO=.

【答案】710

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)求出

AC,〃。的長度.根據(jù)菱形的面積公式結(jié)合8c的長度即可得出4。、4C的長度，在Rl匚BOC中利用勾股定理即

可求出CO的長度，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???四邊形"3CO為菱形，

：,ACUBD,OA=OC,OB=OD.AB=BC=CD=DA=10,

?；S菱形.8=；代[80=60,

：.ACLBD=120,

A5<2DOC=30.

TAG+COWCJOO,

19

，（80+00）2-28。匚CO=100,

：.BO+CO=4VW（負值已舍去），

???804閑-0。，

Ai?（?2+CO2=102,

:.（4V10-OC）2+CO2=100,

.\COv4o,co=3/io（舍去）.

???AE_L8C,AO=CO,

AEOCOVTO.

故答案為：VTo.

18.12023?四川綿陽?中考真題）如圖，在邊長為4的正方形48CQ中，點G是8c上的一點，且8G=3GC,OE[2/G

于點E,BFDDE,且交4G于點凡則tan〃的值為（）

【答案】A

【分析】由正方形性質(zhì)可求出8G的長，進而求出4G的長，證匚ME□匚G4A,利用相似三角形對應邊成比例

可求得/從的長，證ZM4k]口。/區(qū)得4F=DE,根據(jù)線段的和差求得功的長即可.

【詳解】解：口四邊形力5co是正方形，4B=4,

DBC=CD=DA=AB=4,nBAD=QABC=90<>,ADJBC,

UCDAE=JAGB,

□3G=3CG,

口BG=3,

口在Rt匚48G中，AB2+BG2=AG2,

則由勾股定理可得力G=在用=5,

ODEZAG,

□匚DEA=2DEF=CJZ?C=90°,

20

UUADEWGAB,

L\AD.GA=AE.GB=DE:AB,

即4:5=4E:3=DE:4,

□J￡=y,DE=S

又rimDE,

nEAFB=JDEF=90°,

又口力8=4。，UDAE=UABF,

口匚48尸□□￡UE（ASA）,

□JF=D￡=y,

\^EF=AF-AE=

匚tan二瓦）產(chǎn)=g=:，

DE4

故選：A.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正

切的定義等知識，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)求出線段的長是解答本題的關(guān)鍵.

考點七：特殊四邊形的折疊問題

19.（2024.山東淄博?中考真題）如圖所示，在矩形月8c。中，BC=2AB,點、M,N分別在邊8C,AD±.連接MN,

將四邊形CMNO沿MN翻折，點C,。分別落在點/,E處.則的值是（）

A.2B.V2C.V5D.V5

【答案】A

【分析】連接交"N于點尸，設48=2/〃，則8。=2/8=4〃?，利用勾股定理求得4c=歷4記=2丙"，由折

疊得到4W=CM,A/A唾直平分力C,則力尸=。/=|/1。=西??，由力亦+8必二月序代入求得4M=＞，則

MF=〃M2T產(chǎn)=與m,所以lanU4WN=±=2,于是得到問題的答案.

2Mr

【詳解】解：連接/C交MN于點

21

E

???四邊形48CQ是矩形，

.??18=90。，

AJC=v^F+i?=2v5m

???將四邊形CMND沿M/V翻折，點C,。分別落在點A,E處，

???點C與點A關(guān)于直線MN對稱，

???4W=CM,MN垂直平分力C,

:,BM=BC-CM=4m-AM,MFM=90。,AF=CF=^AC=\^m,

9222

：A3+BM=AMt

22

(2??J)2+\f)=AM

?…5

?.JJV/=-777,

???加回=〃序-4產(chǎn)=]/"

..rn,i八r“廣炳m

..tanuJ/WA^=—=-^—=2n.

Mhym

故選：A.

【點睛】此題考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

20.(2023?江蘇南京?中考真題)如圖，在菱形紙片48c。中，點七在邊力8上，將紙片沿CE折疊，點B

落在8,處，垂足為F若CF=4cm,FB=lcm,則8七=_cm

【答案】爭3；

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，和三角形的相似判定和性質(zhì)解答即可.

22

【詳解】解：VCF=4cm,ra=lcm,

AC5'=CF+ra=5cm,

由翻折，菱形的性質(zhì)，得：CB=CD=CB=5cm,CBJAD,LB=JD,

VCSDJD,

???CB'EJBC,

:.口8。8'=90。，

???□BCE=EB‘CE=45。,

VCD=5,CF=4,CCFZ>90°,

：.FD=3,

過點E作EG"C,

設CG=x,則EG=x,BG=5-x,

V[l^=ID,匚BGE=DDFC,

：.V\EGBr\V\CFD,

?EGEBGB

??--------，

crDCDF

.xEB5-x

**4一-5F，

解得:x=y,

:.BE*,

故答案為：y.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

21.（2023?湖北?中考真題）如圖，將邊長為3的正方形/<88沿直線EF折疊，使點8的對應點時落在邊40上

（點M不與點4。重合），點C落在點N處，"N與CZ）交于點尸，折痕分別與邊48,CD交于點E,F,連接8憶

23

AMD

（1）求證：CAMB=BMP；

（2）若。P=l,求A/Z）的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）MD=j

【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到口氏小口后鳥0死。，EM=EB,則匚上加8=口￡8"，進而證明

[M8C,再由平行線的性質(zhì)證明匚4WB=1MAC即可證明匚BMP：

（2）如圖，延長MN,BC交丁點、Q.證明口?！?]口。。尸得到QC=2M。，QP=2MP,

設MZ）=x,則0c=2x,BQ=3+2x.[t[BMQ=^MBQ,得到加0=8。3+2丫.則股片；“0=?.由勾股定理建立

方程/+/=（子丫，解方程即可得到M/A*

【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，□EMP=DEBC=90。,EM=EB.

