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文檔簡介

海盜埋寶模型

1.(2025春?渠縣校級(jí)期末)已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角A/WC和等腰直角AC£『,

zS4BC=ZCEF=90°,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MK、ME

(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí),求證:MA〃C尸;

(2)如圖1,若C8=〃,CE=2at求,ME的長;

(3)如圖2,當(dāng)ZBCE=45。時(shí),求證:BM=ME.

2.(2025?臺(tái)安縣模擬)(1)如圖1所示,在等腰三角形ABC中,AB=ACf分別以"和AC為斜邊,

向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形,M是3C的中點(diǎn),連接和ME.則線段MD,ME之間的數(shù)量

關(guān)系是.

(2)如圖2所示,在任意三角形ABC中,分別以AA和AC為斜邊向AAAC的外側(cè)作等腰直角三角形,

M是AC的中點(diǎn),連接和M£,探究與何f具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?并說明理由.

(3)如圖3所示,在任意三角形ABC中,分別以和AC為斜邊,向AA8C的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角

形,M是8c的中點(diǎn),連接M。、ME、DE,若MD=2,請(qǐng)直接寫出線段0E的長.

3.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)在AAAC,△€?£)£中,ZE4C=ZDEC=90°,連接加,F(xiàn)為BD中點(diǎn)、,

連接Ak,上廠.

(1)如圖1,若A,C,E三點(diǎn)在同一直線上,NABC=/EDC=45。,已知AB=3,DE=5,求線段AT

的長;

(2)如圖2,若乙鉆C=ZTOC=45。,求證:AA£F為等腰直角三角形;

(3)如圖3,若ZABC=ZEDC=30。,請(qǐng)判斷A4£F的形狀,并說明理由.

4.(2024?長興縣二模)如圖,兩個(gè)等腰RtAABC,RtACEF,ZABC=NCEF=90。,C8與CE在同一直線

上,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MB、ME.

(1)求證:M13//CF:

(2)若C3=2,CE=4.求4"、ME的長.

5.(2025?沂源縣一模)已知如圖1,在A4AC中,ZAC7?=9O。,4C=AC,點(diǎn)。在/W上,DELAB交BC

于八點(diǎn)”是At的中點(diǎn)

(1)寫出線段如與線段小的關(guān)系并證明;

(2)如圖2,招'ABDE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0。<。<90。),其它條件不變,線段如與線段FC的關(guān)系是

否變化,寫出你的結(jié)論并證明;

(3)將拉花花繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,如果8C=4,BE=2叵,直接寫出線段8尸的范圍.

6.(2025秋?荔城區(qū)校級(jí)期末)如圖,四邊形例8是正方形,點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn).

(1)問題解決:如圖①,連接及7,分別取CB,BO的中點(diǎn)P,Q,連接PQ,則PQ與BO的數(shù)量關(guān)

系是—,位置關(guān)系是.

(2)問題探究:如圖②,將圖①中的AAQ4繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△人。£,連接CE,點(diǎn)P,

Q分別為CE,BO的中點(diǎn),連接PQ,PB.試判斷。。與碰之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(3)柘展延伸:如圖③,將圖①中的AAQ3繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△A0E.連接4。,點(diǎn)

P,Q分別為CE,的中點(diǎn),連接PQ,PB.若正方形力BCZ)的邊長為1,求線段尸。的長.

7.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)如圖,已知AABC,BC邊的中點(diǎn)、M,

(1)分別以M和AC為腰,向AAHC的外側(cè)作等腰三角形,其中AD=A?,AC=AEt且

ZBAE=ZDAC=90°f如圖1所示.

①若Zfi4C=70。,求/DAE的度數(shù);

②求證:DE=2AM;

(2)分別以AB和AC為斜邊,向AA3C的外側(cè)作等腰直角三角形,其中NAL>4=ZA£C=90。,如圖2

所示,連接和ME,則MD和具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過程.

8.(2025?越秀區(qū)校級(jí)模擬)在RtAABC中,ZAC3=90。,tan/BAC」.點(diǎn)。在邊AC上(不與A,C重

2

合),連接80,F為BD中點(diǎn)、.

(1)若過點(diǎn)D作。石_LA5于石,連接b、EF、CE,如圖1.設(shè)CF=kEF,則攵=;

(2)若將圖1中的AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得。、E、8三點(diǎn)共■線,點(diǎn)廠仍為3。中點(diǎn),如圖2.求證:

I3E-DE=2CF:

(3)若成?=6,點(diǎn)。在邊4c的三等分點(diǎn)處,將線段4)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)尸始終為4。中點(diǎn),求線段CF

長度的取值范圍.

備困

9.(2024?槐蔭區(qū)一模)如圖1,在A4AC中,ZC=90°,ZA=3O°,。為AC邊上一點(diǎn),JLCD=2/AD=4,

過點(diǎn)。作DEkAB于點(diǎn)、E.

(1)求的長;

(2)如圖2,將AWE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,延長DE交AC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)、F,連接C/.求證:

點(diǎn)廠是的中點(diǎn).

