山東中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）復(fù)習(xí)題庫及答案(2025年)一、單項選擇題1.已知某離散型隨機變量\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)}\)，\(k=1,2,3,\cdots\)，則常數(shù)\(c\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：因為離散型隨機變量所有可能取值的概率之和為1，即\(\sum_{k=1}^{\infty}P(X=k)=1\)。\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{c}{k(k+1)}=c\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\)根據(jù)裂項相消法，\(\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1})=1\)所以\(c\times1=1\)，解得\(c=1\)。2.設(shè)隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(E(X^2)\)為（）A.2B.4C.6D.8答案：C解析：已知隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。因為\(P(X=1)=P(X=2)\)，所以\(\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}\)，即\(\lambda=\frac{\lambda^2}{2}\)，由于\(\lambda>0\)，解得\(\lambda=2\)。對于泊松分布\(X\simP(\lambda)\)，\(E(X)=\lambda\)，\(D(X)=\lambda\)。根據(jù)公式\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2\)，將\(\lambda=2\)代入可得\(E(X^2)=2+2^2=6\)。3.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的簡單隨機樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n)\)C.\(\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)答案：A解析：-選項A：根據(jù)抽樣分布的性質(zhì)，設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的簡單隨機樣本，則\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)，所以選項A正確。-選項B：\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)，而不是\(t(n)\)，所以選項B錯誤。-選項C：\(\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)\)，而不是\(\chi^2(n-1)\)，所以選項C錯誤。-選項D：\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)，而不是\(t(n-1)\)，所以選項D錯誤。4.已知某保險標(biāo)的在一年內(nèi)發(fā)生損失的次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次損失的金額\(X\)服從均值為2的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨立。則該保險標(biāo)的在一年內(nèi)的總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的期望\(E(S)\)為（）A.3B.6C.9D.12答案：B解析：已知\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，則\(E(N)=\lambda=3\)。每次損失的金額\(X\)服從均值為2的指數(shù)分布，則\(E(X)=2\)。根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望公式\(E(S)=E(N)\timesE(X)\)，將\(E(N)=3\)，\(E(X)=2\)代入可得\(E(S)=3\times2=6\)。5.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率密度為\(f(x,y)=\begin{cases}kxy,&0<x<1,0<y<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則常數(shù)\(k\)的值為（）A.2B.4C.6D.8答案：B解析：因為聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1\)。\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxy\dxdy=k\int_{0}^{1}x\dx\int_{0}^{1}y\dy\)\(\int_{0}^{1}x\dx=\frac{1}{2}x^2\big|_0^1=\frac{1}{2}\)，\(\int_{0}^{1}y\dy=\frac{1}{2}y^2\big|_0^1=\frac{1}{2}\)。所以\(k\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=1\)，解得\(k=4\)。二、多項選擇題1.下列關(guān)于正態(tài)分布的說法正確的有（）A.正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布B.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是關(guān)于均值\(\mu\)對稱的鐘形曲線C.若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)D.正態(tài)分布的兩個參數(shù)\(\mu\)和\(\sigma^2\)分別決定了分布的位置和形狀答案：ABCD解析：-選項A：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，\(x\in(-\infty,\infty)\)，是連續(xù)型概率分布，所以選項A正確。-選項B：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是關(guān)于\(x=\mu\)對稱的鐘形曲線，所以選項B正確。-選項C：若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)，則\(Z\simN(0,1)\)，所以選項C正確。-選項D：參數(shù)\(\mu\)決定了正態(tài)分布的位置，\(\sigma^2\)決定了正態(tài)分布的形狀，\(\sigma^2\)越大，曲線越扁平，所以選項D正確。2.對于隨機變量\(X\)和\(Y\)，下列說法正確的有（）A.若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(Cov(X,Y)=0\)B.若\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨立C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)D.