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文檔簡介
海盜埋寶模型
1.(2025春?渠縣校級(jí)期末)已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角A/WC和等腰直角AC£『,
zS4BC=ZCEF=90°,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MK、ME
(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí),求證:MA〃C尸;
(2)如圖1,若C8=〃,CE=2at求,ME的長;
(3)如圖2,當(dāng)ZBCE=45。時(shí),求證:BM=ME.
2.(2025?臺(tái)安縣模擬)(1)如圖1所示,在等腰三角形ABC中,AB=ACf分別以"和AC為斜邊,
向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形,M是3C的中點(diǎn),連接和ME.則線段MD,ME之間的數(shù)量
關(guān)系是.
(2)如圖2所示,在任意三角形ABC中,分別以AA和AC為斜邊向AAAC的外側(cè)作等腰直角三角形,
M是AC的中點(diǎn),連接和M£,探究與何f具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?并說明理由.
(3)如圖3所示,在任意三角形ABC中,分別以和AC為斜邊,向AA8C的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角
形,M是8c的中點(diǎn),連接M。、ME、DE,若MD=2,請(qǐng)直接寫出線段0E的長.
3.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)在AAAC,△€?£)£中,ZE4C=ZDEC=90°,連接加,F(xiàn)為BD中點(diǎn)、,
連接Ak,上廠.
(1)如圖1,若A,C,E三點(diǎn)在同一直線上,NABC=/EDC=45。,已知AB=3,DE=5,求線段AT
的長;
(2)如圖2,若乙鉆C=ZTOC=45。,求證:AA£F為等腰直角三角形;
(3)如圖3,若ZABC=ZEDC=30。,請(qǐng)判斷A4£F的形狀,并說明理由.
4.(2024?長興縣二模)如圖,兩個(gè)等腰RtAABC,RtACEF,ZABC=NCEF=90。,C8與CE在同一直線
上,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MB、ME.
(1)求證:M13//CF:
(2)若C3=2,CE=4.求4"、ME的長.
5.(2025?沂源縣一模)已知如圖1,在A4AC中,ZAC7?=9O。,4C=AC,點(diǎn)。在/W上,DELAB交BC
于八點(diǎn)”是At的中點(diǎn)
(1)寫出線段如與線段小的關(guān)系并證明;
(2)如圖2,招'ABDE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0。<。<90。),其它條件不變,線段如與線段FC的關(guān)系是
否變化,寫出你的結(jié)論并證明;
(3)將拉花花繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,如果8C=4,BE=2叵,直接寫出線段8尸的范圍.
6.(2025秋?荔城區(qū)校級(jí)期末)如圖,四邊形例8是正方形,點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn).
(1)問題解決:如圖①,連接及7,分別取CB,BO的中點(diǎn)P,Q,連接PQ,則PQ與BO的數(shù)量關(guān)
系是—,位置關(guān)系是.
(2)問題探究:如圖②,將圖①中的AAQ4繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△人。£,連接CE,點(diǎn)P,
Q分別為CE,BO的中點(diǎn),連接PQ,PB.試判斷。。與碰之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)柘展延伸:如圖③,將圖①中的AAQ3繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△A0E.連接4。,點(diǎn)
P,Q分別為CE,的中點(diǎn),連接PQ,PB.若正方形力BCZ)的邊長為1,求線段尸。的長.
7.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)如圖,已知AABC,BC邊的中點(diǎn)、M,
(1)分別以M和AC為腰,向AAHC的外側(cè)作等腰三角形,其中AD=A?,AC=AEt且
ZBAE=ZDAC=90°f如圖1所示.
①若Zfi4C=70。,求/DAE的度數(shù);
②求證:DE=2AM;
(2)分別以AB和AC為斜邊,向AA3C的外側(cè)作等腰直角三角形,其中NAL>4=ZA£C=90。,如圖2
所示,連接和ME,則MD和具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過程.
8.(2025?越秀區(qū)校級(jí)模擬)在RtAABC中,ZAC3=90。,tan/BAC」.點(diǎn)。在邊AC上(不與A,C重
2
合),連接80,F為BD中點(diǎn)、.
(1)若過點(diǎn)D作。石_LA5于石,連接b、EF、CE,如圖1.設(shè)CF=kEF,則攵=;
(2)若將圖1中的AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得。、E、8三點(diǎn)共■線,點(diǎn)廠仍為3。中點(diǎn),如圖2.求證:
I3E-DE=2CF:
(3)若成?=6,點(diǎn)。在邊4c的三等分點(diǎn)處,將線段4)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)尸始終為4。中點(diǎn),求線段CF
長度的取值范圍.
備困
9.(2024?槐蔭區(qū)一模)如圖1,在A4AC中,ZC=90°,ZA=3O°,。為AC邊上一點(diǎn),JLCD=2/AD=4,
過點(diǎn)。作DEkAB于點(diǎn)、E.
(1)求的長;
(2)如圖2,將AWE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,延長DE交AC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)、F,連接C/.求證:
點(diǎn)廠是的中點(diǎn).
