2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)

一.選擇題（共io小題）

1.（2025?港北區(qū)三模）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，

支持力F\的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=25°,則摩擦力

產(chǎn)2與重力G方向的夾角p的度數(shù)為（）

A.155°C.115°D.65°

2.（2025?安慶二模）如圖,在正方形網(wǎng)格中.的位置如圖，其中點A、B、。分別在格點卜.

則taM的值是（）

3.（2025?旬邑縣校級模擬）如圖，在AABC中，NB=45°,BC=3,￡cmC=1則中線AO的長

為（）

A.V5

4.（2025?莆田模擬）小媛在物理實驗課上研究光的折射現(xiàn)象，了解到當(dāng)光從空氣射入介質(zhì)時，折射

率n=察（》為入射角，，.為折射角）.如圖，一束光從空氣射向橫截面為直角三角形的硫系玻璃

透鏡斜面，經(jīng)折射后沿垂直AC邊的方向射出.若i=30°,AB=20cm,BC=Scm,則該玻璃透鏡

的折射率〃為（）

法線

A.2B.1.6C.1.5D.1.4

5.（2025?南關(guān)區(qū)模擬）如圖，小明在點。處測得樹的頂端4仰角為a,同時測得8c=15，〃，則樹

的高度A6為（）

1515

A.15tanamB.-------mC.15sinamD.——m

tanasina

6.（2025?魯山縣一模）我國紙傘的制作工藝十分巧妙.如圖，兩條傘骨所成的角N3AC=130°,

點。在傘柄AP上，AE=AF=DE=DF=m,則AO的長度可表示為（）

A.wsin65°B.ZHCOS65°C.2??zsin65"D.2〃2cos65°

7.（2025?長春模擬）許多大型商場購物中心為了引導(dǎo)人流前往目標(biāo)樓層，會考慮使用“飛梯”（可

以跨樓層抵達(dá)的超高超長的自動扶梯）.上海大悅城的“飛梯”從3層直達(dá)7層，“飛梯”的截

面如圖，48的長為50米，AB與AC的夾角為24°,則高3c是（）

A.50sin24w米B.50cos24“米

5050

c.米D.米

sin24°cos240

8.（2025?南關(guān)區(qū)校級三模）如圖1是一種三角車位鎖，其主體部分是由兩條長度相等的鋼條組成.當(dāng)

位于頂端的小掛鎖打開時，鋼條可放入底盒中（底盒固定在地面下），此時汽車可以進(jìn)入車位;

當(dāng)車位鎖上鎖后，鋼條按圖1的方式立在地面上，以阻止底盤高度低于車位鎖高度的汽車進(jìn)入車

位.圖2是其示意圖經(jīng)測量，鋼條AB=AC=a厘米，ZABC=Q.則車位鎖的底盒長BC為（）

C.2acos0厘米D.2asin0厘米

9.（2025?朝陽區(qū)校級二模）如圖所示的是一段索道的示意圖.已知4、8兩點間的距離為500米,

NB4C=a,則纜車從A點到B點上升的高度（即線段的長）為（）

500.

C.——米D.500cosa米

cosa

10.（2025?上蔡縣三模）近年來，隨著智能技術(shù)的發(fā)展，智能機器人已經(jīng)應(yīng)用于社會生活的各個方

面.如圖是一款智能送貨機器人的側(cè)面示意圖，現(xiàn)測得其矩形底座ABCO的高為2a”，上部

顯示屏石尸的長度為605?，側(cè)面支架EC的長度為130CM,ZECD=80°,N”EC=I3Q°,則該

機器人的最高點尸距地面的高度為（）

B.(50+130cos800)cm

C.（30舊+啜）。）所

D.(50+130sin80°)cm

還能與多種設(shè)沖風(fēng)格相融合.如圖1是閱覽室墻上設(shè)計的正六邊形蜂窩狀置物架，將該置物架抽

象成幾何圖形如圖2所示，若每個正六邊形的邊長均為2,則該置物架所占用墻面的長度d的值

為

圖1

三.解答題（共5小題）

16.（2025?天河區(qū)校級四模）人們經(jīng)常使用電腦，若坐姿不正確，容易造成眼睛疲勞，腰酸頸痛.使

用電腦時一般正確的坐姿是：當(dāng)眼睛望向顯示器屏幕時，“視線角”a為20°（望向屏幕上邊緣

的水平視線與望向屏幕中心的視線的夾角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”0為

100°,如圖①所示.

