2026年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破一反比例函數(shù)與四邊形

一、綜合題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B分別是y軸和x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，正方形4BCO的頂

點(diǎn)C,D在第一象限.

備用圖

（1）當(dāng)48=2,Z。48=30。時(shí)，正方形A8C0的頂點(diǎn)D恰好在反比例函數(shù)y=號(hào)（k為常數(shù)，

%>0）的圖象上，求k的值；

（2）保持48=2不變，移動(dòng)點(diǎn)A,B,使。4：OB=1：2,求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是

否在（1）中的反比例函數(shù)圖象上.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正路軸上，點(diǎn)

A在函數(shù)y=￡（k>0,x>0）的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,3）.

X

（1）求k的值；

（2）若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落在函數(shù)y告（k>0,x>0）的圖象上

時(shí)，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離.

3.如圖，在直角坐標(biāo)中，矩形0A8C的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,3），反比例函數(shù)y=K是的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D,且與交于點(diǎn)E,連接OE.

X

(2)若點(diǎn)F是。。邊上一點(diǎn)，口AFBC~ADEB,求直線F8的解析式.

(3)若點(diǎn)P在y軸匕且△0P0的面積與四邊形BOOE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.四邊形的一條對(duì)角線將這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似(不全等)，那么我

們將這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線.

(1)如圖1,四邊形ABCD中，ZDAB=WO°,ZDCB=130°,對(duì)角線AC平分NDAB,求證:

AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線；

圖】

(2)如圖2,直線y=一率Y+摯分別與X,y軸相交于A,B兩點(diǎn)，P為反比例函數(shù)y=?k

<0)上的點(diǎn)，若A0是四邊形ABOP的相似對(duì)角線，求反比例函數(shù)的解析式；

(3)如圖3,AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,1),AC〃x軸，ZBCA=

ZDCA=30°,連接BD,△BCD的面積為6.過A,C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a<0）與x軸

交于E,F兩點(diǎn)，記|m|=AC+l,若直線y=mx與拋物線恰好有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

5.綜合與探究

如圖1,反比例函數(shù)的圖象y=-［經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是一2,點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱

點(diǎn)為點(diǎn)B,作直線48.

圖I備用圖

（I）判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)y=-［的圖象上，并說明理由；

（2）如圖1,過坐標(biāo)原點(diǎn)0作宜線交反比例函數(shù)y=-［的圖象于點(diǎn)C和點(diǎn)D,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是

4,順次連接4。，DB,BC和C4求證：四邊形4CBD是矩形；

（3）已知點(diǎn)P在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)O,B,P和Q為頂點(diǎn)的四邊

形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.如圖，一次函數(shù)丫=/^+6">0）的圖像與反比例函數(shù)）/=§（久>0）的圖像交于點(diǎn)4,與刀軸交于

人

點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,401%軸于點(diǎn)0,C8=C0,點(diǎn)C關(guān)于直線40的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E.

=-<x>0）的圖象交于點(diǎn)M.

①在平移過程中，如圖2,若點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，求△ACM的面積；

②在平移過程中，如圖3,若AM_LEF,求n的值.

9.矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x,y軸的正半軸上，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C

重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象與邊AB交于點(diǎn)E（8,m）,AB=4.

X

（1）如圖1,若BE=3AE.

①求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②將矩形OABC折疊，使。點(diǎn)與F點(diǎn)重合，折痕分別與x,y軸交于點(diǎn)H,G,求線段OG的長

（2）如圖2,連接OF,EF,請(qǐng)用含m的關(guān)系式表示OAEF的面積，并求OAEF的面積的最大

值.

10.如圖1,已知4（一1,0）,8（0,一2）,平行四邊形ABCZ）的邊力。、BC分別與y軸、x軸交于點(diǎn)

E、F,且點(diǎn)E為力。中點(diǎn)，雙的線y=K（k為常數(shù)，上工0）上經(jīng)過（；、。兩點(diǎn).