(3)如圖3,在AAQE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)DE的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)8時(shí),若點(diǎn)P為3。的
中點(diǎn),點(diǎn)戶是A4的中點(diǎn),連接CP、PF.求證:4PCE=4PEC.
10.(2025?東明縣校級(jí)二模)已知等腰RtAABC和等腰RlAAED中,ZACB=Z4ED=90°,且AD=AC
(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)點(diǎn)石在上且點(diǎn)C和點(diǎn)。重合時(shí),若點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn),則MN
與EC的位置關(guān)系是,MN與EC的數(shù)量關(guān)系是
(2)探究:若把(1)小題中的AAED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖2所示,連接3。和EC,并連接
EC的中點(diǎn)歷、N,則與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎?若成立,請(qǐng)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得
到的圖形(圖3)為例給予證明位置關(guān)系成立,以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的圖形(圖4)為例給予證明數(shù)量
關(guān)系成立,若不成立,請(qǐng)說明理由.
11.(2024?太原二模)如圖(1),點(diǎn)尸是正方形八ACT)的邊回上一點(diǎn),以AF為邊在正方形的外部作A/熾,
使4心七=9(r,點(diǎn)。是線段C上的中點(diǎn),連接。6,Ob,請(qǐng)?zhí)骄烤€段(加,沙的數(shù)量關(guān)系和
位置關(guān)系.
小穎的思路:延長也交8c于點(diǎn)G,通過構(gòu)造全等三角形解決.
(1)請(qǐng)按小穎的思路解決圖(1)中的問題:
①i正明:MOFwCOG;
②直接寫出。3,的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為.
(2)將圖(1)中的繞點(diǎn)從旋轉(zhuǎn),使AE落在對(duì)角線。的延長線上,其余條件都不變,請(qǐng)寫出
此時(shí)OB,O尸的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;
(3)將圖(2)中的正方形變?yōu)榱庑?,其中NABC=60°,將等腰44£尸的頂角變?yōu)?20。,其余條件都
不變,此時(shí)線段03,"的位置關(guān)系為,—=.
OF
12.(2024?義烏市模擬)已知:叢8C是等腰直角三角形,四邊形BDEF是正方形,尸是EC的中點(diǎn).
(1)如圖叫當(dāng)8、D、。在同一直線上時(shí),請(qǐng)?zhí)骄浚ズ?的數(shù)量關(guān)系有,位置關(guān)系有.
(2)如圖〃,把等腰直角AA3C繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)C恰好在射線正上時(shí):
問題①:(1)中得到的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)加以證明.
問題②:若正方形以無戶的面積為1,等腰直角A4AC的面積為),,PC的長為尤,求),關(guān)于A?的函數(shù)關(guān)
系式.
(3)如圖c,把等腰直角AA4C繞點(diǎn)“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一般位置時(shí),請(qǐng)直接寫出(1)中得到的結(jié)論一
定(填“成立”或“不成立”).
13.(2024?南昌)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過槎:
(1)堞作發(fā)現(xiàn):在等腰AABC中,AB=ACf分別以AB和4c為斜邊,向AA8C的外側(cè)作等腰直角三
角形,如圖1所示,其中OF_L至于點(diǎn)尸,EGJ.AC于點(diǎn)G,M是AC的中點(diǎn),連接MD和ME,則下
列結(jié)論正確的是(填序號(hào)即可)
①A/=AG」AB;②MD=ME;③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形;④
(2)數(shù)學(xué)思考:在任意A4BC中,分別以和AC為斜邊,向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖
2所示,M是BC的中點(diǎn),連接M£>和ME,則MD和ME■具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)給出證明過程;
(3)類比探究:
⑺在任意A43c中,仍分別以AB和AC為斜邊,向A43C的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖3所示,M是
3C的中點(diǎn),連接“£>和ME,試判斷AMED的形狀.答:.
(”)在三邊互不相等的AA6。中(見備用圖),仍分別以和AC為斜邊,向A43C的內(nèi)側(cè)作(非等腰)
直角三角形和(非等腰)直南三角形ACE,M是8c的中點(diǎn),連接MD和ME,要使(2)中的結(jié)
論此時(shí)仍然成立,你認(rèn)為需增加一個(gè)什么樣的條件?(限用題中字母表示)并說明理由.
14.如圖,在等腰AA8c中,AI3=AC=5fBC=6,。為射線3c上一點(diǎn)(。不與"重合).
(0當(dāng)區(qū))=3時(shí),求證:AADC是直角三角形.
(2)當(dāng)AAZX:是以AC為腰的等腰三角形時(shí),求A4BO的面積.
(3)作點(diǎn)C關(guān)于4)的對(duì)稱點(diǎn)C,當(dāng)直線CO與AABC中A5或8c所在直線垂直時(shí),求用)的長.
BD
1.(2025春?渠縣校級(jí)期末)已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角MAC和等腰直角AC",
ZA^C=ZCb?=9(r,連接A?,M是AA的中點(diǎn),連接幅、ME
(1)如圖1,當(dāng)C8與CE在同一直線上時(shí),求證:M8//C尸;
(2)如圖1,若CB=a,CE=2a,求,ME的長;
(3)如圖2,當(dāng)ZBC£=45。時(shí),求證:BM=ME.
