難點與易錯點03方程與不等式中的參數(shù)問題（6大題型）

麴型盤點H

題型一：分式方程的增根問題

題型二：分式方程的無解問題

題型三：分式方程的特殊解問題

題型四：一元二次方程根的情況判斷

題型五：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

題型六：不等式組的整數(shù)解問題

題型突愉N

題型一：分式方程的增根問題

指I點I迷I津

增根問題的解題關(guān)鍵

分式方程有增根是指解分式方程時，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩近都乘了一

個可能使分母為零的整式.

一一——————————一一一一一―一―一―一一————————————一———————————————―一一一一―一―一―—―—————————

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?湖南永州?中考真題）若關(guān)于x的分式方程」=1（〃?為常數(shù)）有增根，則噌根是______

x-44-x

【答案】*=4

【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計算即可.

【詳解】???關(guān)于工的分式方程一二-4=1（帆為常數(shù)）有增根，

x-44-x

Ax-4=0,

解得x=4,

故答案為：x=4.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2024?上海松江?三模）若分式方程與=一二有增根，則上的值為_______

工一1x-\

【答案】3

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增

根代入整式方程即nJ求得相關(guān)字母的值.

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出工的值，代入整式方程計算即可求出k的值.

【詳解】解：去分母得：x=k—2,

??,分式方程有培根，

/.x-l=O,

解得：x=l,

把工=1代入整式方程得：k=3.

故答案為：3.

【變式1-2］難點分情況討論x的值,使方程兩邊同乘的整式為零

(2024.山東荷澤?模擬預(yù)測)若關(guān)于x的方程：々+、有增根，貝.

x-3x'-9x+3

【答案】-6或8

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題主要考查了分式方程的增根和分式方程無解的情況；先將分式方程化為整式方程，根據(jù)方程

有增根，可得到(x+3)(x-3)=0,然后代入整式方程，即可求解.

【詳解】解：方程兩邊同乘以(1+3)(工-3),得3(x+3)+ov=4(x-3),

整理得(cl)x=-21,

???原方程有增根，

(x+3)(x-3)=0,

x=±3,

當(dāng)工=3時，3(?-1)=-21,解得。=-6；

當(dāng)工=一3時，-3(?-1)=-21,解得々=8；

?%的值為-6或8,

故答案為：-6或8.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.(2024?云南?模擬預(yù)測)若關(guān)于x的分式方程」_一2="有增根，則〃?的值為一

x-3x-3

【答案】±6

2

【知識點】分式方程無解問題、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】此題主要考查分式方程的解.先去掉分母，再把增根x=3代入即口」求出機的值.

【詳解】解：去分母得%-2（%-3）=”,

???美于大的分式方程3-2=互-有增根，

x-3*-3

/.X—3=0?即增根x=3,

把增根x=3代入x—2（x—3）=相之得3=m2,

解得加=±JJ,

故答案為：士百.

2.（2023?四川成都?二模）若關(guān)于x的分式方程==—\-2有增根，則。的值是（）

x+1x+\

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

n—1

【分析】本題主要考查了分式方程有增根的問題，正確解分式方程得到1=早是解題的關(guān)鍵.先解分式方

程得到X=?，再根據(jù)分式方程有增根得到，=-1，解方程即可得到答案.

JJ

r—1n

【詳解】解：—=-￡--2

x+1x+[

去分母得：x-l=?-2（x+l）,

去括號得：x-\=a-2x-2,

移項得：x+2x=a-2+l,

合并同類項得：版=。-1,

系數(shù)化為I得：^二平，

???分式方程有增根，

工x+1=0,即％=-1,

a=-2,

故選A.

3.（2024.寧夏銀川.三模）下面是某同學(xué)解分式方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù):

解：去分母，得1一3十2（入-2）=1..............第一步

3

題型二：分式方程的無解問題

指I點I迷I津

無解問題的解題關(guān)鍵

分式方程無解是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等,它包含兩種情形①原方程化去分母

后的整式方程無解;②原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0.它是原方程

的增根,從而原方程無解.