圖①圖②圖③

（I）如圖②，當(dāng)水平視線與屏幕垂直，“視線角”a為20。，8C=24c〃z時，求眼睛與屏

幕的距離A&（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）如圖③，肩膀到水平地面的距離。G=100cm,大博。E=30CM,小臂水平放在桌面E尸上，

若要保證坐姿正確，即“手肘角”0為100°時，求當(dāng)桌面E尸到地面的距離FH為多少？（結(jié)果

保留一位小數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：sin200多0.34,cos20aM）.94,tan200~0.36,sin800弋0.98,cos80°^0.17,tan800

心5.67

17.（2025?永壽縣校級模擬）“生命之樹”（如圖①）是以西安古觀音禪寺的千年銀杏樹為原型，

用建筑和自然結(jié)合的方式打造的城市特色建筑景觀.如圖②，由于“生命之樹”主體底部不可直

接測量，小興計劃利用無人機測量該“生命之樹”主體的高度，他先用無人機從地面上的點。處

豎直上升100m到達(dá)點C處，在點C處測得“生命之樹”主體48的頂點A處的俯角為22°,然

后操控?zé)o人機向主體A8的方向水平飛行65”?至點E處，在點￡處測得頂點A處的俯角為45°,

點、B,。在同一水平線上，AB1BD,圖中所有點均在同一平面內(nèi)，求“生命之樹”主體的高

度.（結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)；sin22°%0.37,cos22°?0.93,tan220=*0.40）

DB

圖①圖②

18.（2025?廣東模擬）圖1是某型號挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成.圖2是某種

工作狀態(tài)下的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（MN是基座的高，何。是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN）.已知

基座高度為1加，主臂MP長為5/〃，測得主臂伸展角./PME=37°.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?1,

344

、彳，）

lan37°45sin53°7m3tan53°?-

（1）求點尸到地面的高度；

（2）若挖掘機能挖的最遠(yuǎn)處點Q,此時NQPM=90°,求。點到N點的距離.

19.（2025?武安市二模）淇淇家位于學(xué)校正東方向200〃？處，周末她和同學(xué)約好去學(xué)校附近的體育

館打籃球，已知體育館位于學(xué)校北偏西53°方向，距離學(xué)校500/〃.

（1）請根據(jù)描述畫出淇淇家、學(xué)校和體育館的方位示意圖；

（2）求體育館到淇淇家的直線距離；

（3）若淇淇步行從家出發(fā)，先以50m/min的速度勻速走到學(xué)校，但到達(dá)學(xué)校后，發(fā)現(xiàn)忘帶籃球，

于是立即以60〃而而的速度原路返回家中.取到籃球后，為了趕時間，她以80〃?/〃而的速度從家

直接走到體育館，求洪淇全程所用的時長.（計算結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.8,cos53。*

0.6,V5?2.2）

20.（2025?凌河區(qū)校級三模）如圖I,某款線上教學(xué)設(shè)備由底座、支撐臂A8、連桿BC、懸臂CO

和安裝在。處的攝像頭組成.如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖.已知支撐臂AB±l,

AB=lSan,CD=44cm,固定NA8C=148°,可通過調(diào)試懸臂CO與連桿8C的夾角來提高拍攝

效果.懸臂端點。到桌面/的距離約為52a”.

