高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一一函數(shù)的概念及其表示

知識點?梳理

①函數(shù)的概念：

設(shè)A,8是非空的實數(shù)集，對于集合A中的任意一個數(shù)公按照確定的對應(yīng)關(guān)系了,使在集合。中

都有唯一確定的數(shù)），和它對應(yīng)，那么就稱力ATB為從4到3的一個函數(shù)，記作y=/（x）,

②函數(shù)的構(gòu)成要素：

1）定義域：在函數(shù)y=/U）,尤WA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

定義域的約束：

1。分式的分母不為零；如果"?有意義，則g（x）w。

gM

2。對數(shù)的真數(shù)部分大于零；如果log?'）有意義，則/。）>0

3。開偶次方根時，被開方數(shù)大于等于零；如果V7B有意義，則/（幻之0

4。零指數(shù)幕底數(shù)不為零；如果（/。））°有意義，則/（幻。0

50如果［有意義，KJf（x）>0

2）值域：與X的值相對應(yīng)的），值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛M），=/（X）,XEA｝叫做函數(shù)的值域.

3）解析式

③區(qū)間的表示

定義',x\a<x<{也<〃}{耳工>4}

名稱閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間開區(qū)間開區(qū)間

符號[^b]（。力）[a,b）（叫（4,+00）

④函數(shù)的表示方法:

表示法定義

解析法用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

⑤分段函數(shù)：

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫

作分段函數(shù)，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的仍然是一個函數(shù)。

第1頁共24頁

⑥復(fù)合函數(shù)：函數(shù)y=f(g(x))分解成)，=/(〃)和〃=g(x)

第2頁共24頁

重點題型?歸類精講

題型一函數(shù)關(guān)系的判斷

【例1-2】已知集合4=何℃”},集合8={x|0W2}，卜列圖象能建立從集合A到集合8的函數(shù)

關(guān)系的是（）

⑴｛.4它-1);(2)｛小<0｝；(3)｛x|-I<r<l｝；(4)｛x|0avl或2紳4｝。

【變式1】集合k|l<x<5}可用區(qū)間表示為（）

A.（1,5）B.[1,5]C.[1,5）D.（1,5]

【變式2】若實數(shù)工滿足{x|3Kx<7},則用區(qū)間表示為（）

A.（3,7）B.（3,7]C.[3,7]D.[3,7）

第3頁共24頁

題型三具體函數(shù)的定義域

【例3-1]（2024年真題）函數(shù)y=log3（x-2）的定義域為一

【例3-2】（2022年真題）已知函數(shù)/（_x）=k）g2J—Y+2X+3的定義域為（）

A.（-1,3）B.l-l,3JC.（-3,1）D.1-3,1]

【例3-3】（2021年真題）函數(shù)尸2-內(nèi)二7的定義域（）

A.[-3,3]B.[-9,9JC.[3,+oo]D.（f,—3]

【例3-4】（2020年真題）函數(shù)/（」）=j3—4x+f的定義域是

A、RB、［1,3］C、（-紇?。?,+“）D、［0,1］

【變式1】（2017年真題）函數(shù)=r=的定義域是

A^<況xN—B、卜|3}C、?Rx>——kD^{.vlx>—3}

【變式2】（2016年真題）函數(shù)》二戶3的定義域為—

【變式3】（2014年真題）函數(shù)/（x）=ln（三）的定義域是一

【變式4】（2006年真題）函數(shù)/（1）=加卜2一旦一1）的定義域是

A、1A|-2<X<1}B、1x|x<-2}u{x|x>QC><x<2}D、{x\x>2}

題型四利用函數(shù)解析式求值

【例44]（2005年真題）^/（?）=log3x,則〃27）=

A、4B、2C、1D.-

24

第4頁共24頁

【例人2】(2004年真題)函數(shù)/(x)="—x的圖象經(jīng)過點(1,0),則〃的值為

A、±1B、1C、0D、-1

【例"3】已知/(X)=2/_3X-25，g(x)=2x-5，求：

⑴/⑵,g(2);