X

（I）求k的值；

（2）如圖2,點(diǎn)G是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作y軸的垂線，分別交反比例函數(shù)y=為

常數(shù)，左工0）圖像于點(diǎn)時(shí)，交反比例函數(shù)y=—系-（%V0）的圖像于點(diǎn)N,當(dāng)/M=/N時(shí)，求G點(diǎn)坐

(3)點(diǎn)2在雙曲線y=￡t,點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)力、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試

X

求出滿足要求的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo).

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,B在函數(shù)y=K(x>0)的圖象上(點(diǎn)A的

縱坐標(biāo)大于點(diǎn)B的縱坐標(biāo))，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),過點(diǎn)A作ADJ_x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BCJ_x

軸于點(diǎn)C,連結(jié)OA,AB.

(I)求k的值.

(2)若CD=2OD,求四邊形OABC的面積.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCO的頂點(diǎn)。在y軸上，A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),

(4,m),直線CO：y=。％+6(0=0)與反比例函數(shù)丫=5/=0)的圖象交于。，P(-8,-2)兩點(diǎn).

(1)求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；

(2)判斷點(diǎn)B是否在該反比洌函數(shù)的圖象上，并說明理由.

13.如圖，在正方形ABCD中，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),經(jīng)過點(diǎn)A,D的一次函數(shù)y=mx+n的圖

象與反比例函數(shù)y=-的圖象交于點(diǎn)D(2,a),E(-5,-2).

X

(1)求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式；

(2)判斷點(diǎn)C是否在反比例函數(shù)y=K的圖象上，并說明理由；

X

(3)當(dāng)mx+n4］時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.

14.如圖，在菱形4BC0中，4。IIx軸，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),邊所在直線

y^mx\n與x軸交于點(diǎn)C,與雙曲線為=［。<°)交丁點(diǎn)

(2)把菱形力BCD沿y軸的正方向平移多少個(gè)單位后，點(diǎn)C落在雙曲線、2=［(%<0)上?

(3)直接寫出使之為的自變量》的取值范圍.

答案解析部分

1.【答案】(1〉解：過點(diǎn)D作。M軸于M.

???四邊形ABCD是正方形,

：.AB=DA,"48=90。，

*：LOAB+40B4=90°=乙OAB+^MAD,

：.LOBA=Z.MAD.

又??Z0B=Z.DMA=90°,

:AOBDMA.

-'.OB=AM,OA=MD,

'：COAB=30°,AB=2,

：?0B=4M=1,0A=DM=75,

AD(V3,V3+1).

當(dāng)D點(diǎn)在反比例函數(shù)上時(shí)，

k=V3(V3+1)=3+V5;

，k的值為3+g

(2)解：過點(diǎn)D作。Mly軸于M.

由(1)知，AAOB三△OMA.

：.0B=AM,OA=MD,

:64：OB=1：2,AB=2,

設(shè)04=%,則08=2x.

由勾股定理，^AB2=OA2+OB2.

即2?=X2+(2X)2>

解得工=野(舍負(fù)).

即M4=OB=華，MD=OA=挈，

?JJ

「.D（竽,誓）.

???維x/=用羊心+3,

OOO

???點(diǎn)D不在（1）中的反比例函數(shù)圖象上.

【知識(shí)點(diǎn)】含30。角的直角三角形；勾股定理；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）過點(diǎn)D作DMly軸于M,根據(jù)AAS記出△AOB三△OMA,得出OB=AM,

得出O/=MO,推出。（8，V3+l）>當(dāng)D點(diǎn)在反比例函數(shù)上時(shí)，即可得出k的值；

（2）過點(diǎn)D作OM_Ly軸于M,由（1）知，△HOB三△OMA,得出。8=AM,0A=MD,設(shè)。4=

%,則。8=2x,由勾股定理，得4B2=O42+OB2,得出x的值，推出D的坐標(biāo)，即可得解。

2.【答案】（1）解：延長AD交x軸于點(diǎn)F,

k

???四邊形ABCD是菱形，且OB落在y軸上，

???AD〃y軸，

???AF_Lx軸，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,3）,

:、OF=4,DF=3,

???OD=5,

AD=5,

???點(diǎn)A坐標(biāo)為（4,8）,

/.k=xy=4x8=32,

Z.k=32；

（2）解：將菱形ABCD沿x軸正方向平移，使得點(diǎn)D落在函數(shù)曠=苧（x>0）的圖象D，點(diǎn)處，過

點(diǎn)D，做x軸的垂線，垂足為F，.