（1）8C的長度為多少？

（2）已知攝像頭點D到桌面1的距離為30c/n時拍攝效果較好，那么此時懸臂CD與連桿BC的夾

角N6CO的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：sin58°^0.85,cos58°—.53,tan58°F.60）

ct）----------------A-----------1

圖1圖2

2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?港北區(qū)三模）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，

支持力Fi的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=25°,則摩擦力

尸2與重力G方向的夾角0的度數(shù)為（）

A.155°R.125°C.115°D.65°

【考點】解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用：運算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形可知p是重力G與斜面形成的三角形的外角，從而可求得p的度數(shù).

【解答】解：???重力G的方向豎直向下，

???重力G與水平方向夾角為90°,

由題意可得：

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，正確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵.

2.（2025?安慶二模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△4BC的位置如圖，其中點A、B、。分別在格點上,

則taiiA的值是（)

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】取格點連接CO,設(shè)每個小正方形的邊長為I,由勾股定理結(jié)合勾股定理逆定理可得

△ACO為直角三角形，且/4OC=90°,再由正切的定義計算即可得解.

【解答】解：如圖所示：取格點。，連接CD,

設(shè)每個小正方形的邊長為1,由勾股定理可得：

CD=Vl2+I2=V2,AD=V32+32=3V2,AC=V22+42=2通,

122

：.AC=AD+CDt

???△ACO為RtZ\,且NAQC=90°,

??&1

"=荻=可

故選:B.

【點評】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、求角的正切值，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵.

3.（2025?旬邑縣校級模擬）如圖，在△44C中，N4=45",BC=3,tanC=L則中線A。的長

為（）

L3V5

A.VSB.2C.-D.

22

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用：運算能力.

【答案】。

【分析】過點A作AE_LBC于點E,設(shè)分別在和Rtz^AEC中，利用銳角三角函

數(shù)的定義求出8￡和C￡的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)而求出8c的長，再利用三角形的中線

定義求出3。的長，從而求出的長，最后在RtZXAQE中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：過點A作AEJ_/3C于點E,

設(shè)AE=xf

在RtZSABE中，NB=45：

???8E=4E?tan450=x,

在RtAAEC中，tanC=1

AE1

?■?■1-9

CE2

：，CE=2AE=2x,

：.BC=BE+CE,

；?x+2x=3,

解得：x=\,

,AE=BE=1,

???AQ是BC邊上的中線，

:.BD=CD=i?C=I.5,

乙

：,DE=BD-BE=\.5-1=0.5,

在RtAADE中，AD=y/AE2+DE2=空，

故選：D.

【點評】本題考杳了解直隹三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

4.（2025?莆田模擬）小媛在物理實驗課上研究光的折射現(xiàn)象，了解到當(dāng)光從空氣射入介質(zhì)時，折射

率"=舞（，為入射角，廠為折射角）.如圖，一束光從空氣射向橫截面為直角三角形的硫系玻璃

透鏡斜面，經(jīng)折射后沿垂宜.4。邊的方向射出.若i=30°,AB=2Qcm,BC=5cm,則該玻璃透鏡

的折射率〃為（）

法線

B

A.2B.1.6C.1.5D.1.4

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【答案】4

【分析】由題意得0+NA=9O°,r4-p=9O°,則/=NA,所以sinr=sinA=器=/=*,然后

通過折射率n=鬻=曙即可求解?

【解答】解：如圖,

法線

???折射光線沿垂直AC邊的方向射出B+NA=90°,

???法線垂直于4氏

/.;-+p=90°,

**?r—NA,

BC_5_1

sinr=sinA

~AB~20~4f

1

-

2

-=

:折射率"券=嚅12,

4

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，同角的余角相等，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?南關(guān)區(qū)模擬）如圖，小明在點。處測得樹的頂端A仰角為a,同時測得8C=15/〃，則樹

的高度43為（）

1515

A.15tanamB.-----mC.15sinamD.—：—m

tanasina

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用：應(yīng)用意識.

【答案】4

【分析】由銳角三角函數(shù)定義得tana=賽，即可得出答案.

