--------1高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一一拋物線專題

知識點?梳理

1、拋物線的定義

①拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/1其中定點廠不在定直線/上）的距離相等

的點的軌跡叫做拋物線，定點廠叫做拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

②拋物線的數(shù)學(xué)表達式：{例II例用=d}（d為點M到準(zhǔn)線I的距離）。

【即學(xué)即練1】已知拋物線），2="上一點尸到焦點的距離為5,則點尸至ijx軸的距離為.

2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)〃>0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

方程y2=2px(P>。))2=-2px(P>0)x2=2py(p>。)x2=-2py(p>0)

圖形卜率未

隹占F(0,§)

八〉、/、、、嗚,0)尸（-尸（。,-9

準(zhǔn)線x=-PX-L

2222

【即學(xué)即練2】設(shè)拋物線C：r=12y的焦點為尸，點尸在C上,2（0,9）,若|尸尸R明,則|閣=（）

A.4x/2B.6C.4GD.6x/2

特別說明：

①要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對應(yīng)拋物線的形狀（焦點位置、開口方向等）。

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，有一個一次項和一個二次項，二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為+2〃;若一次

項的字母是/則焦點就在x軸上，若其系數(shù)是正的，則焦點就在x軸的正半軸上（開口向右），若系數(shù)

是負(fù)的，焦點就在x軸的負(fù)半軸上（開口向左）;若一次項的字母是幾則焦點就在y軸上，若其系數(shù)是

正的，則焦點就在y軸的正半軸上（開口向上）,若系數(shù)是負(fù)的，焦點就在軸的負(fù)半軸上（開口向下）。

②焦點的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項系數(shù)的

③準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點和拋物線的焦點關(guān)于原點對稱。

④通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p,通徑是過焦點最短的弦。

拋物線V=2px（P>0）上一點P（2°）到焦點嗎,0）的距離1明=%+勺也稱為拋物線的焦半徑。

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3、拋物線的簡單幾何性質(zhì)

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

(〃>0)(p>0)(p>0)(P>0)

1/y\y1

圖形

J/,卜

07

范圍x>0,ywRx<0,ywRy>0,xeRy<o,XeR

對稱軸x軸X軸y軸y軸

焦點坐標(biāo)產(chǎn)(go)尸(苧)F(0,^)

乙

-Ly=

準(zhǔn)線方程丫―2X-f

222

頂點坐標(biāo)0(0,0)

離心率e=\

通徑長2P

4、直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線/:＞，=丘+加,拋物線:)*=2px(〃＞。)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方

程k2x2+2(km-p)x+w2=0

(1)若女w0,當(dāng)△＞()時，直線與他物線相交，有兩個交點；當(dāng)△=0時，直線與拋物線相切，有一個切點;

當(dāng)A＜0時，直線與拋物線相離，沒有公共點。

(2)若％=0,直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合。因此直線

與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件。

【即學(xué)即練3】過點自。，1)且與拋物線＞2=2%有且只有1個公共點的直線條數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

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重點題型?歸類精講

題型一拋物線定義的理解

【例1?1】已知拋物線C：y2=2p，H〃>0）的焦點為F,p為C上一點，。為坐標(biāo)原點，當(dāng)/「尸。=事時,

|p尸1=6,則片（）

A.4B.3C.2D.1

【例1-2】已知拋物線V=4x上有一點p到準(zhǔn)線的距離為9,那么點P到大軸的距離為

【變式1】已知拋物線Cd=4），的焦點為?點p在。上，若2到直線產(chǎn)-3的距離為5,則|阿=（）

A.5B.4C.3D.2

【變式2】已知拋物線上的點A（2,⑸）到其準(zhǔn)線的距離為4,則，”（）

A.6B.C.8D.-

84

【變式3】已知拋物線C：），2=8x的焦點為尸，點“在。上.若M到直線x=T的距離為7,貝lJ|MF|=（）

A.4B.5C.6D.7

o題型二根據(jù)拋物線方程求焦點和準(zhǔn)線

【例2-1］（2024年真題）拋物線I=2y的焦點坐標(biāo)為

【例2-2】（2018年真題）若拋物線），2=2*的準(zhǔn)線方程為x=-3,則〃=

【例2?3】（2016年真題）拋物線V=2px過點（1,2）,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為