⑵/(晨2)),g(〃2));

⑶/(g(x))，g(/(x))。

【變式1】己知/(x+l)=2x，且/(〃?)=4,貝加二()

A.2B.3C.4D.5

【變式2】若f(4+l)=x+l，貝I/(3)=。

題型五二次函數(shù)值域問題

【例5.1】求函數(shù))，=Y+1在下列各區(qū)間上的最值：

(1)[1,4卜

⑵",-2卜

⑶12,小

(4)卜2,4]

【例5-2】(2018年真題)設(shè)“與用分別是函數(shù)/(/)=9一工一1在區(qū)間[一川的最大值和最小值，則

M-m=

A、23

B、2C、

42D、7

【例5-3】(2008年真題)函數(shù)/(力=加+(4-1)工+1(〃工0)在當(dāng)工=4時取得最大值，則/(x)的最大

值是一

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【例5-4】（2006年真題）若函數(shù)〃"=依-3/在區(qū)間二；上的最大值和最小值分別是;與;，則

623I

其中的常數(shù)。二―

【例5-5]求/（力=/-2匕-3小?-1,4]的值域

【變式1】函數(shù)?。?2/7_1（_|一川的值域是（）

Q「9-

A.[（）4]B.—,1C.[1,2]D.—?2

88

【變式2】函數(shù)>'=3/7+2的值域是

題型六簡單復(fù)合函數(shù)的值域問題

【例21】（2015年真題）函數(shù)〃耳=亞二7的值域是

A、（-coj]B、[1,+8）C、[0,2]D、[0,1]

【例&2】函數(shù)），二」一的值域是____________

+1

【變式1】函數(shù)〃力=/*-24+3的值域是（）

A.[0,2]B.[0,+a））C.[2,+Q0）D.（0,2）U（2,s）

題型七分段函數(shù)

【例7-1】（2023年真題）已知函數(shù)/*）={V"'。，則/"傳]]=（）

logyX,x>0.I<3〃

A.-1B.IC.V3D.3

log3x(^>0)，則/n）的值是—

【例7-2】（2004年真題）已知函數(shù)/（"=<

2r(x<0)

第6頁共24頁

2A+3,X<-1

【例7-3】己知函數(shù)/(x)=/+l,-14xR。

,1,

1H—，/〉I

X

(1)求/(/(-2))的值；

⑵若/(Xu)=T,求/的值。

x+4,x<0

【變式1］已知函數(shù)/3=-2_2")</<4.

-x+Zx>4

(1)求/(/⑸)的值;

(2)畫出函數(shù)/("的圖象.

-------t<0

【變式2】已知函數(shù),“')=2、1'一，則"2020)=

/(x-3),x>0

課后模擬?鞏固練習(xí)

1、(2010年真題)函數(shù)y=I--------=>+Jx+1+2的定義域是

A、(-2,1]B、(-2,1)C>[-1,2)D、(-1,2)

2、(2003年真題)函數(shù)f(x)=log2(3-的定義域為

第7頁共24頁

3、已知函數(shù)

2x,x>1,

(2)右丁(〃)=6,求a的彳目.

4、己知f(2x-1)=2丁+3,則/(3)=()

A.5B.11C.18D.21

5、已知函數(shù)f(x)=x+4，#(x)=-/+2x，則f[w(x)]=o

6、已知函數(shù)/(x)=a2-l的圖象過原點，則。=：

7、己知函數(shù))，=/一2人+3,當(dāng)0444時，y有最大值a，最小值人則。+8的值為

8、已知函數(shù)=/-2Mxe似勿，且該函數(shù)的值域為[T,3],則6的值為。

9^函數(shù)y=JV+x+1的值域為.

10、關(guān)于函數(shù)〃x)=J—/+2X+3的值域是

11、函數(shù)〃幻=反工+—!—的定義域為()

x-2

2,2

x\x>—x\x<-c

A.{3且xw2}B.{3且4>2}

A-|-<X<2-小舄且"2}

C.3D.

