§7.7向量法求空間角（一）

【課標(biāo)要求】能用向量法解決異面直線所成角、直線與平面所成角的問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體

會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用.

??落實(shí)主干知識(shí)?，

1.異面直線所成的角

若異面直線，2所成的角為區(qū)其方向向量分別是〃，V,貝Ucos<9=|cos（u,V）|=黑［.

2.直線與平面所成的角

如圖，直線力8與平面a相交于點(diǎn)氏設(shè)直線48與平面a所成的角為仇直線N8的方向向量為〃，

平面a的法向量為〃，則sin月cos〈〃，〃〉1=|湛臺(tái)|喏臺(tái)

II?||ft|I|<41|ft|

3自主診斷

I.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“4”或“X”）

⑴兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.（X）

⑵直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.（X）

⑶兩異面直線所成角的范圍是（o,直線與平面所成角的范圍是［o,3（'）

（4）直線的方向向量為〃，平面的法向量為〃，則線面角。茜足sin?cosw）.（X）

2.若直線/的一個(gè)方向向量〃=（1,0,1）,平面a的一個(gè)法向量〃=（0,-1,1）,則/與a所成角的大小為（）

C霽D避

答案A

解析設(shè)/與。所成角為。（owe4］）,

因?yàn)橹本€/的一個(gè)方向向量〃=（1,0,1）,平面a的一個(gè)法向量〃=（o,-1,1）,

所以sin匕|cos［u,n）「迎久一；，

因?yàn)閛woW，所以”.

Zo

3.已知直線/|的方向向量S|=(1,0,1)與直線，2的方向向量$2=(」，2,-2),則直線/|和，2所成的角為()

6D與

答案B

解析設(shè)直線人與，2所成的角為〃,

因?yàn)?1=(1,0,1),$2=(-1,2,-2),

|ss|_|-l-2|_^2

所以cos0=|cos<5|,S2)1=r2

卬|切丁泛x3~21

又〃<0,泉所以*.

4.在直三棱柱力4C-481G中，NBC4=90。,M,N分別是4M力Q的中點(diǎn)，BC=CA=CCi,則AM與4N

所成角的余弦值為.

答案騫

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)8C=C4=CG=2,則4(2,0,0),8(0,2,0),"(1,1,2),

N(T,0,2),所以的=(1，■吊2),麗=(-1,0,2).

設(shè)8"與4V所成的角為仇

則8S月cos(BM,AN)|瑞簫

3_V30

76xV510*

所以BM與4N所成角的余弦值為唱.

口微點(diǎn)提醒

1.斜線與平面所成的角是斜線與平面內(nèi)直線所成角中的最小角.

2.線面角儆正弦值等于直線的方向向量〃與平面的法向量〃所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sin/>|cos〈明

?探究核心題型?

題型一異面直線所成的角

例1（1）如圖，圓錐的軸截面力為等邊三角形，。為弧44的中點(diǎn)，E,少分別為母線4cAC

的中點(diǎn)，則異面直線8"口OE所成角的大小為（）

答案C

解析取"的中點(diǎn)0,連接0G0D,如圖，以。。OB,0C所在直線分別為X軸、y軸、z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)45=2,則8(0,1,0),D(\,0,0),C(0,0,?4(0,L0),

又已尸分別為母線8GNC的中點(diǎn)，

所以小。,,苧），尸（。，后，分，

則麗=（0,-1,今，痂=（一1,1苧），

設(shè)異面直線8尸和DE所成的角為為

則c°s歸cos（BF,DE）|喘鬻咨德=0,又昨（0,1所以g.

（2）（2024?吉安模擬）在正方體力AS-小aG"中，E,"分別為力8,4。的中點(diǎn)，G為線段囪。上

的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線力G與族所成角的最大值為（）

答案C

解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x,），，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,G（a,a,2）,響0,2],

設(shè)四棱錐各棱長(zhǎng)均為2,JillJAO=BO=CO=yf2,P0=V2,

可得,4(歷0,0),￡(0,苧，ylzC(-V2,0,0),P(0,0,V2),

則族=(一y,y),PC=(-yf2,0,-V2),

設(shè)異面直線4E與尸C所成的角為。

而PCXI」荏西」（-偽x（-偽畔X（一碼

V3

貝Ucos0=|cos；|"

''W—后由T

（2）如圖，在正三棱柱44C-40G中，AB=4Ai=2.E,/分別是4C,4G的中點(diǎn).設(shè)。是線段囪G

上的（包括兩個(gè)端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線8。與石廠所成角的余弦值為平時(shí)，線段的長(zhǎng)

為.

