規(guī)律探究一圖形的變化

1.（2025春?重慶期中）將一些完全相同的棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，第①個(gè)圖中有4顆棋子，第

②個(gè)圖中有7顆棋子，第③個(gè)圖中有12顆棋子，…，按此規(guī)律，則第⑨個(gè)圖中棋子的顆數(shù)是（)

A.52B.67

2.（2025春?瀘縣校級(jí)期中）如圖，在^A&A中,M=60°,ZA2=3O°,AA=I,4.3是441(〃=1,

3.（2025?北培區(qū)校級(jí)模擬）漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活.下列圖形都是由同樣大小的圓

點(diǎn)和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有12個(gè)圓點(diǎn)，圖②中共有18

個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有25個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有33個(gè)圓點(diǎn)…依此規(guī)律則，圖⑧中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

4.（2025?新野縣三模）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分［如圖（1）］,畫

2條直線，最多能把白紙分成4不分［如圖（2）］,畫3條直線，最多能把白紙分成7部分［如圖（3）

],當(dāng)在一張白紙上畫20條直線,

A.190B.191

5.（2024?景谷縣模擬）觀察如圖，第1個(gè)圖形中有1個(gè)正方形，第2個(gè)圖形中有3個(gè)正方形，第3

個(gè)圖形中有6個(gè)正方形，…，依比規(guī)律，第10（）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是（）

A.5000B.5020C.5050

6.（2025?明水縣模擬）根據(jù)如圖所示的（1）,（2）,（3）三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第30個(gè)圖

中平行四邊形的個(gè)數(shù)是.

⑵③

7.（2025?盤山縣二模）如圖，在八AAzA中，幺44=90。，Z^=30°,A&=1,入會(huì)是=i、2、

3…）的中點(diǎn)，則△A刈94%小021中最短邊的長度為

8.（2025秋?城陽區(qū)校級(jí)月考）用同樣大小的黑色棋子按如圖表示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺

下去，則第100個(gè)圖形需棋子枚.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖

9.（2025秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，將一個(gè)邊長為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長

為I的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推，

可求得陰影部分的面積是3,受此啟發(fā)，,+L+」+…+1的值為，類比探究■!?+[+]+…+_1的

2624826----332333"

值為

10.（2025秋?南海區(qū)期中）如圖，MAC中，ZB=90°,BC=3,邊上的高=1,點(diǎn)R、Q,＞小分

別在邊4）、AC.CD上，且四邊形RQ”乃為矩形，RQ/8=2:3,點(diǎn)鳥、Q?、也分別在邊Q向、C0、

上，且四邊形6Q?”向?yàn)榫匦危?Q?:6儀=2:3,…按此規(guī)律操作下去，則線段CQ期2的長度為

11.（2025秋?思南縣校級(jí)月考）如圖已知NMOV=30。，點(diǎn)4、4、人…在射線可上，點(diǎn)4、星、

星…在射線OM上；△人片&、△A2B2A..△4也兒…均為等邊三角形.若OA=1,則△A刈5”“5A2(“6的

邊長為

12.（2025?洪澤區(qū)二模）將2025個(gè)邊長為1的正方形按如圖所示的方式排列，點(diǎn)A,A，A”

Ag和點(diǎn)M,A/-M,,…，”也。是正方形的頂點(diǎn)，連接A/%,AM,,AM.,AM^,分別交正

方形的邊AM,4必，4飪，…，4020M239于點(diǎn)N1,&,M，N2020f則N2020402c長為

13.（2025秋?高新區(qū)月考）如圖：RtAABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把邊長分別為%,馬，占，

…土的〃個(gè)正方形依次放在AA8C中：第一個(gè)正方形CM』Ni的頂點(diǎn)分別放在RtAABC的各邊上；第二個(gè)

正方形必“避N?的頂點(diǎn)分別放在/?/△的各邊上，…其他正方形依次放入，則第2025個(gè)正方形

B

的邊長x202a為

?%

M

再分別依次從左到右取2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)…正方形拼成如下長方形并記為①、②、③、④、…相

應(yīng)長方形的周長如下表所示：

序號(hào)①②③④???

周長610Xy???

