2026年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破一二次函數(shù)與幾何問(wèn)題

1.如圖，用40m的篙色圍成一個(gè)邊靠墻的矩形場(chǎng)地，墻長(zhǎng)15m.垂直于墻的邊長(zhǎng)為久圍成的矩形

場(chǎng)地的面積為ym2.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）求這個(gè)矩形場(chǎng)地面積的最大值.

2.在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆

圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB,BC兩邊），設(shè)AB=xm.

（2）若在P處有一棵樹(shù)與增CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)（含邊

界，不考慮樹(shù)的粗細(xì)），求花園面積S的最大值.

3.如圖，一張正方形紙板的邊長(zhǎng)為2cm,將它剪去4個(gè)全等的直角三角形（圖中陰影部分）.設(shè)

AE=BF=CG=DH=xcm,四邊形EFGH的面積為ycm2,

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍；

（2）求四邊形EFGH的面積為3cm2時(shí)的x值；

（3）四邊形EFGH的面積可以為1.5cm?嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.某公司對(duì)辦公大樓一塊墻面進(jìn)行如圖所示的圖案設(shè)計(jì).這個(gè)圖案由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小

正方形拼接而成的大正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)m,直角三角形較短直角邊Kn,且11=皿-2,大正

方形的面積為S.

(1)求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若小正方形邊長(zhǎng)不大于3,當(dāng)大正方形面積最大時(shí)，求m的值.

5.如圖所示，將拋物線丫=劣x2沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新

(1)直接寫(xiě)出新拋物線的解析式為:

(2)設(shè)新拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C,頂點(diǎn)為D,作CE_LCD交拋物線于E,如圖

所示，探究如下問(wèn)題：

①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②若一次函數(shù)y=kx+l的圖象與拋物線存在唯一交點(diǎn)且交對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F,連接DE,猜測(cè)直線

DE與對(duì)稱(chēng)軸的夾角和?次函數(shù)y=kx+l的圖象與對(duì)稱(chēng)軸的夾角之間的大小關(guān)系，并證明.

6.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax-3a(a00)分別交x

軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,tan^ACO=1.

(1)如圖1,求Q的值;

（2）如圖2,D是x軸上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)。作y軸的平行線，交拋物

當(dāng)力F=BE時(shí)，求AF的長(zhǎng).

②當(dāng)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，若DE、DF、EF中有兩條線段相等，求此時(shí)點(diǎn)0的坐標(biāo).

7.如圖，某中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園.其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為20米的

籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)為18米，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米.

18米

苗■園

(1)求拋物線的解析式及其對(duì)稱(chēng)軸：

(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)P

的坐標(biāo).

11.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D重

合)，過(guò)點(diǎn)P作PFJ_BD,交射線BC于點(diǎn)F.聯(lián)結(jié)AP,畫(huà)/FPE=NBAP,PE交BF于點(diǎn)E.設(shè)

PD=x,EF=y.

DADAD

圖】留用S3備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)A、P、F在一條直線上時(shí)，求△ABF的面積；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；

(3)聯(lián)結(jié)PC,若NFPC=NBPE,請(qǐng)直接寫(xiě)出PD的長(zhǎng).

12,已知，點(diǎn)M是二次函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,表),直角坐標(biāo)系

(2)當(dāng)O,Q,M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN_Lx軸，垂足為點(diǎn)N,求證：MF=MN+OF.

13.已知，拋物線y=ax?+3ax+c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左

側(cè).點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）,OC=3OB.

（1）直接寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值.

14.已知：如圖1,拋物線的頂點(diǎn)為M,平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B

左側(cè)），根據(jù)對(duì)稱(chēng)性AAMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)AAMB為直角三角形時(shí)，就稱(chēng)4AMB

為該拋物線的“完美三角形”.

