北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章勾股定理》單元檢測卷附答案

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正

確的）

1.下列條件：@b2=c2—a2;②乙C=乙4—；③a：b：c=\：4-F?④乙4：乙B：zC=

Oio

3；4.-5,能判定ZiABC是直角三角形的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2.勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察下列勾股數(shù)：3,4,5；5,12,

13；7,24,25：...這類勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與投相差1,柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相

差2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；若此類勾股數(shù)的勾為2m（m>0,m為正整數(shù)），則弦是

（結(jié)果用含m的式子表示）（）

A.m2+1B.m2—1C.2m+2D.2m+3

3.古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法回直角：用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段，一個(gè)工匠同

時(shí)握住繩子的第I個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)

直角三角形，這樣做的道理是（）

A.直角三角形兩個(gè)銳角互余

B.三角形內(nèi)角和等于180。

C.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

D.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形

4.如圖，在AA8C中，Z4CB=90。，BC=16cm,以點(diǎn)4為圓心，AC長為半徑畫弧，交線段A5于點(diǎn)D；

以點(diǎn)8為圓心，8。長為半徑畫弧，交線段8c于￡?.若則4c的長為（）

A.12cmB.13cmC.14cmD.15cm

5.如圖，在直線1上有正方形a,b,c,若a,c的面積分別為4和16,則b的面積為（)

C.12D.22

6.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制J'一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由弦圖變

化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT

的面積分別為Si，S2,S3.若Si+Sz+S3=12,則下列關(guān)于Si，S?,S3的說法正確的是（）

A.S]=2B.$2=3C.Si+Sz=6D.$1+63=8

7.如圖，在△ABC中，邊48的垂直平分線分別交48,8c于點(diǎn)M,E,邊AC的垂直平分線分別交4C,BC

于點(diǎn)MF,△4￡尸的周長為9.若/8+乙。=45。，EF=4,則△AEF的面積為（）

5

C5

-

D.2

8.勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記

載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放

入矩形內(nèi)得到的，^BAC=90°,48=6,4c=8.點(diǎn)D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的邊上，

則矩形KLMJ的面積為（）.

J

D

H

（圖1）

A.288C.432D.440

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

9.如圖，已知P為△48C內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作三邊的垂線，垂直分別為E,￡G.若BE=2,E71=4,AG=

2,GC=5,FC=6,則BF=

10.如圖，直角三角形A8C中，A8的長度是12厘米，AC的長度是24厘米，D、E分別在AUBC上，那

么等腰直角三角形BDE的面積是

11.有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地垂直高度。E=0.5血，將它往前推送2m(水平距離=2m)時(shí),

秋千踏板離地的垂直高度B尸=1.5m,秋千的繩索始終拉得很直，則繩索4。長為m.

12.勾股定理Q2+M=C2本身就是一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程，滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解(Q,b,c)常

叫做勾股數(shù)組.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，…，分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4=1X(34-1),12=

2x(5+l),24=3x(7+1),…分析上面規(guī)律，第6個(gè)勾股數(shù)組為.

如圖，每個(gè)小方格的面積均為1,圖（1）（2）（3）中以直線三角形三邊向外作正方形A、B、C,圖中

正方形的面積如卜.：

ABC

圖（1）448

圖（2）—913

圖(3)9—34

（1）在表格中的橫線上填空.

【提出問題】

（2）根據(jù)圖（1）（2）（3）中三個(gè)正方形的面積關(guān)系，若直角三角形兩條直角邊長分別為a,b,斜邊

長為c,寫出a,b,c之間的數(shù)量關(guān)系：.

【解決問題】

（3）根據(jù)（2）中的發(fā)現(xiàn)，解決以下問題：

?個(gè)垂直于地面的木桿在離地面6米處被折斷，木桿頂端落在離木桿底端8米處，木桿折斷之前有多

17.1876年，菲爾德利用下圖驗(yàn)證了勾股定理.

b

□_____□

a/)

（1）請(qǐng)用含a、b、c的代數(shù)式通過兩種不同的方法表示直角梯形的面積（不需要化簡）：

方法1：___________________

方法2：_____________________

（2）利用“等面積法”。推導(dǎo)a、b、c之間滿足的數(shù)量關(guān)系，完成勾股定理的驗(yàn)證.

18.為了測量學(xué)校旗桿的高度，八（1）班的兩個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，請(qǐng)結(jié)合下面表格的信息,

完成任務(wù)問題.

第一小組要測旗桿AB的高度，只需要測量________的長度為線段并說明理由.