仔細(xì)觀察圖形，上表中的工=

若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號(hào)為⑧的長方形周長是.

18.（2024秋?簡陽市期末）圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如等邊三角形的圖案，最上面一層

有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了〃層.將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形

狀，這樣我們可以算出圖.中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+”=券.

器a晨雷。

砌層。中;0°oo-^）oooc^poo（^；oo

如果圖中的圓圈共有11層，請(qǐng)問：自上往下，在每個(gè)圓圈中按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,

2,3,4,則最底層中間這個(gè)圓圈中的數(shù)是;自上往下，在每個(gè)圓圈中按圖4的方式填

上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-21,-20,…，則所有圓圈中各數(shù)之和為.

19.（2024秋?新化縣期中）我班數(shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片

數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案如圖所示:

中中用引才

那么第2024個(gè)圖案中有白色紙片張.

20.（2024秋?巴中月考）如圖是用火柴棍擺成邊長分別是1、2、3根火柴棍時(shí)的正方杉，當(dāng)邊長為〃

根火柴棍時(shí)，若擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為S,則5=（用含〃的代數(shù)式表示，〃為正

整數(shù)）.

21.（2024?青羊區(qū)模擬）用火柴棒按下圖中的方式搭圖形，按照這種方式搭下去,搭第2024個(gè)圖形

需根火柴棒.凹[HH1[HHH]

■f酩先?二NB形■三個(gè)"形

22.（2024?廣東模擬）如圖，觀察每一個(gè)圖中白色正方形的排列規(guī)律，則第〃個(gè)圖中白色正方形有_

個(gè)*

第一個(gè)圖第二個(gè)圖第三個(gè)圖

n-1玲n=21衿n-338個(gè)

23.（2024秋?新津縣期末）將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第〃個(gè)圖形有個(gè)

棋子.（用含〃的代數(shù)式表示）

0O°

OOOO°OOOOO

OO???IlliHssi

°O°?！鉶。o

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

24.（2024秋?河北區(qū)期末）圖1方格內(nèi)的每一個(gè)符號(hào)各代表0,1,2,3,9十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)

數(shù)字，每橫行三個(gè)符號(hào)自左至右看成一個(gè)三位數(shù)，若圖1中的四個(gè)橫行表示的三位數(shù)是403,675,

902,831,但不知它們對(duì)應(yīng)的位置，則按照?qǐng)D1中的規(guī)律，2009應(yīng)是圖2中的.

25.（2024秋?懷柔區(qū)期末）國強(qiáng)同學(xué)喜歡用黑色棋子擺放在正多邊形的邊上來研究數(shù)的規(guī)律.請(qǐng)你

觀察下面表格中棋子的擺放規(guī)律，并回答下面問題：

三角△△△第〃個(gè)

形三角形

棋子369???P

個(gè)數(shù)

正方□□□第n個(gè)

形?■?正方形

棋子4812.,?Q

個(gè)數(shù)

正多A0O第〃個(gè)

邊形正多邊形

棋子381524M

個(gè)數(shù)

（1）通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)可以分別用含字母〃（〃，的整數(shù)）的代數(shù)式表示P、Q、M.

貝,Q=,M=.

（2）下列數(shù)中既是三角形中的模子數(shù)又是正方形中的棋子數(shù)的是.

A201382014C2015￡）.2016.

26.（2025?肇東市校級(jí)模擬）如圖，圓桌周圍有20個(gè)箱子，按順時(shí)針方向編號(hào)1?20,小明先在1號(hào)

箱子中丟入一顆紅球，然后沿著圓桌按順時(shí)針方向行走，每經(jīng)過一個(gè)箱子丟一顆球，規(guī)則如下

①若前一個(gè)箱子去紅球，則下一個(gè)箱子就去綠球.

②若前一個(gè)箱子丟綠球，則下一個(gè)箱子就去白球.

③若前一個(gè)箱子丟白球，則下一個(gè)箱子就丟紅球.他沿著圓周走了2025圈，求4號(hào)箱內(nèi)有顆紅

球.

27.（2025秋?江陰市校級(jí)月考）如圖①，②，③，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”

字，按照這種規(guī)律，第8個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是.