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12、函數(shù)/“)=——的值域為。

x-x+2

13、已知函數(shù)/，I"。，則/(7(J：-------------

log4x，x>0

14、函數(shù)/(月=宰苧的定義域為。

15、函數(shù)/(x)=W=+，2，-2的定義域是

16、(1)求下列函數(shù)的定義域：y=65+/一；

兇-1

(2)求卜列函數(shù)的值域：y=\lx2+6.r+10o

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.__________.函數(shù)的概念及其表示

I知識點?梳理]

①函數(shù)的概念：

設(shè)4,3是非空的實數(shù)集，對于集合A中的任意一個數(shù)；G按照確定的對應(yīng)關(guān)系力使在集合3中

都有唯一確定的數(shù))，和它對應(yīng)，那么就稱/：A—5為從A到3的一個函數(shù)，記作y=/(x),

②函數(shù)的構(gòu)成要素：

1)定義域：在函數(shù)y=/U),中，工叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

定義域的約束：

1。分式的分母不為零；如果改有意義，則g(x)HO

g(x)

2。對數(shù)的真數(shù)部分大于零；如果log/3有意義，則/(x)>0

3。開偶次方根時，被開方數(shù)大于等于零；如果/而有意義，則/(幻20

4。零指數(shù)塞底數(shù)不為零；如果(/。))°有意義，則。箝。0

5。如果有意義，51Jf(x)>0

2)值域：與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛yb=/(x)，x￡A｝叫做函數(shù)的值域.

3)解析式

③區(qū)間的表示

定義{x\a<x<b^{x\a<x<b^l^a<x<b\^x\a<x<b^{小<〃}{小>〃}

名稱閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間開區(qū)間開區(qū)間

符號(叫m目S，。)(a,+a))

④函數(shù)的表示方法:

表示法定義

解析法用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

⑤分段函數(shù)：

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫

作分段函數(shù)。分段函數(shù)雖由兒個部分組成，但它表示的仍然是一個函數(shù)。

⑥復(fù)合函數(shù)：函數(shù)y=/(g(x))分解成y=f(w)和〃=g(x)

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重點題型?歸類精講

題型一函數(shù)關(guān)系的判斷

【例1-1】下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（）

【答案】C

【解析】因為由函數(shù)的概念可知，一個自變量對應(yīng)唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確；

選項C中，當(dāng)x=0時有兩個函數(shù)值與之對應(yīng)，所以C錯誤。故選：Co

【例1-2】已知集合A=｛x|0Kx?4｝，集合人｛x|0J?2｝，下列圖象能建立從集合4到集合B的函數(shù)

關(guān)系的是（）

【解析】對選項A：存在點使一個x與兩個丁對應(yīng)，不符合，排除；對選項B：當(dāng)2＜爛4時，沒有與

之對應(yīng)的丁，不符合，排除；對選項C：＞的范圍超出了集合"的范圍，不符合，排除；對選項D；

滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確。故選：D

【變式1］（多選）下列是函數(shù)圖象的是（）

【答案】ABD

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個％只有一個）'利它對應(yīng)，因此不能出現(xiàn)一對多的情

況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象。故選：ABD

題型二區(qū)間的表示

【例2-1】把下列數(shù)集用區(qū)間表示：

⑴口應(yīng)一1｝；⑵｛?。迹ǎ?；（3）｛x|-l＜r＜l｝；（4）｛x|（）＜x＜l或2W爛4｝。

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【答案】見解析

【解析】(1){X[X]-1}=[—1,4-00)(2){x|x<0)=(-00,0)(3){x|-l<x<l)=(-1,1)；(4){x|0<x<l

或2且“}=(0,1)U[2,4]o

【變式1】集合{x|l<xv5}可用區(qū)間表示為()

A.(1,5)B.[1,5]C.[1,5)D.(1,5]

【答案】A

【解析】由題得，1<工<5用外區(qū)間表示為(L5)故答案為：Ao

【變式2】若實數(shù)x滿足國3工”7},則用區(qū)間表示為()