答案2V2

解析如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0,0),嗯,2),倒0,-1,0),

設(shè)。(0,t,2)(-1WzWl),

則前=（日，2）,麗=（0,什1,2）,

設(shè)直線與E尸所成的角為夕，

|喬麗|_悍+4|_同

所以cos()=-

I葬II而I療〃計(jì)1）2+彳4

即23尸+14/-37=0,

解得尸1或片藥舍去)，

所以而|=Jo2+22+22=2&.

題型二直線與平面所成的角

例2(2024?沈陽(yáng)模擬)如圖，在三棱柱48c?小歷G中，側(cè)面力小GCJ?底面48G底面三角形

力4。是以力。為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面44CC是邊長(zhǎng)為2的菱形，且N4/C=60。.

(1)求點(diǎn)小到平面ABC的距離;

(2)求直線44與平面力囪。所成角的余弦值.

解(1)取力。的中點(diǎn)。，連接4G4D,

因?yàn)閭?cè)面44GC為菱形，且/4HC=60。，

所以△44。為等邊三角形，所以小dC.

又平面力4C_L平面44iGC,小Ou平面力4clC,平面/MCCn平面/18C=/C,

所以小OJ_平面"C,

所以出力的長(zhǎng)即為點(diǎn)小到平面48c的距離,

A]D=AA\sinZA\AC=AA]Sin60°=V3,

故點(diǎn)小到平面ABC的距離為國(guó).

(2)連接。乩因?yàn)?B=BC,DBA.AC,則。8,DC,04詼兩垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC,04所在直線分別為匕％z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題可知。(0,0,0),8(1,0,0),C(0,1,0),力(0,-1,0),4(0,0,V3),

則m=(1,0,-V3),AB=(it1,0).

由

得1,V3).

設(shè)平面4BC的法向量為〃=(x,y,z),

可=(1,0,V3),DC=(0,1,0),

則pi.西=x+V3z=0,

人％瓦=y=0,

取z=V3,得〃=(-3,o,V3).

設(shè)直線4B與平面AB,C所成的角為仇

|A?gn|_|-3-3|_V3

則sin歸cos(AB,n)|=

1|^F||n|2xVl22

所以COS0=71-sin2g=1,

即直線小8與平面/"C所成角的余弦值為;.

思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟

根據(jù)圖形與已知條件，建立適當(dāng)?shù)目?/p>

建坐標(biāo)系

間直角坐標(biāo)系

0設(shè)直線A8與平面a所成的角為8,

求法向量求平面a的法向量〃與直線的方向

向量乘

0

cos(AB,n〉=—―

\AB\\n\

利用sinH=lcos〉l及直線和

平面所成角的范圍是［o居］,即可得

出直線和平面所成的角

跟蹤訓(xùn)練2（2024?北京海淀區(qū)模擬）如圖，在四棱錐？48。力中，直線/8〃C。，ZABC=90°,Z

DAB=NPCB=6U。,CD=\,4B=3,PC=2W,平面尸C3_L平面44CZ),/為線段4c的中點(diǎn)，E為

線段夕產(chǎn)上一點(diǎn).

AB

(1)證明：PFLAD]

(2)求當(dāng)政為何值時(shí)，直線8E與平面PAD所成角的正弦值為"

⑴證明過(guò)點(diǎn)。作垂足為"，

由題意知，四邊形8CDW為矩形，因?yàn)镹D"=60。，AB=3,CD=\,

可得AM=2,BC=DM=AMtan60°=2V3,

fiPC=BC=2y/3,/PC8=60。，則△P8C為等邊三角形，因?yàn)槭瑸榫€段8c的中點(diǎn)，則巴口_8C,

又因?yàn)槠矫鍼C8_L平面48CO,祠PC8n平面力8cz>8C,P尸u平面PCB,

可得P/_L平面48CQ,又4￡)u平面,4BCO,

所以P/_L4O.

⑵解取線段力。的中點(diǎn)M連接NF,則NF//gNF=2,

又因?yàn)?8_L8C,可知NF上BC,

以廠為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)N,FB,夕所在直線分別為羽丹z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則4(3,V3,0),D(l,-V3,0),尸(0,0,3),8(0,V3,0),

因?yàn)镋為線段尸產(chǎn)上一點(diǎn)，設(shè)￡(0,0,。)，。￡[0,3],

可得兩=(2,2V5,0),DP=(-\,y/3,3),而=(0,-V5,a).

設(shè)平囿口。的法向量為〃=(x,乂z),

則卜歷=2x4-275y=0,

\n-DP=-x+>/3y+3z=0,

令x=?3,則尸百，z=-2,可得〃=(-3,V3,-2),

_|n5F|_|-2a-3|_V7

由題意可得，|cos〈〃，BE)|

\n\\BE\4x73+^4

整理得*4/+4=0,解得a=2,

所以當(dāng)EF=2時(shí)，直線與平面以。所成角的正弦值為?

課時(shí)精練

(分值:80分)

知識(shí)過(guò)關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分）

1.若直線/的方向向量與平面。的法向量的夾角等于130%則直線/與平面a的所成的角等于（）

A.40°B,50°

C.130°D.以上均錯(cuò)

答案A

解析因?yàn)橹本€/的方向向量與平面。的法向量的夾角等于130。，所以直線/與平面a的所成的角等于130。-

90°=40°.

2.（2024?呼和浩特模擬）如圖，在四棱錐尸-44CO中，24JL平面底面48CQ為正方形，PA=AB,則

直線PC與平面PBD所成角的余弦值為（）

A2迎

A—喈

答案A

解析如圖，以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以力伉AD.力尸所在直線為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)力8=1,

則則0,0),0(0,1,0),p(0,0,1),C(l,1,0),

所以麗=(1,0,-1),PD=(0.1,-1),正=(1,1,-1),

設(shè)平面P8Q的法向量為〃=a,乂z）,

?n=%-z=0,

?n=y—z=0,

令-1,則尸尸1,所以〃=（1,1,1）,設(shè)直線尸。與平面心。所成的角為出

../方\.\PCn\|1+1-1|1

sm歸cos(PC,n)1一同“任6一3,

又9￡[0,泉所以cos吟.

3.已知正方體488-4囪G。，。為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線。。與所成的角為

45。時(shí)，點(diǎn)0的軌跡為（）

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

答案C

解析以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA,DC,西的方向分別為x,%z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則。(0,0,0),4(1,0,1),設(shè)。萬(wàn)y,1),

可得而=8y,1),~DA[={\,0,可

因?yàn)橹本€DQ與D4所成的角為45。,

|DQD^il_lx+l|_V2

則cos45°，化簡(jiǎn)可得儼=2x,

的西石2+y2+Qx及2

所以點(diǎn)。的軌跡為拋物線.

4.如圖，在四棱錐力-3CQE中，DE//CB,〃￡_!_平面48C,BE=3,AB=CB=AC=2DE=2,則異面直線。。與

北所成角的余弦值為（）

A

A—B萼

c?石D繆

答案A

解析如圖所示，取8。的中點(diǎn)匕連接力匕DF,可得。F//BE,

因?yàn)锽E_L平面-C,所以。凡L平面小C,

又由,48=C8=4C且產(chǎn)為8C的中點(diǎn)，所以力以L8C,

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF.BF,。尸所在直線分別為x,外z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則4乃，0,0),E(0,1,3),C(0,-1,0),0(0,0,3),

故而=。1,3),AE=(-y/3.1,3),

_CDAS_10_x/130

則cos(CD,AE)

\CD\\AE\VlOxVn"""13~'

二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)

5.在空間直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A{\,0,0),8(1,2,-2),C(0,0,-2),貝")

A.OCAB=4

B.異面直線OC與AB所成角等于三

C.平面4OC的一個(gè)法向量可以是(0,1,0)

D.直線OB與平面力OC所成角的正弦值為|

答案ACD

解析0,0),8(1,2,-2),C(0,0,-2),OC=(Ot0,-2),而=(0,2,-2),

???沆麗=(-2)X(-2)=4,故A正確；

設(shè)OC與48所成的角為仇

\OCAB\_4V2

則cos0=-

\OC\\AB\2x25/2T

且。e(0,I，，%，故B不正確；

設(shè)平面IOC的法向量為〃=(x,%N),

*：~0A=(\,0,0),OC=(0,0,-2),

嚕二a臣。，喇

，〃=(0,1,0),故c正確;

麗=(1,2,-2),設(shè)直線。8與平面4OC所成的角為仇

\0Bn\_2_2

則sinA,故D正確.

|0tf||n|3x13

6.如圖，在四棱推ZM8C'。中，底面48co為菱形，N力8C=60。，E4_L平面力8。。PA=AB=2,M,N分

別為PB,CO的中點(diǎn)，E為棱4。上一3］點(diǎn)若NA/EN為鈍角，則立的長(zhǎng)可能為()

p

A.1C.lD.V2

J4

答案AB

解析由題意得△48C為等邊三隹形，

以*為原點(diǎn)，建立如圖所示的空向直角坐標(biāo)系，尸為〃。的中點(diǎn)，

則尸(0,0,2),F(V3,0,0),B他-1,0),C(V3,1,0),0(0,2,0),

...*+，1),嗯,I，0),

令4E=?0WfW2),???E(0,t,0),

???麗=(苧，-\-tt1),前=(今|-t/0)，

依題意NMEN=(EM.EN)為鈍角，

???麗?前中(-1-t)(|-t)<0,

解得0</<L

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.(2024?福州模擬)若異面直線八，/2的方向向量分別是斫。［-2),方=(4,0,2),則異面直線人與乙所

成角的余弦值為.

答案!

解析設(shè)人與心所成的角為伍因?yàn)椤?(0,-1,?2),力=(4,0,2),所以cos3|cos(%b)1-黑「會(huì)展

Ic<11uI"vn人Y乙uJ

8.(2025?張家口模擬)在空間直角坐標(biāo)系的2中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(xo,>'o,zo)且法向量為"尸(力，B,C)的平面方程

為4x-xo)+88-yo)+C(z-zo)=O,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(xo,zo)且一個(gè)方向向量為“4,也①)伽。/0)的直線/的方程

為占閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題：現(xiàn)給出平面。的方程為2x+z-7=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0,0)的

3

直線/的方程為9則直線i與平面。所成角的正弦值為

3L-J

口合110

解析由題設(shè)知，平面。的法向量?jī)?cè)=(2,0,1),直線/的方向向量〃=(3,2,?3),

且平面。與直線/相交，

所以直線/與平面。所成角的正弦值為|cos(…)|一雷|;3竄

|Tn||n|vbxv-Ziiu

四、解答題(共28分)

9.(13分)(2024?貴陽(yáng)模擬)如圖，在三棱臺(tái)43C-481G中，CG1平面43C,ACLBC,BC=4,

A\C\=B\C\=CC\=2.

「

可

B

(1)求異面直線48與EG所成角的余弦值；(6分)

(2)求直線小B與平面小8c所成角的正弦值0分)

解⑴依題意，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線分別為x,外z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

在三棱臺(tái)48a43G中，因?yàn)樾=81G,

所以,4C=8C=4,

所以C(0,0,0),4(4,0,0),8(0,4t0),

因?yàn)樾=8Ci=CG=2,

所以小(2,0,2),Bi(0,2,2),Ci(0,0,2),

所以誦=(-2,4,-2),瓦高=(0,-2,0),

所以cos〈硒，麗)一黑囂卷舄一當(dāng)

設(shè)異面直線48與81G所成的角為處則?！?0,所以cosa=|cos〈樂(lè)瓦8￡〉|=y,

即異面直線小4與囪G所成角的余弦值是白.

(2)設(shè)直線小8與平面/8C所成的角為從則尸w[0,

設(shè)平面481c的法向量為〃=(x,y,z),

硒=(-2,2,0),砧=(-2,0,-2),

n-A1B1=—2x+2y=0,

所以

41d=-2x-2z=0,

令X=L則產(chǎn)1,Z=-l,

所以"=(1,1,-1),

所以sin￡=|cos[n,AB}\|nJ7P|_4_V2

X網(wǎng)|硒0x2后3

即直線48與平面48。所成角的正弦值是？

10.（15分）（2025?咸陽(yáng)模擬）在正四棱柱中，AB=\,石為明的中點(diǎn)，直線囪G與平面力。之

交于點(diǎn)F.

（1）證明：尸為8Q的中點(diǎn);（6分）

⑵若直線4C與平面4AE所成的角為?，求JJi的長(zhǎng).（9分）

⑴證明如圖，連接8G,FE,FDi,在正四棱柱/8SM8G。中，

由月6與平行且相等，得四邊形力6CQ是平行四邊形，所以8G〃月。1,

又8G<Z平面瓦力Ou平面力所以8G〃平面力?！?/p>

又8Gu平面BCC\B\,平面/lOiEn平面BCCB=EF,

所以BG〃勿；因?yàn)镋是88的中點(diǎn)，

所以F是aG的中點(diǎn).

⑵解以。4DC,。。所在直線分別為x,外z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)44產(chǎn)?。?),則4(1,0,0),C(0,1,0),Di(0,0,m),￡(lz1,既,

元=(L1,0),而r=(-l,0,m),得(0,lz3,

設(shè)平面力。1￡的法向量是片（x,y,z）,

t-ADx=—x+mz=0,

則

t-AE=y+gz=0,

取z=l,得/=(m,—