【中考母題學(xué)方法】

【典例2】（2024?四川達(dá)州?中考真題）若關(guān)于X的方程三-絲二=1無解，則女的值為.

x-2x-2

【答案】-1或2

【知識點】分式方程無解問題

【分析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到“搭，再根據(jù)分式方程無解得到皿=。

或搭=2'解關(guān)于火的方程即可得到答案.

【詳解】解：受制

去分母得：3-ZLV+1=X-2,

解得…擠

3kx-\

???關(guān)于x的方程=1無解,

x-2x-2

?9+1=?；颉闠=2時,分式方程無解,

解得：Z=-1或女=2（經(jīng)檢驗是原方程的解）,

3kx-\

即』皿=2,。一1無解?

故答案為：-1或2.

【變式2-1］易錯點去分母后未知數(shù)的系數(shù)含參，需分類討論

（2024?山東河澤?三模）若關(guān)于x的分式方程華=巴3+1尢解，則〃?=____.

x-2x-2

【答案】1或2

【知識點】分式方程無解問題

【分析】此題主要考查分式方程無解的情況求解，解題的關(guān)鍵是熟知解分式方程的方法.先把分式方程化

為整式方程，再根據(jù)方程無解分情況討論即可求解.

【詳解】解：篝=竺［+1

人—24-2

5

nix=m+2+x-2

當(dāng)加-1=0時，即加=1時，原分式方程無解;

當(dāng)陽。1時，x=-^-

m-\

???原分式方程無解

解得〃?=2

綜上，〃?=1或/〃=2

故答案為：I或2.

【變式2-2】易錯點去分母后未知數(shù)的系數(shù)含參，需分類討論

（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程一三+J—=。無解，則。的值為________.

x-22-x

【答案】1或2

【知識點】分式方程無解問題

【分析】此題考查了分式方程的無解問題，先整理方程得到=分4-1=0和。-1工0兩種情況,

分別進(jìn)行求解即可.

去分母得：x-a-a（x-2）,

整理得：（〃-1）工=。，

當(dāng)4-1=0時，方程無解，故4=1；

當(dāng)〃-1工0時，x=，、=2時，分式方程無解，

a-\

則4=2,

???夫卜x的方程一二+二=。尢解，則。的值為：1或2.

x-22-x

故答案為：I或2.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024.貴州黔東南.一模）若關(guān)于x的分式方程」-+1=-二無解，則〃的值為（）

x-1x-1

A.-1B.0C.1D.-2

6

【答案】D

【知識點】分式方程無解問題

【分析】本題考查分式方程無解問題，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出分式的分母為。時的x的值，代入整式

方程求出。的值即可.

【詳解】解：方程去分母，得：a+x-\=-2,

???方程無解,

，整式方程無解或方程有增根，

Ax-l=O,

：.x=\,

把H=1代入a+x—I=-2,得：6/+1—1=—2,

a=—2；

故選D.

2.（2024.黑龍江齊齊哈爾.模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程當(dāng)=1+1無解，則A的值為______.

x-\4

【答案】T或0

【分析】本題主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步驟解分式方程，再根據(jù)

分式方程無解時分式方程中的分母為0,列出關(guān)于左的分式方程，解分式方程即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握解

分式方程的一般步驟聚和分式方程無解的條件.

【詳解】解：手=。+1,

x-\4

/.4（x+k）=k（x-l）+4（x-l）,

-kx=-5k-4,

.5k+4

??X=9

k

???關(guān)于工的分式方程當(dāng)=。+1無解，

x-14

Ax-l=0,

5A-+4

解得：=i,即--二1,

Xk

:.5&+4=攵或&=0,

解得：攵=一1或2=0,

故答案為：-1或0.

3.（2024?江蘇宿遷?二模）若關(guān)于x的分式方程二二上二-3無解，則。的取值是____.

x-22-x

7

【答案】I

【分析】本題主要考查了分式方程的無解問題，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.先把分式方程化

為整式方程，解出整式方程，再根據(jù)分式方程無解，可得到關(guān)于。的方程，即可求解.