A.(3,7)B.(3,7]C.[3,7]D.[3,7)

【答案】D

【解析】由3Kx<7可知x可以等于3,不能等于7,所以是半開半閉區(qū)間，D選項符合。

故答案為：Do

題型三具體函數(shù)的定義域

【例3-1】(2024年真題)函數(shù)y=log3(x-2)的定義域為—

【答案】1>2或(2,+8)

【解析】本題考查定義域。對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0/-2>0/>2

【例3-2】(2022年真題)已知函數(shù)/(x)=log2J—f+2x+3的定義域為()

A.(-1,3)B.[-1,3JC.(-3,1)D.[-3,1]

【答案】A

【解析】對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0、根號下大于等于0,即

+2x4-3>0,x*--2x—3<0,(x+l)(x—3)<0,—1<x<3

o

【例3-3】(2021年真題)函數(shù)尸2-的-丁的定義域()

A.[-3,3]B.[-9,9]C.[3,+oo]D.(—,-3]

【答案】A

【解析】思路，定義域為自變量工的取值范圍，瓜=。，小2,根號下面的數(shù)不能為負數(shù)。所以9--

22

>0,9>X,X<9,-3<X<3O3和-3平方之后均為9,小于等于9往兩邊取。3往右是正方向，越來越

大，-3往左是負方向，負負得正，平方之后比9大，若/W9,則X要取一3和3之間的數(shù)

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4.3/i234A

本題為選擇題，要使根號下大于等于庫，-8不可以，+8不可以，9也不可以，直接排除BCD,選

A

【例3-4］（2020年真題）函數(shù)/（x）=j3-4x+f的定義域是

A、RB、［1,3］C、（-8?。?,+“）D、［0,1］

【答案】C

【解析】定義域為x的范圍，根號下不能為負數(shù)，即3-4/一/之°

丁-41+3之0（十字相乘或者求根公式求解按2次、1次、常數(shù)順序排列）（無一1）（工一3）20

xWl或工之3（大于往兩邊取、小于往中間?。?/p>

【變式1】（2017年真題）函數(shù)/（力=的*的定義域是

A、-x>-->B、{x\x>-3}C、-A|x>---D^{x\x>-3}

【答案】C

【解析】根號下大于等于0,分母不能為0,3x+l>0,x>-』

3

【變式2】（2016年真題）函數(shù)丁=廬3的定義域為—

【答案】x<3

【解析】8-2、20,2、48,2的3次方等于8,所以x43

【變式3】（2014年真題）函數(shù)/（x）=ln（蕓）的定義域是一

【答案】（-1,1）

【解析】對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0,上三，所以兩者同號，即-1<工<1

1+x

【變式4】（2006年真題）函數(shù)/（力=Jlg（d-x-l）的定義域是

A、{R-2W1}B、|x|x<-2|u|x|x>l|

C^［JA-\<x<2}D、x>2}

【答案】D

【解析】根號下大于等于0,怛卜2-x-l"。,/-x-l>l,x2一工一220,（1+1）（工一2）20所以工22或

第13頁共24頁

x<-L故選D

題型四利用函數(shù)解析式求值

【例41】(2005年真題)若/(f)=log3X,則〃27)=

A、4B、2C、LD.-

24

【答案】C

【解析】"27)=/(席)=嘀行《

【例生2】(2004年真題)函數(shù)/(x)=/—x的圖象經(jīng)過點(1叫，則〃的值為

A、±1B、1C、0D、-1

【答案】A

【解析】把(1,0)代入得0=/-1,解得〃=±1

【例生3】已知/(力=2儲-3工-25，g(x)=2x-5，求：

(1)/(2),^(2);

(2)/(g(2)),g(/(2));