A、x=-1B、x=lC、）'=-1D、y=1

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題型三求拋物線方程

【例3-1】(2020年真題節(jié)選)已知拋物線。的頂點在原點，焦點為/(-1,0)

(1)求。的方程

【例3-2】(2012年真題)過拋物線丁=2力的焦點尸作斜率為:和-2的直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線

于AB,若,.必3的面積是5,則拋物線的方程是

21

AD^y2=4x

A、y'=2xB、C、/=2x

【例3-3】已知拋物線C：V=2p.r(p>0)的焦點為尸，點46,8)在拋物線。上，且|叫=%求拋物線。

的方程

【例3-4】若點P到點(2,0)的距離比它到直線x+3=O的距離小1,則點尸的軌跡方程是()

A.y2=8.rB.y2=-8.rC.x2=8yD.x2=-Sy

【變式1】以x軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點P(I，M到焦點的距離為3,則拋物線的方

程是(：)

A.y=8x2B.y=12x2C.y2=8xD.y2=\2x

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【變式2】以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在直線以-5），+10=。上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.“2一］（）y或V=B.一三一10），或y2-隈

C.y;lOx或人2=8,D.>2=-10x或=8y

題型四拋物線的簡單幾何性質(zhì)運用

【例生1】拋物線f=2〃），5>0）的焦點為尸，其準(zhǔn)線與雙曲線號-<=】相交于Al兩點，若△說為等

邊三角形，則〃的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【例4-2】拋物線C：9=敘的焦點為尸，?為。上一點且|P月=3,。為坐標(biāo)原點，則S“F=o

【例43】已知拋物線），2=以的焦點為廣，準(zhǔn)線為/.若/與焦距為2a的雙曲線，一，=1（。>0,。>0）的

兩條漸近線分別交于點A和點3,且卜臼=3|。目（。為坐標(biāo)原點），則雙曲線的實軸長為.

【變式1】設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線產(chǎn)-6（>1）過拋物線C：y2=2px（P>0）的焦點，且與C交于M，N

兩點，/為。的準(zhǔn)線，則三角形OMN的面積為o

【變式2】拋物線C：），=4工的焦點為尸，直線>=〃?與），軸的交點為A,與拋物線C的交點為8,且

忸目=：|八河,則加的值是__________。

【變式3】已知拋物線y2=2px（〃>0）的焦點為F,準(zhǔn)線為/,過尸的直線與拋物線交于點A、B,與直

線/交于點。，若4尸=3冏叫=4,則〃=.

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題型五直線與拋物線

（例5-1］（2017年真題）已知拋物線C:x2=4），的焦點為尸，過尸作C的對稱軸的垂線，與C交于A,B,

則|的=

A、8B、4C、2D、1

【例5-2］（2003年真題）過點P（4,3）的直線I和拋物線y2=4x交于A,3兩點，且，為線段AB的中點，

求直線/的方程

【例5-3】直線1+），+2=0與拋物線C：產(chǎn)=雙的圖象相切，則。的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=-2B.x=~］C.y=-2D.y=-l

【變式1】設(shè)拋物線C：y=4/的焦點為F,過焦點產(chǎn)的直線與拋物線。相交于A,B兩點,則IA8I的

最小值為（）

A.1B.yC.-D.-

248

【變式2】過拋物線〃=的焦點尸的直線交拋物線于4B兩點，若弦48中點縱坐標(biāo)為2,則

I蜴二?

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【變式3］己知橢圓嗚+＞叱，，＞。)的右焦點/與拋物線戶4，的焦點重合，且橢圓的離心率為

正

3

(1)求橢圓。的方程;

(2)過拋物線焦點的直線和拋物線相交于M,N兩點，|MN|=8,求直線方程.

【變式4】已知點P到廠(0,4)的距離與它到x軸的距離的差為4,P的軌跡為曲線C。

(1)求C的方程;

⑵若直線/與。交于A,B兩點，且弦中點的橫坐標(biāo)為7,求/的斜率。

【變式5】已知拋物線C：x2=4y,過點P(LO)作直線/.

(1)若直線/的斜率存在，且與拋物線C只有一個公共點，求直線/的方程.