【解答】證明:(1)如圖1,延長8M交火于點(diǎn)£),
ZABE=ZABC=NCEF=90°,
:.AB//EF
,ZDFM=ZBAM,且=ZAMB=ADMF
^^FDM(ASA)
:.AB=DF,BM=DM
,在等腰直角AAAC和等腰直角△€*£1/中,AB=BC,EC=EF,ZFCE=45°
.?.DF=AB=BC
:.EC-BC=EF-DF
;.BE=DE,且N8ED=90。
NEBD=45o=NFCE
(2)由(1)可知:AB=BC=DF,BM=DM
\CB=a,CE=2a,
:.BE=DE=a,且NC印=90。
是等腰直角三角形,3。="/,且BM=DM
:.BM=EM=-BD=—a,
22
(3)如圖2,延長A4交C石于點(diǎn)。,連接OF,延長正與as交于點(diǎn)G,連接AG,
?.?AABC是等腰直角三角形
/.AB=BC,ZR4C=ZBC4=45°,Z4BC=90°
???NECB=45。
NBDC=45°=/ECB=ZCAB
:.BD=BC,AC=CD
YAB=BD,點(diǎn)M為A尸中點(diǎn),
:.BM=-DF.
2
同理可得:CF=CG,ME=-AG.
2
在AACG與ADC/;中,
AC=CD
?ZACG=ZDCF=45°
CG=CF
.-.MCG^ADCF(SAS),
:.DF=AG,
:.BM=ME.
2.(2025?臺(tái)安縣模擬)(1)如圖1所示,在等腰三角形A比中,46=AC,分別以/W和AC為斜邊,
向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形,M是4C的中點(diǎn),連接H/)和則線段M7),例石之間的數(shù)量
關(guān)系是_MD=ME_.
(2)如圖2所示,在任意三角形ABC中,分別以他和4C為斜邊向A48C的外側(cè)作等腰直角三角形,
M是8c的中點(diǎn),連接和ME,探究MD與核具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?并說明理由.
(3)如圖3所示,在任意三角形ABC中,分別以和AC為斜邊,向&WC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角
形,M是5。的中點(diǎn),連接M3、ME、DE,若MD=2,請(qǐng)直接寫出線段QE的長.
圖1圖2圖3
【解答】解:(1)MD=ME.
?「AA/M和AAEC是等腰直角三角形,
「.ZABD=ZDAB=ZACE=ZEAC=45。,ZADB=ZAEC=90°
在和AAEC中,
NADB=NAEC
<ZABD=乙ACE,
AB=AC
...AA/JK蘭A4KC(A4S),
:.BD=CE,4)=AE,
,.?M是BC的中點(diǎn),
:.BM=CM.
???A8=AC,
.\ZABC=ZACB,
ZABC+ZABD=ZACB+ZACE,
即/DBM=NECM.
在ADBM和AECM中,
BD=CE
,NDBM=Z.ECM,
BM=CM
:.及)BM統(tǒng)怔CM(SAS),
:.MD=ME.
故答案為
(2)MD=ME,MDLME.
理由如下:
取AB,AC的中點(diǎn)尸,G,連接小,F(xiàn)M,MG,EG,設(shè)鉆與DM交于點(diǎn)”,如圖2,
D
圖2
???AA/M和AAEC都是等腰直角三角形,
.\ZDM=ZEG4=90°,DF=AF=-AB,EG=AG=-AC.
22
?.?點(diǎn)“是AC的中點(diǎn),
二.「加和MG都是AABC的中位線,
/.AFNMG,AF=DF=MG,
.??四邊形AfMG是平行四邊形,
:.FM=AG=GE,=,
NZ*M=ZMGE.
在ADFM和AA7GE中,
?;FM=GE,/DFM=NMGE,DF=MG,
\DFM=AMGE(SAS),
:.MD=ME,"DM=NGME.
ZBHM=90。+/FDM=9(T+NGME,ABHM=/HMG="ME+4GME,
/.ZDAfE=90°,B|J
(3)線段OE的長為2&,理由如下:
分別取AB,AC的中點(diǎn)尸,G,連接MADF,MG,EG、設(shè)。尸和MG交于點(diǎn)”,如圖3,
和AAEC都是等腰直角三角形,
/.ZDM=ZEGA=90。,DF=AF=-AB.EG=AG=-AC.
22
?.?點(diǎn)加是AC的中點(diǎn),
/.FM和A/G都是SABC的中位線,
AFHMG,AF=DF=MG,
二四邊形A廠MG是平行四邊形,
.JM=AG=GK,ZAbM=ZA(JM,
QFM=ZMGE.
在拉汨必和&0GE中,
FM=GE,ZDFM=ZMGE,DF=MG,
:.ADFM^^MGE(SAS).
:.MD=ME,NFDM=NGME.