⑶/(gCv))，g(/(x))。

【答案】(1)-23；-1(2)-20；-51(3]8x2-46x+40；4x2-6x-55

【解析】(1)〃2)=2X22?3X2?25=23：^(2)=2X2-5=-1：

⑵/(^(2))=f(-1)=2x(-1)2-3x(-1)-25=-20；^(/(2))=g(-23)=2x(-23)-5=-51；

(3)/(5(x))=f(2x-5)=2x(2x-5)2-3x(2x-5)-25=8x2-46x+40；

^(/(x))=g(2x2-3x-25)=2x(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55o

【變式1]已知〃x+l)=2x，且“〃z)=4，則*()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由題意可求出〃力的表達式，結(jié)合/(m)=4,即可求得答案。

【詳解】由題意知f(x+l)=2x，且=

用工-1代換X,則f(x)=2(x-l),

即得j(/n)=2(/w—1)=4,...陽=3，故選：B

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【變式2】右/(4+l)=x+l,則/(3)=o

【答案】5

【分析】由賦值法令戶4,即可求解。

【詳解】解：由/(?+l)=x+l得，令-4,得f("+i)=，l+i，得-OH,故答案為：5

題型五二次函數(shù)值域問題

【例5-1】求函數(shù))，=Y+i在下列各區(qū)間上的最值：

⑴［1,4］;

⑵"T；

⑶12,2］;

⑷卜2,4］

【答案】(1)最小值為2,最大值為17

⑵最小值為5,最大值為37

⑶最小值為1,最大值為5

(4)最小值為1,最大值為17

【分析】分析得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而求出最值。

【詳解】(1))，=/+］在⑼上單調(diào)遞減，在(0,竹)上單調(diào)遞增，

故y=f+i在0,4］上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=l時，取得最小值，最小值為『+1=2,

當(dāng)x=4時，取得最大值，最大值為4?+1=17;

(2)由(1)可知,丁=爐+1在［F-2］上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=-6時，取得最大值，最大值為(-6)-1=37,

當(dāng)x=-2時，取得最小值，最小值為(-2『+1=5；

(3)由(1)可知，y=f+l在卜2,0］上單調(diào)遞減，在(0,2］上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=0時，取得最小值,最小值為。2+］=1,

又x=2和x=-2時，產(chǎn)4+1=5,故最大值為5；

(4)由(1)可知，y=f+l在卜2,0］上單調(diào)遞減，在似4］上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=0時，取得最小值,最小值為止+1=1,

又x=-2時，y=4+l=5,x=4時,^=42+1=17,故最大值為17;

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【例5-2](2018年真題)設(shè)“與加分別是函數(shù)〃力=爐-1-1在區(qū)間卜⑶的最大值和最小值，則

M-m=

935

A.-B、2C、?D、士

424

【答案】A

【解析】/(x)=d-x-Lf前面的系數(shù)為1,大于()，二次函數(shù)拋物線開口向上；開口向上，工取對

稱軸時，函數(shù)y取最小值，X離對稱軸越近，函數(shù)V值越小，X離對稱軸越遠，函數(shù)y值越大。對稱

軸公式％=-芻=一3；=5，當(dāng)X時，函數(shù)取最小值代入/'(x)=%2一_；_1=；一;

51令

=離：遠，當(dāng)工=一1時，函數(shù)取最大值代入〃x)=f7_i=(_iy_(T卜i=i,所以

【例5-3】(2008年真題)函數(shù)/(x)=a￥2+(Q_])x+i(awo)在當(dāng)工=4時取得最大值，則/(同的最大

值是一

【答案】2

【解析】函數(shù)有最大值，故。小于()、拋物線開口向下，在匯=一二處取最大值

2a

即―-=a,-(a-\]=2a*2,*62a24-tf-l=0,(<7+l)(2tz-l)=0,?=-l或a=’(舍)

2a2

故函數(shù)解析式為〃力=一以2-2X+1J(-1)=T-2X(T)+1=2

【例5-4】(2006年真題)若函數(shù)〃/)=奴-3/在區(qū)間11上的最大值和最小值分別是11與L1則

6234

其中的常數(shù)〃二―

【答案】2

【解析】分類討論，函數(shù)開口向下，經(jīng)過(0,0),要么在工=上處取最小值，要么在x處取最小值

11I?r?、2

情況一：當(dāng)X=T■時，取最小值:，即—=ax——3x-,解得。=2;