(1)(2)(3)(4)

28,（2025秋?洪山區(qū)期中）意大利著名教學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)這樣的一組數(shù)：

1,I,2,3,5,8,13,…其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)以這組數(shù)中的

各個(gè)數(shù)作為正方形的邊長，依次構(gòu)造一組正方形，再分別從左到右取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)正方形

拼成如圖所示的長方形，并記為①，②，③，④.

相應(yīng)長方形的周長如表所示.若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號(hào)為@的長方形周長是.

2

1

111

m；ED.

②③④

序號(hào)①②③④

周長6101626

29.（2U25春?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖所不，將形狀、大小完全相同的和線段按照一定規(guī)律擺成下

列圖形，第1幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為4,第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為七,第3幅圖形中的個(gè)數(shù)為%

以此類推，則_L+-L+_L+...+_L的值為

第1幅圖第R旨圖

30.（2024?新賓縣模擬）連接正方形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的正方形，我們稱其原正方形的中點(diǎn)正方形，如

圖，已知正方形ABC。的中點(diǎn)正方形是A線GA,再作正方形AHiGA的中點(diǎn)正方形兒為G2,…這樣

不斷她作下去，第〃次所做的中點(diǎn)正方形48"C，a,若正方形ABC。的邊長為1,則第10次所作的中

1

Ai紇G2的面積為s”,則耳+s?+S3+…+S］。=

1.（2025春?重慶期中）將一些完全相同的棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，第①個(gè)圖中有4顆棋子，第

②個(gè)圖中有7顆棋子，第③個(gè)圖中有12顆棋子，…，按此規(guī)律，則第⑨個(gè)圖中棋子的顆數(shù)是（）

?????????

??????

????????

??????????

?????????

①②③④

A.52B.67C.84D.101

【解答】解：第①個(gè)圖形中，棋子數(shù)量為4=2x2+。?；

第②個(gè)圖形中，棋子數(shù)量為7=2x3+/；

第③個(gè)圖形中，棋子數(shù)量為12=2x4+2?;

以此類推，

第〃個(gè)圖形中,棋子數(shù)量為2（〃+1）+（〃-1）2=1+3;

.??第⑨個(gè)圖形中共有棋子的顆數(shù)是2x10+8?=84,

故選；C.

2.（2025春?瀘縣校級(jí)期中）如圖,在中，幺=60°,幺=30°,A&=1，4田是4A用（〃=1，

2,3...）的中點(diǎn)，則△40214a22&O23中最短邊的長為（）

【解答】解：在△AA?%中，幺442=90。，N4=30。，44=1，4+3是4人“（〃=1、2、3...）的中點(diǎn),

可知：

1

二

△A&A中最短邊的長度為a4=1=Z一

2°1

-7

△A3八中最短邊的長度為&A;1

-

△中最短邊的長度為-

AA4A4=-=2

所以△AA4A+2中最短邊的長度為一

2下

所以！（2021-1）=1010,

2

則△4）240224（出中最短邊的長度為?

故選：B.

3.（2025?北儲(chǔ)區(qū)校級(jí)模擬）漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活.下列圖形都是由同樣大小的圓

點(diǎn)和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有12個(gè)圓點(diǎn)，圖②中共有

18個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有25個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有33個(gè)圓點(diǎn)…依此規(guī)律則，圖⑧中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

圖①圖②圖③圖④

A.63B.75C.88D.102

【解答】解：在圖①中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為y=l2個(gè).

在圖②中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為必=,+2+4=18個(gè).

在圖③中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為），3=片+2+5=25個(gè).

在圖④中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為乂=^+2+6=33個(gè).

以次類推，在圖⑧中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為以=為+（2+10）="+（2+9）+12

=必+（2+8）+11+12

=”+（2+7）+10+11+12

=33+9+10+11+12

=75.

故選：13.

4.（2025?新野縣三模）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分［如圖（1）］,

畫2條直線，最多能把白紙分成4部分［如圖（2）］,畫3條直線，最多能把白紙分成7部分［如圖

（3）］,當(dāng)在一張白紙上畫20條直線，最多能把白紙分成（）部分.