(3)如圖3,在AAQE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)DE的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)8時(shí),若點(diǎn)P為3。的

中點(diǎn),點(diǎn)戶是A4的中點(diǎn),連接CP、PF.求證:4PCE=4PEC.

10.(2025?東明縣校級(jí)二模)已知等腰RtAABC和等腰RlAAED中,ZACB=Z4ED=90°,且AD=AC

(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)點(diǎn)石在上且點(diǎn)C和點(diǎn)。重合時(shí),若點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn),則MN

與EC的位置關(guān)系是,MN與EC的數(shù)量關(guān)系是

(2)探究:若把(1)小題中的AAED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖2所示,連接3。和EC,并連接

EC的中點(diǎn)歷、N,則與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎?若成立,請(qǐng)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得

到的圖形(圖3)為例給予證明位置關(guān)系成立,以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的圖形(圖4)為例給予證明數(shù)量

關(guān)系成立,若不成立,請(qǐng)說明理由.

11.(2024?太原二模)如圖(1),點(diǎn)尸是正方形八ACT)的邊回上一點(diǎn),以AF為邊在正方形的外部作A/熾,

使4心七=9(r,點(diǎn)。是線段C上的中點(diǎn),連接。6,Ob,請(qǐng)?zhí)骄烤€段(加,沙的數(shù)量關(guān)系和

位置關(guān)系.

小穎的思路:延長也交8c于點(diǎn)G,通過構(gòu)造全等三角形解決.

(1)請(qǐng)按小穎的思路解決圖(1)中的問題:

①i正明:MOFwCOG;

②直接寫出。3,的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為.

(2)將圖(1)中的繞點(diǎn)從旋轉(zhuǎn),使AE落在對(duì)角線。的延長線上,其余條件都不變,請(qǐng)寫出

此時(shí)OB,O尸的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;

(3)將圖(2)中的正方形變?yōu)榱庑?,其中NABC=60°,將等腰44£尸的頂角變?yōu)?20。,其余條件都

不變,此時(shí)線段03,"的位置關(guān)系為,—=.

OF

12.(2024?義烏市模擬)已知:叢8C是等腰直角三角形,四邊形BDEF是正方形,尸是EC的中點(diǎn).

(1)如圖叫當(dāng)8、D、。在同一直線上時(shí),請(qǐng)?zhí)骄浚ズ?的數(shù)量關(guān)系有,位置關(guān)系有.

(2)如圖〃,把等腰直角AA3C繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)C恰好在射線正上時(shí):

問題①:(1)中得到的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)加以證明.

問題②:若正方形以無戶的面積為1,等腰直角A4AC的面積為),,PC的長為尤,求),關(guān)于A?的函數(shù)關(guān)

系式.

(3)如圖c,把等腰直角AA4C繞點(diǎn)“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一般位置時(shí),請(qǐng)直接寫出(1)中得到的結(jié)論一

定(填“成立”或“不成立”).

13.(2024?南昌)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過槎:

(1)堞作發(fā)現(xiàn):在等腰AABC中,AB=ACf分別以AB和4c為斜邊,向AA8C的外側(cè)作等腰直角三

角形,如圖1所示,其中OF_L至于點(diǎn)尸,EGJ.AC于點(diǎn)G,M是AC的中點(diǎn),連接MD和ME,則下

列結(jié)論正確的是(填序號(hào)即可)

①A/=AG」AB;②MD=ME;③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形;④

(2)數(shù)學(xué)思考:在任意A4BC中,分別以和AC為斜邊,向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖

2所示,M是BC的中點(diǎn),連接M£>和ME,則MD和ME■具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)給出證明過程;

(3)類比探究:

⑺在任意A43c中,仍分別以AB和AC為斜邊,向A43C的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖3所示,M是

3C的中點(diǎn),連接“£>和ME,試判斷AMED的形狀.答:.

(”)在三邊互不相等的AA6。中(見備用圖),仍分別以和AC為斜邊,向A43C的內(nèi)側(cè)作(非等腰)

直角三角形和(非等腰)直南三角形ACE,M是8c的中點(diǎn),連接MD和ME,要使(2)中的結(jié)

論此時(shí)仍然成立,你認(rèn)為需增加一個(gè)什么樣的條件?(限用題中字母表示)并說明理由.

14.如圖,在等腰AA8c中,AI3=AC=5fBC=6,。為射線3c上一點(diǎn)(。不與"重合).

(0當(dāng)區(qū))=3時(shí),求證:AADC是直角三角形.

(2)當(dāng)AAZX:是以AC為腰的等腰三角形時(shí),求A4BO的面積.

(3)作點(diǎn)C關(guān)于4)的對(duì)稱點(diǎn)C,當(dāng)直線CO與AABC中A5或8c所在直線垂直時(shí),求用)的長.