⑵若直線/過拋物線。的焦點尸，且交拋物線。于A,8兩點，求弦長恒卻.

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題型六綜合運用

【例6-1】（2023年真題）已知F為拋物線C:），2=4x的焦點，過F的直線與C交于A,B兩點，若

IAF\=2\BF|,則|AB\=。

【例e2】（2022年真題）已知。為坐標(biāo)原點，雙曲線■-/=］（〃〉0）與拋物線。：y2=L交于A、

cr,4

B兩點，△AOB的面積為4。

（1）求。的方程

⑵設(shè)耳,工為C的左右焦點，點P在D上，求心.「死的最小值

【例&3】（202（）年真題）已知拋物線。的頂點在原點，焦點為網(wǎng)-1,0）

（1）求C的方程（/=-Ax）

（2）設(shè)尸為。的準(zhǔn)線上的一點，。為直線P廠與。的一個交點且尸為。。的中點，求。的坐標(biāo)及直線P。

的方程

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【例&4】(2015年真題)已知拋物線C:f=4y,直線/:x+)，-〃i=0

⑴證明：C與/有兩個交點的充分必要條件是相>-1

⑵設(shè)mvl,C與/有兩個交點48,線段48的垂直平分線交y軸于點G,求GA3面積的取值范圍

【變式11(201()年真題)已知拋物線。:)，2=2/沈(0>0),/為過。的焦點尸且傾斜角為。的直線。設(shè)/

與。交于A,3兩點，A與坐標(biāo)原點連線交。的準(zhǔn)線于。點

(1)證明，3。垂直于)，軸

⑵分析夕分別取什么范圍的值時，。4與。8的夾角為銳角、直角或鈍角

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【變式2】（2008年真題）如圖，4與是過原點。的任意兩條互相垂直的直線，分別交拋物線），2=x

于點4與點B

⑴證明交x軸于固定點P

（2）求的面積的最小值

【變式3】已知曲線C在工軸的上方，且曲線C上的任意一點到點尸。1）距離比到直線.、，=-2的距離

都小1.

（1）求曲線C的方程：

（2）沒〃>0,過點MQM直線與曲線C相交于A、8兩點，若科.用<0恒成立，求實數(shù)機的取值

范圍.

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課后模擬?鞏固練習(xí)

1、已知點“（4,4）在拋物2戔。：y-=2px（p>0）上，￡為C的焦點，則I"戶|=（）

A.3B.4C.5D.6

2、焦點在直線2x+5），-10=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.=]01或寸=4、，B.V=一]0、或f=-4），

C.V=2（h?或％2=8yD.9=-20.1或9二-8），

3、根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴準(zhǔn)線方程是3，=3；

（2）過點P（-2立,4）；

⑶焦點到準(zhǔn)線的距離為及。

4、焦點坐標(biāo)為（。，-3）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2=-4yB.x2=-2yC.y2=2xD.y2=-2x

5、拋物線的焦點在九軸正半軸上，且準(zhǔn)線與焦點軸間的距離為3,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=6xB./=3xC.x2=6yD.x2=3y

6、拋物線y=4/的焦點坐標(biāo)是（)

A.(1,0)B.(0,1)C.—,0D.

16（啕

7、拋物線x2=2p），（p>0）過點*2,2）,則其準(zhǔn)線方程為)

]_

A.x=-B.x=-；C.yD.y=-

2

8、若拋物線丁=2外">。）的焦點是橢圓（+=l的一個頂點,則〃的值為（）.

A.2B.3C.4D.8

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9、已知拋物線U/=8x的焦點為尸,點M在。上。若M到直線x=-2的距離為4,則慳戶|=()

A.7B.6C.5D.4

10、已知拋物線的方程為丁=16"，則其準(zhǔn)線方程為.

11、分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑴準(zhǔn)線方程為2y+4=0；

(2)過點(3.-4)；

⑶焦點在直線犬+3?15=0上.

12、若雙曲線C與4+4=1有相司的焦點，與雙曲線有相同漸近線。

16426

⑴求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過點(-2,3)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.

13、已知拋物線)3=2川(〃>0)上一點A(4,%)到焦點的距離是6,則其準(zhǔn)線方程為()

A.x=-2B.x=2C.尸一2D.y=2

14、設(shè)拋物線Uy2=4x的焦點為凡過/且斜率為2的直線/與。交于P、Q兩點，則歸。=

15、已知拋物線y2=2px的焦點為尸(2,0).