???DF=3,

???點(diǎn)D，的縱坐標(biāo)為3,

???點(diǎn)口，在丁一竿的圖象上,

???.3<-.3-2--,

X

解得%=等

即0〃=苧，.?.尸/=苧-4=孕，

???菱形ABCD平移的距離為縱

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化-平移；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【分析】(1)延長AD交x軸于點(diǎn)F,首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD〃y軸，進(jìn)而推出

AFJ_x軸，在R2ODF中，利用勾股定理算出OD的長，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)A的坐

標(biāo)代入函數(shù)y=t即可算出k的值；

X

(2)將菱形ABCD沿x軸正方向平移，使得點(diǎn)D落在函數(shù)、=苧(x>0)的圖象D，點(diǎn)處，過點(diǎn)

D做x軸的垂線,垂足為F,得出點(diǎn))的縱坐標(biāo)為3.求出其橫坐標(biāo)，進(jìn)而得出菱形ABCD平移的

距離.

3.【答案】(1)解：在矩形04BC中，

???B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

???BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3),

又???反比例函數(shù)y=［圖象經(jīng)過點(diǎn)。(1,3)，

?k

??3=1

k=3,

?IE點(diǎn)在A8上,

???E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

又?.？=［經(jīng)過點(diǎn)E,

???E點(diǎn)縱坐標(biāo)為I，

???E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),

(2)解：由(1)得BD=1,BE=,,CB=2,

V△FBC?△0E8,

?BDBEnn1慨

??訐一兩’即汴=個(gè)

?,?開=1，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,|),

設(shè)直線FB的解析式為y=上6+6(心餐0),而直線尸8經(jīng)過8(2,3),F(0,|),

3=2kl+b

?.?l=b，

?,?好=|，b=l

;?直線F8的解析式為y=|x+1；

131

⑶解：*S四邊形BDOE=S矩9ABC一SAAOE-SKOD=2x3-]X2x2乂3x1=3,

由題意，得：OP-OC=3,DC=1,

：.0P=6,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6).

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；矩形的性質(zhì)；相似多邊形的

性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【分析】(1)由B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=[可

求出k值，由E點(diǎn)在AB上可得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出E

點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)由(1)可得出BD=1,BE=1,CB=2,由△FBCs^DEB,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

建立方程可求出CF的長，結(jié)合OF=OC-CF可得出OF的長，進(jìn)而可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由點(diǎn)F,B

的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線FB的解析式；

(3)由S四邊形BDOE=S法形OABC-SAOCD-SAOAE,可求出四邊形BDOE的面積，由點(diǎn)P在y機(jī)上及

△OPD的面積與四邊形BDOE的面積相等，可求出OP的長，進(jìn)而可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).