相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)答案：ACD解析：-選項A：若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，可得\(Cov(X,Y)=0\)，所以選項A正確。-選項B：若\(Cov(X,Y)=0\)，只能說明\(X\)和\(Y\)不相關(guān)，但不一定相互獨立，所以選項B錯誤。-選項C：根據(jù)方差的性質(zhì)\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)，所以選項C正確。-選項D：相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)的定義為\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)，所以選項D正確。3.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的簡單隨機樣本，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則下列關(guān)于樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的說法正確的有（）A.\(E(\overline{X})=\mu\)B.\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)C.當(dāng)\(n\)充分大時，\(\overline{X}\)近似服從正態(tài)分布\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)D.\(\overline{X}\)與\(X_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）相互獨立答案：ABC解析：-選項A：\(E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\)，因為\(E(X_i)=\mu\)，所以\(E(\overline{X})=\frac{1}{n}\timesn\mu=\mu\)，選項A正確。-選項B：\(D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)\)，因為\(D(X_i)=\sigma^2\)，所以\(D(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\timesn\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}\)，選項B正確。-選項C：根據(jù)中心極限定理，當(dāng)\(n\)充分大時，\(\overline{X}\)近似服從正態(tài)分布\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)，選項C正確。-選項D：\(\overline{X}\)是\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)的線性組合，\(\overline{X}\)與\(X_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）不相互獨立，選項D錯誤。4.關(guān)于復(fù)合泊松分布，下列說法正確的有（）A.復(fù)合泊松分布的總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)中，\(N\)服從泊松分布，\(X_i\)為每次損失的金額，且\(N\)與\(X_i\)相互獨立B.復(fù)合泊松分布的期望\(E(S)=E(N)\timesE(X)\)C.復(fù)合泊松分布的方差\(D(S)=E(N)\timesE(X^2)\)D.復(fù)合泊松分布具有可加性答案：ABD解析：-選項A：復(fù)合泊松分布的定義就是總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)中，\(N\)服從泊松分布，\(X_i\)為每次損失的金額，且\(N\)與\(X_i\)相互獨立，所以選項A正確。-選項B：根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望公式\(E(S)=E(N)\timesE(X)\)，所以選項B正確。-選項C：復(fù)合泊松分布的方差\(D(S)=E(N)\timesE(X^2)\)錯誤，正確的是\(D(S)=E(N)\timesE(X^2)\)，這里應(yīng)該是\(D(S)=E(N)\timesD(X)+[E(N)\timesE(X)]^2\)，所以選項C錯誤。-選項D：復(fù)合泊松分布具有可加性，即若\(S_1\)和\(S_2\)是兩個相互獨立的復(fù)合泊松分布，則\(S_1+S_2\)也是復(fù)合泊松分布，所以選項D正確。5.設(shè)隨機變量\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，則下列說法正確的有（）A.\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a<x<b\\0,&\text{其他}\end{cases}\)B.\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)C.\(D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)D.當(dāng)\(a=0\)，\(b=1\)時，\(X\)為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布答案：ABCD解析：-選項A：均勻分布\(U(a,b)\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a<x<b\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，所以選項A正確。-選項B：根據(jù)期望的計算公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{a}^x\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}\)，所以選項B正確。-選項C：先求\(E(X^2)=\int_{a}^x^2\frac{1}{b-a}dx=\frac{a^2+ab+b^2}{3}\)，再根據(jù)\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，可得\(D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)，所以選項C正確。-選項D：當(dāng)\(a=0\)，\(b=1\)時，\(X\)服從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布\(U(0,1)\)，所以選項D正確。三、解答題1.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}ax+b,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，且\(E(X)=\frac{7}{12}\)。（1）求常數(shù)\(a\)和\(b\)的值；（2）求\(D(X)\)。