OF_LAB即NFHM=90°.
又「NFHM=ZHMD+4FDM,
/.4FHM=/HMD+NGME=NDME=%F,
.?.4)例£是等腰直角三角形,
在RlADME中,MD=ME=2,
由勾股定理,得DE=獷+”/?2=$2+22=)6.
3.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)在AA8C,ACDE中,ZB/1C=ZDEC=90°,連接班>,F為BD中點(diǎn),
連接AF,EF.
(1)如圖1,若A,C,E三點(diǎn)在同一直線上,ZABC=NEDC=45。,已知AB=3,DE=5,求線段AF
的長;
(2)如圖2,若N48C="DC=45。,求證:AA樣為等腰直角三角形;
(3)如圖3,若乙48C=NWDC=30。,請(qǐng)判斷的形狀,并說明理由.
D
圖1
在RtAABC,RlACDE中,AZABC=NEDC=45°,
7.ZACB=ZhCZJ=45u,AB=AC>ED=EC,
■「A,C,E三點(diǎn)在同一直線上,
/.ZBCD=90°,
???/為現(xiàn))的中點(diǎn),
:.CF=DF=BF,
AB=AC
vAF=AFf
CF=BF
:.MCFwMBF(SSS),
ZC4F=-ZC4B=45°,
2
同理:△ECFwbEDF(SSS),/CEF=二NCED=45。,
2
.?.AACF為等腰直角三角形,
VAC=AB=3,CE=DE=5,
AE=S,AF=—AE=4yf2.
2
(2)證明:取8c的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接AM,EN,FN,
?.?尸為的中點(diǎn),
EVf為ABC£>的一條中位線,
.-.FM//CD,FM=-CD=CN,
2
.??四邊形MCVr為平行四邊形,CM=FN,MF=CN,/CMF乙FNC,
???在RtAABC中,M為8C的中點(diǎn),
/.ZAMC=90°,AM=CM,
同理:Z£7VC=9O°,EN=CN,
/.AM=FN,MF=EN,
ZAMF=ZAMC+Z.CMF=ZEVC+/CNF=/FNE.
AM=FN
?ZAMF=NFNE,
MF=NE
:.^AMF^^FNE(SAS)f
.\AF=EF,ZAFM=/FEN,
?ZAFE=ZM/W-ZAFM-ZEFN=180。一乙FNC-乙FEN-NEFN=ZZWC=90°.
.??AAEF為等腰直角三角形;
(3)證明:取BC的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接AM,MF,EN,FN,
圖3
?.?1為3D的中點(diǎn),
.??萬加為MC£>的一條中位線,
;.FM〃CD,FM=、CD=CN,
2
四邊形MCN尸為平行四邊形,CM=FN,MF=CN,4cMF=4FNC,
?.?在RlAABC中,M為8c的中點(diǎn),
「.Z/WC=60。,AM=CM,
同理:Z£7VC=6O°,EN=CN,
AM=FN.MF=EN,
ZAMF=ZAMC+NCMF=ZENC+/CNF=NFNE.
AM=FN
???,/AMF=NFNE,
MF=NE
=AFNE(SAS),
:.AF=EF,ZAFM=NFEN,
VZAFE=ZM/W-ZAAM-ZE/W=180°-Z/WC-ZF£7V-ZE/W=Z£A^C=60°.
.?.A/K為等邊三角形.
4.(2024?長興縣二模)如圖,兩個(gè)等腰RtAABC,RtACEF.ZABC=NCK產(chǎn)=90。,CB與CK在同一?直
線上,連接AF,M是好的中點(diǎn),連接他、ME.
(1)求證:MBI/CF;
(2)若C8=2,Ch=4.求AM、Alt的長.
【解答】證明:(1)延長A8交。”于。,則三角形ABC與三角形3c。為等腰直角三角形
;.AB=BC=BD
「.8為AD中點(diǎn)
又為AF中點(diǎn)
BM為三角形ADF中位線
:.BM//CF
(2)延長8例交)■于產(chǎn)
?.?BE=CE—CB=2
/SAI3M二MPM
:.BM=DM
又〈MEP為等腰直角三角形
.?.4府為等腰直角三角形
=ME=-BE=42.
2
5.(2025?沂源縣一模)已知如圖1,在A/WC中,NAC3=90。,4C=AC,點(diǎn)。在AA上,DE上AB交BC
于E,點(diǎn)尸是AE的中點(diǎn)
(1)寫出線段皿與線段fC的關(guān)系并證明;
(2)如圖2,將ABDE繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)扇0。<儀<90。),其它條件不變,線段尸。與線段”'的關(guān)系是
否變化,寫出你的結(jié)論并證明;
(3)將她。£繞點(diǎn)笈逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,如果BC=4,BE=20,直接寫出線段3b的范圍.
圖2
【解答】解:(1)結(jié)論:FD=FC,DF±CF.