【詳解】解：去分母，得a=x-l—3(x—2),

5—a

解得x=

;分式方程無解，

??一―2=0,

???工=2,

/.d=1>

故答案為：1.

4.(2022.浙江溫州.模擬預(yù)測)設(shè)小人為實數(shù)，關(guān)于％的方程」^=無實數(shù)根，求代數(shù)式

x-1XX-X

8。+4%+|8。+4>5|的值.

【答案】5

【分析】先將分式方程通分去分母化成整式方程，再根據(jù)方程無實數(shù)解得出關(guān)于含的整式的取值范圍，

再據(jù)此作答即可求解.

【詳解】將」T+山="生化簡得：2/-(2+如+1-=0,

x-1XX-X

???原分式方程無實數(shù)根，

:.A=(—2—。)2—4x2(1—a)<0,艮］〃2+4b+4<0，

?**4b+Sa<4-b?<4>

???4H&TV0,

???8。+皿+陵+劭-5|=8?+2+［5-(8。+物］=5.

【點睛】本題考杳了將分式方程化為一元二次方程以及根據(jù)一元二次方程根的情況得到方程判別式的符號

以此來求解代數(shù)式值的知識，注重整體代入是解答本題的關(guān)鍵.

5.(2022?廣西梧州?一模)已知關(guān)于x的分式方程==」一+2無解.

x-\x-\

⑴求。的值；

3

(2)先化簡,后求值：(。-1)+(——-1).

4+2

【答案】(1)用-1

8

（2）-a-2；—I

【分析】（1）先求出分式方程==—三+2的解，再根據(jù)關(guān)于x的分式方程==—二+2無解.，即可求

得。的值；

（2）先算括號內(nèi)的減法，然后計算括號外的除法，即可將題目中的式子化簡，然后將（1）中的〃的值代

入化簡后的式子計算即可.

【詳解】（1）由方程==號+2得：

x-1X-1

x—2=tz+2（x—1）,

x=-ar

???此分式方程無解，

???此分式方程有增根x=l,

l=—a即a=—\

3。+2、

(2)原式=(a-1)+(-r----)?

a+2a+2

=（"D?窖

——a-2，

???由⑴a=-\,

???原式=-（-1）-2=-1.

【點睛】本題考查分式的化簡求值、分式方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出。的值.

題型三：分式方程的特殊解問題

指I點I迷I津

特殊解問題的解題思路

分式方程的特殊解是指題中已知解為負(fù)數(shù)或非負(fù)數(shù)等，通常先將解用含參數(shù)的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)

解為特殊解求解參數(shù)的范圍，注意分式方程的解不能使分母為零。

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程二7=1-」）的解為正數(shù)，則〃?的取值范圍（）

x-1x-1

A.m>-3B.〃?>—3且〃?工一2

C.m<3D.<3且〃?工一2

【答案】B

9

【知識點】解分式方程、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解

的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以大-1得，2=x-\-m,

解得x=〃z+3，

???分式方程二7=1-*7的解為正數(shù)，

x-1X-1

:.〃?+3>0,

:.>一3,

又m,

即陽+3工1,

:.加工一2,

:.陽的取值范圍為〃7>-3且m工-2,

故選：B.

【變式3-1].(2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題)如果關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實數(shù)〃?

xx+1

的取值范圍是()

A.6<1且"？00B.m<1C.m>1D.且/〃。一】

【答案】A

【知識點】解分式方程、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的

解是負(fù)數(shù)得到〃L1<0,并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出，〃的取值范圍即可，熟練掌握解

分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以x(x+l)得，x+\-mx=0,

解得行工，

???分式方程的解是負(fù)數(shù)，

w-1<0,

加<1,

又：x(x+l)^O,

/.X4-1*0,

為一，

m-\

/.w0,

/〃<1且〃？H0,

故選：A.