【解答】解：在RtZ\A8C中，BC=15〃?，NACB=a,lana=整，

/.AB=BC*tana=15tana（m）.

故選：A.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題及坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)

的定義是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2025?魯山縣一模）我國紙傘的制作工藝十分巧妙.如圖，兩條傘骨所成的角/BAC=I3O°,

點D在傘柄A尸上，AE=AF=DE=DF=m,則A。的長度可表示為（）

A./??sin65oB.，wcos65°C.2"isin65'D.2???cos65°

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】。

【分析】連接七廠交A。于點O,根據(jù)已知易得：四邊形49產(chǎn)是菱形，從而利用菱形的性質(zhì)可得

OA=OD=^AD,NAO〃=90°,ZFAD=65°,然后在R【ZkAOF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求

出月。的長，從而求出4。的長，即可解答.

P

'：AE=AF=DE=DF=m,

???四邊形AED尸是菱形，

：,OA=OD=^AD,NAO"=90°,^FAD=^ZEAF=65°,

在RtZXAO/中，A0=AF?8S65°=〃?COS650,

：.AD=2AO=2mcos65°,

A。的長度可表示為2mcos65,

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.

7.（2025?長春模擬）許多大型商場購物中心為了引導(dǎo)人流前往目標(biāo)樓層，會考慮使用“飛梯”（可

以跨樓層抵達(dá)的超高超長的自動扶梯）.上海大悅城的“飛梯”從3層直達(dá)7層，“飛梯”的截

面如圖，的長為50米，AB與AC的夾角為24°,則高8c是（）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)圖形和銳角三角函數(shù)，可以表示出3c的值.

【解答】解：VZBC4=90°,AB=50m,NA=24°,

..ABCBC

?凡必=而=歷，

.*.BC=50siiiA=50sin24o［米），

故選：A.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

8.（2025?南關(guān)區(qū)校級三模）如圖1是一種三角車位鎖，其主體部分是由兩條長度相等的鋼條組成.當(dāng)

位于頂端的小掛鎖打開時，鋼條可放入底盒中（底盒固定在地面下），此時汽車可以進(jìn)入車位;

當(dāng)車位債上鎖后，鋼條按圖1的方式立在地面上，以阻止底盤高度低于車位債高度的汽車進(jìn)入車

位.圖2是其示意圖經(jīng)測量，鋼條AB=AC=a厘米，ZABC=Q.則車位鎖的底盒長BC為（）

C.2〃cos。厘米D.2。sin。厘米

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意.結(jié)合圖形,在RtAAOA中利用二角函數(shù)得到結(jié)合等腰二角形的件質(zhì)得

到結(jié)果.

【解答】解：過A點作AQJ_4C于。點，

圖2

?：AB=AC,△/WC是等腰三角形，

；?BD=DC,

???在中，NAOB=90°,ZABD=G,48=a厘米，

/.BD=AB?cosZABD=crcosQ（厘米），

.??BC=2a?cos8（厘米），

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?朝陽區(qū)校級二模）如圖所示的是一段索道的示意圖.已知A、5兩點間的距離為500米,

NMC=a，則纜車從4點到B點上升的高度（即線段的長）為（)

B

500500,

A.--米B.5(X)sina米C.——米D.5(X)cosa米

sinacosa

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得：BCLAC,然后在RIZS4BC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出8c的長,

即可解答.

【解答】解：由題意得：BCVAC,

在RtZ\A8C中，ZBAC=a,A8=500米，

.?.4C=AB?sina=500sina（米）,

???纜車從4點到B點上升的高度為5（X）sina米，

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?上蔡縣三模）近年來，隨著智能技術(shù)的發(fā)展，智能機器人已經(jīng)應(yīng)用于社會生活的各個方

面.如圖是一款智能送貨機器人的側(cè)面示意圖，現(xiàn)測得其矩形底座ABC。的高BC為20cm,上部

顯示屏E廠的長度為6（kw,側(cè)面支架￡C的長度為130cm,Z￡CD=80°,ZFEC=130°,則該

機器人的最高點“距地面的高度為（）

A.(30+130sin800)cmB.(50+130cos800)cm

ion

C.(30V34-^^3)c7nD.(50+130sin800)cm

Ov140xz

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】過點E,尸分別作E〃_LC￡>,FN工CD,垂足分別為〃，N,過點E作EM_LRV,垂足為

M,可得四邊形EMNH為矩形，即得MN=E"，再分別解Rtz^E/ZC和Rt△產(chǎn)EM,求出￡”、FM

即可求解.