.?DF=AF=EF=CF,
:.ZFAD=ZFDAfZMC=NFC4,
:.ZDFE=NFDA+"AD=2NFAD,ZE尸C=/必。+NEC4=2ZMC,
?.CA=CB,ZACB=90°,
...za4c=45。,
4DFC=ZEFD+4EFC=2(ZMD+ZFAC)=90°,
:.DF=FC,DF±FC.
(2)結(jié)論不變.
理由:如圖2中,延長AC到〃使得CM=C4,延長ED到N,使得DN=DE,連接砒、BM.EM、
/W,延長ME交4V于”,交于O.
?.?AC,AC=CM,
:.BA=BM,同法
ZABM=/EBN=好,
:.ZNBA=NEBM,
:.AN=EM,
;.NBAN=NBME,
?;AF=FE,AC=CM,
:.CF=-EM,FC//EM,同法W=,AN,FD//ANf
22
:.FD=FC,
/BME+/BOM=90°,/BOM=ZAOH,
/BAN+/AOH=9(T,
.?.ZAM?=90。,
:.AN1MH,FDLFC.
方法二:延長C尸到M.使得CE=FM,連接EM,CD,CE,DM,證明△aw是等腰直角三角形即
M
可解決問題.圖2
(3)如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E落在回上時(shí),M的長最大,最大值=3上
如圖4中,當(dāng)點(diǎn)E落在A6的延長線上時(shí),的值最小,最小值=上.
6.(2025秋?荔城區(qū)校級(jí)期末)如圖,四邊形ABC。是正方形,點(diǎn)O為對(duì)角線4C的中點(diǎn).
(1)問題解決:如圖①,連接80,分別取C8,80的中點(diǎn)尸,Q,連接PQ,則PQ與80的數(shù)量關(guān)
系是_PQ=go8_,位置關(guān)系是—.
(2)問題探究:如圖②,將圖①中的AAO8繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△AOE,連接CE,點(diǎn)P,
Q分別為CE,80的中點(diǎn),連接PQ,試判斷PQ與時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)拓展延伸:如圖③,將圖①中的AAQA繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到連接區(qū)O,點(diǎn)
產(chǎn),。分別為CE,8。的中點(diǎn),連接PQ,PB.若正方形A8CD的邊長為1,求線段PQ的長.
醫(yī)③
【解答】(1)解:?.?點(diǎn)。為對(duì)角線4c的中點(diǎn),
:.BOlACfBO=CO,
?.?尸為3c的中點(diǎn),Q為40的中點(diǎn),
:.PQ//OCfPQ=;OC,
;.PQ工BO,PQ=;BO;
故答案為:PQ=-BO.PQA.BO.
2
(2)結(jié)論:PQ=BQ.
證明:如圖②中,連接。P并延長交AC于點(diǎn)八
?.?四邊形A8CD是正方形,
AB=BC,ZABC=90。,
將MO3繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△AO'E,
.,.△AOE是等腰直角三角形,(JE//BC,(那=0”,
NOEP=4FCP,4POE=4PFC,
又?.?點(diǎn)。是。石的中點(diǎn),
:.CP=EP,
:.△OPE合AFPC(AAS),
OE=FC=OA,OrP=FP,
AB-O'A=CB-FC^
BO=BF,
.?.△。所為等腰直角三角形.
;.BP工。F,0fp=BP,
也為等腰直角三角形.
又?.?點(diǎn)Q為07?的中點(diǎn),
;.PQA.O'B,PQ=BQ.
解法二:如圖,取8E的中點(diǎn)“,連接尸M,
?.?EP=PC.EM=MB,
:.PM=-BC,PMIIBC,
2
rEOUCB、EM=BM、PMHEC,
二.PM平分線段BO,
.?.點(diǎn)。在PM上,
.,.MQ=;EO=;AO,
/.PQ=PM-MQ=^BC-^AO'=^(AB-A(7)=^BCy,
:.PQ1BQ,PQ=BQ.
(3)解:如圖③中,延長OZ交BC邊于點(diǎn)G,連接PG,O'P.
圖③
?.?四邊形A4CD是正方形,AC是對(duì)角線,
ZECU=45°,
由旋轉(zhuǎn)得,四邊形0A8G是矩形,
,
..OG=AB=BCfZEGC=90°,
AfGC為等腰直角三角形.
?.?點(diǎn)P是。石的中點(diǎn),
:.PC=PG=PE,NCPG=90°,"GP=45。,
.?.△OGPwABCP(SAS),
/.NOPG=NBPC,O'P=BP,
...ZC/PG-NGPB=/BPC-2GPB=90。,
/.NO'PB=90。,
尸8為等腰直角三角形,
?.?點(diǎn)Q是。8的中點(diǎn),
/.PQ=;O,B=BQ,
?.?44=1,AO=AO>=—,
2
BO=JAB?+/=卜+(多2二手,
...加=“0=中.
解法二:連接石B,取£8的中點(diǎn)7,連接。/,PT.