【變式3-2].（2024?甘肅金昌?三模）若有六張完全一樣的卡片正面分別寫有-1,-2,-3,0,1,2,3,

現(xiàn)背面向上，任意抽取一張卡片，其上面的數(shù)字作為A的值能使關(guān)于x的分式方程匕=2的解為正數(shù)，且

A-1

使反比例函數(shù)）FT圖象過第一、三象限的概率為.

X

2

【答案】=j

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、己知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題主要考查了簡單概率計算、解分式方程以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出使分式方程有正

數(shù)解的情況是解決本題的關(guān)鍵.依據(jù)題意、，由關(guān)于4的分式方程的解為正數(shù)，從而x=W>0且》=然乎0,

22

故可得k的范圍；再由反比例函數(shù)圖象過第一、三象限，進(jìn)而可■以求出攵的可能值，然后由概率公式進(jìn)行計

算即可獲得答案.

【詳解】解「?分式方程高=2的解為“嚀，是正數(shù),

.&+I&+1

..X=------>0且1=-------工1

22

解得女>一1且攵工1,

???反比例函數(shù)丁二二上圖象過第一、三象限,

X

???3—%>0,解得Zv3,

，-1〈攵<3且女=1,

???在數(shù)字T,-2,-3,0,1,2,3中，滿足條件的k的值有0,2,任意抽取一張卡片，其上面的數(shù)字符

2

合題意的概率為。=,.

故答案為：

k-\

【變式3-31.（2023?四川成都?模擬預(yù)測）使關(guān)于x的分式方程一r=2的解為非負(fù)數(shù)，且使反比例函數(shù)

x-\

y=之土的圖象經(jīng)過一，三象限，則滿足條件的所有整數(shù)仁的和=.

X

【答案】1

11

【難度】0.65

【知識點】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題考查根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)的范圍，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；先解分式方程，根

據(jù)方程的解的情況，結(jié)合分式的分母不為0,求出攵的取值范圍，進(jìn)而求出整數(shù)2的值.

【詳解】解：解"1=2,得：戶卓，

X-\2

???式方程0=2的解為非負(fù)數(shù)，且

x-\

.?.-2--+--1>、0八,且n-力--+-1w].,

22

且心1,

???反比例函數(shù)y二坐的圖象經(jīng)過一，三象限，

X

***3—k>0,

:.七v3,

??.滿足條件的整數(shù)2為：-1，（），2,

A-1+0+2=1；

故答案為：1.

2人+374k

【變式3-4]（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程-々一=空的方程恰好有一個實數(shù)解，求攵的

x-1X'-XX

值及方程的解.

79?117a

【答案】攵=0,x=：或k=x=4；%：或x=4或々=2,x或&

3434447

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、根據(jù)分式方程解的情況求值、公式法解一元二次方程

【分析】去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程為一元一次方程，即攵=0,為一元二次方程，即人工0,

分別求解.而當(dāng)方程為一元二次方程時，又分為A=。（方程有等根，滿足方程恰好有一個實數(shù)解），若△>（）,

則方程有兩不等實根，且其中一個為增根，而增根只可能為1或0.

【詳解】解：兩邊同乘f—x,得的2+（3—4%）x+4左一7=0,

7

若￡=0,3x—7=0,x=—,

若上工0,由題意，知△=（3—4&）2-8左（4"-7）=0,

91

解得仁=:，匕=一二,

44

9?1

當(dāng)人?時，=Xj=—,當(dāng)攵2=-^時，%=%=4,

若方程有兩不等實根，則其中一個為增根,

12

當(dāng)士=1時，k=2,x2T

78

當(dāng)石=0時，k=~7，x,二一.

4~7

【點睛】本題考查了分式方程的解，解一元二次方程.關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程

的特點及題目的條件分類討論.

【變式3-5].（2022?四川成都?一模）在V48C中，48=6,AC=4,AO是8c邊上的中線，記=m且6

為正整數(shù).則“使關(guān)于x的分式方程竽4+4=」二有正整數(shù)解的概率為____.