【解答】解：過點￡尸分別作E〃_LCD,FNA.CD,垂足分別為H,N,過點七作EM_LFN,垂

足為M，則四邊形EWN"為矩形，

*.*sinZ-ECH=林,

：.EH=CE^\nZECH=130sin80°(cm),

.??MN=130sin80°(cw),

VZEHC=90°,

：,ZCEH=90°-80°=10°,

：.ZFEM=ZFEC-ZMEH-ZCEH=\30°-90°?10°=30°,

：.FM=^EF=30(cm),

???點尸距地面AB的高度為BW+MN+BC=30+130sin8(T+20=(50+130sin80°)an,

故選：。.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，正確進(jìn)行計算是解題關(guān)犍.

二.填空題(共5小題)

11.(2025?武漢)某科技小組用無人機測量一池塘水面兩端A,B的距離，具體過程如下：如圖，

將無人機垂直上升至距水面120〃?的P處，測得A處的俯角為45°,8處的俯角為22°,則A,B

之間的距掰是180m.(tan22°取0.4)

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】180.

【分析】根據(jù)題意可得：PD//CB,從而可得/B4C=N。以=45°,NDPB=NPBC=22。，然

后分別在RlZiMC和RtZXPBC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC和8C的長，從而進(jìn)行計算

即可解答.

【解答】解：如圖：

：.ZPAC=ZDPA=45°,ZDPB=ZPBC=22°，

在中，PC=120w.

?.?心p儡c3=12°(W,

在RtaPBC中，ZPBC=22°，

???8°=岳、舒=3。。?！ǎ?，

：.AB=BC-AC=300-120=180(in),

B之間的距離約是是加,

故答案為：18（）.

【點評】本題考查了解直弁三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行

分析添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

12

12.（2025?廣州）如圖，在Rt△人8C中，NAC?=90°,人。平分/。人以已知co$/C4D=g，AB

=26,則點8到A。的距離為10.

【考點】解直角三角形；角平分線的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用：運算能力.

【答案】10.

【分析】過點D作DH_LAB于點H.可以假設(shè)AC=\2k,AD=\3k,則CD=5k,證明DH=CD

=5k,利用面積法求解.

【解答】解：過點D作_L/W于點H.

Ar19

VZC=90°,cosNCAD=^=若,

???可以假設(shè)4C=12匕AD=\3k,則CD=5匕

「A。平分NC4B,DCA.AC,DH上AB,

；?DH=DC=5k,

11

設(shè)點B到AD的距離為力，則有三x13kxg.x26X5k,

解得人=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查解直角三角形，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問

題.

13.（2025?椒江區(qū)校級模擬）如圖，四邊形48CO中，若N3+ND=180°,BC=CD=3,AC=8,

A4=x,AD=y.則xy=55.

【考點】解直角三角形.

【專題】三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】55.

【分析】過點。作CELAB于點E,CFLAD,交AD延長線于點F,證明N〃=NCOF=a,解

得C￡=3sina,BE=3cosa,則A￡=x-3cosa,由勾股定理得斗戌七岳二人。2，則（尸

3cosa）2+（3sina）2=82,整理得/-6xcosa=55①，解RtZXC。/得C〃=3sina,DF=3cosa,則

4尸=y+3cosa,由勾股定理得A尸+C尸=人（72,則（y+3cosa）2+（3sina）2=82>整理得>2+6ycosa

=55②，由①②得，-6xcosa=）2+6.vcosa,由此得x-y=6cosa,則/+『-2x），=36cos%,再由

①+②得/+/=110+36cos2a,進(jìn)而得110+36cos2a-2xy=36cos2a,由此即可得出xy的值.