6446⑹

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當(dāng)〃=2時，/(x)=2九一3/，在區(qū)間的最大值為/(1=2x1-36)4

情況二：當(dāng)工=工時，取最小值!，即，=ax」—3x(，］,解得〃=2;

2442

當(dāng)。=2時，/(x)=2x-3x2,在區(qū)間的最大值為/1)=2xg-3B4

【例5-5］求/(同=/-24--3,不￡(一1,4］的值域

【答案】［＜5］

【解析】因為函數(shù)/(6=--2廠3的對稱軸為戶1,所以函數(shù)/(“在㈠/)單調(diào)遞減,(1,4)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(力的值域為［T,5］。

【變式1】函數(shù)/。)=2/7_1㈠wi)的值域是()

Q「。一

A.［o,l］B.—,1C.［1,2］D.—,2

88

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出值域。

【詳解】f(x)=2x2-x-l=2(x-^\

因為TWxWl，所以/(x)在-1,1上單調(diào)遞減，在化,1］上單調(diào)遞增，

14_

又/(1)=2-1-1=0,/(-1)=2+1-1=2,

故/(幻=2--x-l在-I"。上的值域為-2,2。故選:D

.8

【變式2】函數(shù))'=3/7+2的值域是o

【答案】［經(jīng),+功

12

【分析】利用配方法求出函數(shù)值域即可。

197197

【詳解】顯然xeR,y=3/—x+2=3(x—f2十三，貝ij當(dāng)工=：時，鵬…三，

o12o12

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所以函數(shù)--x+2的值域為m+8)。

故答案為：償收)

題型六簡單復(fù)合函數(shù)的值域問題

【例6J】(2015年真題)函數(shù)〃"二拒二7的值域是

A、(口」]B、[1,+8)C、[0,2]D、[0,1]

【答案】D

【解析】根號下大于等于0,當(dāng)x=l時2x—Y取最大值2x1—尸=1，所以ow2x—/工1,函數(shù)

=4三7的值域也是[0』

【例分2】函數(shù)y=--的值域是____________

f+1

【答案】(0』

【詳解】解：因為函數(shù)+

x'+lX+1

【變式1】函數(shù)小)=一2X-+3的值域是()

A.[0,2]B.[0，+8)C.[2,+8)D.（0,2）U（2,y）

【答案】A

【分析】先求出定義域，進而根號下配方求出值域。

【詳解】令一犬―2x+3之()得，—34XK1,故定義域為-3』，

/(x)=V-x2-2x+3=^-(x+1)'+4e[0,2]o

故選：A

題型七分段函數(shù)

X,0.，則小創(chuàng)

【例7-1】(2023年真題)已知函數(shù)〃乃={'）

log6.（）.

A.-1B.1C.GD.3

【答案】B

/1A11(1V

【解析】本題考查分段函數(shù)，/-,三>0,代入下面的關(guān)系式，log3-=-l,/f-=/(-l),-l/b

于0,代入上面的關(guān)系式，(-1)2=1

【例7-2】(2004年真題)已知函數(shù)/("=[鬻則/的值是—

2(x<0)L19人

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【答案】-

4

【解析】:大于0,代入10g3X，得log.1=-2;-2小于0,代入2、得2-2二;

2x+3,x<-1

【例7-3】已知函數(shù)f(x)=*+

1H---,X>1

X

⑴求“〃-2))的值；

⑵若〃用)=3,求兒的值。

2

【答案】(1)2；(2)士孝或2

2x+3,x<-1

【解析】(1)v/(x)=X2+1,-1<X<1/./(-2)=2X(-2)4-3=-1,/(/(-2))=/(-1)=(-1)2+1=2

?1H--1-jX>1,

、X

⑵fM=l

當(dāng)天<T時，/(x0)=2x0+3=-,解得為=-；,不成立；

當(dāng)-14/41時，/(x0)=v+l=|,解得/=一(或與==,成立；

乙LL

I3

當(dāng)飛>1時，/(題)=1+1=不，解得/=2成立。

"o乙

綜上，,%的值為土變或2。

2

x+4u<0

【變式1］已知函數(shù)”x)hx2—2.a()<x44.