(1)求P;

(2)斜率為1的直線過點F,且與效物線交于A,8兩點，求線段A8的長.

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16、設(shè)拋物線），2=4x的焦點為“，過拋物線上一點尸作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為Q,若NPQF=30°,

則四=（）

A.IB.C.-D.75

333

17、拋物線），=：/的焦點和準(zhǔn)線為（）

O

A.（*））B.（。，*）y=-C.（0,2）.y=-2D.（2,0）A一2

18、斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線丁=2內(nèi)（〃＞（））的焦點尸，且與拋物線相交于AB兩點，線段A8的

長為8,則〃的值為（）

A*B.1C.2D.3

19、直線），=x+。被曲線y=32所截得的弦長為4&,則實數(shù)〃的值為

20、已知直線y=〃-1與曲線V=2x只有一個公共點，則實數(shù)。的值為

想破130,可以試試

1、已知直線/:X一號+"，-2=。與拋物線c：V=2*（〃＞。）恒有兩個交點A、B.

⑴求「的取值范圍；

⑵當(dāng)加=1時，直線/過拋物線。的焦點八求此時線段48的長度.

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2、已知點。(-Zl),8(2,4),。(2、1)中恰有兩個點在拋物線比)=2雙p>0)上.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點M(X，y)，%(無2,%)在E上，且不占二-4,證明：直線MN過定點.

3、己知直線/："-y-A=。分別與x軸，直線后-1交于點A,3,點P是線段A3的垂直平分線上

的一點(尸不在X軸負(fù)半軸上)且tanZA8P=k|。

(1)求點P的軌跡。的方程；

(2)設(shè)/與。交于E,尸兩點，點M在C上且滿足AE.AM=O,延長M4交。于點N,求EM.N/的最

小值。

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4、已知拋物線C:』=8x的焦點為F,過點E(-2,0)的直線/與C相交于A,8兩點，點A關(guān)于x軸的

對稱點為。.

⑴證明:直線BD經(jīng)過點F；

(2)設(shè)FA/3=0,求直線/的方程0

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拋物線

知識點?梳理

1、拋物線的定義

①拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/1其中定點廠不在定直線/上）的距離相等

的點的軌跡叫做拋物線，定點廠叫做拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

②拋物線的數(shù)學(xué)表達式：{例II例用=d}（d為點M到準(zhǔn)線I的距離）。

【即學(xué)即練1】已知拋物線），2="上一點尸到焦點的距離為5,則點尸至ijx軸的距離為.

【答案】2瓜。

【詳解】拋物線方程產(chǎn)=8x,則焦點坐標(biāo)為R2,0）,準(zhǔn)線方程為x=-2,由拋物線的定義可知，點P

至I」準(zhǔn)線戶一2的距離為5,所以與+2=5,解得：4=3,代入），2=8x,則力=土質(zhì)=±2幾所以點P至IJ

x軸的距離為2而.故答案為：2而。

2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)〃>0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

2

方程y=2px(〃>0)y2=-2px(P>0)x2=2py(p>。)x2=-2py(p>0)

/*

圖形~x木

A

尸（-4，。）

焦點F（MF(0,9F（。芳）

。）2

準(zhǔn)線X-JLy=yJ

22-22

【即學(xué)即練2】設(shè)拋物線C：/=12y的焦點為尸，點P在C上,2（0.9）,若歸尸|=|Q|則|P0=（）

A.4拉B.6C.4GD.6&

【答案】D

【詳解】由題意可知尸（0,3）,|。q=6,所以歸耳=6.因為拋物線C的通徑長為2P=12,所以所訂，軸，

所以|PQ|=jG+62=6夜.故選：D

特別說明：

①要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對應(yīng)拋物線的形狀（焦點位置、開口方向等）。

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，有一個一次項和一個二次項，二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為±2p；若一次

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項的字母是工，則焦點就在X軸上，若其系數(shù)是正的，則焦點就在X軸的正半軸上（開口向右），若系數(shù)