（I）①如圖2,求出拋物線y=x2的“完美三角形"斜邊AB的長(zhǎng);

②拋物線y=x2+l與y=x2的“完美三角形”的斜邊長(zhǎng)的數(shù)帚關(guān)系是▲；

（2）若拋物線丫=2*2+4的“完美三角形”的斜邊長(zhǎng)為4,求a的值；

（3）若拋物線y=mx2+2x+n-5的“完美三角形“斜邊長(zhǎng)為n,且y=mx2+2x+n-5的最大值為-

1,求in,11的值.

15.如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線AD與y軸交于點(diǎn)E.

(1)求直線AD的解析式；

(2)如圖1,直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FGJ_AD于點(diǎn)G,作FH平行于x軸

交直線AD于點(diǎn)H,求4FGH局長(zhǎng)的最大值；

(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A,M,P,Q為

頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形.若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

16.如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點(diǎn)A(0,4),交x軸于點(diǎn)B(4,0)、C,點(diǎn)P

是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PQ,過(guò)點(diǎn)A作AQ1PQ于點(diǎn)Q,連接AP(AP不平行x

軸).

（2）點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若△AQPs△4。。（點(diǎn)P與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2,若點(diǎn)P位于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，將△4PQ沿AP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

Q,當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

答案解析部分

1.【答案】（1）解：???垂直于墻的邊長(zhǎng)為xm,平行于墻的邊長(zhǎng)為（40-2x）m,

.*.y=x（40—2x）,

根據(jù)題意得：圖二2意柒

解得學(xué)工不<20,

Ay與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x2+40%浮<%<20）：

（2）解：Vy=-2x2+40x=-2（x-10）2+200,

V-2<0,竽W20，

???當(dāng)％=竽時(shí)，y最大，最大值為187.5,

答：這個(gè)矩形場(chǎng)地面積的最大值為187.5^2.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意宜接列出函數(shù)解析式”一2產(chǎn)+40x（孕-V20）即可；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。

2.【答案】（1）解：???AB二x,則BC=（28-x）,

Ax(28-x)=192,

解得：xi=12,X2=16,

答；X的值為12或16

(2)解.：VAB=xm,

ABC=28-x,

AS=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,

???在P處有一棵樹(shù)與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,

V28-15=13,

,當(dāng)x=13時(shí),S取到最大值為:S=-(1374)2+196=195,

答：花園面積S的最大值為195平方米.

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】3)根據(jù)題意得出長(zhǎng)x寬=192,進(jìn)而得出答案；(2)由題意可得出：S=x(28-x)=

-x2+28x=-(x-14)2+196,再利用二次函數(shù)增減性求得最值.

3.【答案】(1)解：???在止方形紙上剪去4個(gè)全等的直角三角形，

AZAHE=ZDGH,ZDGH+ZDHG=90°,HG=HE,

VZEHG=180°-ZAHE-ZDHG,

AZEHG=90°,四邊形EFGH為正方形，

在AAEH中，AE=x,AH=BE=AB-AE=2-x,NA=90。，

AHE2=AE2+AH2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4,

正方形EFGH的面積y=HE2=2x2-4x+4,

VAE,AH均為正值，

A0<x<2,

故y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=2x?-4x+4,自變量x的取值范圍0VxV2.

(2)解：將y=3代入y=2x??4x+4中，整理得：2x2-4x+l=0,

解得：xi=l+孝,X2=l-攀,

故四邊形EFGH的面積為3cm2時(shí)的x的值為1+?或1-

(3)解：四邊形EFGH的面積為：y=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,(0<x<2),

;(x-1)2>0,

Ay>2,

四邊形EFGH的面積不能為1.5cm2.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式(紐)的綜合應(yīng)用；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-兒何問(wèn)題；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)

用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】(1)先證出四邊形EFGH為正方形，用未知數(shù)x表示其任一邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形面積

公式即可解決問(wèn)題；(2)代入y值，解一元二次方程即可；(3)將面積y=2x2-4x+4改寫(xiě)成完全平

方的形式，可得知注2,故不能為cm?.