3-xx-3

【答案】j2

【難度】0.4

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、倍長中線模型（全等三角形的輔助線問題）、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】延長AO到E,AD=DE,連接4E,證△力。。g2\以犯，得至ljAC=3￡=4,在中，根據(jù)三

邊關(guān)系可知代入求出機的取值范圍，解分式方程得到有正整數(shù)解時機的值有2個，再

利用概率公式求解.

【詳解】延長AO到E,使4。=。自連接BE,如圖

???A。是8C邊上的中線，

:,BD=CD,

在AAQC和AEOB中，

AD=DE

<NADC=NEDB

DC=BD

工z\AOCg△瓦弟(SAS)

：.AC=BE=4,

在ZM3E中，AB-BE<AE〈AB+BE,

/.6-4<2AZX6+4,

/.1<AD<5,

13

即I<m<5,

/.ni=2,3,4,

解分式方程歲+4=—）

3-xx-3

.12

..x---------

加一4

???x為正整數(shù)，

/.z?-4<0,

nz=2,3,

，加使關(guān)于x的分式方程等1+4=一、有正整數(shù)解的概率為:.

3-xx-33

【點睛】本題考查了概率公式、解分式方程、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

I.（2024?安徽?模擬預(yù)測）關(guān)于工的方程*7-3=丁匚的解為非負(fù)數(shù)，則，〃的取值范圍是____.

x-\\-x

【答案】且小工一1

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值、求一元一次不等式的解集、解分式方程

【分析】本題主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程」\-3=丁匚的解為

x-11-x

1=等，再根據(jù)題意列出不等式知等2。且生『工1,最后求解即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：/一一3=二

x-\\-x

/n-3（x-l）=-x

m-3x+3=-x

.m+3

??X=,

2

口云》一4m+3、八ni+3,

由題意可知二一NO且一1,

22

解得m2-3且m*-1,

故答案為：3且m#—I.

2.（2024.四川宜賓?二模）若分式方程T=1-一二的解為負(fù)數(shù)，則。的取值范圍是_______

x+2x+2

【答案】4V-1且。工-3

14

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題考查了分式方程的解，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)分式方

程解為負(fù)數(shù)列出關(guān)于?的不等式，求出不等式的解集即可確定出。的范圍.

【詳解】解：號?擊,

分式;方程去分母得:a=x+2-3,

根據(jù)分式方程解為負(fù)數(shù)，得到〃+月.〃+1工-2,

解得：a<-1且aw-3,

故答案為：々<一1且々*-3.

3.（23-24九年級R四川成都?期口）若正整數(shù)”使得關(guān)于x的分式方程2+—。二史:有正整數(shù)解，那么

x-4x-4

符合條件的所有正整數(shù)。的個數(shù)有個.

【答案】4

【難度】0.65

【知識點】用一元一次不等式解決實際問題、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題主要考查了解分式方程，解一元一次不等式等知識，熟練掌握分式方程和不等式的解法是解

題關(guān)鍵.解分式方程，根據(jù)其解的條件求出a的取值范圍，從而確定符合條件的a的個數(shù).

【詳解】解：解分式方程2+—。=*,

x-4x-4

—18—a

可r/i得F1x=,

???工為正整數(shù)，4為正整數(shù)，

，心§">0且a>0，解得

Vj-4^0,

a工6,

???〃=15,12,9,3,

，符合條件的所有正整數(shù)。的個數(shù)有4個.

故答案為：4.

4.（2024.江蘇宿遷.三模）若關(guān)于x的方程葉：+==2的解為正數(shù)，則，〃的取值范圖是_______

x-1\-x

15

【答案】〃7<2且〃7工1

【難度】0.65

【知識點】求一元一次不等式的解集、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程解的情況求分式方程中的參數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法，并

且注意分式方程增根的問題.

根據(jù)分式方程的解法，解出X,再根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【詳解】g+3=2,

X-1I-X

去分母得：工+初一2〃?=2（X-1）,

解得：x=2-in,

.,方程的解為正數(shù)，且方程的增根為X-1=0,

2-/w>0,且2—

解得：m<2,且〃ZHI,

故答案為：“<2且〃2W1.