是負(fù)的，俅點就在、軸的負(fù)半軸上（開口向左）;若一次項的字母是幾則焦點就在）'軸上，若其系數(shù)是

正的，則焦點就在y軸的正半軸上（開口向上）,若系數(shù)是負(fù)的，焦點就在y軸的負(fù)半軸上（開口向下）。

②焦點的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項系數(shù)的。

③準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點和拋物線的焦點關(guān)于原點對稱。

④通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2〃，通徑是過焦點最短的弦。

拋物線）/=2px（〃>0）上一點尸（見,兄）到焦點嗎,0）的距離IPFIm+勺也稱為拋物線的

焦半徑。

3、拋物線的簡單幾何性質(zhì)

4、直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線/：y="+，〃，拋物線：）7=2px（〃>0），將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于工的方

程&+2（km-p）x+m2=0

⑴若A=0,當(dāng)A>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當(dāng)△=（）時，直線與拋物線相切，有一個切點;

當(dāng)△<（）時，直線與拋物線相離，沒有公共點。

⑵若4=0,直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合。因此直線

與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件。

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【即學(xué)即練3】過點P（。」）旦與拋物線產(chǎn)=2工有旦只有1個公共點的直線條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【詳解】如圖，設(shè)過點?（。』）的直線為/,則當(dāng)/與X軸平行時，與拋物線有一個公共

點；當(dāng)直線/和拋物線相切（有兩條切線）時，直線與拋物線也只有一個公共點。

由畫圖可知，過點P（。」）與拋物線y2=2x有且只有1個公共點的直線有3條。故選:D

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重點題型?歸類精講

---------------------題型一拋物線定義的理解

【例1?1】已知拋物線c：y2=2〃H〃>0)的焦點為F7為C上一點，。為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，

|P尸1=6,則%()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【詳解】如圖，過P作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為4,作在_LPR,垂足為E,由NPR9-芋，得NP/咕-J,

所以仍同=g|PF|=3,所以出國=6-3=3,即p=3.故選：B.

【例1-2】已知拋物線)尸=4光上有一點尸到準(zhǔn)線的距離為9,那么點尸到x軸的距離為.

【答案】4&

【詳解】由丁二好知拋物線的準(zhǔn)線方程為1二一1,設(shè)點P(y,%),由題意得％+1=9,解得題=8,代入

拋物線方程V=4x,得火=32,解得％=±4及，則點P到1軸的距離為4拉.故答案為：4核.

【變式1】已知拋物線UV=4)，的焦點為F,點尸在C上，若尸到直線產(chǎn)-3的距離為5,則|尸耳=()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【詳解】由題意可知尸(?！?，拋物線的準(zhǔn)線為尸T,而|。臼與P到準(zhǔn)線的距離相等，所以

故選：

|PF|=5-(-1-(-3))=3OC

【變式2】已知拋物線。：丁=如(?”0)上的點42,⑸)到其準(zhǔn)線的距離為4,則()

A.6B.：C.8D.

84

【答案】C

【詳解】因為點42反)到C的準(zhǔn)線的距離為4,所以：+2=4,解得利=8.故選：C

【變式3】已知拋物線U/=8x的焦點為尸，點M在。上.若M到直線x=~4的距離為7,則|M/|=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【詳解】由拋物線U/=8x可知，準(zhǔn)線方程為匯=-2,因為M到直線x=T的距離為7,所以M到拋物

線準(zhǔn)線工=-2的距離為5,由拋物線定義知，也”|=5。故選：B

。題型二根據(jù)拋物線方程求焦點和準(zhǔn)線

【例2-1】(2024年真題)拋物線/=2)，的焦點坐標(biāo)為

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【答案】D

【解析】本題考查拋物線基本性質(zhì)。/=2乂），只能取正的，拋物線開口向上，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

f=2py,2〃=2,〃=l,焦點坐標(biāo)即卜，；卜夬速求解，y前面的系數(shù)是焦點坐標(biāo)的4倍

【例2?2】（2018年真題）若拋物線產(chǎn)=2庶的準(zhǔn)線方程為x=—3,則〃二

【答案】6

【解析】準(zhǔn)線方程冗=-3,開口向右，焦點為（3,0）,§=3,p=6拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程丁=2必（〃>0）