4.【答案】(1)解：???小正方形的邊長(zhǎng)m,直角三角形較短直角邊長(zhǎng)n,

???直角三角形較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為m+n,

由勾股定理及正方形的面積公式可知：

S=(m+n)2+n2,

Vn=m-2,

/.S=(m+m-2)2+(m-2)2

=4m2-8m+4+m2-4m+4

=5m2-12m+8,

*.*n=m-2>0,

Am>2.

AS關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S=5m2-12m+8(m>2)

(2)解：由(1)知，S=5m2-12m+8=5(m-1.2)2+0.8,

VS關(guān)于m的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線m=L2,二次項(xiàng)系數(shù)為正，

???當(dāng)2Vms3時(shí)，S隨m的增大而增大，

???當(dāng)m=3時(shí)，S最大.

，當(dāng)大正方形面積最大時(shí)，m=3

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【釋析】【分析】(1)分別用m和n表示出直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，再由勾股定理及正方形的面

積公式可得S關(guān)于m和n的函數(shù)關(guān)系式，然后將n=m-2代入化簡(jiǎn)即可；

(2)將(1)中的函數(shù)關(guān)系式配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及m的取值范圍可求解.

5.【答案】(1)y=1(x-2)2-1

(2)解：①丫:1(x-2)2-1,

令x=0,則y=l,則點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,1),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1),

把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b,

解得：k=-1,b=1,貝ij：CD解析式為：y=-x+1；

VCDXCE,

???CE的解析式為：y=x+l…②，

聯(lián)立①②并解得：x=6(已舍去不合題意的值)，

AE(6,7)；

②將一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+l與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得：1(x-2)2-l=kx+l,

△=b2-4ac=0,解得：k=-2,則一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-2x+l,

當(dāng)x=2時(shí)，y=-3,即：點(diǎn)F坐標(biāo)為：(2,-3)；

將直線CF向上平移兩個(gè)單位過(guò)點(diǎn)D,此時(shí)一次函數(shù)為：y=-2x+3,

而E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)為：E'(-2,7),

當(dāng)x=-2時(shí)，y=7,故：點(diǎn)日在一次函數(shù)上y=-2x+3,

???ADEE是等腰三角形，所以?xún)山窍嗟?/p>

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)

題

【解析】【解答】解：(1)拋物線y=；X?沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)

度，

拋物線表達(dá)式為：y=J(x-2)2-1,

故：答案是：y=2(x-2)2-1…①

【分析】(1)利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減，可得出平移后的拋物線的解析

式。

(2)①利用新的拋物線的解析式，由x-0求出y的值，就可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出頂點(diǎn)D的坐

標(biāo)，再由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)求出直線CD的函數(shù)解析式，由CDJ_CE,可求出直線CE的函數(shù)解析

式，將拋物線的解析式和直線CE的函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，解方程組，就可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②

將一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+1與二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，再由b2-4ac=0,求出k的值，就可得到

一次函數(shù)解析式，從而可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用圖像平移的規(guī)律，可求得一次函數(shù)解析式為y=-

2x+3,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可驗(yàn)證點(diǎn)日在一次函數(shù)上y=?2x+3上，繼而可證得△DEE

是等腰三角形，可得到結(jié)論。

6.【答案】(1)解：y=a(x2-2%-3)(aH0)

令y=0,即a(x+l)(x—3)=0,解得Xi=-1,x2=3,

A.4(-1,0),B(3,0),

=1，C(0,-3a)

又?「tanzTlCO=熬=/，

?.a=1

(2)解：①由(1)得拋物線y=M—2x-3,BC所在直線、丸=工一3,

設(shè)O(m,0),

m-3),F(m,m2-2m-3)

???乙ABC=Z.FBC=45°,EOJ.x軸，

：^BFD為等腰直角三角形，

又〈AF=BE,

：.RtAADFRtAEDB^HL),

?\AD=ED而AD=m4-1,

/.rn4-1=m2-2m-3,

(m—4)(m+1)=0,m=4,

?'D(4,0),

A.4F=V26

②當(dāng)DF=EF

3-m=-m2+3m(m—l)(m-3)=0,

Am=1,，O(1,0)