BD

1.(2025春?渠縣校級(jí)期末)已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角MAC和等腰直角AC",

ZA^C=ZCb?=9(r,連接A?,M是AA的中點(diǎn),連接幅、ME

(1)如圖1,當(dāng)C8與CE在同一直線上時(shí),求證:M8//C尸;

(2)如圖1,若CB=a,CE=2a,求,ME的長;

(3)如圖2,當(dāng)ZBC£=45。時(shí),求證:BM=ME.

【解答】證明:(1)如圖1,延長8M交火于點(diǎn)£),

ZABE=ZABC=NCEF=90°,

:.AB//EF

,ZDFM=ZBAM,且=ZAMB=ADMF

^^FDM(ASA)

:.AB=DF,BM=DM

,在等腰直角AAAC和等腰直角△€*£1/中,AB=BC,EC=EF,ZFCE=45°

.?.DF=AB=BC

:.EC-BC=EF-DF

;.BE=DE,且N8ED=90。

NEBD=45o=NFCE

(2)由(1)可知:AB=BC=DF,BM=DM

\CB=a,CE=2a,

:.BE=DE=a,且NC印=90。

是等腰直角三角形,3。="/,且BM=DM

:.BM=EM=-BD=—a,

22

(3)如圖2,延長A4交C石于點(diǎn)。,連接OF,延長正與as交于點(diǎn)G,連接AG,

?.?AABC是等腰直角三角形

/.AB=BC,ZR4C=ZBC4=45°,Z4BC=90°

???NECB=45。

NBDC=45°=/ECB=ZCAB

:.BD=BC,AC=CD

YAB=BD,點(diǎn)M為A尸中點(diǎn),

:.BM=-DF.

2

同理可得:CF=CG,ME=-AG.

2

在AACG與ADC/;中,

AC=CD

?ZACG=ZDCF=45°

CG=CF

.-.MCG^ADCF(SAS),

:.DF=AG,

:.BM=ME.

2.(2025?臺(tái)安縣模擬)(1)如圖1所示,在等腰三角形A比中,46=AC,分別以/W和AC為斜邊,

向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形,M是4C的中點(diǎn),連接H/)和則線段M7),例石之間的數(shù)量

關(guān)系是_MD=ME_.

(2)如圖2所示,在任意三角形ABC中,分別以他和4C為斜邊向A48C的外側(cè)作等腰直角三角形,

M是8c的中點(diǎn),連接和ME,探究MD與核具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?并說明理由.

(3)如圖3所示,在任意三角形ABC中,分別以和AC為斜邊,向&WC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角

形,M是5。的中點(diǎn),連接M3、ME、DE,若MD=2,請(qǐng)直接寫出線段QE的長.

圖1圖2圖3

【解答】解:(1)MD=ME.

?「AA/M和AAEC是等腰直角三角形,

「.ZABD=ZDAB=ZACE=ZEAC=45。,ZADB=ZAEC=90°

在和AAEC中,

NADB=NAEC

<ZABD=乙ACE,

AB=AC

...AA/JK蘭A4KC(A4S),

:.BD=CE,4)=AE,

,.?M是BC的中點(diǎn),

:.BM=CM.

???A8=AC,

.\ZABC=ZACB,

ZABC+ZABD=ZACB+ZACE,

即/DBM=NECM.

在ADBM和AECM中,

BD=CE

,NDBM=Z.ECM,

BM=CM

:.及)BM統(tǒng)怔CM(SAS),

:.MD=ME.

故答案為

(2)MD=ME,MDLME.

理由如下:

取AB,AC的中點(diǎn)尸,G,連接小,F(xiàn)M,MG,EG,設(shè)鉆與DM交于點(diǎn)”,如圖2,

D

圖2

???AA/M和AAEC都是等腰直角三角形,

.\ZDM=ZEG4=90°,DF=AF=-AB,EG=AG=-AC.

22

?.?點(diǎn)“是AC的中點(diǎn),

二.「加和MG都是AABC的中位線,

/.AFNMG,AF=DF=MG,

.??四邊形AfMG是平行四邊形,

:.FM=AG=GE,=,

NZ*M=ZMGE.

在ADFM和AA7GE中,

?;FM=GE,/DFM=NMGE,DF=MG,

\DFM=AMGE(SAS),

:.MD=ME,"DM=NGME.

ZBHM=90。+/FDM=9(T+NGME,ABHM=/HMG="ME+4GME,

/.ZDAfE=90°,B|J

(3)線段OE的長為2&,理由如下:

分別取AB,AC的中點(diǎn)尸,G,連接MADF,MG,EG、設(shè)。尸和MG交于點(diǎn)”,如圖3,

和AAEC都是等腰直角三角形,

/.ZDM=ZEGA=90。,DF=AF=-AB.EG=AG=-AC.

22

?.?點(diǎn)加是AC的中點(diǎn),

/.FM和A/G都是SABC的中位線,

AFHMG,AF=DF=MG,

二四邊形A廠MG是平行四邊形,

.JM=AG=GK,ZAbM=ZA(JM,

QFM=ZMGE.

在拉汨必和&0GE中,

FM=GE,ZDFM=ZMGE,DF=MG,

:.ADFM^^MGE(SAS).

:.MD=ME,NFDM=NGME.