5.（2024.江蘇揚州?模擬預(yù)測）已知關(guān)于X的方程告=2-有一個正數(shù)解，則機的取值范圍___________.

x-33-x

【答案】機<6且2

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值、求一元一次不等式的解集

【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式.熟練掌握解分式方程，解一元一次不等式是解題的

關(guān)鍵.

YH）

解分式方程得x=6-m，由關(guān)于K的方程*=2-有一個正數(shù)解，可得6-6>0,且6-〃7H3,計算

x-33-x

求解，然后作答即可.

【詳解】解：f=

x-33-x

x=2x-6+m,

解得，x=6-m,

YHl

???關(guān)于X的方程一三二2-3有一個正數(shù)解，

x-33-x

6-m>0,且6-/〃#3,

解得，〃?<6且，"3,

故答案為：且M3.

16

x-?<0

6.(2024?重慶?模擬預(yù)測)若關(guān)于x的不等式組x+3,x-l有解，且關(guān)于*的分式方程—+1=/一的

1>xllx

23

解為非負(fù)數(shù)，則滿足條件的整數(shù)”的值的和為

【答案】-8

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值、由不等式組解集的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程，熟練掌握解一元一次不等式組，解分式方程是解

題的關(guān)鍵.先解不等式組，根據(jù)已知求出。的范圍，然后解分式方程，根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)確定〃

的范圍，最后找出滿足條件的整數(shù)a值即可解答.

工一〃<0①

【詳解】解：x+3>1②

解不等式①得：

解不等式②得：x>-5,

???不等式組有解，

??a>—5，

a,x

—-----------—+1=----，

x-\1-x

?+X-1=-X,

解得：

???分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

；?aK1且aW—1>

-5v〃K1旦a工—1,

，滿足條件的整數(shù)。的值為：-4,-3,-2,0,1,

，滿足條件的整數(shù)a的值的和為：-4-3-2+0+1=-8,

故答案為：-8

題型四：一元二次方程根的情況判斷

指I點I迷I津

判別式判斷法

用一元二次方程根的判別式6-4ac與0的大小判斷，其判別式用符號表示若△>(),一元二次方程有

兩個不相等的實數(shù)根:若△=0,一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根:若A<0,一元二次方程沒有實數(shù)根.

17

【中考母題學(xué)方法】

【點例3】（2024.山東泰安.中考真題）關(guān)于1的一元二次方程2?-3]+左=0有實數(shù)根，則實數(shù)上的取值范圍

是（）

9Q99

A.k<—B.kW—C.kN—D.k<—

8888

【答案】B

【難度】0.85

【知識點】根據(jù)元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件是ANO,據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于"的一元二次方程2/—3x+k=0有實數(shù)根，

,9

AA=（-3）--4x2^>0,解得心一.

8

故選B.

【變式3-1]（2024?江蘇南通?中考真題）已知關(guān)于工的一元二次方程/一21+攵=（）有兩個不相等的實數(shù)根.請

寫出一個滿足題意的上的值：.

【答案】0（答案不唯一）

【難度】0.85

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了根的判別式；一元二次方程/+尿+。-0（。+0）的根與4=從a”有如下關(guān)系：當(dāng)A>。

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)AvO時，方程無實數(shù)根.先根

據(jù)判別式的意義得至ljA=（-2）2-4k>0,解不等式得到々的范圍，然后在此范圍內(nèi)取一個值即可.

【詳解】解：???一元二次方程/一21+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

AA=（-2）2-4A:>0,

解得Avl,

???當(dāng)々取0時，方程有兩個不相筆的實數(shù)根.

故答案為：0（答案不唯一）.

【變式3-2】難點結(jié)合根的情況求參數(shù)的范圍

（2024?四川綿陽?二模）若關(guān)于x的分式方程/-=1有解，且關(guān)于），的方程產(chǎn)_2），+6=0有實數(shù)根，則加的

3-x

范圍是.

18

【答案】“力且〃7工0

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題考查了分式方程的解有意義的概念，一元二次方程實數(shù)根的判斷，掌握求解的方法是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)分式有意義的情況得到工工3,化簡分式后代入即可得到胴的取值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式求

解即可.