4.【答案】(1)解：如圖1,設(shè)NACD=a,則NACB=1300?a,

.,.ZB=180°-ZBAC-ZACB=180°-50°-(130°-a)=a,

在△ABC和△ACD中，ZB=ZACD,NBAC=/CAD,

/.△ABC^AACD,

AAC是四邊形ABCD的相似XT角線；

(2)解：①當(dāng)/APO為百角時(shí)，

當(dāng)NOAP=30。時(shí)，

過點(diǎn)P作PHJ_x軸于點(diǎn)H,

圖2

設(shè)OH=x,貝l」HP=gx,HA=3x,則x+3x=4,

解得：x=1,故點(diǎn)P(l,-V3),故k=-V3；

當(dāng)NAOP=30。時(shí)，

同理可得：k=-3-73：

②當(dāng)NOAP為直角時(shí)，

當(dāng)NOPA=30。時(shí)，

點(diǎn)P(4,-4舟，k=-16V3；

當(dāng)/AOP=30。時(shí)，OA=AO,ZOAP=ZAOB=90°,ZAOP=ZOAB=30°

.,.△OAP^AAOB,不符合相似對(duì)角線的定義，故舍去；

綜上，反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=■包或y=■辿或y=-竺比；

xXX

(3)解：如圖3,過點(diǎn)B作BH_LCD于點(diǎn)H,則/CBH=60。-NBCD=30。,

△BCD的面積=2CD?8H=/CDX卓BC=V3?故CD?BC=4

乙乙乙

而ABACs/\ACD,故CA2=BC?CD=4,故CA=2,

則點(diǎn)A(I,1),而點(diǎn)C(3,I),

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：

拋物線的表達(dá)式為：y=ax2-4ax+3a+l,

AC=2,則m=±3,

故直線的表達(dá)式為：y=±3x,

直線y=-3x與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，而直線y=mx與拋物線恰好有3個(gè)交點(diǎn)，

則直線y=3x與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，

聯(lián)立直線y=3x于拋物線的表達(dá)式并整理得：ax2-(4a+3)x+3a+l=0,

△=(4a+3)2-4a(3a+1)=0,

解得：a=-g或-

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；三角形內(nèi)角和定理；相似三角形的判定與性質(zhì)：反比例函數(shù)

圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】(1)設(shè)NACD=a,貝l」NACB=130O?a,根據(jù)內(nèi)角和定理可得NB=a,則NB=

ZACD,ZBAC=ZCAD,證明△ABCs/\ACD,據(jù)此解答；

(2)①當(dāng)/APO為直角時(shí)，當(dāng)/OAP=30。時(shí)，過點(diǎn)P作PHJ_x軸于點(diǎn)H,設(shè)OH=x,則HP=

V3x,HA-3x,結(jié)合0八-4可得x的值，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出k的值；當(dāng)NAOP—30。

時(shí)，同理可得k的值；②當(dāng)NOAP為直角時(shí)，當(dāng)/OPA=30。時(shí)，同理可得k的值；當(dāng)NAOP=30。

時(shí)，證明40AP義ZXAOB,不符合相似對(duì)角線的定義，據(jù)此解答；

(3)過點(diǎn)B作BHJ_CD于點(diǎn)H,則/CBH=30。，CH=1BC,則BH=^BC,根據(jù)三角形的面積公

式可得CD?BC=4,由相似三角形的性質(zhì)可得CA2=BC?CD=4,求出CA的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，

將A、C的坐標(biāo)代入可得拋物線的表達(dá)式為：y=ax2-4ax+3a-l,求出直線的解析式，由題意可得直

線y=3x與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立并結(jié)合△=0就可求出a的值.

5.【答案】(I)解：結(jié)論：點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，

理由如下：???反比例函數(shù)y=-［的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是一2,

?,.把％=—2代入y=—3中，得y=—備=4，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是(—2,4)，

丁點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,-4)，

把尤=2代入y=—§中，得y=—4=—4，

X乙

???點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=一］的印象上；

(2)證明：在反比例函數(shù)y=-3中令x=4則y=-2,

???過坐標(biāo)原點(diǎn)0作直線交反比例函數(shù)y=-3的圖象于點(diǎn)C和點(diǎn)D,

AC,D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

AC(4,-2),D(-4,2),OOOD,

VA,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

AOA=OB,

，四邊形ACBD是平行四邊形，

??,CD=^T￥=4熠=4V5，

AAB=CD,

，四邊形ACBD是矩形；

(3)(4,0)，(2V5,0)和(5,0)

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理：菱形的性質(zhì)；矩形的判定；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答］解：(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),如圖，

Q：

當(dāng)四邊形OBPQ是菱形時(shí)，可得OB=OPi,

，嚶=2,解得m=4,

AP)(4,0)；

當(dāng)四邊形OBQ2P2是菱形時(shí)，可得OB=OP2,

：,OB=OP2=J（-4）2+22=2遮,

.,?內(nèi)（2圾0）;

當(dāng)四邊形OP3BQ3是菱形時(shí)，可得BP3=OP3,

?'?nt=yj（m-2）2+（-4）2>

解得m=5,

???P3（5,0）,

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（4,0）,（2V5,0）和（5,0）.