當(dāng)DE=DF

m2—2m—3=3—m,

/.tn2—m-6=0,即(m+2)(m-3)=0,

?.m=—2,

AD(-2,0),

綜上，0的坐標(biāo)為(1,0),(-2,0)

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.幾何問(wèn)題

【解析】【分析】(1)由ax?-2ax-3a=0,可得A(-1,0),B(3,0),OA=1,再根據(jù)tan/ACO=

|,可求得C(0,-3),即可求出a的值；(2)①構(gòu)造全等三角形RtAADF-RtAEDB(HL),由

此AD=ED,設(shè)D(m,0),建立方程求解；②分兩種情況討論，分別建立方程進(jìn)行求解即可得到

答案.

7.【答案】(1)解：設(shè)這個(gè)苗闞園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則另一邊為(20-2切米，

：?S=x?(20—2x)=-2x2+20%；

VO<20-2%<18,

解得：1Wx<10；

，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：

S=-2x2+20x,(l<x<10)；

(2)解：由(1)可知，S=-2%2+20%,

：?S=-2x2+20%=-2(/-10x+25)+50=-2(x-5)2+50；

V-2<0,

???當(dāng)％=5時(shí)，S有最大值，最大值為50；

???當(dāng)矩形苗圃園垂直于墻的邊長(zhǎng)為5米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，最大面積為50平方米；

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?幾何問(wèn)題

【解析】【分析】(1)設(shè)這個(gè)苗圃園垂直土墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則另一邊為(20-2x)米，根據(jù)矩形的

面積公式可得S與x的關(guān)系，由0<20-2xW8可得x的范圍；

(2)根據(jù)(1)的關(guān)系式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.

8.【答案】(I)依題可得：

2AB+7x+7ix=6,

AB=3-5x,

V3-5x>0,

/.0<x<|,

???x的取值范圍為：0<x<1.

(2)設(shè)窗戶透光面積為S,依題可得：

S=2x-(3-5x)+：松，

=~x2+6x,

乙

=.1Z(.A)2+竺，

2X1717，

.??當(dāng)x啥時(shí)，最大面積為掾

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】3)根據(jù)圖形2AB+7X+弧長(zhǎng)=6列出代數(shù)式，從而可得AB的表達(dá)式，由3-5x>0,

求得x的取值范圍.

（2）設(shè)窗戶透光面積為S,根據(jù)S=矩形面積+半個(gè)圓的面積列出二次函數(shù)解析式，再由二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求得答案.

9.【答案】（I）解：拋物線y="2-2x+c與y軸交于點(diǎn)4（0,-3）,

：?c=—3>

拋物線的解析式為y=x2-2x-3

(2)解：-y=x2-2x-3,

.?.當(dāng)y=0時(shí)，%2-2%-3=0,

解得x=-1或x=3,

???8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(l,y),則y>0.

■:B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),

???BC=4,

S^PBC~2"BC,y=2y=4>

???y=2,

???點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(1,2)

(3)解：當(dāng)以BC為邊時(shí)，如圖，

?:以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

MN=BC=4,即MiN=M2N=4,

的橫坐標(biāo)為5,M2的橫坐標(biāo)為一3,

y=x2-2%-3,

當(dāng)％=5時(shí)，y=25-10-3=12；

當(dāng)x=-3時(shí)，y=9+6—3=12,

??.M點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,12)或(5,12).

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】(1)將點(diǎn)力(0,-3)代入y=x2-2x+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解

析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(l,y),由點(diǎn)P在第一象限，可知y>0,根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得

出8c=4,由三角形的面積公式得到SAPBC=^BC-y=2y=4,求出y的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)以BC為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN=BC=4,則可確定點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，然后

代入拋物線解析式得到M的縱坐標(biāo).