【解答】解：過點。作CE_L48于點E,。產(chǎn)_LAO,交AZ）的延長線于點尸，如圖所示:

???N8+NADC=180°，ZCDF+ZADC=\SOa,

:,乙B=^CDF,

設(shè)NB=NCO/=a,

在RtZ\8CE中，/B=a,BC=3,

..CEBE

.?sina=阮，cosa=阮，

/.CE=BC?sina=3sina,BE=BC*cosa=3cosa,

???A8=x,

*.AE=AB-BE=x-3cosci,

在RtZkACE中，AC=8,

由勾股定理得：AE1+CE1=AC2,

:.(x-3cosa)2+(3sina)2=82,

整理得：x2-6xcosa+9(sin2a+cos2a)=64,

*/sin2a+cos2a=I，

/..x*2-6xcosa=55①，

在RlZ\CO『中，ZCDF=a,CD=3,

..CFDF

..sina=①,cosa=①,

CF=CD*sina=3sina,DF=CD*cosa=3cosa,

?：AD=yt

/.AF—AD+DF—y+^cosa,

在RtZ\ACF中，AC=8,

由勾股定理得：A產(chǎn)+C/2=AC2,

:.(y+3cosa)2+Osina)2=82,

整理得：y2+6.ycosa+9(sin2a+cos2a)=64,

Vsin2a+cos2a=1,

:.)?+6ycosa=55@,

由①②得：x2-6xcosa=)2+6)cosa,

(xiy)(x-y)=6(xiy)cosa,

???盧)，WO,

Ax-y=6cosa,

（x-y）2=（6cosa）2,

/.A2+y2-2A）'=36cos?a,

由①+②得：x2-6.rcosa+>f2+6j,cosa=110,

.*.x2+）r2=110+6（x-y）cosa=110+6X6cosaXcosa,

.*.x2+>f2=110+36cos2a,

/.110+36cos2a-2x）?=36cos2a,

?55.

故答案為：55.

【點評】此題主要考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，完全平方公

式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2025?金鳳區(qū)模擬）如圖，小明在大樓30米高（即尸〃=30米）的窗口2處進(jìn)行觀測，測得山

坡上A處的俯角為15°,山腳B處的俯角為60°,已知該山坡的坡度i（即lan/ABC）為1：遮，

點P,H,B,C,4在同一個平面上，點”、8、C在同一條直線上，且PH_L"C.

（1）山坡坡角（EPZABC）的度數(shù)等于30度；

（2）求4、8兩點間的距離等于34.6（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：V3?L732）.

HBC

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)俯角以及坡度的定義即可求解.；

（2）在直角中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得P8的長，然后在直角△P/弘中利用三角函數(shù)即可

求解.

【解答】解：（1）VtanZA?C=l：V3,

???NABC=30°：

(2)由題意得：ZPBH=60°,

VZABC=30°,

AZABP=9(f,又N4PB=45°，

???△以8為等腰直角三角形，

在直角△尸〃8中，PB=z黑砂=警=2。百.

SLTl^ruti，3

T

在直角△P84中，A8=P8=20，5434.6米.

故答案為30,34.6.

【點評】本題主要考查了俯角的問題以及坡度的定義，正確利用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

15.(2025?光澤縣模擬)具有對稱性且富有節(jié)奏感的正六邊形，不僅為建筑和裝飾增添了現(xiàn)代感，

還能與多種設(shè)計風(fēng)格相融合.如圖1是閱覽室墻上設(shè)計的正六邊形蜂窩狀置物架，將該置物架抽

象成幾何圖形如圖2所示，若每個正六邊形的邊長均為2,則該置物架所占用墻面的長度d的值為

19.

圖1圖2

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】19.