C.21()D.211

【解答】解：根據(jù)題意得:

n—1,%=1十1;〃=2,a2=%+2;〃=3,43=%十3...;〃=〃,un=a”一十〃,

以上式子相加整理得，/=1+1+2+3+...+〃=1+幽業(yè).

”2

「?20條直線最多能把白紙分為：1+迎@=211部分.

2

故選：。.

5.（2024?景谷縣模擬）觀察如圖，第1個(gè)圖形中有1個(gè)正方形，第2個(gè)圖形中有3個(gè)正方形，第3

個(gè)圖形中有6個(gè)正方形，…，依比規(guī)律，第100個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是（）

【解答】解「?第1個(gè)：1,

笫2個(gè)：3=1+2,

第3個(gè)：6=1+24-3,

第4個(gè)：10=1+2+3+4,

.?.第100個(gè)：1+2+3+4+5+…+100

=(1+100)+(2+99)+...+(50+51)

=101x50

=5050.

故選：C.

二.填空題（共31小題）

6.（2025?明水縣模擬）根據(jù)如圖所示的（1）,（2）,（3）三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第30個(gè)圖

中平行四邊形的個(gè)數(shù)是2790.

(0(2)(3)

【解答】解：第一個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是1+2+3=6個(gè),

第二個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是。+2+3)(1+2),

第三個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是。+2+3)(1+2+3),

第〃個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是。+2+3)(1+2+3+…+〃)=3〃(〃+1),

因此第30個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是3x30x(30+1)=2790個(gè);

故答案為:2790.

7.(2025?盤山縣二模)如圖,在△444中,41A4=90°，4=30。，AA=i，A“；是=

009

2、3...)的中點(diǎn)，則△4”94SOA2⑶中最短邊的長度為—(夕—.

【解答】解：△44人中2乂1一1=1,最短邊為：(；)。=1;

△AHA中2x2—1=3,最短邊為：(夕=g；

△444中2乂3-1=5,最短邊為：(；尸；

△444中2x4-1=7,最短邊為：d)3；

△A2019A如0A必中2x1010-1=2019，最短邊為：(-)KKW.

8.(2025秋?城陽區(qū)校級(jí)月考)用同樣大小的黑色棋子按如圖表示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺

下去，則第100個(gè)圖形需棋子301枚.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖

【解答】解：第一個(gè)圖，點(diǎn)數(shù)4,

第二個(gè)圖，點(diǎn)數(shù)4+3,

第三個(gè)圖，點(diǎn)數(shù)4+6,

猜想

第四個(gè)圖，點(diǎn)數(shù)4+9,

第五個(gè)圖，點(diǎn)數(shù)4+12,

第八個(gè)圖，點(diǎn)數(shù)4+3（〃-1）,

.?.第10()個(gè)圖形需棋子：4+3x(100-1)=301(枚),

故答案為：301.

9.（2025秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，將一個(gè)邊長為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長

為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半,部分③是部分②面積的一半，依次類推,

可求得陰影部分的面積是玄，受此啟發(fā)，；+；+（+...+/的值為類比探究

：+*■+*…+"的值為

1111

【解答】解：根據(jù)題意可知:-+-+-+—

24826

^S=-+4-+-T+-+--

332333”

貝lJ』S=4+4+...+」7

332333向

II1

故有:3e--Or=-----77

333'向

吟二3,,+,-3

3x3”“，

c3"-333n+,-33"-1

S=-----X—=------=-----

3x3"“22x3向2x3”

故答案為：1-1，三二.

262x3"

10.（2025秋?南海區(qū)期中）如圖，AA8C中，N8=90。，BC=3,8c邊上的高AB=1,點(diǎn)［、Q］、修分

別在邊4）、AC、8上，且四邊形〃⑷為矩形，世：神一2:3,點(diǎn)心、0、〃2分別在邊QM、C0、

空上，且四邊形AQMd為矩形，6Q：4H=2:3,…按此規(guī)律操作下去，則線段CQg的長度為

《嚴(yán)2加一

設(shè)RB=3x,則然=4。-[A=l-3x,=2x,

?.?四邊形也為矩形，

.-.AABC^AC^Q，

I3

?.---=--------9

3x3-2x

解得：x=—,

li

69

—1=一11，

3x9

AABC和△CH⑷的相似比是',

同理：△C771Q和△C”◎的相似比是

「.AABC和△CH2Q的相似比是（12,

依此類推：3/和4C%Q2n門的相似比是塔產(chǎn)，

??Q2022c=（?嚴(yán)麗.