OF_LAB即NFHM=90°.

又「NFHM=ZHMD+4FDM,

/.4FHM=/HMD+NGME=NDME=%F,

.?.4)例£是等腰直角三角形,

在RlADME中,MD=ME=2,

由勾股定理,得DE=獷+”/?2=$2+22=)6.

3.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)在AA8C,ACDE中,ZB/1C=ZDEC=90°,連接班>,F為BD中點(diǎn),

連接AF,EF.

(1)如圖1,若A,C,E三點(diǎn)在同一直線上,ZABC=NEDC=45。,已知AB=3,DE=5,求線段AF

的長;

(2)如圖2,若N48C="DC=45。,求證:AA樣為等腰直角三角形;

(3)如圖3,若乙48C=NWDC=30。,請(qǐng)判斷的形狀,并說明理由.

D

圖1

在RtAABC,RlACDE中,AZABC=NEDC=45°,

7.ZACB=ZhCZJ=45u,AB=AC>ED=EC,

■「A,C,E三點(diǎn)在同一直線上,

/.ZBCD=90°,

???/為現(xiàn))的中點(diǎn),

:.CF=DF=BF,

AB=AC

vAF=AFf

CF=BF

:.MCFwMBF(SSS),

ZC4F=-ZC4B=45°,

2

同理:△ECFwbEDF(SSS),/CEF=二NCED=45。,

2

.?.AACF為等腰直角三角形,

VAC=AB=3,CE=DE=5,

AE=S,AF=—AE=4yf2.

2

(2)證明:取8c的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接AM,EN,FN,

?.?尸為的中點(diǎn),

EVf為ABC£>的一條中位線,

.-.FM//CD,FM=-CD=CN,

2

.??四邊形MCVr為平行四邊形,CM=FN,MF=CN,/CMF乙FNC,

???在RtAABC中,M為8C的中點(diǎn),

/.ZAMC=90°,AM=CM,

同理:Z£7VC=9O°,EN=CN,

/.AM=FN,MF=EN,

ZAMF=ZAMC+Z.CMF=ZEVC+/CNF=/FNE.

AM=FN

?ZAMF=NFNE,

MF=NE

:.^AMF^^FNE(SAS)f

.\AF=EF,ZAFM=/FEN,

?ZAFE=ZM/W-ZAFM-ZEFN=180。一乙FNC-乙FEN-NEFN=ZZWC=90°.

.??AAEF為等腰直角三角形;

(3)證明:取BC的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接AM,MF,EN,FN,

圖3

?.?1為3D的中點(diǎn),

.??萬加為MC£>的一條中位線,

;.FM〃CD,FM=、CD=CN,

2

四邊形MCN尸為平行四邊形,CM=FN,MF=CN,4cMF=4FNC,

?.?在RlAABC中,M為8c的中點(diǎn),

「.Z/WC=60。,AM=CM,

同理:Z£7VC=6O°,EN=CN,

AM=FN.MF=EN,

ZAMF=ZAMC+NCMF=ZENC+/CNF=NFNE.

AM=FN

???,/AMF=NFNE,

MF=NE

=AFNE(SAS),

:.AF=EF,ZAFM=NFEN,

VZAFE=ZM/W-ZAAM-ZE/W=180°-Z/WC-ZF£7V-ZE/W=Z£A^C=60°.

.?.A/K為等邊三角形.

4.(2024?長興縣二模)如圖,兩個(gè)等腰RtAABC,RtACEF.ZABC=NCK產(chǎn)=90。,CB與CK在同一?直

線上,連接AF,M是好的中點(diǎn),連接他、ME.

(1)求證:MBI/CF;

(2)若C8=2,Ch=4.求AM、Alt的長.

【解答】證明:(1)延長A8交。”于。,則三角形ABC與三角形3c。為等腰直角三角形

;.AB=BC=BD

「.8為AD中點(diǎn)

又為AF中點(diǎn)

BM為三角形ADF中位線

:.BM//CF

(2)延長8例交)■于產(chǎn)

?.?BE=CE—CB=2

/SAI3M二MPM

:.BM=DM

又〈MEP為等腰直角三角形

.?.4府為等腰直角三角形

=ME=-BE=42.

2

5.(2025?沂源縣一模)已知如圖1,在A/WC中,NAC3=90。,4C=AC,點(diǎn)。在AA上,DE上AB交BC

于E,點(diǎn)尸是AE的中點(diǎn)

(1)寫出線段皿與線段fC的關(guān)系并證明;

(2)如圖2,將ABDE繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)扇0。<儀<90。),其它條件不變,線段尸。與線段”'的關(guān)系是

否變化,寫出你的結(jié)論并證明;

(3)將她。£繞點(diǎn)笈逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,如果BC=4,BE=20,直接寫出線段3b的范圍.

圖2

【解答】解:(1)結(jié)論:FD=FC,DF±CF.

