2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）能力提高訓(xùn)練試題庫及答案(湖北天門)一、單項(xiàng)選擇題1.已知某壽險(xiǎn)保單的保額為10萬元，保險(xiǎn)期限為5年，每年年末繳納保費(fèi)。假設(shè)年利率為5%，根據(jù)生命表計(jì)算出的5年期生存概率為0.95，死亡概率為0.05。則該保單每年應(yīng)繳納的純保費(fèi)為（）。A.1904.76元B.2000元C.2105.26元D.2200元答案：A解析：設(shè)每年應(yīng)繳納的純保費(fèi)為\(P\)。根據(jù)純保費(fèi)的計(jì)算原理，保費(fèi)的現(xiàn)值應(yīng)等于保險(xiǎn)金給付的現(xiàn)值。每年年末繳納保費(fèi)\(P\)，5年保費(fèi)的現(xiàn)值為\(P\timesa_{\overline{5}\rceil0.05}\)（其中\(zhòng)(a_{\overline{n}\rceili}\)表示利率為\(i\)、期限為\(n\)年的期末年金現(xiàn)值）。\(a_{\overline{5}\rceil0.05}=\frac{1-(1+0.05)^{-5}}{0.05}\approx4.3295\)。若被保險(xiǎn)人在5年內(nèi)死亡，賠付10萬元，死亡概率為0.05；若生存至期末不賠付。保險(xiǎn)金給付的現(xiàn)值為\(100000\times0.05\timesv\)（\(v=\frac{1}{1+i}\)）的某種加權(quán)平均。這里簡化計(jì)算，從收支平衡角度，\(P\timesa_{\overline{5}\rceil0.05}=100000\times0.05\)，則\(P=\frac{100000\times0.05}{a_{\overline{5}\rceil0.05}}=\frac{5000}{4.3295}\approx1904.76\)元。2.已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，則\(P(X=3)\)的值為（）。A.\(\frac{8e^{-2}}{6}\)B.\(\frac{4e^{-2}}{6}\)C.\(\frac{2e^{-2}}{6}\)D.\(\frac{e^{-2}}{6}\)答案：A解析：若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)。已知\(\lambda=2\)，\(k=3\)，則\(P(X=3)=\frac{2^{3}e^{-2}}{3!}=\frac{8e^{-2}}{6}\)。3.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X+1)(Y-2)]\)的值為（）。A.2B.3C.4D.5答案：B解析：首先將\(E[(X+1)(Y-2)]\)展開得\(E[(X+1)(Y-2)]=E(XY-2X+Y-2)=E(XY)-2E(X)+E(Y)-2\)。根據(jù)協(xié)方差公式\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，可得\(E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)\)。已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E(XY)=1+2\times3=7\)。所以\(E[(X+1)(Y-2)]=7-2\times2+3-2=3\)。4.某保險(xiǎn)標(biāo)的的損失服從正態(tài)分布\(N(1000,200^{2})\)，若保險(xiǎn)公司設(shè)定免賠額為500，則每次損失的平均賠付額為（）。A.690.1B.790.1C.890.1D.990.1答案：B解析：設(shè)損失變量為\(X\simN(1000,200^{2})\)，免賠額為\(d=500\)。賠付額\(Y=\max(X-500,0)\)。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，\(E(Y)=\int_{500}^{+\infty}(x-500)f(x)dx\)，其中\(zhòng)(f(x)\)是正態(tài)分布\(N(1000,200^{2})\)的概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\)，\(\mu=1000\)，\(\sigma=200\)。令\(Z=\frac{x-1000}{200}\)，則\(x=200Z+1000\)，\(dx=200dZ\)。\(E(Y)=\int_{\frac{500-1000}{200}}^{+\infty}(200Z+1000-500)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}200dZ=200\int_{-2.5}^{+\infty}Z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}dZ+500\int_{-2.5}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}dZ\)。對于\(\int_{-2.5}^{+\infty}Z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}dZ\)，令\(u=-\frac{Z^{2}}{2}\)，\(du=-ZdZ\)，當(dāng)\(Z=-2.5\)時(shí)，\(u=-\frac{6.25}{2}\)，當(dāng)\(Z\to+\infty\)時(shí)，\(u\to-\infty\)，則\(\int_{-2.5}^{+\infty}Z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}dZ=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{6.25}{2}}\)。\(\int_{-2.5}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}dZ=1-\varPhi(-2.5)=\varPhi(2.5)\approx0.9938\)。\(E(Y)=200\times\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{6.25}{2}}+500\times0.9938\approx790.1\)。5.已知某年金在第1年末支付100元，以后每年比上一年增加10元，共支付10年，年利率為5%，則該年金的現(xiàn)值為（）。A.1234.56元B.1334.56元C.1434.56元D.1534.56元答案：B解析：該年金為變額年金，可將其拆分為一個(gè)等額年金和一個(gè)等差遞增年金。等額年金部分：每年支付100元，期限10年，年利率5%，其現(xiàn)值為\(100\timesa_{\overline{10}\rceil0.05}\)，\(a_{\overline{10}\rceil0.05}=\frac{1-(1+0.05)^{-10}}{0.05}\approx7.7217\)，這部分現(xiàn)值為\(100\times7.7217=772.17\)元。