JUEMB=3EBM.

；?UEMP7EMB=：EBCrEBM,即匚5WP=「/W8C,

??,四邊形/18C。是正方形，

：.ADLBC.

（2）解：如圖，延長MN/C交于點。.

:/1。匚8C,

：,UDMP3UCQP.

又??'OP=1,正方形ABC。邊長為3，

：,CP=2

.MD_MP_DP_I

*'QC-QP~CP~

：.QC=2MD,QP=2MP,

設則QC=2r,

24

/.52=3+2x.

?；DBMQMBC,

，M0=80=3+2x.

、但卸片學.

在R:匚。"P中，M。2+。尸="尸，

2代（驛.

解得:Xj=O（舍），X2=y.

：,MD=j,

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定

理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

考點八：證明四邊形是特殊四邊形

22.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在四邊形NBCO中，□人口8=90。，。是邊的中點，UAOglBOC.求

證：四邊形/阮7）是矩形.

【答案】證明見解析.

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)

鍵.利用SAS可證明匚月。?？诳?。。，得出4O=8C,根據(jù)口力=[8=90。得出力ODBC,即可證明四邊形力8CO是

平行四邊形，進而根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形48cp是矩形.

【詳解】證明：???。是邊的中點，

AOA=OB,

25

,□J=QB=90°

在口力。。和二BOC中，OA=OB，

匚AOD=UBOC

???口力。。1匚80。，

：,AD=BC,

ON歸=90。，

?"D「BC,

???四邊形是平行四邊形，

???口4=[5=90。,

???四邊形力8。是矩形.

23.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾,中考真題)如圖，在平行四邊形48C。中，點歹在邊上，AB=AF,連接8凡點

。為8戶的中點，40的延長線交邊8c于點E,連接E尸

⑴求證：四邊形48E〃是菱形：

⑵若平行四邊形48。。的周長為22.?！?1,口8力。=120。，求我的長.

【答案】⑴見解析

(2)AE=5

【分析】本題主要考杳平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊二角形的判定與性質(zhì)等知識：

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得力/二方反匚4F片口石",匚處E=[8E4再證明口力。七口七08,得出席=力凡證明出

四邊形/8E廠是平行四邊形，由力夕=4/得出四邊形44杯是菱形：

(2)求出菱形/3￡廠的周長為20,得出44=5,再證明匚44E是等邊三角形，得出/E="=5.

【詳解】(I)證明：???四邊形/4CQ是平行四邊形，

匚8C,即力戶口5瓦

???口力必=口后8￡匚"爐口5口,

???0為8F的中點，

:.BO=FO、

：,^AOFWEOB,

:.BE=FA,

?；AF3BE,

26

???四邊形48”是平行四邊形,

乂AB=AF,

???西邊形48即是菱形;

(2)解：?：AD=BC,4F=BE,

?DF=CE=\,

???平行四邊形A8CQ的周長為22,

???菱形的周長為：22-2=20,

工48=20+4=5,

???四邊形48E尸是菱形，

???口比QBAD=gx120°=60°,

）LAB=AE,

???□/BE是等邊三角形，

\\4E=AB=5.

24.（2023?湖北卜堰?中考真題）婦圖，匚/ACO的對角線力。,8。交于點O,分別以點8c為圓心，長

為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接BP,CP.

（I）試判斷四邊形8PCO的形狀，并說明理由；

（2）請說明當匚48。的對角線滿足什么條件時，四邊形8PCO是正方形？

【答案】（1）平行四邊形，見解析

（2MC=Z?DR.JCCBD

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得至；/1C=OC,CP=g8D=OB,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是

平行四邊形判定即可.

（2）根據(jù)對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可.

【詳解】（I）四邊形8PC。是平行四邊形.理由如下：

???口力〃。。的對角線力C/。交于點0,

27

；?AO=OC,BO=OD,

???以點8c為圓心，g4cg8。長為半徑畫弧，兩弧交于點P,

???BP=gAC=OC,CP=gBD=OB

???四邊形8PCO是平行四邊形.

（2）???對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，

.??/C=8。且力。二4。時，四邊形8PC。是正方形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點九：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求角度

25.（2024?湖北武漢?中考真題）小美同學按如下步驟作四邊形力BCD：①畫［M4M②以點4為圓心，1個單

位長為半徑畫弧，分別交4W,AN于點、B,。；③分別以點4,力為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點

C;④連接8C,CD,BD.若口4=44。，則口。8。的大小是（）

A.64°B.66°C.68°