.?DF=AF=EF=CF,

:.ZFAD=ZFDAfZMC=NFC4,

:.ZDFE=NFDA+"AD=2NFAD,ZE尸C=/必。+NEC4=2ZMC,

?.CA=CB,ZACB=90°,

...za4c=45。,

4DFC=ZEFD+4EFC=2(ZMD+ZFAC)=90°,

:.DF=FC,DF±FC.

(2)結(jié)論不變.

理由:如圖2中,延長AC到〃使得CM=C4,延長ED到N,使得DN=DE,連接砒、BM.EM、

/W,延長ME交4V于”,交于O.

?.?AC,AC=CM,

:.BA=BM,同法

ZABM=/EBN=好,

:.ZNBA=NEBM,

:.AN=EM,

;.NBAN=NBME,

?;AF=FE,AC=CM,

:.CF=-EM,FC//EM,同法W=,AN,FD//ANf

22

:.FD=FC,

/BME+/BOM=90°,/BOM=ZAOH,

/BAN+/AOH=9(T,

.?.ZAM?=90。,

:.AN1MH,FDLFC.

方法二:延長C尸到M.使得CE=FM,連接EM,CD,CE,DM,證明△aw是等腰直角三角形即

M

可解決問題.圖2

(3)如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E落在回上時(shí),M的長最大,最大值=3上

如圖4中,當(dāng)點(diǎn)E落在A6的延長線上時(shí),的值最小,最小值=上.

6.(2025秋?荔城區(qū)校級(jí)期末)如圖,四邊形ABC。是正方形,點(diǎn)O為對(duì)角線4C的中點(diǎn).

(1)問題解決:如圖①,連接80,分別取C8,80的中點(diǎn)尸,Q,連接PQ,則PQ與80的數(shù)量關(guān)

系是_PQ=go8_,位置關(guān)系是—.

(2)問題探究:如圖②,將圖①中的AAO8繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△AOE,連接CE,點(diǎn)P,

Q分別為CE,80的中點(diǎn),連接PQ,試判斷PQ與時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(3)拓展延伸:如圖③,將圖①中的AAQA繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到連接區(qū)O,點(diǎn)

產(chǎn),。分別為CE,8。的中點(diǎn),連接PQ,PB.若正方形A8CD的邊長為1,求線段PQ的長.

醫(yī)③

【解答】(1)解:?.?點(diǎn)。為對(duì)角線4c的中點(diǎn),

:.BOlACfBO=CO,

?.?尸為3c的中點(diǎn),Q為40的中點(diǎn),

:.PQ//OCfPQ=;OC,

;.PQ工BO,PQ=;BO;

故答案為:PQ=-BO.PQA.BO.

2

(2)結(jié)論:PQ=BQ.

證明:如圖②中,連接。P并延長交AC于點(diǎn)八

?.?四邊形A8CD是正方形,

AB=BC,ZABC=90。,

將MO3繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△AO'E,

.,.△AOE是等腰直角三角形,(JE//BC,(那=0”,

NOEP=4FCP,4POE=4PFC,

又?.?點(diǎn)。是。石的中點(diǎn),

:.CP=EP,

:.△OPE合AFPC(AAS),

OE=FC=OA,OrP=FP,

AB-O'A=CB-FC^

BO=BF,

.?.△。所為等腰直角三角形.

;.BP工。F,0fp=BP,

也為等腰直角三角形.

又?.?點(diǎn)Q為07?的中點(diǎn),

;.PQA.O'B,PQ=BQ.

解法二:如圖,取8E的中點(diǎn)“,連接尸M,

?.?EP=PC.EM=MB,

:.PM=-BC,PMIIBC,

2

rEOUCB、EM=BM、PMHEC,

二.PM平分線段BO,

.?.點(diǎn)。在PM上,

.,.MQ=;EO=;AO,

/.PQ=PM-MQ=^BC-^AO'=^(AB-A(7)=^BCy,

:.PQ1BQ,PQ=BQ.

(3)解:如圖③中,延長OZ交BC邊于點(diǎn)G,連接PG,O'P.

圖③

?.?四邊形A4CD是正方形,AC是對(duì)角線,

ZECU=45°,

由旋轉(zhuǎn)得,四邊形0A8G是矩形,

,

..OG=AB=BCfZEGC=90°,

AfGC為等腰直角三角形.

?.?點(diǎn)P是。石的中點(diǎn),

:.PC=PG=PE,NCPG=90°,"GP=45。,

.?.△OGPwABCP(SAS),

/.NOPG=NBPC,O'P=BP,

...ZC/PG-NGPB=/BPC-2GPB=90。,

/.NO'PB=90。,

尸8為等腰直角三角形,

?.?點(diǎn)Q是。8的中點(diǎn),

/.PQ=;O,B=BQ,

?.?44=1,AO=AO>=—,

2

BO=JAB?+/=卜+(多2二手,

...加=“0=中.

解法二:連接石B,取£8的中點(diǎn)7,連接。/,PT.