-x+Zx>4

(1)求)(/(5))的值;

(2)畫出函數(shù)/("的圖象.

【答案】(1)1;(2)圖象見解析。

x+4,x<0

【解析】(1):/(力=卜一2%,0<144,「."5)=—5+2=—3,則/(/(5))=/(-3)=-3+4=1；

-%+2,x>4

(2)函數(shù)/W的圖象如下圖所示:

---------r<0

【變式2】已知函數(shù)2'1'"，則/(2020)=

/(x-3),x>0

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【答案】y/0.8

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得。

【詳解】因為“，

/(x-3),x>0

14

所以〃2020)=〃673x3+l)=/(l)=/("3)=f(-2)=p^=不。

故答案為：y

課后模擬?鞏固練習(xí)

1、(201()年真題)函數(shù)y二/1+VTR+2的定義域是

V4-.r

A、(-2J]B、(-2,1)C.[-1,2)D、(-1,2)

【答案】C

【解析】根號下大于等于0,分母不等于0,即x+1；4-->0,/<4,_2=<2,所以函數(shù)

的定義域為-l4x<2,故選C

-2-16iiA

2、(2003年真題)函數(shù)/(x)=log2(3-f)的定義域為_

【答案】一石

[解析]對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，3-/>0,/<，_石vx<0

—2x,x<-1,

3、已知函數(shù)/("=<2,-1<X<1,

2x,x>1,

⑴求o,《)，山切

⑵若/(〃)=6，求a的值.

【答案】⑴3,2,4

(2)-3或3

【解析】(1)因為令Si),所以《￡|=-2x(—33.

因為六卜1』，所以嗎)=2.又2e(l,e)，所以/|/(￡|)=/(2)=2X2=4.

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(2)經(jīng)觀察可知。研-1』，否則f(〃)=2.若令-20=6,得。=-3,符合題意;

若aw(l,+<c),令2fl=6,得a=3,符合題意.故”的值為-3或3

4、已知f(2xT)=2Y+3,則/⑶=()

A.5B.11C.18D.21

【答案】B

【詳解】令,=2x—SR,貝1b=手，

所以/(z)=2x(?)+3=；(/+1)"+3,

g|J/(x)=l(x+l)2+3,所以〃3)=；(3+1)2+3=11,故選：Bo

5、已知函數(shù)/(x)=x+4,g(^x)=-x2+2x?貝U/[g(x)]=o

【答案】-f+2x+4

【詳解】函數(shù)解力=工+4,g(x)I+2x,則/根(力]=/(72+2。=-爐+2%+4。

故答案為：-x?+2x+4

6、已知函數(shù)f(x)=a.2i-l的圖象過原點，則〃=：

【答案】1

【詳解】由函數(shù)〃力=々2、-1過原點，即〃Q)=h?b-=,得4=1；故答案為：1;

7、已知函數(shù)y=f-2x+3,當(dāng)0W4時，)，有最大值〃，最小值。，則〃+力的值為

【答案】13

【詳解】函數(shù))，=f-2x+3的對稱軸為x=l,

且函數(shù)y=W—2x+3在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時，函數(shù))，=f-2x+3取得最小值2,即。=2；

當(dāng)x=4時，函數(shù)y=f-2x+3取得最大值11,即。=11；

所以。+2=11+2=13；故答案為：13。

8、已知函數(shù)f(x)=x2-2x,xe[0,b],且該函數(shù)的值域為[-1,3],則〃的值為。

【答案】3

【詳解】因為/*)=/-2%=*-1)2-12-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，

所以若XW[0向，f(X)的值域為[T3],則8>1,