若〃=1,即V=2x,x只能取正數(shù)，每取一個正數(shù)，有兩個y相對應(yīng)，1

拋物線開口向右。焦點坐標(biāo)（與，0）準(zhǔn)線方程％=-￡y2=2xy」「

焦點坐標(biāo)《,0）準(zhǔn)線方程x=-g]'

【例2-3】（2016年真題）拋物線y2=2〃x過點（1,2）,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為

Asx=-\B>x=\C、y=-1D、y=1

【答案】A

【解析】把（1,2）代入拋物線得22=2pxl,p=2,所以準(zhǔn)線方程為工=-5=-1

【例2-4】（2014年真題）拋物線），=4d的準(zhǔn)線方程是一

【答案】y=~

10

【解析】y=4x2,x2=ly,所以準(zhǔn)線方程為），=-[

416

【例2-5】（2006年真題）若拋物線的頂點坐標(biāo)為（0,2）,準(zhǔn)線方程為），=-1,則這條拋物線的焦點坐

標(biāo)為一

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【例2-6】（2003年真題）拋物線的準(zhǔn)線方程為一

【答案】x=-1

【解析】丁二^羽工二？^,故準(zhǔn)線方程為x=—g

【變式1】已知拋物線工=2/，則焦準(zhǔn)距是（）

A.1B.2C.7D.

24

【答案】D

【詳解】由x=2>2可得y2=；x,所以2〃=；=〃=；,故焦準(zhǔn)距為〃=；,故選：D

【變式2】已知拋物線C:y=2x2,則C的準(zhǔn)線方程為（）

A.y=-1B.x=-1C.y=~D.x=一'

ooZZ

【答案】A

【詳解】若y=2/,則可化為標(biāo)準(zhǔn)形式V=；y,故〃=：，故C的準(zhǔn)線方程為），=-：,故A正確。

【變式3】若拋物線丁=-2/?（〃>0）過點（Y,-2）,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為.

【答案】、=2

【詳解】將點（Y，-2）代入拋物線方程解得〃=4,所以/=_8），，準(zhǔn)線方程為），=2。故答案為：），=2

【變式4】已知拋物線C：V=2pMp:>0））的焦點為F,點。（九4）在拋物線C上，.且|PF|=4,則拋物線

C的準(zhǔn)線方程是（）

A.y=-4B.y=-2C.x=-4D.x=-2

【答案】D

P__A

【詳解】因為點尸（肛4）在拋物線C：V=2Px上，且阿|=4,可得*萬］，解得〃=4,即拋物線/=8x,

2pm-42

所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是“=-2。故選：Do

【變式5】已知拋物線C丁=〃比過點（2,6）,則拋物線。的準(zhǔn)線方程為（）

【答案】B

【詳解】由拋物線C：），2=如過點（2,向，可得（6）2=心2,解得吁；，即拋物線的方程為尸=,,

可得拋物線C的準(zhǔn)線方程為％故選：B

O

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題型三求拋物線方程

【例3-1】（2020年真題節(jié)選）已知拋物線。的頂點在原點，焦點為/（-1,0）

（1）求。的方程

解:⑴焦點為尸（TO），拋物線開口向左，-§=T〃=2,y2=-2px=-4x

【例3-2】（2012年真題）過拋物線產(chǎn)=2/?的焦點產(chǎn)作斜率為;和?2的直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線

于若的面積是5,則拋物線的方程是

A，1

2

A、y-=-xB、y=xC、/=2xD、y=4x

【答案】D

【解析】設(shè)兩條直線的方程分別為y=:><

v_￡

L\2

P_

y2=-2xlx-1，求出4",B一,A8總巨離2〃一|一

INL乙）\2

S..FAB=^x“'■|〃=5,〃=2,拋物線方程為72=4x

【例3-3】已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為八點A（6,yJ在拋物線。上，旦|叫=10,求拋物線C

的方程

【答案】r=i6x

【分析】點A（6，%）在拋物線。上，由拋物線定義得所=6++10,解得〃=8,

故拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=16.V.