故答案為：（（嚴(yán)加

11.（2025秋?思南縣校級(jí)月考）如圖，已知NMON=30。，點(diǎn)A、&、人…在射線ON上，點(diǎn)生、

昂…在射線QM上；△A4&、△ABA、△A紜4…均為等邊三角形?若。4=1，則△/5/5%>16的

邊長為2234

XL

B

B,

【解答】解：???△A媯4為等邊三角形,

/.NB]AA?=60°,Aq=AA?,

ZMON=30。，

.?々4。=30°,

/.A=Q4],

.,.44=44=OAy,

同理可得4%==04=20A,，

AS=AA=OA.=20A2=22OA,,

A閩=4A=04=2O&=23OA,,

dH

?-AA=44+1=2-'-OA=2-'.

則△怎5—的邊長為2”“?

故答案為：220,4.

13.（2025?洪澤區(qū)二模）將2025個(gè)邊長為1的正方形按如圖所示的方式排列，點(diǎn)A,41,4，4,…，

右⑶和點(diǎn)“，/%,M2,A/?皿是正方形的頂點(diǎn)，連接4%,AM2,/W3,…，AM2c20，分別交正

方形的邊AM，4必，4〃2，…，420Moi9于點(diǎn)M，M，M，…，”,則N20204f⑶長為_娑5_.

【解答】解：由題意可得△M'sZXA42M1,

.MA_M,

■,MA械，

?.?正方形的邊長都為1,

??.NA=g.

同理可得^械網(wǎng)N2020s△"⑼M旃，

...以&二仇網(wǎng)二2020,

M202O4(121^^2(>2i2021

_2020

一^2020-^2020=?*

故答案為四.

2021

n

14.(2025秋?高新區(qū)月考)如圖：RiAABC中，ZC=90,BC=\,AC=2,把邊長分別為、，A2,A3,

的”個(gè)正方形依次放在A48C中：第一個(gè)正方形CM/乂的頂點(diǎn)分別放在RtAABC的各邊上；第二個(gè)

正方形必股M％的頂點(diǎn)分別放在的各邊上，…其他正方形依次放入，則第2025個(gè)正方形

【解答】解：如圖，?.?四邊形CW出乂是正方形,

則CN\=CM=6乂=MP=%，RN//AC,

ACBC，

即

12

.■小=|,

同理：修=(|)2,

玉=(|尸，

.f=(/2.

故答案為：(2嚴(yán).

3

15.(2025?西城區(qū)校級(jí)開學(xué))現(xiàn)有一塊圓形蛋糕，用刀把它豎著切開.用/(〃)表示〃刀切下去出現(xiàn)的

最多的蛋糕塊數(shù)(〃=1,2,3,4...).顯然，1刀切下去蛋糕分為兩塊，記為/(1)=2;2刀切下去

蛋糕最多被分為4塊,記為/(2)=4；那么f(3)=7；/(〃+1)與/(〃)的等量關(guān)系為；/(〃)=

(用含〃的式子表示).

【解答】解：當(dāng)切1刀時(shí)，塊數(shù)為1+1=2;

當(dāng)切2刀時(shí)，塊數(shù)為1+1+2=4；

當(dāng)切3刀時(shí)，塊數(shù)為1+1+2+3=7;

當(dāng)切4刀時(shí)，塊數(shù)為1+1,2+3+4=11：

當(dāng)切5刀時(shí)，塊數(shù)為1+1+2+3+4+5=16;

當(dāng)切〃刀時(shí)，塊數(shù)=1+(1+2+3...+〃)=1+^^=〃一+"+2

當(dāng)切5+1)刀時(shí)，塊數(shù)=1+(1+2+3…+〃+1)=/(〃)+〃+1.

故答案為：7；f(n+\}=f(n)+n+];-------.