10.【答案】(1)解：TA(-1,0),

/.OA=1,

V(anZCAB=^=3,

OA

AOC=OB=3OA=3,

AC(0,3),B(-3,0),

設(shè)拋物線的解析式：y=a(x-3)(x+l),

貝ij3=a(O-3)(O+l)=-3a,

1,

???拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x=l.

(2)解：設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E,

VSAPCB：SAPCA=/EBX(yc-yp)riAEx(yc-yp)=BE：AE,

ABE：AE=3:5,或BE：AE=5：3,

VAB=3-(-1)=4,

???AE=|或I，

即E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(1,0),

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b,

將E(2o),C(0,3)代入得：［/+小。，

/<b=3

解得：憶?

?,?直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3,

將E(10),C(0,3)代入得：1#+b=0,

'tb=3

解得:[\=~6,

，直線CP的表達(dá)式為：y=-6x+3,

.(y=-x2+2x+3

,*ly=-2x+3

解得：[5或｛；1(舍去)，

=—x2+2%+3

y=—6x+3

解<得:或｛；二(舍去)，

???P點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,-5)或(8,-45).

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?幾何問(wèn)題

【解析】【分析】(1)根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合tanCAB=3,先求出A、C點(diǎn)坐標(biāo)，冉由OB=OC即可求

出B點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)由于直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，根據(jù)面積關(guān)系列式求出BE和AE的比

值，結(jié)合AB的長(zhǎng)度，則可求比AE和BE的長(zhǎng)度，從而求出E點(diǎn)坐標(biāo)，于是利用待定系數(shù)法即可求

出直線CP的解析式，再和拋物線的解析式聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.

1L【答案】(1)解：如圖，

BEFC

??,矩形ABCD,

：.LBAD=Z.ABF=90°,

C.LABD4-^ADB=90°,

,:A、P、F在一條直線上，且PFJ_BD,

：.LBPA=90°,

+^BAF=90°,

：.LADB=^BAF,??丁。7叱40B=縹=J=J,

AD42

ppi

tanZ-BAF=，**?BF=1,

**,^AABF=448?BF=^x2xl=l：

(2)解；???PF_LBP,：.^BPF=90°,：,^PFB+^PBF=90°,V^.ABF=90°,：,^PBF4

Z.ABP=90°,工(ABP=(PFB,VZBAP=ZFPE,J.ABAPs"PE，：端福，

VAD//BC,：,^ADB=Z.PBF,

tanz.PBF=tanZ-ADB=:，即PF1

,一i-22V丐—x.r=、2(—

?:BP=2衣-x，APF=i(2V5-x),=，；)=Q/空4=<2通)

243

(3)解：NCPF二NBPE,

①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在CE上時(shí)，

??ZBPF=ZFPD=90°,:.NDPONFPE,

,/ZFPE=ZBAP,ZDPC=ZBAP,

VAB//CD,.\ZABD=ZCDB,

/.△PAB^ACPD,

APB：CD=AB：PD,

.\PBPD=CDAB,

Ax(2\[S-x)=2x2,

：?X=y/S±1；

②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在EC延長(zhǎng)線上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PN_LCD于點(diǎn)N,在CD上取一點(diǎn)M,連接PM,使NMPF=NCPF,

則有PC：PM=CH：MH,

ZBPF=ZDPF=90°,I.ZBPC=ZDPM,

VZBPE=ZCPF,AZBPE=ZEPF,

VZBAP=ZFPE,AZBAP=ZDPM,

VZABD=ZBDC,

???△PAB^AMPD,

APB：MD=AB：PD,

由PD=x,tanZPDM=tanZPFC=2,

易得：DN=9X,PN=羋x,CN=2-9工,

□uu

PH=2x,FH=2、'號(hào)-5%,CH=2-遍x,

由PB：MD=AB：PD可得MD=,從而可得MN,

在RSPCN中利用勾股定理可得PC,

由PC：PM=CH：MH可得PM,

在在RtZkPMN中利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，

解得x=7生詢(xún),

綜上：PD的長(zhǎng)為：遍±1或7、晨際

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用幾何問(wèn)題

【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面積，由題意只須求出BF的長(zhǎng)即可。根據(jù)同角的余角相等