【詳解】解：/-二1，化簡得：x=3-加，

3-x

3-木工0,即x#3,

，3-6工3,解得：/?工0,

???/一2），+〃?=0有實數(shù)根，

:.A=/?2-4ac=（-2）--4x1x20,

解得：機W1,

???綜上mWl且加工0,

故答案為：機W1且〃ZH0.

【變式3?3】難點根的情況與三角形的綜合應(yīng)用

（2024.廣東廣州?一模）關(guān)于x的方程W-M+a'b'o有兩個相等的實數(shù)根，若4。"是VAQC的三邊長，

則這個三角形一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【難度】0.85

【知識點】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理逆定理.由關(guān)于x的方程有兩個

相等的實數(shù)根.可得二=（-2。）2-4（/+/）=0,整理得/=〃2+/,根據(jù)勾股定理逆定理判斷VA3c的形狀

即可.

【洋解】解：???關(guān)于x的方程V-2以+“2+〃=0有兩個相等的實數(shù)根，

222

???▲=（-2c）—4（/+⑹=0,整理得c=a+b\

???VA8C是直角三角形,

故選:B.

19

【變式3-4].（2024.吉林長春?中考真題）若拋物線），=f-x+c（c是常數(shù)）與工軸沒有交點，則。的取值

范圍是.

【答案】

【難度】0.65

【知識點】拋物線與x軸的交點問題、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題主要考查了拋物線y=?+法+c?與x軸的交點問題,掌握拋物線y=以?+云+c?與x軸沒有交

點與爐-x十c=O沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關(guān)于。的一元一次不等式求解即可.

【詳解】解：:拋物線y=--x+c與1軸沒有交點，

???f-x+c=0沒有實數(shù)根，

,,1

?-A=r-4xlxc=l-4c<0,c>—.

4

故答案為：c>：.

4

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2025?河南?模擬預(yù)測）若關(guān)于大的一元二次方程辦、工+1=0有實數(shù)根，則〃的取值范圍是（）

A.4工,且。工013.a<—C.ci>-■^且。工0D.a>—

4444

【答案】A

【難度】0.85

【知識點】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程的定義、元二次方程根的判別式的意義，根據(jù)一元二次方程的定義和判

別式的意義得到△=心。且〃力0,即可求解.

【詳解】解：由題意可得：△=//—4ac=（—l）~—4〃N。

解得：吟且“。

故選:A.

2.（2024?四川達(dá)州?一模）對于實數(shù)°,6定義新運算:后b=a吩-b,若關(guān)于4的方程左※x=1有兩個不相等

的實數(shù)根，則k的取值范圍（）

A.k>--B.C.■且女工。D.k>--^k^O

4444

【答案】C

20

【難度】0.85

【知識點】新定義卜的實數(shù)運算、根據(jù)一兀二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式.根據(jù)新定義運算法則列方程.，然后根據(jù)

一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式求解即可.

【詳解】解：=1,球b=ab?-b,

??be-x=\i

即kx2-x-\=0?

???關(guān)于x的方程左※x=l有兩個不相等的實數(shù)根，

/.A=（-1）2-4xA：x（-l）＞0,k*0,

解得：女,一!且攵工0,故C正確.

4

故選：C.

3.（2024?湖北隨州?一模）定義：如果一元二次方程加+云+c=0（aw0）滿足方=〃+1,那么稱這個方程為“奇

妙方程已知。尸+法+1=0（。#0）是“奇妙方程”，且有兩個相等的實數(shù)根，則的值為.

【答案】2

【難度】0.85

【知識點】因式分解法解一元二次方程、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，先由新定義得到人=。+1,再由判別

式得到△=〃一4。=0,則（〃+/『—4〃=0,解方程即可得到答窠.

【詳解】解：???0?+及+1=0（?！?）是“奇妙方程，，，

b=a+\?

???方程有兩個相等的實數(shù)根，

，-4。=0,

，（a+1）2-4a=0,

解得：4=%=1，

b=ci+1=2.