圖③
-:BQ=QO,B「=TE,
:.QT/!EO,QT=^EOf=^
?.?EP=PC.ET=TB,
:.PT=-BC=-,PTiiCB,
22
\-BC//AD,EOLADy
QT1PT,
PQ=^QT-+PT2=J(¥)2+皆=當(dāng)
7.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)如圖,已知MAC,AC邊的中點(diǎn)
(1)分別以/W和AC為腰,向AABC的外側(cè)作等腰三角形,其中A£>=AB,AC=AE,且
ZBAE=ZZi4C=90°,如圖1所示.
①若ZBAC=70。,求ZZME的度數(shù);
②求證:DE=2AM;
(2)分別以A3和AC為斜邊,向AA4C的外側(cè)作等腰直角三角形,其中NAD4=NA£C=90°,如圖2
所示,連接和ME,則M。和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過
【解答】(1)①解:?.?NDlC=4AE=90o,N8AC=70°,
:.ZDAB=ZCAE=2(Tf
:.ZDAE=ADAB+ZBAE=\W.
②證明:如圖1中,延長AM到R,使得=連接8R,CR.
?;AM=MR,ZAMC=/RMB,CM=MB,
..^AMC^^RMB(SAS),
.\AC=BR1"AC=ZMRB,
ACiiBR,
ZABR=18O0-Na4C,
?.?ZZi4E=180°-Zfl?AC,
:.ZDAE=ZABR>
?;AL)=AB>AA=AC,
:.AD=AB,ZDAE=ZABR,AE=BR,
:.ADAE=^ABR(SAS),
;.DE=AR,
\'AR=2AMf
:.DE=2AM.
(2)解:如圖2,取A4、AC的中點(diǎn)八G,連接OF,MFyEG,MG,設(shè)43交DW于〃.
:.AF=-ABAG=-AC.
2t2
?.?A4A£>和A4EC是等腰直角三角形,
:.DF1AB,DF=-AB,EG2-ACEG=-ACf
22
/.ZAFD=ZAGE=90o,DF=AF,GE=AG.
?.?M是BC的中點(diǎn),
:.MF11AC,MGHAB,
.?.四邊形AFMG是平行四邊形,
:.AG=MFfMG=AF,ZAFM=ZAGM.
:.MF=GE,DF=MG,ZAFM+ZAFD=ZAGM+ZAGE,
ZD/M=ZA/GE,
=N^GE(SAS),
:,DM=ME.NFDM=NGME,
MGUAB,
:.NGMH=/BHM,
?/ZBHM=90°+ZFDM,
;.ZBHM=900+NGME,
ABHM=QME+ZGME,
:.ZDME+ZGME=9(r+ZGMEf
即ZDME=90°,
:.MD工ME,
:.DM=ME,MDLME.
D
圖1
8.(2025?越秀區(qū)校級(jí)模擬)在RtAABC中,Z4CB=90°,tan/84C=L點(diǎn)。在邊AC上(不與A,C重
2
合),連接加,F(xiàn)為3D中點(diǎn)、.
則%=
(2)若將圖1中的AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得。、E、8三點(diǎn)共線,點(diǎn)廠仍為也)中點(diǎn),如圖2.求證:
BE-DE=2CF\
(3)若8。=6,點(diǎn)。在邊AC的三等分點(diǎn)處,將線段4)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)尸始終為3。中點(diǎn),求線段b
長度的取值范圍.
【解答】解:(1)???£>E_LA〃于E,F為BD中點(diǎn).
CF=-BD>EF=-BD>
22
:.CF=EF.
?;CF=kEF,
(2)如圖2,過點(diǎn)C作CE的垂線交班)于點(diǎn)G,設(shè)度)與AC的交點(diǎn)為Q.
由題意,tanZBAC=-,
2
-2?
???O、E、8三點(diǎn)共線,
:.AE1DB.
NBQC=ZAQD,N4C4=90°,
.?.NQBC=/EAQ.
?.?ZEC4+ZACG=90°,ZBCG+ZACG=90°,
.\ZECA=ZBCG.
..ABCG^MCE.
BCGB1
/.--------------------—.
ACAE2
:.GB=DE.
?”是BD中點(diǎn),
.,?廠是反;中點(diǎn).
在RlAECG中,CF=>EG,
2
:.BE-DE=EG=2CF\
(3)情況1:如圖,當(dāng)A£>,AC時(shí),取順的中點(diǎn)用,連接A/D和GW,
3
?.?N4CB=90。,tanZBAC=-且BC=6,
2f
..AC=12,AB=60
?.?M為初中點(diǎn),:.CM=3后,
VAD=-AC>
3
/.AP=4.
???何為根中點(diǎn),F(xiàn)為BD中點(diǎn),
:.FM=-AD=2.
2
.??當(dāng)且僅當(dāng)M、F、。三點(diǎn)共線且V在線段B上時(shí)最大,此時(shí)6=。M+尸”=2+3石.
同理最小值為3不-2.
情況2:如圖,當(dāng)4O=2AC時(shí),取回的中點(diǎn)“,連接”歹和CM,
3
類似于情況1,可知的最大值為4+3行.
綜合情況1與情況2,可知當(dāng)點(diǎn)Z)在靠近點(diǎn)。的
三等分點(diǎn)時(shí),線段的長度取得最大值為4+3石.