圖③

-:BQ=QO,B「=TE,

:.QT/!EO,QT=^EOf=^

?.?EP=PC.ET=TB,

:.PT=-BC=-,PTiiCB,

22

\-BC//AD,EOLADy

QT1PT,

PQ=^QT-+PT2=J(¥)2+皆=當(dāng)

7.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)如圖,已知MAC,AC邊的中點(diǎn)

(1)分別以/W和AC為腰,向AABC的外側(cè)作等腰三角形,其中A£>=AB,AC=AE,且

ZBAE=ZZi4C=90°,如圖1所示.

①若ZBAC=70。,求ZZME的度數(shù);

②求證:DE=2AM;

(2)分別以A3和AC為斜邊,向AA4C的外側(cè)作等腰直角三角形,其中NAD4=NA£C=90°,如圖2

所示,連接和ME,則M。和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過

【解答】(1)①解:?.?NDlC=4AE=90o,N8AC=70°,

:.ZDAB=ZCAE=2(Tf

:.ZDAE=ADAB+ZBAE=\W.

②證明:如圖1中,延長AM到R,使得=連接8R,CR.

?;AM=MR,ZAMC=/RMB,CM=MB,

..^AMC^^RMB(SAS),

.\AC=BR1"AC=ZMRB,

ACiiBR,

ZABR=18O0-Na4C,

?.?ZZi4E=180°-Zfl?AC,

:.ZDAE=ZABR>

?;AL)=AB>AA=AC,

:.AD=AB,ZDAE=ZABR,AE=BR,

:.ADAE=^ABR(SAS),

;.DE=AR,

\'AR=2AMf

:.DE=2AM.

(2)解:如圖2,取A4、AC的中點(diǎn)八G,連接OF,MFyEG,MG,設(shè)43交DW于〃.

:.AF=-ABAG=-AC.

2t2

?.?A4A£>和A4EC是等腰直角三角形,

:.DF1AB,DF=-AB,EG2-ACEG=-ACf

22

/.ZAFD=ZAGE=90o,DF=AF,GE=AG.

?.?M是BC的中點(diǎn),

:.MF11AC,MGHAB,

.?.四邊形AFMG是平行四邊形,

:.AG=MFfMG=AF,ZAFM=ZAGM.

:.MF=GE,DF=MG,ZAFM+ZAFD=ZAGM+ZAGE,

ZD/M=ZA/GE,

=N^GE(SAS),

:,DM=ME.NFDM=NGME,

MGUAB,

:.NGMH=/BHM,

?/ZBHM=90°+ZFDM,

;.ZBHM=900+NGME,

ABHM=QME+ZGME,

:.ZDME+ZGME=9(r+ZGMEf

即ZDME=90°,

:.MD工ME,

:.DM=ME,MDLME.

D

圖1

8.(2025?越秀區(qū)校級(jí)模擬)在RtAABC中,Z4CB=90°,tan/84C=L點(diǎn)。在邊AC上(不與A,C重

2

合),連接加,F(xiàn)為3D中點(diǎn)、.

則%=

(2)若將圖1中的AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得。、E、8三點(diǎn)共線,點(diǎn)廠仍為也)中點(diǎn),如圖2.求證:

BE-DE=2CF\

(3)若8。=6,點(diǎn)。在邊AC的三等分點(diǎn)處,將線段4)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)尸始終為3。中點(diǎn),求線段b

長度的取值范圍.

【解答】解:(1)???£>E_LA〃于E,F為BD中點(diǎn).

CF=-BD>EF=-BD>

22

:.CF=EF.

?;CF=kEF,

(2)如圖2,過點(diǎn)C作CE的垂線交班)于點(diǎn)G,設(shè)度)與AC的交點(diǎn)為Q.

由題意,tanZBAC=-,

2

-2?

???O、E、8三點(diǎn)共線,

:.AE1DB.

NBQC=ZAQD,N4C4=90°,

.?.NQBC=/EAQ.

?.?ZEC4+ZACG=90°,ZBCG+ZACG=90°,

.\ZECA=ZBCG.

..ABCG^MCE.

BCGB1

/.--------------------—.

ACAE2

:.GB=DE.

?”是BD中點(diǎn),

.,?廠是反;中點(diǎn).

在RlAECG中,CF=>EG,

2

:.BE-DE=EG=2CF\

(3)情況1:如圖,當(dāng)A£>,AC時(shí),取順的中點(diǎn)用,連接A/D和GW,

3

?.?N4CB=90。,tanZBAC=-且BC=6,

2f

..AC=12,AB=60

?.?M為初中點(diǎn),:.CM=3后,

VAD=-AC>

3

/.AP=4.

???何為根中點(diǎn),F(xiàn)為BD中點(diǎn),

:.FM=-AD=2.

2

.??當(dāng)且僅當(dāng)M、F、。三點(diǎn)共線且V在線段B上時(shí)最大,此時(shí)6=。M+尸”=2+3石.

同理最小值為3不-2.

情況2:如圖,當(dāng)4O=2AC時(shí),取回的中點(diǎn)“,連接”歹和CM,

3

類似于情況1,可知的最大值為4+3行.