16.(2025秋?武侯區(qū)校級(jí)月考)如圖，將一個(gè)邊長為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊

長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類

推.

(1)受此啟發(fā)，得至+1++11-1.

26-

12

+???4——X-二

363

…+[=1,

2482626

故答案為：「去；

(2)S=-+^-+^r+...+

33233

貝3s=1+』+111

3

3S-S=\--f

化簡，得展舒,

212121212

jyrkA-+-x-4--x-+—x-+...+—x-

3333?33'33363

T"3*FT

2

=”S）

236-L

=—（Z1-I-----r）

32x36

23JI

=—i----；—

337

_2X36+36-1

37-1

7

故答案為:3-1

37?

17.（2024?南寧模擬）如圖所示，扇形OMN的圓心角為45。，正方形44GA2的邊長為2,頂點(diǎn)兒,

&在線段CW上，頂點(diǎn)用在弧上，頂點(diǎn)G在線段0V上，在邊A2G上取點(diǎn)層，以4員為邊長繼續(xù)

作正方形482aA,使得點(diǎn)G在線段ON上，點(diǎn)A,在線段O歷上，……，依此規(guī)律，繼續(xù)作正方形,

則=一2小-97二

【解答】解：?.?NMQV=45。，

.?.△G&G為等腰直角三角形,

/.C{By=B2cl=.

?.?正方形AUGA2的邊長為2,

22

：.O\=A4,=A2B2=；&G=1.OA=4,OM=OB1=V2+4=2逐

同理,可得出:04=44=；**=表，

,,Q&MS=Aoi8Aoi7=2刈5'

Aioi8M=2右—22015,

故答案為2石-擊?

18.(2024秋?灌南縣期中)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：

1,1,2,3,5,8,13,其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)以這組

數(shù)中的各個(gè)數(shù)作為邊長值構(gòu)造正方形：

1—

m:EC

35

工

再分別依次從左到右取2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)…止方形拼成如下長方形并記為①、②、③、④、…相

應(yīng)長方形的周長如下表所示:

序號(hào)①②③④??.

周長610Xy???

仔細(xì)觀察圖形，上表中的16,產(chǎn)

若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號(hào)為⑧的長方形周長是

【解答】解：由分析知：第1個(gè)長方形的周長為6=(l+2)x2；

第2個(gè)長方形的周長為10=(2+3)x2;

第3個(gè)長方形的周長為16=(3+5)x2；

第4個(gè)長方形的周長為26=(5+8)x2；

第5個(gè)長方形的周長為42=(8+13)x2；

第6個(gè)長方形的周長為68=(13+21)x2：

第7個(gè)長方形的周長為110=(21+34)x2；

第8個(gè)長方形的周長為178=(34+55)x2.

故答案為：16、26、178.

19.(2024秋?簡陽市期末)圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如等邊三角形的圖案，最上面一層

有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了〃層.將圖1倒置后與原圖1拼成圖2

的彩狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+...+〃=此業(yè).

如果圖中的圓圈共有11層，請(qǐng)問：自上往下，在每個(gè)圓圈中按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,

2,3,4,則最底層中間這個(gè)圓圈中的數(shù)是，；自上往下，在每個(gè)圓圈中按圖4的方式填

上一串連續(xù)的整數(shù)

-23,-22,-21,-20,...?則所有圓圈中各數(shù)之和為.

【解答】解：第10層最后一個(gè)數(shù)為：10(10+1)+2=55,所以第11層中間一個(gè)數(shù)為：55+6=61,

圖4中所有圓圈的個(gè)數(shù)為：1+2+3+...+11=11(11+1)+2=66個(gè)數(shù)，其中23個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)0,42個(gè)正數(shù),

所以圖4中所有圓圈中各數(shù)之和

=-23-22-21...-1+0+1+2+...+42=(1+2+3+...+42)-(1+2+3+...+23)=42(42+1)+2-23(23+1)+2=903-276=627?

故答案為:61；627.

20.(2024秋?新化縣期中)我班數(shù)學(xué)興趣小組兒名同學(xué)用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片

數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案如圖所示：

那么第2024個(gè)圖案中有白色紙片6049張.