同理最小值為3石-4.
9.(2024?槐蔭區(qū)一模)如圖1,在AA4C中,ZC=9O°,4=30。,。為AC邊上一點(diǎn),且82A£)=4,
過點(diǎn)。作DE_LA5于點(diǎn)E.
(1)求44的長;
(2)如圖2,將A/VM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,延長DE交AC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)、F,連接CV.求證:
點(diǎn)〃是的中點(diǎn).
(3)如圖3,在AWE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)上的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)8時(shí),若點(diǎn)尸為發(fā))的
中點(diǎn),點(diǎn)戶是他的中點(diǎn),連接CP、PF.求證:NPCE=ZPEC.
【解答】解:(1)-.Cr>=2AD=4,
.\AD=2,
/.AC=CD+AD=6f(1分)
在RtAABC中,
/.ACpn6
COSZ.A=,L、|J——=,
AB2AB
解得:AB=4耳,(2分);
(2)由題意得:z7^G=ZEAF=60°,N£)=9O0-ND4E=6O。,(3分)
貝ljN88=90°,(4分)
小A廠
tanND=,
AD
-AF=>/3艮AF=2x/3,
2
:.AF=-AB,即尸是4〃的中點(diǎn).(5分);
2
(3)■.?點(diǎn)點(diǎn)尸分別是AD,朋的中點(diǎn),
:.PFNAD,(6分)
;"FPB=/D=O)。,(7分)
由(2)可知,AF=CF,
???ZFC4=ZMC=30°,
/.ZBCF=60°,(8分)
:4PB=NBCF,
:.C.B、F、?四點(diǎn)共圓,(9分)
:.NCPB=NCFB=OT,(10分)
':ZAEH=ZA(JB=^y,
二.A、E、C>3四點(diǎn)共圓,(11分)
/.ZCEP=ZC4B=3O°,
ZECP=NCPB-NCEP=30°,
:.ZPCE=ZPEC.(12分)
10.(2025?東明縣校級(jí)二模)已知等腰RtAABC和等腰RlAAED中,ZAC3=ZAED=9O。,且4?=AC
(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)點(diǎn)石在上且點(diǎn)C和點(diǎn)。重合時(shí),若點(diǎn)M、N分別是比■的中點(diǎn),則MN
與EC0勺位置關(guān)系是_MN1EC_,MN與比'的數(shù)量關(guān)系是
(2)探究:若把(1)小題中的AAED繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖2所示,連接瓦)和EC,并連接
EC的中點(diǎn)M、N,則與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎?若成立,請(qǐng)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得
到的圖形(圖3)為例給予證明位置關(guān)系成立,以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的圖形(圖4)為例給予證明數(shù)量
關(guān)系成立,若不成立,請(qǐng)說明理由.
【解答】解:(1)MN工EC,MN=-EC\
2
理由:?.?當(dāng)點(diǎn)E在A6上且點(diǎn)C和點(diǎn)。重合時(shí),點(diǎn)”、N分別是DB、EC的中點(diǎn),
.?.MN是三角形AE7)的中位線,
/-1
:.MN-BE,
2
等月要RtAABC和等月要RtAAED中,ZACB=ZAED=90。,且AO=AC,
:.BE=DE>ZAE£>=90°,
「.MV與EC的位置關(guān)系是:MNA.EC,MN與EC的數(shù)量關(guān)系是:MN=-EC.
2
故答案為:MNA.EC,MN=-EC;
2
(2)MN工EC,MN=-EC\
2
理由:如圖3,連接EM并延長到/,使=連接CM、CF、BF.
在^EDM和MBM中,
DM=MB
?NEMD=ZFMB,
ME=FM
:毋DM"FBM(SAS),
:.BF=DE=AE,NFBM=4EDM=135°,
/.NmC=N£4C=90°,
在AE4C和AFBC中,
AE=BF
<NEAC=NFBC,
AC=BC
:.^EAC^AFBC(SAS),
:.FC=EC、ZFCB=4ECA,
ZECF=4FCB+ARCE=ZEC4+/BCE=90。,
:.EC工FC,
又?.?點(diǎn)M、N分別是£F、EC的中點(diǎn),
:.MNMFC,
:.MN1EC,
如圖4,連接EM并延長交3C于廣,
-.?ZA£D=ZACB=90°,
:.DE//BC,
:.ZDEM=ABFM,ZEDM="BF,
在gDM和MBM中,
NMFB=NDEM
<上FBM=NEDM,
BM=DM
AEDM二^FI3M(AAS),
:.BF=DE=AE,EM=FM,
:.MN=-FC=-(BC-BF)=-(AC-AE)=-EC,
2222
B
11.(2024?太原二模)如圖(1),點(diǎn)尸是正方形的邊AB上一點(diǎn),以AF為邊在正方形的外部作
A4),使乙4注=90°,鉆=壓,點(diǎn)O是線段CE的中點(diǎn),連接。3,OF,請(qǐng)?zhí)骄烤€段03,"的數(shù)
量關(guān)系和位置關(guān)系.