綜合情況1與情況2,可知當(dāng)點(diǎn)Z)在靠近點(diǎn)。的

三等分點(diǎn)時(shí),線段的長度取得最大值為4+3石.

同理最小值為3石-4.

9.(2024?槐蔭區(qū)一模)如圖1,在AA4C中,ZC=9O°,4=30。,。為AC邊上一點(diǎn),且82A£)=4,

過點(diǎn)。作DE_LA5于點(diǎn)E.

(1)求44的長;

(2)如圖2,將A/VM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,延長DE交AC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)、F,連接CV.求證:

點(diǎn)〃是的中點(diǎn).

(3)如圖3,在AWE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)上的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)8時(shí),若點(diǎn)尸為發(fā))的

中點(diǎn),點(diǎn)戶是他的中點(diǎn),連接CP、PF.求證:NPCE=ZPEC.

【解答】解:(1)-.Cr>=2AD=4,

.\AD=2,

/.AC=CD+AD=6f(1分)

在RtAABC中,

/.ACpn6

COSZ.A=,L、|J——=,

AB2AB

解得:AB=4耳,(2分);

(2)由題意得:z7^G=ZEAF=60°,N£)=9O0-ND4E=6O。,(3分)

貝ljN88=90°,(4分)

小A廠

tanND=,

AD

-AF=>/3艮AF=2x/3,

2

:.AF=-AB,即尸是4〃的中點(diǎn).(5分);

2

(3)■.?點(diǎn)點(diǎn)尸分別是AD,朋的中點(diǎn),

:.PFNAD,(6分)

;"FPB=/D=O)。,(7分)

由(2)可知,AF=CF,

???ZFC4=ZMC=30°,

/.ZBCF=60°,(8分)

:4PB=NBCF,

:.C.B、F、?四點(diǎn)共圓,(9分)

:.NCPB=NCFB=OT,(10分)

':ZAEH=ZA(JB=^y,

二.A、E、C>3四點(diǎn)共圓,(11分)

/.ZCEP=ZC4B=3O°,

ZECP=NCPB-NCEP=30°,

:.ZPCE=ZPEC.(12分)

10.(2025?東明縣校級(jí)二模)已知等腰RtAABC和等腰RlAAED中,ZAC3=ZAED=9O。,且4?=AC

(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)點(diǎn)石在上且點(diǎn)C和點(diǎn)。重合時(shí),若點(diǎn)M、N分別是比■的中點(diǎn),則MN

與EC0勺位置關(guān)系是_MN1EC_,MN與比'的數(shù)量關(guān)系是

(2)探究:若把(1)小題中的AAED繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖2所示,連接瓦)和EC,并連接

EC的中點(diǎn)M、N,則與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎?若成立,請(qǐng)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得

到的圖形(圖3)為例給予證明位置關(guān)系成立,以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的圖形(圖4)為例給予證明數(shù)量

關(guān)系成立,若不成立,請(qǐng)說明理由.

【解答】解:(1)MN工EC,MN=-EC\

2

理由:?.?當(dāng)點(diǎn)E在A6上且點(diǎn)C和點(diǎn)。重合時(shí),點(diǎn)”、N分別是DB、EC的中點(diǎn),

.?.MN是三角形AE7)的中位線,

/-1

:.MN-BE,

2

等月要RtAABC和等月要RtAAED中,ZACB=ZAED=90。,且AO=AC,

:.BE=DE>ZAE£>=90°,

「.MV與EC的位置關(guān)系是:MNA.EC,MN與EC的數(shù)量關(guān)系是:MN=-EC.

2

故答案為:MNA.EC,MN=-EC;

2

(2)MN工EC,MN=-EC\

2

理由:如圖3,連接EM并延長到/,使=連接CM、CF、BF.

在^EDM和MBM中,

DM=MB

?NEMD=ZFMB,

ME=FM

:毋DM"FBM(SAS),

:.BF=DE=AE,NFBM=4EDM=135°,

/.NmC=N£4C=90°,

在AE4C和AFBC中,

AE=BF

<NEAC=NFBC,

AC=BC

:.^EAC^AFBC(SAS),

:.FC=EC、ZFCB=4ECA,

ZECF=4FCB+ARCE=ZEC4+/BCE=90。,

:.EC工FC,

又?.?點(diǎn)M、N分別是£F、EC的中點(diǎn),

:.MNMFC,

:.MN1EC,

如圖4,連接EM并延長交3C于廣,

-.?ZA£D=ZACB=90°,

:.DE//BC,

:.ZDEM=ABFM,ZEDM="BF,

在gDM和MBM中,

NMFB=NDEM

<上FBM=NEDM,

BM=DM

AEDM二^FI3M(AAS),

:.BF=DE=AE,EM=FM,

:.MN=-FC=-(BC-BF)=-(AC-AE)=-EC,

2222

B

11.(2024?太原二模)如圖(1),點(diǎn)尸是正方形的邊AB上一點(diǎn),以AF為邊在正方形的外部作

A4),使乙4注=90°,鉆=壓,點(diǎn)O是線段CE的中點(diǎn),連接。3,OF,請(qǐng)?zhí)骄烤€段03,"的數(shù)

量關(guān)系和位置關(guān)系.

