2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）練習(xí)題及答案練習(xí)題部分一、單項(xiàng)選擇題1.已知年利率為5%，按年復(fù)利計(jì)息，現(xiàn)在投資多少元，才能在5年后獲得10000元？A.7835.26元B.7920.94元C.8024.51元D.8130.92元2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ=2的泊松分布，則P(X=3)的值為（）A.$\frac{8e^{-2}}{6}$B.$\frac{4e^{-2}}{3}$C.$\frac{2e^{-2}}{3}$D.$\frac{e^{-2}}{6}$3.已知某險(xiǎn)種的損失額X服從均值為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為200的正態(tài)分布，若設(shè)定免賠額為500，則每次索賠的平均賠付額為（）A.500B.600C.700D.8004.對于一個(gè)年金產(chǎn)品，每年年初支付1000元，年利率為4%，支付期為10年，則該年金的現(xiàn)值為（）A.7435.33元B.7808.16元C.8110.90元D.8545.61元5.已知某壽險(xiǎn)保單的死亡力μ(x)=0.02，利息力δ=0.05，則保額為1的連續(xù)型終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為（）A.$\frac{0.02}{0.02+0.05}$B.$\frac{0.05}{0.02+0.05}$C.$\frac{0.02}{0.05-0.02}$D.$\frac{0.05}{0.05-0.02}$6.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x\gt0,y\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，則X的邊緣概率密度函數(shù)$f_X(x)$為（）A.$e^{-x}$，$x\gt0$B.$2e^{-x}$，$x\gt0$C.$e^{-2x}$，$x\gt0$D.$2e^{-2x}$，$x\gt0$7.已知某風(fēng)險(xiǎn)模型中，索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ=3的泊松分布，每次索賠額X服從均值為200的指數(shù)分布，且N與X相互獨(dú)立，則該風(fēng)險(xiǎn)模型的總理賠額S的方差為（）A.600B.900C.1200D.15008.對于一個(gè)3年期的定期壽險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人在第1年、第2年、第3年的死亡概率分別為0.01、0.02、0.03，利率為5%，則保額為1000的躉繳純保費(fèi)為（）A.27.23元B.28.34元C.29.45元D.30.56元9.已知某年金在第1年末支付100元，以后每年支付額比上一年增加50元，共支付10年，年利率為3%，則該年金的終值為（）A.7351.84元B.7562.91元C.7783.67元D.7994.52元10.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為α=2，β=3的伽馬分布，則E(X)和Var(X)分別為（）A.6，18B.3，9C.2，6D.1，3二、多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于復(fù)利的說法正確的有（）A.復(fù)利是指在每一個(gè)計(jì)息期后，將所生利息加入本金再計(jì)利息B.復(fù)利終值公式為$F=P(1+i)^n$，其中F為終值，P為本金，i為利率，n為期數(shù)C.復(fù)利現(xiàn)值公式為$P=\frac{F}{(1+i)^n}$D.復(fù)利的計(jì)息頻率越高，終值越大2.下列分布中，屬于連續(xù)型概率分布的有（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.伽馬分布3.對于壽險(xiǎn)精算中的生存模型，以下說法正確的有（）A.生存函數(shù)$S(x)$表示個(gè)體在x歲時(shí)生存的概率B.死亡力μ(x)反映了在x歲時(shí)瞬間死亡的相對速率C.對于均勻分布假設(shè)下，$l_{x+t}=(1-t)l_x$，$0\leqt\leq1$D.完全平均余命$\overset{\circ}{e}_x$表示x歲的人未來生存時(shí)間的期望值4.年金按支付時(shí)間和方式可分為（）A.期初年金B(yǎng).期末年金C.連續(xù)年金D.變額年金5.在風(fēng)險(xiǎn)理論中，關(guān)于總理賠額S的模型，以下說法正確的有（）A.若索賠次數(shù)N服從泊松分布，每次索賠額X相互獨(dú)立且同分布，則S服從復(fù)合泊松分布B.復(fù)合泊松分布的均值等于索賠次數(shù)的均值乘以每次索賠額的均值C.復(fù)合泊松分布的方差等于索賠次數(shù)的均值乘以每次索賠額的方差D.調(diào)節(jié)系數(shù)R是滿足矩母函數(shù)方程$E(e^{RS})=1$的最小正根三、解答題1.已知某企業(yè)面臨一種風(fēng)險(xiǎn)，該風(fēng)險(xiǎn)的損失額X服從均值為500，標(biāo)準(zhǔn)差為100的正態(tài)分布。企業(yè)決定購買保險(xiǎn)，設(shè)定免賠額為200。（1）求每次損失發(fā)生時(shí)，企業(yè)獲得賠付的概率。（2）求每次損失發(fā)生時(shí)，企業(yè)的平均賠付額。2.考慮一個(gè)2年期的定期壽險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人在第1年的死亡概率為0.01，在第2年的死亡概率為0.02，利率為4%。（1）計(jì)算保額為10000的躉繳純保費(fèi)。（2）若采用均衡純保費(fèi)方式，計(jì)算每年年初繳納的純保費(fèi)。3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)=\begin{cases}3x,&0\lty\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}$（1）求X和Y的邊緣概率密度函數(shù)$f_X(x)$和$f_Y(y)$。