【分析】（1）利用點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可求出對(duì)應(yīng)的y的

值，可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)），可得到點(diǎn)B

的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)的y的值，由此作出判斷；

（2）將x=4代入反比例函數(shù)解析式求出對(duì)應(yīng)的y的值，可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)C,D關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，同時(shí)可證得OOOD,OA=OB,利用對(duì)角線互相平方的四邊形是平行

四邊形，可征得四邊形ACBD是平行四邊形；再利用勾股定理求出CD,AB的長，可證得

CD二AB,利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，可證得四邊形ACBD是矩形；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,0）分情況討論：當(dāng)四邊形OBPQi是菱形時(shí)，OB=OPi,利用菱形的對(duì)

角線互相垂直平分，可知此時(shí)對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,利用中點(diǎn)坐標(biāo)可得到關(guān)于m的方程，解

方程求出m的值，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形OBQ2P2是菱形時(shí)，可知OB=OP?,利用勾股定理

可求出OP?的長，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形OP3BQ3是菱形時(shí)可知OP3二BP3,利用點(diǎn)的坐標(biāo)的

距離公式求出m的值，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.【答案】（1）解：點(diǎn)E在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上.

理由如下：

???一次函數(shù)y=kx+b（k>0）的圖像與反比例函數(shù)y=5（%>0）的圖像交于點(diǎn)4

X

二設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（m,，），

???點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,

.%AD1CE,4。平分CE,

連接CE交40于H,如圖所示：

???CH=EH,

vAD1x軸于D,

-%CE||不軸，乙ADB=90°,

:.LCDO+乙ADC=90°,

vCB=CD,

:.LCBO=乙CDO,

在Rt/AB。中，匕ABD+乙BAD=90。,

???LCAD=Z-CDA,

CH為2MQ9邊4D上的中線，即AH=HO,

:?H(m,/

E(2m,3,

4

v2mx—=8?

m

.??點(diǎn)E在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上；

(2)解：①???四邊形力CDE為正方形，

:'AD=CE,AO垂直平分CE,

CH=；AO,

設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為(m,令，

???CH=TH,AD=—,

m

18

Am=2Xm

??.m=2(負(fù)值舍去)，

4(2,4),C(0,2),

把.4(2,4),C(0,2)代入y=kx+b得

?:CB=CD,OC1BD,

???點(diǎn)8與點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱，

\PE-PD\=\PE-PB|,則點(diǎn)P即為符合條件的點(diǎn),

由①知，A(2,4),C(0,2),

???D(2,0),E(4,2)，

設(shè)直線OE的解析式為y=ax+n,

化:日解需二，

直線DE的解析式為y=x-2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-2,即(0,-2),故當(dāng)|PE—P8|最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-2).

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；正方形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【分析】⑴設(shè)A(m,》根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得ADJ_CE,AD平分CE,連接CE交

AD于點(diǎn)H,則CH=EH,由等腰三角形的性質(zhì)得/CBO=/CDO,根據(jù)等角的余角相等推出

ZCAD=ZCDA,得到AH=HD,表示出點(diǎn)H、E的坐標(biāo)，據(jù)此判斷；

(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD二CE,AD垂直平分CE,則CH=}\D,設(shè)A(m,條),則

CH=m,AD/,根據(jù)CH=1AD可得m的值，表示出A、C的坐標(biāo)，代入y=kx+b中可得k、b的

TTtN

值；

②延長ED交y軸于P,則|PE-PD|=|PE-PB|,根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可得D、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)

法求出直線DE的解析式，令x=0,求出y的值，可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

7.【答案】(1)解：???？是的中點(diǎn)，

113

...=加。=5X3=熱

???點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（4,1）,

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,|）代入y=（得：

??k=xy=4x5=6,

，反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=*

（2）解：?.?點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為4,代入y=￡

k

y=-

4?

K

8F-4

SBC—BI—4號(hào)，

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3,代入y=2

kk

3即

=?X-

-3

x

上

4=一

￡,3

L12—k

.\CE=AC-AE=4-^=%二

所以tan/E77c=笠=*

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式：矩形的性質(zhì)：銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【分析】（1）先求出BF的值，再求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，最后求函數(shù)解析式即可;

（2）先求出BF=4再利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。

8.【答案】（1）解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得0=-2+b,解得b=2.