解：（1）因為概率密度函數(shù)滿足\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)，所以\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)。\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=\left[\frac{1}{2}ax^2+bx\right]_0^1=\frac{1}{2}a+b=1\)①又因為\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x(ax+b)dx=\frac{7}{12}\)。\(\int_{0}^{1}x(ax+b)dx=\int_{0}^{1}(ax^2+bx)dx=\left[\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2\right]_0^1=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b=\frac{7}{12}\)②由①式可得\(b=1-\frac{1}{2}a\)，將其代入②式得：\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}a)=\frac{7}{12}\)\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}a=\frac{7}{12}\)\(\frac{4a-3a}{12}=\frac{7}{12}-\frac{6}{12}\)\(\frac{a}{12}=\frac{1}{12}\)，解得\(a=1\)。將\(a=1\)代入\(b=1-\frac{1}{2}a\)得\(b=\frac{1}{2}\)。（2）先求\(E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx=\int_{0}^{1}x^2(x+\frac{1}{2})dx\)\(\int_{0}^{1}x^2(x+\frac{1}{2})dx=\int_{0}^{1}(x^3+\frac{1}{2}x^2)dx=\left[\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{6}x^3\right]_0^1=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\)根據(jù)方差公式\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，已知\(E(X)=\frac{7}{12}\)，\(E(X^2)=\frac{5}{12}\)，則\(D(X)=\frac{5}{12}-(\frac{7}{12})^2=\frac{60-49}{144}=\frac{11}{144}\)2.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率密度為\(f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}\)。（1）求\(X\)和\(Y\)的邊緣概率密度\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)；（2）判斷\(X\)和\(Y\)是否相互獨立；（3）求\(P(X<Y)\)。解：（1）求\(X\)的邊緣概率密度\(f_X(x)\)：\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\)，當(dāng)\(x>0\)時，\(f_X(x)=\int_{0}^{\infty}2e^{-(x+2y)}dy\)\(=2e^{-x}\int_{0}^{\infty}e^{-2y}dy=2e^{-x}\left[-\frac{1}{2}e^{-2y}\right]_0^{\infty}=e^{-x}\)當(dāng)\(x\leqslant0\)時，\(f_X(x)=0\)，所以\(f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)求\(Y\)的邊緣概率密度\(f_Y(y)\)：\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx\)，當(dāng)\(y>0\)時，\(f_Y(y)=\int_{0}^{\infty}2e^{-(x+2y)}dx\)\(=2e^{-2y}\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=2e^{-2y}\left[-e^{-x}\right]_0^{\infty}=2e^{-2y}\)當(dāng)\(y\leqslant0\)時，\(f_Y(y)=0\)，所以\(f_Y(y)=\begin{cases}2e^{-2y},&y>0\\0,&y\leqslant0\end{cases}\)（2）因為\(f(x,y)=2e^{-(x+2y)}\)，\(f_X(x)f_Y(y)=e^{-x}\times2e^{-2y}=2e^{-(x+2y)}\)，對于所有的\(x,y\)都有\(zhòng)(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，所以\(X\)和\(Y\)相互獨立。（3）求\(P(X<Y)\)：\(P(X<Y)=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y}2e^{-(x+2y)}dxdy\)\(=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}\left[-e^{-x}\right]_0^{y}dy=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}(1-e^{-y})dy\)\(=\int_{0}^{\infty}(2e^{-2y}-2e^{-3y})dy=\left[-e^{-2y}+\frac{2}{3}e^{-3y}\right]_0^{\infty}\)\(=(0-0)-(-1+\frac{2}{3})=\frac{1}{3}\)3.設(shè)某保險公司的索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，每次索賠的金額\(X\)服從均值為5的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨立。求該保險公司的總索賠金額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的期望和方差。解：已知\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，則\(E(N)=\lambda=2\)，\(D(N)=\lambda=2\)。每次索賠的金額\(X\)服從均值為5的指數(shù)分布，則\(E(X)=5\)，\(D(X)=5^2=25\)。根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望公式\(E(S)=E(N)\timesE(X)\)，將\(E(N)=2\)，\(E(X)=5\)代入可得\(E(S)=2\times5=10\)。根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(D(S)=E(N)\timesE(X^2)\)，先求\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=25+25=50\)。將\(E(N)=2\)，\(E(X^2)=50\)代入可得\(D(S)=2\times50=100\)。4.