（2）判斷X和Y是否相互獨(dú)立。（3）計(jì)算$E(X)$和$E(Y)$。4.某年金在第1年末支付200元，以后每年支付額比上一年增加100元，共支付15年，年利率為5%。（1）計(jì)算該年金的現(xiàn)值。（2）若改為每年年初支付，計(jì)算該年金的現(xiàn)值。5.在某風(fēng)險(xiǎn)模型中，索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ=4的泊松分布，每次索賠額X服從均值為300的指數(shù)分布，且N與X相互獨(dú)立。（1）求總理賠額S的均值和方差。（2）利用中心極限定理近似計(jì)算$P(S\leq1500)$。答案部分一、單項(xiàng)選擇題1.答案：B解析：根據(jù)復(fù)利現(xiàn)值公式$P=\frac{F}{(1+i)^n}$，其中$F=10000$，$i=0.05$，$n=5$，則$P=\frac{10000}{(1+0.05)^5}\approx7835.26$元，所以答案選B。2.答案：A解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$，已知$\lambda=2$，$k=3$，則$P(X=3)=\frac{2^3e^{-2}}{3!}=\frac{8e^{-2}}{6}$，答案選A。3.答案：C解析：設(shè)損失額為$X$，賠付額為$Y$，則$Y=\begin{cases}0,&X\leq500\\X-500,&X\gt500\end{cases}$。$E(Y)=\int_{500}^{+\infty}(x-500)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times200}e^{-\frac{(x-1000)^2}{2\times200^2}}dx$。利用正態(tài)分布的性質(zhì)，令$Z=\frac{X-1000}{200}$，則$x=200Z+1000$，$dx=200dZ$。$E(Y)=\int_{\frac{500-1000}{200}}^{+\infty}(200Z+1000-500)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}200dZ=\int_{-2.5}^{+\infty}(200Z+500)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}200dZ$。因?yàn)?\int_{-2.5}^{+\infty}200Z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}200dZ=0$（奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為0），$\int_{-2.5}^{+\infty}500\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}200dZ=500\times(1-\varPhi(-2.5))\approx700$，答案選C。4.答案：B解析：期初年金現(xiàn)值公式為$P=A\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\times(1+i)$，其中$A=1000$，$i=0.04$，$n=10$，則$P=1000\times\frac{1-(1+0.04)^{-10}}{0.04}\times(1+0.04)\approx7808.16$元，答案選B。5.答案：A解析：連續(xù)型終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)公式為$\overline{A}_x=\frac{\mu}{\mu+\delta}$，已知$\mu=0.02$，$\delta=0.05$，則$\overline{A}_x=\frac{0.02}{0.02+0.05}$，答案選A。6.答案：A解析：$f_X(x)=\int_{0}^{+\infty}f(x,y)dy=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(x+2y)}dy=2e^{-x}\int_{0}^{+\infty}e^{-2y}dy=2e^{-x}\times\left(-\frac{1}{2}e^{-2y}\big|_0^{+\infty}\right)=e^{-x}$，$x\gt0$，答案選A。7.答案：C解析：若索賠次數(shù)$N$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，每次索賠額$X$相互獨(dú)立且同分布，均值為$E(X)$，方差為$Var(X)$，則總理賠額$S$的方差$Var(S)=\lambdaE(X^2)$。對于指數(shù)分布，$E(X)=\frac{1}{\theta}=200$，則$\theta=\frac{1}{200}$，$E(X^2)=\frac{2}{\theta^2}=2\times200^2$，$\lambda=3$，所以$Var(S)=3\times2\times200^2=120000$，$Var(S)=1200$，答案選C。8.答案：B解析：躉繳純保費(fèi)$P=1000\times\left(\frac{0.01}{1+0.05}+\frac{0.02}{(1+0.05)^2}+\frac{0.03}{(1+0.05)^3}\right)\approx28.34$元，答案選B。9.答案：A解析：該年金為變額年金，可將其拆分為一個(gè)等額年金和一個(gè)等差變額年金。等額年金終值$F_1=100\times\frac{(1+0.03)^{10}-1}{0.03}$，等差變額年金終值$F_2=50\times\frac{(1+0.03)^{10}-1}{0.03^2}-\frac{50\times10}{0.03}$，則年金終值$F=F_1+F_2\approx7351.84$元，答案選A。10.答案：A解析：若隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\alpha$，$\beta$的伽馬分布，則$E(X)=\alpha\beta$，$Var(X)=\alpha\beta^2$。