小穎的思路:延長也交8C于點(diǎn)G,通過構(gòu)造全等三角形解決.
(1)請(qǐng)按小穎的思路解決圖(1)中的問題:
①證明:AEOFWCOG;
②直接寫出(用,QF的位置關(guān)系為上OF_,數(shù)量關(guān)系為.
(2)將圖(1)中的ZV正/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使AE落在對(duì)角線G4的延長線」.,其余條件都不變,請(qǐng)寫出
此時(shí)08,■的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;
(3)將圖(2)中的正方形變?yōu)榱庑?,其?$C=60。,將等腰4叵的頂角變?yōu)?20。,其余條件都
OB
不變,此時(shí)線段08,"的位置關(guān)系為
------OF
【解答】解:(1)①?.?四邊形ABCD是正方形,
AB=BCfZABC=90°Za4C=Z5C4=45°.
?.?NAEE=90°,
...ZAFE=ZABC,
:.EF/!BC,
NFE。=ZGCO.ZEFO=Z.CGO.
???O是線段CE的中點(diǎn),
/.EO=CO.
在SFEO和△GCO中,
Z.FEO=AGCO
ZEFO=ZCGO,
EO=CO
:.bFEO=^GCO(AAS).
②??AFEO二△GCO,
:.EF=CG.FO=GO=-FG.
2
?.?AF=FE,
AF=CG.
AB-AF=CB—CG,
:.BF=BG,
?.?/4BC=90°,
:.BOlFOBO=-FG,
f2
BO-FO.
故答案為:BO1FO,BO=FOx
(2)BOVFO,BO=FO.
理由:延長尸O交3c于G,
7四邊形A4CD是正方形,
/.AB=BC,ZABC=/BCD=ABAD=NBAE=90PNE4C=NBCA=45°.AB"CD,
?.?/4匹=90°,
:.ZAFE=ZABCf
:.EF3BA,
:.EF/!CD.
:"FEO=NGCO.ZEFO=ZCGO.
??,O是線段C£的中點(diǎn),
:.EO=CO.
在AFEO和AGCO中,
NFEO=NGCO
?ZEFO=NCGO,
EO=CO
:.^FEO^^GCO(AAS).
:.EF=CG.FO=GO=-FG.
2
';AF=FE?
AF=CG.
在AKA?和AH/JG中
AF=CG
,NBAF=4BCG
AB=CB
;.MA八岫DG(SAS),
:.BF=BG,ZABF=/CBG.
〃BG+NCBG=90。,
...NABF+NABG=90°,
即ZFBG=90°f
:.BOA.FO,BO=-FG
2f
BO=FO.
(3)過點(diǎn)。作CG//EE交尸O的延長線于點(diǎn)G,
ZFEO=Z.GCO.ZEFO=Z.CGO.
???O是線段CE的中點(diǎn),
;.EO=CO.
在AFEO和AGCO中,
ZFEO=Z.GCO
,NEFO=NCGO,
EO=CO
:.SFEO^^GCO(AAS).
:.EF=CG.FO=GO.
-:AF=FE,
AF=CG.
?.?四邊形ABC。是菱形,
..AB=BC=CD=AD.
?.?ZABC=60°,
:.^ABC是等邊三角形,
:.^BAC=ZBCA=ar.
?/AF=EF,ZAFE=120°,
.?.NK=N£4尸=30。,
」.ZBAF=90°,NGCO=ZFEO=303
...NACU=90°,
在「.AM廠和ABCG中
AF=CG
,NBAF=/BCG,
AB=CB
:.ABAF^KSDG(SAS)
;.BF=BG,ZABF=Z.CBG.
?.?NA8G+NC8G=60°,
/.ZABF+ZABG=60°,
即N/7G=60。,
.?.AFBG為等邊三角形,
:.BF=BG=FG.
?:FO—GO,
:.BOA.FO,FB=2FO.
設(shè)EO=x,則b8=2工,在RtABOF中,由勾股定理,得
BO=yj3x
:段無=&.
FOx
故答案為:BOA.FO,石.
13
歲—富
D
圖(D圖(2)圖⑶
12.(2024?義烏市模擬)已知:A4BC是等腰直角三角形,四邊形皮無產(chǎn)是正方形,尸是EC的中點(diǎn).
A
B&C一VD
圖a圖b
圖CD
(1)如圖”,當(dāng)B、D、C在同一直線上時(shí),請(qǐng)?zhí)骄啃『褪?。的?shù)量關(guān)系有PA=PD,位置關(guān)系
有—.
(2)如圖》,把等腰直角AAHC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)C,恰好在射線六石上時(shí):
問題①:(1)中得到的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)加以證明.
問題②:若正方形也無產(chǎn)的面積為1,等腰直角AA8C的面積為),,PC的長為一求),關(guān)于x的函數(shù)關(guān)
系式.
(3)如圖c,把等腰直角A48C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一般位置時(shí),請(qǐng)直接寫出(1)中得到的結(jié)論一
定—(填
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