【例3-4】若點尸到點（2,0）的距離比它到直線x+3=0的距離小1,則點尸的軌跡方程是（）

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=SyD.x~=-8y

【答案】A

【詳解】由于點尸到點（2,0）的距離比它到直線工+3=（）的距離小1,故點尸到點（2,0）的距離比它到直線

%+2=。的距離相等，故點尸是在以（2,0）為焦點，以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線上，故軌跡為V=8x,

【變式1】以X軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點P（l，〃?）到焦點的距離為3,則拋物線的方

程是（）

A.y=8xB.y=\2x2C.y2=8xD.r=i2x

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的方程為）？=2px（p>0）,由拋物線的定義知1+^=3,即〃=4,所以

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拋物線方程為V=8%.故選：C.

【變式2】以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在直線以-5），+10=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.八心或/二心B.x2=-10>*ogy2=8x

C.y2=［（）x或/=的D.丁=_10》或Y=8y

【答案】D

程為丁=-10八；當(dāng)拋物線的焦點為（0,2）時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為不=8），。故選：D

題型四拋物線的簡單幾何性質(zhì)運用

【例41】拋物線d=2m，（p>0）的焦點為人其準(zhǔn)線與雙曲線1-1=1相交于兩點，若為等

邊三角形，則〃的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【詳解】解:拋物線的焦點坐標(biāo)為&9,準(zhǔn)線方程為：尸/，準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得：［-6=1,

解得產(chǎn)土JW，故|相|=2汽（,因為3尸為等邊三角形，所以,A8|=p,即有*.2卜『p,

解得P=6.故選：C\A/

【例4-2】拋物線C：丁=?的焦點為尸，。為。上一點且|陰=3,。為坐標(biāo)原點，則S°"=

【答案】42以

【詳解】如圖：不妨設(shè)點P（%y）在第一象限，過點尸作尸”與拋物線的準(zhǔn)線x=-i4

垂直，垂足為〃。則|P”|=|P尸1=3,又=所以x=2,所以V=4x2=8n一卡

），=2&。所以5加二?|0叩），|=9以2&=女。故答案為：V2

【例43】已知拋物線V=8x的焦點為尸，準(zhǔn)線為/.若/與焦距為2a的雙曲線,一，=1（4>0,。>0）的

兩條漸近線分別交于點A和點3,且|A臼=3|O@（。為坐標(biāo)原點），則雙曲線的實軸長為.

【答案】4

【詳解】由拋物線>2=8%的焦點為人則打2,0）,準(zhǔn)線/為人一2,又|4/二3|。耳，/率

則|蜴=6,則可得點A（-2,3）,8（-2,-3）在雙曲線1-5=1的漸近線上，又焦點在工軸的雙:曲弦的漸近

線為尸±￡丫，則可得絲=3,即匕=。*又雙曲線的焦距為2而，即2c=26，由/=/+〃，即

aa2

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]3=片+仔J可得〃=2,則雙曲線的實軸長為%=4,故答案為:4

【變式1】設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線)=-百(%-1)過拋物線c：y2=2/M〃>o)的焦點，且與C交于M,N

兩點，/為C的準(zhǔn)線，則三角形OMN的面積為。

【答案】小心叢

【詳解】由題意可知直線y=-V5(x-i)過點(1,0),即為拋物線Cy2=2〃x(〃>0)的焦點”1,0)，所以

/=l,p=2,2p=4,拋物線。的方程為丁=4x,設(shè)知(玉,,),可(占,必)，\

由上：一產(chǎn)“一1)消去)、并化簡得獷-1OX+3=0,解得i2=?"

[…3'

所以=K+七+〃=與+2=與，直線y=-x/5(x-l),即Jlr+y-e=0,。到直線在x+y-0=0的距離為

d=0=正，所以三角形OMN的面積為g=故答案為：崢

V3+1223233

【變式2】拋物線C：y2=4x的焦點為/，直線>=機與丫軸的交點為A,與拋物線C的交點為4,且

|明=#/3|,則，〃的值是O

【答案】±2五

【詳解】因為C：V=4工，所以〃=2,拋物線的準(zhǔn)線方程為I=-1,設(shè)8W垂直于準(zhǔn)線，'

垂足為M,則忸M=|四，|AM|=1,又因為忸F|=；|48],所以忸又怛歷|=H加|+|明，

所以MM=g|A8|=l,所以恒耳=2,所以3點橫坐標(biāo)為X=2,X=2代入C:)，2=4X,則/=8,產(chǎn)±2&,

所以用2,±2&),所以掰=±2&。故答案為：±2亞

【變式3】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為/,過產(chǎn)的直線與拋物線交于點A、B,與直

線/交于點，若人尸=3尸",卜耳=4,貝lj〃=.