已知$\alpha=2$，$\beta=3$，則$E(X)=2\times3=6$，$Var(X)=2\times3^2=18$，答案選A。二、多項(xiàng)選擇題1.答案：ABCD解析：復(fù)利的定義就是在每一個(gè)計(jì)息期后，將所生利息加入本金再計(jì)利息，A正確；復(fù)利終值公式$F=P(1+i)^n$和復(fù)利現(xiàn)值公式$P=\frac{F}{(1+i)^n}$是基本公式，B、C正確；復(fù)利的計(jì)息頻率越高，在相同本金、利率和期限下，終值越大，D正確。2.答案：ACD解析：正態(tài)分布、指數(shù)分布、伽馬分布屬于連續(xù)型概率分布，泊松分布屬于離散型概率分布，答案選ACD。3.答案：ABD解析：生存函數(shù)$S(x)$表示個(gè)體在$x$歲時(shí)生存的概率，A正確；死亡力$\mu(x)$反映了在$x$歲時(shí)瞬間死亡的相對速率，B正確；完全平均余命$\overset{\circ}{e}_x$表示$x$歲的人未來生存時(shí)間的期望值，D正確；在均勻分布假設(shè)下，$l_{x+t}=(1-t)l_x+tl_{x+1}$，$0\leqt\leq1$，C錯(cuò)誤。4.答案：ABCD解析：年金按支付時(shí)間和方式可分為期初年金、期末年金、連續(xù)年金和變額年金，答案選ABCD。5.答案：ABD解析：若索賠次數(shù)$N$服從泊松分布，每次索賠額$X$相互獨(dú)立且同分布，則$S$服從復(fù)合泊松分布，A正確；復(fù)合泊松分布的均值$E(S)=\lambdaE(X)$，B正確；復(fù)合泊松分布的方差$Var(S)=\lambdaE(X^2)$，C錯(cuò)誤；調(diào)節(jié)系數(shù)$R$是滿足矩母函數(shù)方程$E(e^{RS})=1$的最小正根，D正確。三、解答題1.（1）設(shè)損失額為$X$，$X\simN(500,100^2)$。企業(yè)獲得賠付的條件是$X\gt200$。令$Z=\frac{X-500}{100}$，則$P(X\gt200)=P\left(Z\gt\frac{200-500}{100}\right)=P(Z\gt-3)=1-P(Z\leq-3)=1-\varPhi(-3)=\varPhi(3)\approx0.9987$。（2）賠付額$Y=\begin{cases}0,&X\leq200\\X-200,&X\gt200\end{cases}$。$E(Y)=\int_{200}^{+\infty}(x-200)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times100}e^{-\frac{(x-500)^2}{2\times100^2}}dx$。令$Z=\frac{X-500}{100}$，$x=100Z+500$，$dx=100dZ$。$E(Y)=\int_{\frac{200-500}{100}}^{+\infty}(100Z+500-200)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}100dZ=\int_{-3}^{+\infty}(100Z+300)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}100dZ$。因?yàn)?\int_{-3}^{+\infty}100Z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}100dZ=0$（奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為0），$\int_{-3}^{+\infty}300\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}}100dZ=300\times(1-\varPhi(-3))\approx300\times0.9987=299.61$。2.（1）躉繳純保費(fèi)$P=10000\times\left(\frac{0.01}{1+0.04}+\frac{0.02\times(1-0.01)}{(1+0.04)^2}\right)$$=10000\times\left(\frac{0.01}{1.04}+\frac{0.02\times0.99}{1.04^2}\right)\approx10000\times(0.009615+0.018367)=279.82$元。（2）設(shè)每年年初繳納的純保費(fèi)為$P_1$。根據(jù)收支平衡原理，$P_1\left(1+\frac{1}{1+0.04}\right)=279.82$，$P_1\times\frac{1.04+1}{1.04}=279.82$，$P_1=\frac{279.82\times1.04}{2.04}\approx143.03$元。3.（1）$f_X(x)=\int_{0}^{x}3xdy=3x\cdoty\big|_0^x=3x^2$，$0\ltx\lt1$；$f_Y(y)=\int_{y}^{1}3xdx=\frac{3}{2}x^2\big|_y^1=\frac{3}{2}(1-y^2)$，$0\lty\lt1$。（2）因?yàn)?f(x,y)\neqf_X(x)f_Y(y)$，所以$X$和$Y$不相互獨(dú)立。（3）$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdotf_X(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot3x^2dx=\frac{3}{4}x^4\big|_0^1=\frac{3}{4}$；$E(Y)=\int_{0}^{1}y\cdotf_Y(y)dy=\int_{0}^{1}y\cdot\frac{3}{2}(1-y^2)dy=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{4}y^4\right)\big|_0^1=\frac{3}{8}$。4.（1）該年金可拆分為一個(gè)等額年金和一個(gè)等差變額年金。等額年金現(xiàn)值$P_1=200\times\frac{1-(1+0.05)^{-15}}{0.05}$，等差變額年金現(xiàn)值$P_2=100\times\frac{\frac{1-(1+0.05)^{-15}}{0.05}-15\times