【分析】根據(jù)題意可得：點4從C,D,E,F,G,H共線，連接A8并延長到點H,則A”_L

HM,根據(jù)題意可得：AB=CD=EF=4,BC=DE=FG=GM=2,然后在Rt/XGHM中，利用銳角

三角函數(shù)的定義求出G”的長，最后進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：如圖：由題意得：點A,B,C,D,E,F,G,"共線，連接AB并延長到點”，則

AHVHM,

由題意得：AB=CD=EF=4,BC=DE=FG=GM=2,

在RlZ\G”M中，NMG”=60°,

???GH=GM?cos60°=2x1=l,

：,AH=AB\BC\CD\DE\EF\FG\GH=4I2I4I2I4I2H=19,

???該置物架所占用墻面的長度d的值為19,

故答案為：19.

【點評】本題考查了解宜隹三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?天河區(qū)校級四模）人們經(jīng)常使用電腦，若坐姿不正確，容易造成眼睛疲勞，腰酸頸痛.使

用電腦時一般正確的坐姿是：當(dāng)眼睛望向顯示器屏幕時，“視線角”a為20°（望向屏幕上邊緣

的水平視線與望向屏幕中心的視線的夾角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”0為

100°,如圖①所示.

圖①圖②圖③

（1）如圖②，當(dāng)水平視線八8與屏幕4c垂直，“視線角”a為20。，4C=24c〃?時，求眼睛與屏

幕的距離A8;（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）如圖③，肩膀到水平地面的距離。G=大博。E=30c〃?，小臂水平放在桌面E尸上，

若要保證坐姿正確，即“手肘角”0為100。時，求當(dāng)桌面月產(chǎn)到地面的距離FH為多少？（結(jié)果

保留一位小數(shù)）

參考數(shù)據(jù):sin200比0.3數(shù)cos20°^0.94,tan20°比0.36,sin80°比0.98,cos80°^0.17,tan80°

%5.67

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】（1）眼睛與屏幕的距離A8約為66.7cm；

（2）桌面EF到地面的距離FH約為70.6CM.

【分析】（1）根據(jù)8C的長及20°的正切值可得A8的長；

（2）易得NOEM=80°,根據(jù)OE的長和80°的正弦值可得MG的長，取QG的長，減去MG的

長即為桌面E尸到地面的距離.

【解答】解:（1）???A8_LBC,

???NB=90°,

Va=20°,BC=24cm,

..DBC24,、

?7-—?YToZ~O6.7(cm),

tana0.36

答：眼睛與屏幕的距離A8約為66.7cm；

(2)由題意得：四邊形GMF"是矩形，/DME=90°,

圖③

vp=ioo°,

：,/DEM=^°,

■:DE=30cm,

???￡>M=OE?sin80°%30X0.98%29.4(on),

,：DG=l()()cm,

AGM=100-29.4=70.6(an),

:?FH=GM=70.6cm.

答；桌面EF到地面的距離FH約為70.6cm.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

17.(2025?永壽縣校級模擬)“生命之樹”(如圖①)是以西安古觀音禪寺的千年銀杏樹為原型，

用建筑和自然結(jié)合的方式打造的城市特色建筑景觀.如圖②，由于“生命之樹”主體底部不可直

接測量，小興計劃利用無人機測量該“生命之樹”主體的高度，他先用無人機從地面上的點。處

豎直上升100/〃到達(dá)點C處，在點C處測得“生命之樹”主體48的頂點A處的俯角為22°,然

后操控?zé)o人機向主體AA的方向水平飛行65〃?至點石處，在點E處測得頂點A處的俯角為45°,

點B,Z)在同一水平線上，ABLBD,圖中所有點均在同一平面內(nèi)，求“生命之樹”主體A8的高

度.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：sin22°-0.37,cos22°^0.93,tan22°-0.40)

DB

圖①圖②

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】“生命之樹”主體46的高度約為57/〃.