可得NBAF二NADB,所以tan/PBF=tanNADB二祭=黑耳，結(jié)合已知即可求得BF的長(zhǎng)，三角形

ABF的面積=1ABBF；

（2）要求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，由題意只須證得ABAPSAFPE,從而得出比例式；翳=翳，

現(xiàn)在需求出PF的長(zhǎng)，代入比例式即可得y與x的關(guān)系式。

（3）由已知條件過(guò)點(diǎn)P作PF_LBD,交射線BC于點(diǎn)F可知，點(diǎn)F可能在線段CE上，也可在CE

的延長(zhǎng)線上，所以分兩種情況求解即可。

12.【答案】⑴解：：圓心。的縱坐標(biāo)為1,

O

???設(shè)Q（m,1）,F（0,白）,

VQO=QF,

.?城+(營(yíng))2=nf+7)2,

*.a=1,

??拋物線為y=x2

(2)解：??，M在拋物線上，設(shè)M(t,t2),Q(m,1),

o

??0、Q、M在同一直線上，

*.KOM=KOQ,

理1

.?1豕

,,m=it'

.,QO=QM,

整理得到：-ie+e+e-2mt=o,

A^+St2-1=0,

J(t2+l)(4t2-1)=o,

ii

..11=與，t2=一

當(dāng)t尸|時(shí)，m尸i,

當(dāng)t2=-4時(shí)，m2=_\?

AMI(i,i),Qi(i,i),Mz(-i1),Qi(-i,吉)

(3)解：設(shè)M(n,n2)(n>0),

AN(n,0),F(0,1),

'MF;^n2-(n2-1)2J(n2+1)2=/+/,MN+OF=n2+1,

AMF=MN+OF.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?幾何問(wèn)題

【解析】【分析】⑴設(shè)Q(m,1),F(0,小,根據(jù)QO=QF列出方程即可解決問(wèn)題.⑵設(shè)

M(t,t2),Q(m,1),根據(jù)KON尸KOQ，求出t、m的關(guān)系，根據(jù)QO=QM列出方程即可解決問(wèn)

2

題.(3)設(shè)M(n,n)(n>0),則N(n,0),F(0,1),利用勾股定理求出MF即可解決問(wèn)

題.本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、三點(diǎn)共線的條件、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)解決問(wèn)

題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解次，屬于中考常考題型.

13.【答案】(1)解：???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB,

AOB=1,OC=3,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3).

(2)解：將B(I,0)、C(0,-3)RAy=ax2+3ax+c,得：

產(chǎn)3。+；=0,解得：=1,

1。=-31c=-3

???拋物線的解析式為y=|x2+|x-3.

(3)解：過(guò)點(diǎn)D作直線DE〃y軸，交AC于點(diǎn)E,交x軸干點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CG_LDE于點(diǎn)G,如

圖所示.

當(dāng)y=0時(shí)，有*x?+?x-3=0,

解得：X|=-4,X2=i,

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),

/.AB=5.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k#0),

將A(-4,0)、C(0,-3)代入y=kx+b,得：

3(3

.-4k+b=4,解得：任=-4,

b=-3lb=-3

???直線AC的解析式為y=-1x-3.

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,Ix2+x-3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,-It-3),

AED=-t-3-(1x2+5x-3)=->2-33

4444

S四邊形ABCD二SAABC+SAAED+SACED?

=1AB?OC+1ED?AF+|ED-CG,

乙乙乙

=iAB?OC+|ED*AO,

=1x5x3+1x4(-1t2-3t),

=-乳2-6t+孕=??(t+2)2+期.

V-1<0,

27

???當(dāng)t=-2時(shí)，四邊形ABCD的面積取最大值，最大值為

答：四邊形ABCD面積的最大值為名.