小穎的思路:延長也交8C于點(diǎn)G,通過構(gòu)造全等三角形解決.

(1)請(qǐng)按小穎的思路解決圖(1)中的問題:

①證明:AEOFWCOG;

②直接寫出(用,QF的位置關(guān)系為上OF_,數(shù)量關(guān)系為.

(2)將圖(1)中的ZV正/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使AE落在對(duì)角線G4的延長線」.,其余條件都不變,請(qǐng)寫出

此時(shí)08,■的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;

(3)將圖(2)中的正方形變?yōu)榱庑?,其?$C=60。,將等腰4叵的頂角變?yōu)?20。,其余條件都

OB

不變,此時(shí)線段08,"的位置關(guān)系為

------OF

【解答】解:(1)①?.?四邊形ABCD是正方形,

AB=BCfZABC=90°Za4C=Z5C4=45°.

?.?NAEE=90°,

...ZAFE=ZABC,

:.EF/!BC,

NFE。=ZGCO.ZEFO=Z.CGO.

???O是線段CE的中點(diǎn),

/.EO=CO.

在SFEO和△GCO中,

Z.FEO=AGCO

ZEFO=ZCGO,

EO=CO

:.bFEO=^GCO(AAS).

②??AFEO二△GCO,

:.EF=CG.FO=GO=-FG.

2

?.?AF=FE,

AF=CG.

AB-AF=CB—CG,

:.BF=BG,

?.?/4BC=90°,

:.BOlFOBO=-FG,

f2

BO-FO.

故答案為:BO1FO,BO=FOx

(2)BOVFO,BO=FO.

理由:延長尸O交3c于G,

7四邊形A4CD是正方形,

/.AB=BC,ZABC=/BCD=ABAD=NBAE=90PNE4C=NBCA=45°.AB"CD,

?.?/4匹=90°,

:.ZAFE=ZABCf

:.EF3BA,

:.EF/!CD.

:"FEO=NGCO.ZEFO=ZCGO.

??,O是線段C£的中點(diǎn),

:.EO=CO.

在AFEO和AGCO中,

NFEO=NGCO

?ZEFO=NCGO,

EO=CO

:.^FEO^^GCO(AAS).

:.EF=CG.FO=GO=-FG.

2

';AF=FE?

AF=CG.

在AKA?和AH/JG中

AF=CG

,NBAF=4BCG

AB=CB

;.MA八岫DG(SAS),

:.BF=BG,ZABF=/CBG.

〃BG+NCBG=90。,

...NABF+NABG=90°,

即ZFBG=90°f

:.BOA.FO,BO=-FG

2f

BO=FO.

(3)過點(diǎn)。作CG//EE交尸O的延長線于點(diǎn)G,

ZFEO=Z.GCO.ZEFO=Z.CGO.

???O是線段CE的中點(diǎn),

;.EO=CO.

在AFEO和AGCO中,

ZFEO=Z.GCO

,NEFO=NCGO,

EO=CO

:.SFEO^^GCO(AAS).

:.EF=CG.FO=GO.

-:AF=FE,

AF=CG.

?.?四邊形ABC。是菱形,

..AB=BC=CD=AD.

?.?ZABC=60°,

:.^ABC是等邊三角形,

:.^BAC=ZBCA=ar.

?/AF=EF,ZAFE=120°,

.?.NK=N£4尸=30。,

」.ZBAF=90°,NGCO=ZFEO=303

...NACU=90°,

在「.AM廠和ABCG中

AF=CG

,NBAF=/BCG,

AB=CB

:.ABAF^KSDG(SAS)

;.BF=BG,ZABF=Z.CBG.

?.?NA8G+NC8G=60°,

/.ZABF+ZABG=60°,

即N/7G=60。,

.?.AFBG為等邊三角形,

:.BF=BG=FG.

?:FO—GO,

:.BOA.FO,FB=2FO.

設(shè)EO=x,則b8=2工,在RtABOF中,由勾股定理,得

BO=yj3x

:段無=&.

FOx

故答案為:BOA.FO,石.

13

歲—富

D

圖(D圖(2)圖⑶

12.(2024?義烏市模擬)已知:A4BC是等腰直角三角形,四邊形皮無產(chǎn)是正方形,尸是EC的中點(diǎn).

A

B&C一VD

圖a圖b

圖CD

(1)如圖”,當(dāng)B、D、C在同一直線上時(shí),請(qǐng)?zhí)骄啃『褪?。的?shù)量關(guān)系有PA=PD,位置關(guān)系

有—.

(2)如圖》,把等腰直角AAHC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)C,恰好在射線六石上時(shí):

問題①:(1)中得到的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)加以證明.

問題②:若正方形也無產(chǎn)的面積為1,等腰直角AA8C的面積為),,PC的長為一求),關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式.

(3)如圖c,把等腰直角A48C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一般位置時(shí),請(qǐng)直接寫出(1)中得到的結(jié)論一

定—(填

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