故直線的表達(dá)式為y=-2x+2.

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得m=2,

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）.

作CE_Lx軸于點(diǎn)E,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

，AB=CD,AB||CD,

AZBAO=ZCDE.

VZAOB=ZCED==90°,

.*.△ABO^ADCE(AAS),

ADE=AO=1,

A0E=3,CE=OB=2,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2).

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=

解得k=6.

(2)解：①連接CE,則CE=DF.

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x,0）,則點(diǎn)E（x-1,2）.

所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（午1,1）.

由k=6,可得與1=6,解得％=竽.

所以，點(diǎn)E,F的坐標(biāo)分別為（導(dǎo)，2）,（竽,0).

所以，AF號(hào)，DF=|=CE.

所以，△ACM的面積=S梯形CEFA-SACEM-SAAMF

=i（2.5+5.5）x2-lx2.5xl-jx5.5xl

=4.

m3

'：AB||EF,AM_LEF,

AAB±AM.

VZBAO+ZABO=90°,ZBAO+ZTAM=90°,

AZABO=ZTAM.

/.（anZABO=tanZTAM=i.

設(shè)MT二x,貝ljAT=2x,

所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2x+l,x）.

由x（2x+l）=6,解得x=-2（舍去）或參

所以MT=?,AT=3（即點(diǎn)T與D重合）.

可求得FT=1.

所以，n的值為率

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）作CE_Lx軸于點(diǎn)E,先利用“AAS”證明△ABO且ADCE,可得OE=3,

CE=OB=2,即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；

12）①連接CE,設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x,0）,則點(diǎn)E（x-1,2）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（寫1,1）,再

結(jié)合k的值，求出x的值，可得點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再求出AF考，DF=^=CE,最后利用割補(bǔ)法可得

△ACM的面積二S悌彩CEFA-SACEM-SAAMF,再計(jì)算即可；

②過點(diǎn)M作MT_Lx軸于點(diǎn)T,設(shè)MT=x,則AT=2X,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2x+l,x）,再列出方程x

（2x+l）=6,求出x的值，可得MT,，AT=3,再求出FT=1,即可得到n的值。

9.【答案】（1）解：①???BE=3AE,AB=4,

AE=1,BE=3,

，E（8,1）,

/.k=8xl=8,

?.?反比例函數(shù)表達(dá)式為y=2；

X

②當(dāng)y=4時(shí)，X=2,

???F(2,4),

ACF=2,

設(shè)OG=x,則CG=4?x,FG=x,

由勾股定理得，

(4-x)+22=x2?

解得x=5,

??.0G=

(2)解：???點(diǎn)E、F在反比例因數(shù)y=K(x〉O)的圖象上，

X

.,.CFx4=Xm.

???CF=2m,

，四邊形OAEF的面積為8x4—ix4x2m-x(8-2m)x(4-m)

=-7n2+4m+i6=-(m-2)2+20,

VD<m<4,

???當(dāng)m=2時(shí)，四邊形OAEF的面積最大為20.

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；矩形的性質(zhì)；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?幾何問題

【解析】【分析】(1)①利用BE=3AE,AB=4,可證得AB=4AE,可求出AE,BE的長，由此可得

到點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可求出k的值，即可得到此函數(shù)解析式；②

利用函數(shù)解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，可得到CF的長；利用折疊的性質(zhì)，設(shè)OG=x,可表示出CG,

FG的長，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值即可.

(2)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，可表示出CF的長，再表示出四邊形OAEF的面積與m

之間的函數(shù)解析式，將其解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及m的取值范圍，可求出四邊

形OAEF的面積的最值.

10.【答案】(1)解：如圖1,過點(diǎn)D作DMJ_y軸于點(diǎn)M,YA(-1,0),AOA=1.VED=EA,

ZDME=ZAOE=90°,ZDEM=ZAEO,A△EDMEAO,AAO=DM=1,

???點(diǎn)D在第一象限，且在反比例函數(shù)y=[(k￥：O)上，???D(1,k).

???四邊形ABCD是平行四邊形，???D(1,k)是點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，向上平移k個(gè)單位得到,

???將點(diǎn)B(0,-2)作同樣的平移即可得到點(diǎn)C(2,-2+k),

/.k=2(-2+k),解得k=4.