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】（1）???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）,OC=3OB,；.OB=1,OC=3,再根據(jù)a>0,由此可知

c<3,得出c的坐標(biāo)；

（2）代入法求解析式。根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式得到方程組，再求解即可得出結(jié)果，

（3）拋物線求面積最值問(wèn)題，可以用分割法，再利用“鉛錘高”的概念可以得出結(jié)果。此題SAED+SCED

=DExAO-2,DE稱(chēng)之為三角形ADC的鉛錘高，AO稱(chēng)之為水平寬。

14.【答案】（1）解：①過(guò)點(diǎn)B作BN_Lx釉于N,如圖2,

〈AAMB為等腰直角三角形，

.\ZABM=45°,

???AB〃x軸,

???ZBMN=ZABM=45°,

AZMBN=90°-45°=45°,

AZBMN=ZMBN,

AMN=BN,

設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n,n）,代入拋物線y=x?,

得n=*

.*.n=l,n=0（舍去），

AB（1,1）

AMN=BN=1,

22

???MB=Vi+i=V2,

AMA=MB=V2，

在RSAMB中，AB=JMB?+MA?=2,

，拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2；②相等

（2）解：??,拋物線丫=&乂2與拋物線丫=@乂2+4的形狀相同，

???拋物線y=ax2與拋物線y=ax?+4的“完美三角形“全等，

???拋物線y=ax2+4的“完美三角形“斜邊的長(zhǎng)為4,

???拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長(zhǎng)為4,

???B點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）或（2,-2）,

把點(diǎn)B代入y=ax2中，

.,1

??口=±2.

故@=；或-1；

（3）解：??，y=mx2+2x+n-5的最大值為-1，

.4m（n—5）—4.

---------4^—二T，

mn-4m-1=0,

:拋物線y=mx2+2x+n-5的“完美三角形"斜邊長(zhǎng)為n,

???拋物線y=mx?的“完美三角形"斜邊長(zhǎng)為n,

:?B點(diǎn)坐標(biāo)為g,—,

???代入拋物線y=mx2,得堂2.巾=一4

-2或n—0（不合題意舍去），

?3

,,m=,

故m=-1,n=1.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【解答］解：（1）②???拋物線y-x2十1與y-xz的形狀相同，

，拋物線y=x2+l與y=x2的“完美三角形”的斜邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系是相等：

故答案為：相等；

【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)B作BN_Lx軸，垂足為N,根據(jù)AAMB為等腰直角三角形和平行線的性質(zhì)得

ZBMN=ZABM=45°,所以/BMN=NMBN,得到MN=BN,設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n,n）,代入拋物

線y=x2,得門(mén)二標(biāo)，解方程求得n的值，則可得B的坐標(biāo)，用勾股定理求出BM的長(zhǎng)度；在

RtAAMB中，用勾股定埋計(jì)算可求解;

②因?yàn)閽佄锞€y=x2+l與y=x2的形狀相同，所以拋物線y=x2+l與y=x2的“完美三角形”的斜邊

長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系也相等；

(2)根據(jù)拋物線y=ax?與拋物線丫=2這2+4的形狀相同，所以拋物線y=ax?與拋物線y=ax?+4的

“完美三角形”全等，所以拋物線y=ax?+4的“完美三角形”斜邊的長(zhǎng)為4,所以拋物線y=ax?的“完

美三角形''斜邊的長(zhǎng)為4,故B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2),把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax2中計(jì)算即可

求解；

(3))根據(jù)y=mx2+2x+n-5的最大值為-1可求得出喏化簡(jiǎn)得mn-4mT=0,根據(jù)拋

物線y=mx24-2x+n-5的“完美三角形"斜邊長(zhǎng)為n,所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長(zhǎng)為

n,所以把B點(diǎn)坐標(biāo)(M,-/)代入拋物線y=mx2,得關(guān)于mn的方程，解之可求解.