故答案為：2.

4.（2024.四川眉山?中考真題）已知方程/+工一2=0的兩根分別為X-修，則'的值為____.

Mx2

21

【答案】1/0.5

【難度】0.65

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程a$+瓜+。=0（〃/0）的兩根分別為為，

bc

x2,則玉+為=-￡,再.％=￡,掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

aa

Ix+x

先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到％+￡=-1，4丙=-2,然后把一+一化簡為二一上然后整體代入即可.

【詳解】解：?,方程f+x—2=0的兩根分別為七，“

：.Xy+X2=-\,x]x2=-2,

.1+1_X]+x2_-1_1

Xx2xxx2-22°

故答案為：-j.

5.（2024.上海寶山?一模）若二次函數(shù)y=-（xM『+48+1圖像與一次函數(shù)y=r+5（-l<x<5）只有一交

點，則〃的取值范圍為.

3

【答案】2<后12或6=3

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、其他問題（二次函數(shù)綜合）

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用、一元二次方程的根的判別式等知識，埋解并掌握

相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.分三種情況討論：首先令-（x-8『+4〃+l=-x+5,整理并結(jié)合一元二次方程的根的

判別式確定〃=;；再確定一次函數(shù)），=-％+5的圖像經(jīng)過點（-1,6）、（5,0）,結(jié)合二次函數(shù)圖像與一次函數(shù)

圖像只有一交點，可得關(guān)于〃的不等式組并求解；當(dāng)匕>5時，拋物線經(jīng)過點（5,0）,計算力的值，即可獲得

答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，令一（工一6）2+4。+1=-4+5,

整理可得x2-（?+l）x+〃-劭+4=0,

貝ljA=[—（2〃+1）1一492-46+4）=0,

解得b=K

4

Wx=-1RAy--x+5,可得,=一（一1）十5=6,

22

將x=5代入>=一4+5,可得），=-5+5=。,

即?次函數(shù)y=r+5的圖像經(jīng)過點（-1,6）、（5,0）,

對于二次函數(shù)），=一（％-?！?4）+1,

當(dāng)x=-l時，^=-（x-/7）2+4/?+l=-（-l-/?）2+4/?+l=-b2+2/j,

當(dāng)工=5時，y=-（x-Z?）2+4/?+l=-（5-/2）2+4/?+I=-/?2+14b-24,

???當(dāng)-1KXK5時，二次函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像只有一交點，

???應(yīng)滿足

6>-b2+2b.,.[6<-b2+2b

ii4V

0〈-/+14〃-24"[0>-/+146-24

解得2V/V12,

當(dāng)力>5時，拋物線經(jīng)過點（5,0）,

???-（5叫2+45+1=0,

解得b=12或。=2（舍去），

3

綜上所述，〃的取值范圍為2<6小2或6=不

故答案為：2<后12或〃=：.

4

6.（2024?新疆克孜勒蘇?一模）已知關(guān)于x的方程Y+（2"7+1）X+〃7（〃Z+1）=O.求證：方程總有兩個不相等

的實數(shù)根

【答案】見解析

【難度】0.85

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，求出〃-4時，再判斷即可.

【詳解】解：丁丁+（2m+1）工+6（"?+1）=。

A=（2m+1）~-4/〃（〃?+1）=4/?r-4〃?+1-4M-4〃?=1>0

???不論機取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

7.（2023?湖北黃岡?模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的一元二次方程（。+力）/+爾+。-。）=0,其中。、b、c分別

為VA8C三邊的長.

23

(1)如果x=T是方程的根，試判斷VA5c的形狀，并說明理由；

(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷VA4C的形狀，并說明埋由；

(3)如果VA3C是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

【答案】(1)VA3c是等腰三角形，理由見解析

(2)VA8C是直角三角形，理由見解析

⑶%=0,x2=-1

【難度】0.85

【知識點】因式分解法解一元二次方程、根據(jù)一-元二次方程根的情況求參數(shù)、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角

形、等腰