【解答】解：由題目得，第1個(gè)圖案中，白色紙片的個(gè)數(shù)為4；

第2個(gè)圖案中，白色紙片的個(gè)數(shù)為7；

第3個(gè)圖案中，白色紙片的個(gè)數(shù)為10；

發(fā)現(xiàn)第5個(gè)圖案中，白色紙片的個(gè)數(shù)為16...,

進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第〃個(gè)圖案中，白色紙片的個(gè)數(shù)為4〃-(〃-1)=3〃+1；

當(dāng)〃=2016時(shí)，圖案中有白色紙片為3x2016+1=6049,

故答案為：6049.

21.(2024秋?巴中月考)如圖是用火柴棍擺成邊長分別是1、2、3根火柴棍時(shí)的正方形，當(dāng)邊長為〃

根火柴棍時(shí)，若擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為S,則5=_2〃(〃+1)_(用含〃的代數(shù)式表示，

〃為正整數(shù)).

口臼匪

【解答】解：當(dāng)邊長為I根火柴棍時(shí)，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為4=2xlx(l+l)；

當(dāng)邊長為2根火柴棍時(shí)，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為I2=2x2x(2+1);

當(dāng)邊長為3根火柴棍時(shí)，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為24=2x3x(3+l);

???當(dāng)邊長為〃根火柴棍時(shí)，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為s=2〃(,?+l).

故答案為：2〃(〃+1).

22.(2024?青羊區(qū)模擬)用火柴棒按下圖中的方式搭圖形，按照這種方式搭下去，搭第2024個(gè)圖形

需12096根火柴棒.

第一個(gè)圖形第二個(gè)圖形第三個(gè)圖形

【解答】解：???搭第1個(gè)圖形需12根火柴;

搭第2個(gè)圖形需12+6x1=18根;

搭第3個(gè)圖形需12+6x2=24根:

搭第〃個(gè)圖形需12+6(〃-1)=6〃+6根；

/.搭第2024個(gè)圖形需2015x6+6=12096根火柴棒.

故答案為：12096.

23.(2024?廣東模擬)如圖，觀察每一個(gè)圖中白色正方形的排列規(guī)律，則第〃個(gè)圖中白色正方形有

3zr+4/1-1個(gè).

■y

?

■e

n=l6個(gè)n=21衿n=338個(gè)

【解答】解：〃=1時(shí)，有〃z=6個(gè)，

刀=2時(shí),有6=19個(gè)，

〃=3時(shí)，有〃7=38,

顯然〃?不是〃的一次函數(shù)，設(shè)〃?=,〃/+〃〃+(?,

a+b+c=6

由題意：4a+2b+c=\9t

9a+3"c=38

a=3

解得＜b=4,

c=-1

m=3/J+4z?-l?

故答案為:3n2+4//-1.

24.(2024秋?新津縣期末)將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，笫〃個(gè)圖形有

4+〃(〃+1)—個(gè)棋子.(用含〃的代數(shù)式表示)

OOoOuooo0O

OO.1111統(tǒng)調(diào)

。。。?！鉕OO

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

【解答】解：根據(jù)第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓，第4

個(gè)圖形有24個(gè)小圓,

?.?6=4+1X2,10=4+2X3,16=4+3X4,24=4+4x5…,

???第〃個(gè)圖形有：4+〃(〃+1)個(gè)小圓,

故答案為：4+//(//+1).

25.(2024秋?河北區(qū)期末)圖1方格內(nèi)的每一個(gè)符號(hào)各代表0,1,2,3,…，9十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)

數(shù)字，每橫行三個(gè)符號(hào)自左至右看成一個(gè)三位數(shù)，若圖1中的四個(gè)橫行表示的三位數(shù)是403,675,

902,831,但不知它們對(duì)應(yīng)的位置，則按照?qǐng)D1中的規(guī)律，2()09應(yīng)是圖2中的_4_.

U*i

Q支

【解答】解：由圖案和提供的數(shù)據(jù)可知：403,902,第2位都是0,所以只有第2行和第4行是這兩

個(gè)數(shù)，

第2行和第4行的末尾數(shù)字圖形是3或者2,iflj831是其中一個(gè)數(shù)，第1行和第3行只有第一行的第

2個(gè)圖形是前面的那個(gè)3或2,

所以第1行的數(shù)字是831,第2行是902,第3行是675,第4行是403.