15.【答案】(1)解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),

當(dāng)y=0時(shí)，?x2+2x+3=0,解得xi=-l,x2=3,則A(-1,0),B(3,0),

Vy=-X2+2X+3=-(x-1)?+4,

???拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

而點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，

AD(2,3),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

把A(-1,0),D(2,3)分別代入得Ge；：,解得｛，：；，

直線AD的解析式為y-x+1；

(2)解：當(dāng)x=0時(shí),y=x+l=l,則E(0,1),

VOA=OE,

???△OAE為等腰直角三角形，

.-.ZEAO=45°,

VFH^OA,

???△FGH為等腰直角三角形，

過(guò)點(diǎn)F作FN_Lx軸交AD于N,如圖，

?\FN_LFH,

???AFNH為等腰直角三角形，

而FG_LHN,

，GH=NG,

FGH周長(zhǎng)等于^卜GN的周長(zhǎng)，

?.?FG=QN二挈卜N,

2

FGN周長(zhǎng)二(I+V2)FN,

???當(dāng)FN最大時(shí)，AFGN周長(zhǎng)的最大，

設(shè)F(x,-x2+2x+3),則N(x,x+1),

FN=-x2+2x+3-x-1=-(x-i)2+5,

當(dāng)x馬時(shí)，F(xiàn)H有最大值?，

乙T,

???△FGN周長(zhǎng)的最大值為(1+△)X99+972

4=4(

即AFGH周長(zhǎng)的最大值為上竺1

4

(3)解：直線AM交y軸于R,y=-x2+2x+3=-(x-1)M,則M(1,4)設(shè)直線AM的解析式

為y=mx+n,把A(?1,0)、M(1,4)分別代入得｛驍;屋；，解得機(jī)?.?直線AM的解析

式為y=2x+2,當(dāng)x=0時(shí)，y=2x+2=2,則R(0,2),

當(dāng)AQ為矩形APQM的對(duì)角線，如圖1,

備用圖1

VZRAP=90°,而AOJ_PR,ARtAAOR^RtAPOA,AAO：OP=OR：OA,即1：OP=2：1,解得

OP§,，P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?????點(diǎn)A(?l,0)向上平移4個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位得到M

(1,4),???點(diǎn)P(0,-1)向上平移4個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位得到Q(2,Z),??,點(diǎn)T和點(diǎn)Q

關(guān)于AM所在直線對(duì)稱(chēng)，???T點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

當(dāng)AP為矩形AMPQ的對(duì)角線，反向延長(zhǎng)QA交y軸于S,如圖2,

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?幾何問(wèn)題

【解析】【解答】CD先求出C(。，3),A(-1,0),B(3,0),再利用配方法得y=-(x-1)

2+4,則拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,于是可確定D(2,3),則可利用待定系數(shù)法求直線AD的解析

式;

(2)由E(0,1)可判斷AOAE為等腰直角三角形，則NEAO=45。，由于FH〃OA,則可得到

△FGH為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)F作FN_Lx軸交AD于N,如圖，則△FNH為等腰直角三角形，所

以GH=NG,于是得到△FGH周長(zhǎng)等于△FGN的周長(zhǎng)，由于FG二GN二號(hào)FN,則△FGN周長(zhǎng)二

(1+V2)FN,所以當(dāng)FN最大時(shí)，ZkFGN周長(zhǎng)的最大，設(shè)F(x,-x2+2x+3),則N(x,x+1),則

FN=-x2+2x+3-x-1,利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題可得當(dāng)x吊時(shí)，F(xiàn)H有最大值"于是△FGN周長(zhǎng)的

最大值為上學(xué)也；

4

(3)直線AM交y軸于R,M(1,4),利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式為y=2x+2,則R

(0,2),然后分類(lèi)討論：當(dāng)AQ為矩形AMPQ的對(duì)角線，如圖1,利用RlZkAORSRIAPOA,可

計(jì)算出OP=：,