【答案】3

【詳解】作AEJJ,BHJJ,垂足分別為區(qū)從記忸尸分肛/與x軸的交點為G,則畫=|"1=3科忸川=m,

\DB\\BH\m1..一r

易知，.DBH?、DAE,所以號西m==網(wǎng)=藐=§，又|。卻=4,所以|D4|=12,即4+4"z=12,加=2,

所以|所=照=畫=6,故所為..D4E的中位線，所以P=|FG|=J|M=3。故答案為：3

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題型五直線與拋物線

【例5-11（2017年真題）已知拋物線C:f=4），的焦點為尸，過尸作C的對稱軸的垂線，與C交于A,B,

則|叫=

A、8B、4C、2D、1

［答案］B\?/

【解析】工2=4》的焦點為（0,1）,當(dāng)y=l時，X=±2,所以陰=4-^

【例5-2］（2003年真題）過點P（4,3）的直線I和拋物線），=4］交于A8兩點，且P為線段AB的中點，

求直線/的方程

解：設(shè)直線/的方程y—3=A（x-4）,y="一軟+3設(shè)人力/）,8優(yōu),％）因為尸是A8的中點，所以

五/=4小+9=8把直線方程待遇拋物線得：（點―42+3）2=4xFd—2M4k—3）x+9=4x

/f_（8/_6攵卜一4x+9=0h2一（8尸一6攵+4卜+9=0$+.=_2=8公［乎+4=8

22221

8%2_6Z+4=8%26k=4k=1、所以直線/的方程為），=Q.E—4xQ+3,y=QX+4

【例5-3】直線x+），+2=0與拋物線C：），2=公的圖象相切，則。的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=-2B.x=-\C.y=-2D.y=T

【答案】A

【詳解】由"+2=。'消去"整理得"吁2〃=。'由—。，解得「8或…（舍去）,

所以拋物線c：y2=8x,則C的準(zhǔn)線方程為x=-2。故選：A

【變式1】設(shè)拋物線。：），=4/的焦點為尸，過焦點尸的直線與拋物線。相交于A,B兩點,則1481的

最小值為（）

A.1B.iC.1D.；

【答案】C

【詳解】由。：），=4/得/（。，］］，由題意可知直線43的斜率存在，故設(shè)其方程為），=丘+1,

4\16；16

聯(lián)立），=去+］與丁=Jy可得丁-，.上?=（）,設(shè)4（內(nèi),）1）,8（毛，%），則為+5=3，故

1644644

,+%=小+.）+;=*+：,因此|的=?+），2+；=；/+卜；，當(dāng)且僅當(dāng)女=0時取等號，故選：C

o4oo444

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【變式2】過拋物線y=的焦點尸的直線交拋物線于AB兩點，若弦/W中點縱坐標(biāo)為2,則

4

1陰=?

【答案】6

【詳解】由y=；/得f=4V,所以焦點坐標(biāo)為尸（0,1）,準(zhǔn)線為/：y=T,設(shè)弦A4中點縱坐標(biāo)為%=2,

故|AW=%+%+2=2），o+2=6.故答案為：6

【變式3】已知橢圓C:「+￡=l（"b>0）的右焦點/與拋物線），2=4x的焦點重合，且橢圓的離心率為

立

3

⑴求橢圓。的方程；

（2）過拋物線焦點的直線和拋物線相交于M,N兩點，|MN|=8,求直線方程.

【答案】⑴4+4=1（2”=1或），=—+1

【詳解】（1）拋物線丁=4x的焦點坐標(biāo)為（LO）,所以橢圓中c=1,因為橢圓的離心率為手，即

e，=L=g,所以。=石，從=/“2=37=2,所以橢圓方程為g+4=l

aa332

（2）當(dāng)直線斜率不存在時，易知此時|MN|=4,不合題意；所以直線斜率存在，設(shè)過拋物線焦點的直

線方程為也（1）,如下圖所：聯(lián)立,：=：；；_]）得