（2）任務(wù)二：推理計(jì)算

利用第二小組獲得的數(shù)據(jù)，求旗桿的高度AB.

19.勾股定理是證明方法最多的定理之一，小明便以此建立項(xiàng)目，加以探究.

D

【問題提出】小明在做作.業(yè)本時(shí)發(fā)現(xiàn)利用右圖可以證明勾股定理.思路為利用面積法，將梯形的面積用

不同的方式表示列出等式.由此猜想如果將RSD4r向左平移，能否證明勾股定理？

【方案設(shè)計(jì)】考慮到探究的難度，他首先設(shè)計(jì)了兩種特殊的位置，開展研究：

方案方案方案二

DD

1J

BB

圖形

AC----4A

C上EFL

RS8c40RSEADRtACFD

備注

BC=a,AC=b,AB=c

【探究驗(yàn)證】首先驗(yàn)證方案一為方案二提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).

方驗(yàn)證過程

圖形

式（分別里含有atbtc的伐逐本元或事室）

方S四邊形A。8f=§△ABE+SAABD

連結(jié)BE,BD不難得出

式S^ABE=_k_.（以AE為底，高為BC）f

ABLED

SARBD=八.（以AD為底，則AD邊上的高與AC等長）

D

S四邊形=5AEBD+5AEAD

方EAD=3ED?BH+^ED?AH￡

式11

S&EBD+LEAD—2〃0.BH+々ED,AH

②

CEA

=：ED,（BH+AH）=3ED-AB=_A_

綜上所述利用方式①，②列出等式即可證明勾股定理.

【方法應(yīng)用】

根據(jù)上述經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你繼續(xù)完成方案二后續(xù)的證明過程.

提示：如圖，連結(jié)3。，AD,不難得出COJ_3A,利用兩種方法表示四邊形3cA。的面積.

D

CFA

20.綜合與實(shí)踐

如圖，在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8.

備用圖

(1)猜想：請(qǐng)判斷△ABC的形狀并說明理由.

(2)探究：如果點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿折線A-C-B-A方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A

停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.

①若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA=PB,求此時(shí)t的值.

②若點(diǎn)P恰好在△BAC的平分線上，求I的值.

參考答案

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】V3

10.【答案】80平方厘米

11.【答案】2.5

12.【答案】13,84,85

13.【答案】55

14.【答案】解：???使得C,D兩村到E站的距離相等.

ADE=CE,

???DA_LAB于A,CBJ_AB于B,

AZA=ZB=90°,

AAE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2,

.*.AE2+AD2=BE2+BC2,

設(shè)AE=x,則BE=AB-AE=(25-x),

VDA=15km,CB=10km,

Ax2+152=(25-x)2+102,

解得：x=10,

/.AE=10km,

???I攵購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處.

15.【答案】(1)解：分別測量AB、BC和AC的長度，

^AB2+BC2=AC2,則△ABC是直角三角形，ZABC=90°,即ABJ_BC：

(2)解:

=8000

答：螞蟻爬行的最短路程是40遍cm.

16.1答案］(1)4；25；(2)a2+b2=c2;

解：(3)如圖所示，由題意得，48=6尺，4c=8尺，ABAC=90°,

：.BC2=AB2+AC2=62+82=100,

：.BC=10尺或BC=一10尺(含去),

?,?木桿折斷之前有10+6=16尺,

B

17.【答案】(1)iab+ic2+^abii(a+b)(a+b>

乙乙乙乙

(2)解：i(ab)(a+b)cib4-ictb

1

-

2(a2+2ab+b2)=ab+-^c2

1

2+ab+21b2=ah+21c2

1

-

2M+W02

乙乙

Q2+廬=c2

???在直角三角形中，兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,則a,b,c之間滿足小+房=〃

18.【答案】(1)解：BC

理由如下,

VAB±BC,NACB=45。，???八ABC是等腰直角三角形，故只需測試BC的長就是旗桿AB的長.

(2)解：設(shè)旗桿的長度為x米，則繩子的長度為(x+2)米

在RSAEC中,AE=(x-l)米，CE=6米,AC=(x+2)米..

Aix-l)2+92=(x+2)2

解得x=13

???旗桿的高度為13米

19.【答案】解：SMBE=SAABO=:優(yōu)聶。,AB=%2

［方法應(yīng)用】

方式①

S內(nèi)邊影ADBC=SABDC+SAACD

S&BDC=-^BC-CF=Tza2

S^ACD=?DF=-^b2

方式②

S內(nèi)皮杉ADBC=SAABD+SAACB

S^ABD=)AB'DH,SfCB=]AB.CH

1111