［分析］如圖，過點A作AF±CE,交CE的延長線于點F,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BF=CD=\O()m,

由題意知NAC產(chǎn)=22°,Z4EF=45°,CE=65m,求得EF=AF,設(shè)EF=AF=xm,則CF=CE+EF

=(65+x)，小解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點A作AFA.CE,交CE的延長線于點尸,

圖②

???點R.。在同一水平線卜，A/HBD,

???四邊形CO8尸為矩形,

：,BF=CD=lOOm,

由題意知NAC產(chǎn)=22°,NAE尸=45°,C￡=65〃z,

EF=AF,

設(shè)ET=A/=x/〃，貝IJCQ=CE+EF=(65+x)m,

Ap

在RtA^CF中，tanZ.ACF=

x

-----x0.40,

65+x

解得.G43.3,

.9.AF=43.3m,

：,AB=100-43.3=56.7=57(w),

答：“生命之樹”主體A8的高度約為57m.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?廣東模擬〉圖1是某型號挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成.圖2是某種

工作狀態(tài)下的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖(MN是基座的高，MP是主臂，是伸展臂，EM//QN).已知

基座高度MN為1〃?,主臂MP長為5〃1，測得主臂伸展角./尸河￡=37°.(參考數(shù)據(jù)：sin37°?1

444

tan37°?7,sin53°4己,tan53°?

453

(!)求點。到地面的高度;

（2）若挖掘機能挖的最遠(yuǎn)處點Q,此時“QPM=90°,求。點到N點的距離.

【考點】解宜角三角形的應(yīng)用.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識.

【答案】（1）點尸到地面的高度約為4金

（2）。點到N點的距離約為7m.

【分析】（I）作PAIQN于點總延長ME交PR于點九易得四邊形ARNM是矩形,那么AR

=MN,AM=8N,根據(jù)37c的正弦值和/>“的長可得出的長，力口上A8的長即為點尸到地面的

高度：

（2）根據(jù)勾股定理可得4M的長，也就是8V的長，根捱NQPM=90°,可得/QPB=37°,根

據(jù)37°的正切值和PB的長可得的長，加上BN的長即為。點到N點的距離.

【解答】解：（1）作PB_LQN于點B,延長ME交PB于點A.

圖2

???NP3Q=NP3N=90°.

EM//QN,

：.ZBAE=ZPAE=90°.

由題意得：MNLBN,

???NMNB=90°.

???四邊形AHVM是矩形.

：.AB=MN=\（加）,AM=BN.

?:PM=5m,4PME=37°

PA=PM*sinZPME^5x1=3（m）.

APB=PA+AB=3+]=4（m）.

答：點P到地面的高度約為4〃i；

（2）???必=3〃?，PM=5m,/%M=90°,

??.AM=4（加），NAP/W+/PME=90°.

:.BN=4（m）.

?；/QPM=90°,

???NQP8+NAPM=90°.

:?NQPB=NPME=370.

3

；.QB=PB?tanNQPB、4若=3（m）.

:?QN=QB+BN=1Cm）.

答：Q點到N點的距離約為Im.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.把所給的線段和角整理到合適的直角三角形中是解決本

題的關(guān)鍵.

19.（2025?武安市二模）淇洪家位于學(xué)校正東方向200/H處，周末她和同學(xué)約好去學(xué)校附近的體育

館打籃球，已知體育館位于學(xué)校北偏西53°方向，距離學(xué)校500/〃.

（I）請根據(jù)描述畫出淇淇家、學(xué)校和體育館的方位示意圖；

（2）求體育館到淇淇家的直線距離；

（3）若淇淇步行從家出發(fā)，先以50〃?/〃?加的速度勻速走到學(xué)校，但到達(dá)學(xué)校后，發(fā)現(xiàn)忘帶籃球,

于是立即以60血〃而的速度原路返回家中.取到籃球后，為了趕時間，她以80”?勿麗的速度從家

直接走到體育館，求淇淇全程所用的時長.（計算結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin530