§8.7雙曲線

【課標(biāo)要求】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、

漸近線、離心率）.3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.

??落實(shí)主干知識.

1.雙曲線的定義

把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)a,B的距離的差的等于非零常數(shù)（四6|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.

這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的,兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的.

注意：⑴若將“小于夕典”改為“等于尸典”，其余條件不變，此時動點(diǎn)的軌跡是以B為端點(diǎn)的兩

條射線（包括端點(diǎn)）；若將其改為“大于IEBI"，其余條件不變，此時動點(diǎn)軌跡不存在.

（2）若將絕對值去掉，其余條件不變，則動點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.

⑶若將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時動點(diǎn)的軌跡是線段QB的垂直平分線.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

滔■記葭-7-1

標(biāo)準(zhǔn)方程

(67>0,/?0)(。>0,Z?0)

圖形

焦距

性

________或jW―4或

質(zhì)范圍

y^a,xGR

對稱性對稱軸：________對稱中心：

性頂點(diǎn)

質(zhì)實(shí)軸：線段________,長：________；虛軸：線段

軸B?,長：________；實(shí)半軸長：________,虛半軸

長：________

漸近線

e=-G______

離心率a

h,c

C2=_______(<?>6f>0,c>/?>0)

的關(guān)系

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉?”或“X”）

（1）平面內(nèi)到點(diǎn)*（0,4）,F2（0,-4）的距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.（）

（2）方程e-廿二1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.（）

mn

（3）雙曲線5-5二1（加>0,心0）的漸近線方程是/=0.（）

（4）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于或.（）

2.雙曲線f-4/=1的離心率為（）

A.V2B.V3C.yD.V5

3.（多選）已知雙曲線方程總-『1,下列說法中正確的有（）

A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±5）

B.虛軸長為6

C.焦距為10

D.漸近線方程為片號

4.已知點(diǎn)P在雙曲線捻-3=1（心0,8>0）上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別記為Q,焦距為2石，已知

PFHF2,『人|二2|尸三］,則該雙曲線的實(shí)軸長為,

口微點(diǎn)提醒

1.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.

2.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，R,尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|Pa|mm="C,\PF2\min=C-

3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦）,其長為弓.

---------------------------探究核心題型--------------------------

題型一雙曲線的定義及應(yīng)用

例1（1）已知圓G：（X+3）2+產(chǎn)=1和圓。2：（X-3）2+/=9,動圓M同時與圓G及圓。2相外切，則動

圓的圓心M的軌跡方程為（）

A.X2-二二1（x2）B./W=1

OO

C.X2-4=1心-1）D.^-x2=1

88

例2（1）（2024?濟(jì)南模擬）已知雙曲線G過點(diǎn)力（-g,1）,且與雙曲線。2：3/=1有相同的漸近

線，則雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

*1R"2_]

B.五-T-1

nyx-1

^C15--D元-J-1

（2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且一個焦點(diǎn)在直線3x-4y+l2=0上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

是.

思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

⑴定義法：由題目條件判斷出動點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2凡2b或2c,從而求出。2,艮

⑵待定系數(shù)法：”先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為5-4=^0）,與

雙曲線5-g=15>0,人>0）有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為總-達(dá)=1（-〃<六/力；與雙曲線5-g=

1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為捻-源，沖0）.

跟蹤訓(xùn)練2江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達(dá)到了頂峰，它藍(lán)白相映，怡然成趣，晶瑩

明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形

成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4,瓶口和底面的直徑都是8,瓶高是6,則該雙

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（)

P

B-7-r=i

題型三雙曲線的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1漸近線

例3（2025?石家莊質(zhì)檢）已知雙曲線C：《1（心0,6>0）的實(shí)半軸長為百，其上焦點(diǎn)到雙曲線的

廬

一條漸近線的距離為3,則雙曲線C的漸近線方程為（）

二埒

A.j，=±V3.rB.yx

D.)=苧

C.y=±yx

思維升華（1）漸近線方程的求法：求雙曲線5-，=130,力>0）的漸近線方程的方法是令即

得兩浙近線方程黑=。（或尸

⑵在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線5-3=1（心°，〃>°）中，離心率e與雙

曲線的漸近線的斜率k=2,滿足關(guān)系式/=1+R.

a

命題點(diǎn)2離心率

例4（1）（2024?武漢模擬）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的兩條漸近線所成的角為點(diǎn)則雙曲線的離心率為

（）

A.苧B.V3

C.2或苧D.2或國

（2）（2024?武漢模擬）已知雙曲線C：/《二1（心0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為過2的直線與雙

曲線的右支交于48兩點(diǎn)，若△48Q的周長為10凡則雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.憐+8）B.愕，+8）

C。，孚D.°T

思維升華求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量〃，b.C的方程或

不等式，利用。2=標(biāo)+〃和。二,?；癁殛P(guān)于e的方程（或不等式），通過解方程（或不等式）求得離心率的值（或

范圍）.

跟蹤訓(xùn)練3⑴已知雙曲線￡/爛1（60,6>0）的焦點(diǎn)恰好為矩形"CO的長邊中點(diǎn)，且該矩形

的頂點(diǎn)都在雙曲線上，矩形的長寬比為2:1,則雙曲線的離心率為（）

A.2+2V2B.3+2V2

C.1+V2D.2V2-1

(2)(2024?紹興模擬)若雙曲線G：5-5=1(心。，AO)的漸近線與圓。2：(x?2)2+/=l有公共點(diǎn)，則

G的離心率的取值范圍為()

A.(l,豹B.(l,啕

C.(\,2)D.(l,2]

答案精析

落實(shí)主干知識

1.絕對值小于焦點(diǎn)焦距

2.Fi(-c,0),尸2?0)Fi(0,-c),c)\F\Fi\=2c-a

x^a坐標(biāo)軸原點(diǎn)A\(-a,0),A2(a,0)Ji(0,-a),A2(0,a)A\A22a2bab尸。y=

空(I,+°°)a2+b2

自主診斷

1.⑴X(2)X(3)4(4)V

2.C［因?yàn)閤2?4y=1,

即爐-牛=1,

4

所以"1,b=g

c=+扭二冬

所以e=(二孚］

3.BC［由雙曲線方程5-9=1,

得a=4,b=3,c=V16+9=5,

又焦點(diǎn)在x軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為住5,0),A選項(xiàng)錯誤；

所以虛軸長為2〃=6,B選項(xiàng)正確；

焦距為2c=10,C選項(xiàng)正確；

漸近線方程為y二與二號，D選項(xiàng)錯誤」

4.2

解析因?yàn)閨附|二2|PE|,

由雙曲線的定義得

『尸||-|產(chǎn)后|=2見

所以|PB|=4a,|尸產(chǎn)2］=2處

因?yàn)镻F」Pf

所以（4。）2+（2。）2=（2本）2=20,

解得。=1,則實(shí)軸長為2.

探究核心題型

例1（DC［設(shè)動圓M的半徑為廠，

則|MG|=r+1,|必引二什3,

則IMC2I-|MG|

=2<|GC2|=6,

根據(jù)雙曲線的定義知，動圓的圓心〃的軌跡為雙曲線爐-4二1的左半支］

O

（2）B［雙曲線5-17=1的實(shí)半軸長為2,

延長F2MMR交于點(diǎn)H,

由題意△MN/a/XMNB,

則|M〃|二|MB|,|M二|NB|,

又O是E4的中點(diǎn)，

所以|。2=5為*=%附〃1-附臼）二生"尸2『=。=2.］

微拓展

典例（1鬲=1

解析依題意，右焦點(diǎn)B（2,0）,

右準(zhǔn)線x=?

由橢圓第二定義就=

???c=2,故，=4,

/?2=a2-c2=12,

解析設(shè)M到直線x二貯=物距離為d,

c5

由雙曲線第二定義知,

等7

???37”,

3

D

如圖，可知(|M4|+(/)min-XA-7=9=V

ODO

跟蹤訓(xùn)練1(1)B[由雙曲線^-《=1得。=4,6=2遙，c=6,

lbZU

由雙曲線的定義可得

||PFi|-IPFzII=2a=8.

因?yàn)閨PFi|=9,所以9-|PB||=8,得|PB|=1或17,

若|產(chǎn)后|=1,則P在雙曲線的右支上，應(yīng)有|PB|Nc-〃=2,不成立；

若I尸B|=17,則P在雙曲線的左支上，應(yīng)有吐2|2+。=10,成立.所以PB|=17.]

(2)2

解析由雙曲線的對稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖.

因?yàn)椤鱌0B是等邊三角形，

所以伊@二

m=\QF2\,

所以Mil-/61=10*1=2”,

又I。尸2|?|0Fi|=2a,

則|。乃|二44|吶=6%

在△PQB中，由余弦定理可得

|PE|2+|PF2|2一尸1乙|2

COSNQP&二

2|嗎|嗎

36a申6。2-4/_1

48?"2,

整理得/=7標(biāo),

所以〃=c2_/=6Q2=6,

解得。=1,所以實(shí)軸長為2.

例2(1)A［由雙曲線G與雙曲線C2：f-3^=1有相同的漸近線,

故可設(shè)雙曲線C,的方程為

x2-3/=2(2^0),

又因?yàn)镚過點(diǎn)力(-6,1),

代入雙曲線Ci的方程得15-3=2,

解得幺:12,所以雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程是4-&1.］

(2j91或號《=1

22

解析直線3x-4y+12=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(-4,0),(0,3),若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,

???等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)為(-4,0),

即c=4,.二/二〃二#=8,

故等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?-I=1.

oO

若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，

???等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)為(0,3),

1Q

即c=3,/.a2=b2=-c2=

故等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

4-4=1.

22

跟蹤訓(xùn)練2D［由題意可知該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為4,點(diǎn)(4,3)在該雙曲線上

設(shè)該雙曲線的方程為《-1(心0,b>0),

(2Q=4,fa=2,

叫4232解得L

&一京=1，卜=75,

故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

丫2

L_2