則2009應(yīng)是圖2中的A.

故答案為：A.

26.(2024秋?懷柔區(qū)期末)國強(qiáng)同學(xué)喜歡用黑色棋子擺放在正多邊形的邊上來研究數(shù)的規(guī)律,請(qǐng)你

觀察下面表格中棋子的擺放規(guī)律，并回答下面問題：

棋F369?■■P

個(gè)

數(shù)

正方□□□第〃個(gè)

形??■正方形

棋子4812???Q

個(gè)

數(shù)

正多A□OO第〃個(gè)

邊正多邊形

形

棋F381524M

個(gè)

數(shù)

(1)通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)可以分別用含字母〃(〃，的整數(shù))的代數(shù)式表示?、Q、

貝ljp=_3〃_,Q=，M=.

(2)下列數(shù)中既是三角形中的棋子數(shù)又是正方形中的棋子數(shù)的是.

A20I3R20I4C.20I5D.2016.

【解答】解：(1)P第一個(gè)圖形有3個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有6個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有9個(gè)棋子，...,

第〃個(gè)圖形有3〃個(gè)棋子；

。第一個(gè)圖形有4個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有8個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有12個(gè)棋子，…，第〃個(gè)圖形有4〃個(gè)

棋子，

M第一個(gè)圖形有3個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有8個(gè)棋子，8=(2-l)x(2+2)-(2+2)=4x2,

第三個(gè)圖形有15個(gè)棋子，15=(3+l)x(3+2)-(3+2)=5x3,

第四個(gè)圖形有24個(gè)棋子，24=(4+l)x(4+2)-(4+2),

第八個(gè)圖形有+2)個(gè)棋子;

（2）?.?三角形中的棋子數(shù)符合力,正方形中的棋子數(shù)符合4〃,

既是三角形中的棋子數(shù)又是正方形中的棋子數(shù)是12的倍數(shù)，

?.-2013>2024、2024、2024四個(gè)數(shù)中只有2024是四的倍數(shù),

既是三角形中的棋子數(shù)乂是正方形中的棋子數(shù)的是2024.

故答案為：（1）3〃，4//,n（n+2）;（2）D.

27.（2025?肇東市校級(jí)模擬）如圖，圓桌周圍有20個(gè)箱子，按順時(shí)針方向編號(hào)1~20,小明先在1號(hào)

箱子中丟入一顆紅球，然后沿著圓桌按順時(shí)針方向行走，每經(jīng)過一個(gè)箱子丟一顆球，規(guī)則如下

①若前一個(gè)箱子丟紅球，則下一個(gè)箱子就丟綠球.

②若前一個(gè)箱子丟綠球，則下一個(gè)箱子就丟白球.

③若前一個(gè)箱子丟白球，則下一個(gè)箱子就丟紅球.他沿著圓周走了2025圈，求4號(hào)箱內(nèi)有674顆

紅球.

【解答】解：根據(jù)題意，可知

第1圈紅球在1、4、7、10、13、16、19號(hào)箱內(nèi),

笫2圈紅球在2、5、8、11、14、17、20號(hào)箱內(nèi),

第3圈紅球在3、6、9、12、15、18號(hào)箱內(nèi),

第4圈紅球在1、4、7、10、13、16、19號(hào)箱內(nèi),

FL第1、4、7、10...2020圈會(huì)在4號(hào)箱內(nèi)丟一顆紅球,

所以1+3(,?-1)=2020(〃為正整數(shù))

解得〃=674.

故答案為674.

28.（2025秋?江陰市校級(jí)月考）如圖①，②，③，④，…，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行

“廣”字，按照這種規(guī)律，第8個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是一21.

(1)(2)(3)(4)

【解答】解：由題目得，第1個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是7；

第2個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是9；

第3個(gè)“廣，，字中的棋子個(gè)數(shù)是U；

4個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是13；

進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：第〃個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是（2〃+5）.

當(dāng)