(2)解：如圖2,連接FM、FN.根據(jù)(1)可確定點(diǎn)C(2,2),，?,點(diǎn)B(0,?2),???設(shè)直線BC的

???直線BC解析式為y=2x-2,??.2x-2=0,解得x=l,???點(diǎn)F(1,0),過點(diǎn)F作FH_LMN于點(diǎn)H,

的橫坐標(biāo)為根據(jù)即布-一環(huán)，設(shè)點(diǎn)

???H1,FM=FN,???MH=HN1=1G(0,t),=xN=

33

3--

22

--，，匕1=2,解得等故點(diǎn)G坐標(biāo)為(0,

-1-

2t￡￡

(3)解：???點(diǎn)A(-1,0),B(0,-2),設(shè)Q(0,n),P(m,±),'?四邊形ABPQ是平行四邊

771

形，，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，當(dāng)A平移得到Q時(shí)，???點(diǎn)A(-1,0),Q(0,n),???點(diǎn)A向

右平移1個(gè)單位，當(dāng)n>0時(shí)，句上平移n個(gè)單位得到Q,如圖3所示，，點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位，

向上平移n個(gè)單位得到P,,??B(0,-2),???點(diǎn)P(1,-2+n),6在反比例函數(shù)y=&上，???lx(-

2+n)=4,解得n=6,此時(shí)點(diǎn)Q(0,6)；當(dāng)nVO時(shí)，向下平移|n|個(gè)單位得到Q,如圖4所示，，點(diǎn)

B向右平移1個(gè)單位，向下平移|n|個(gè)單位得到P,VB(0,-2),???點(diǎn)P(1,-2+|n|),BP在反比例

函數(shù)y=±上，.'.lx（-2+|n|）=4,解得n=-6,n=6（舍去），此時(shí)點(diǎn)Q（（）,-6）；當(dāng)A平移得到P

X

故點(diǎn)P（-l,-4）,即點(diǎn)A向下平移4個(gè)單位，

當(dāng)點(diǎn)B向下平移4個(gè)單位，得到（0,-6）,

當(dāng)點(diǎn)B向上平移4個(gè)單位，得到（0,2）,

如圖5所示，此時(shí)點(diǎn)Q（0,-6）或（0,2）綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0,6）或（0,-6）或（0,

2）.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)?動(dòng)態(tài)幾何問題；四邊形的綜

合

【解析】【分析】（1）先求出點(diǎn)B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=［求出k的值

即可；

（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)G（0,t）,根據(jù)FM=FN可得［一1=1一（一務(wù)二1一

3

-

求出

2的值

+-

(-1即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo);

（3）分情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)分別畫出圖象并列出方程求解即可。

11.【答案】（1）解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)（2,4）代入y=幺（》＞0）,

X

可得k—xy—2x4—8,

???k的值為8；

（2）解：:k的值為8,

???函數(shù)y=5的解析式為y=9

VCD=2OD,OD=2,

ACD=4,

AOC=6,

，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6,

將x=6代入y=§,得y"，

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,^),

AS^OABC=SAAOD+S梯距慶8??=92*4+恭4+4)*4=竽

乙乙O

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；幾何圖形的面積計(jì)算?割補(bǔ)

法

【釋析】【分析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=[a>0)求出k的值即可；

(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法求出四邊形的面積即可。

.【答案】(解：將點(diǎn)代入y=-中，得

121)P(—8,—2)Xk=—8x(—2)=16,

??.反比例函數(shù)的解析式為y=放，

將點(diǎn)、C(4,TH)代入y=案中，

得m=竽=4

(2)解：V

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，4(4,0),C(4,4),

???m=4,B(8,,

.?.8(8,2),

由(1)知雙曲線的解析式為y=竺，

Jx

v2x8=16,

???點(diǎn)B在雙曲線上.

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；菱形的性質(zhì)

【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)函數(shù)關(guān)系式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)式

求出m值，即可解答；

⑵根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入函數(shù)式進(jìn)行驗(yàn)證，即可進(jìn)

行判