等差遞增年金部分：首項(xiàng)為0，公差為10，期限10年，其現(xiàn)值公式為\(10\times(Ia)_{\overline{10}\rceil0.05}\)，\((Ia)_{\overline{n}\rceili}=\frac{\ddot{a}_{\overline{n}\rceili}-nv^{n}}{i}\)，\(\ddot{a}_{\overline{n}\rceili}=\frac{1-v^{n}}z3jilz61osys\)（\(d=\frac{i}{1+i}\)），先計(jì)算\(\ddot{a}_{\overline{10}\rceil0.05}=\frac{1-(1+0.05)^{-10}}{\frac{0.05}{1+0.05}}\approx8.1078\)，\((Ia)_{\overline{10}\rceil0.05}=\frac{8.1078-10\times(1+0.05)^{-10}}{0.05}\approx56.239\)，這部分現(xiàn)值為\(10\times56.239=562.39\)元。則該年金的現(xiàn)值為\(772.17+562.39=1334.56\)元。二、多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于精算數(shù)學(xué)中常用分布的說法，正確的有（）。A.泊松分布常用于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)B.正態(tài)分布具有對稱性，其均值和中位數(shù)相等C.指數(shù)分布具有無記憶性D.伽馬分布可用于描述風(fēng)險(xiǎn)的聚集性答案：ABCD解析：-A選項(xiàng)：泊松分布是一種常見的離散概率分布，常用來描述在一定時(shí)間、空間或其他單位內(nèi)，隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，例如單位時(shí)間內(nèi)的保險(xiǎn)索賠次數(shù)等，所以A正確。-B選項(xiàng)：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是關(guān)于均值\(\mu\)對稱的，其均值、中位數(shù)和眾數(shù)都相等，所以B正確。-C選項(xiàng)：指數(shù)分布的無記憶性是指對于非負(fù)隨機(jī)變量\(X\)服從指數(shù)分布，有\(zhòng)(P(X\gts+t|X\gts)=P(X\gtt)\)，\(s,t\geq0\)，這一性質(zhì)在保險(xiǎn)精算中用于描述風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的時(shí)間間隔等問題，所以C正確。-D選項(xiàng)：伽馬分布可以用來描述一些具有聚集性的風(fēng)險(xiǎn)，例如在某些情況下，保險(xiǎn)索賠的金額可能呈現(xiàn)出聚集的特征，伽馬分布可以較好地?cái)M合這種數(shù)據(jù)，所以D正確。2.關(guān)于生存年金的說法，正確的有（）。A.生存年金是指以被保險(xiǎn)人的生存為給付條件的年金B(yǎng).期末付生存年金在被保險(xiǎn)人死亡的期末停止給付C.期初付生存年金在被保險(xiǎn)人死亡的期初停止給付D.生存年金的現(xiàn)值與被保險(xiǎn)人的生存概率有關(guān)答案：AD解析：-A選項(xiàng)：生存年金的定義就是以被保險(xiǎn)人的生存為給付條件的年金，只有當(dāng)被保險(xiǎn)人存活時(shí)才進(jìn)行給付，所以A正確。-B選項(xiàng)：期末付生存年金是在被保險(xiǎn)人存活的期末進(jìn)行給付，當(dāng)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)，立即停止給付，而不是死亡的期末，所以B錯(cuò)誤。-C選項(xiàng)：期初付生存年金是在被保險(xiǎn)人存活的期初進(jìn)行給付，當(dāng)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)，立即停止給付，而不是死亡的期初，所以C錯(cuò)誤。-D選項(xiàng)：生存年金的現(xiàn)值計(jì)算需要考慮被保險(xiǎn)人在不同時(shí)期的生存概率，因?yàn)橹挥斜槐ｋU(xiǎn)人存活才能獲得給付，所以其現(xiàn)值與生存概率密切相關(guān)，所以D正確。3.以下屬于精算數(shù)學(xué)中風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的有（）。A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）D.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）答案：ABCD解析：-A選項(xiàng)：方差是用來衡量隨機(jī)變量取值的離散程度，在精算中可以反映風(fēng)險(xiǎn)的大小，方差越大，說明風(fēng)險(xiǎn)越分散，不確定性越大，所以方差是一種風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。-B選項(xiàng)：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，它與方差一樣，也是衡量隨機(jī)變量偏離其均值的程度，是常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，具有與原數(shù)據(jù)相同的量綱，更直觀地反映風(fēng)險(xiǎn)的大小。-C選項(xiàng)：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)可能遭受的最大損失，在精算中常用于評(píng)估保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)、投資風(fēng)險(xiǎn)等，所以VaR是重要的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。-D選項(xiàng)：條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是在給定置信水平下，超過VaR的損失的期望值，它比VaR更能反映極端情況下的風(fēng)險(xiǎn)，也是精算中常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。4.關(guān)于壽險(xiǎn)純保費(fèi)計(jì)算的基本原則，以下說法正確的有（）。A.收支平衡原則是壽險(xiǎn)純保費(fèi)計(jì)算的基本準(zhǔn)則B.收支平衡是指保費(fèi)收入的現(xiàn)值等于保險(xiǎn)金給付的現(xiàn)值C.計(jì)算純保費(fèi)時(shí)不需要考慮保險(xiǎn)公司的經(jīng)營費(fèi)用D.純保費(fèi)只與保險(xiǎn)金額、保險(xiǎn)期限和死亡率有關(guān)答案：ABC解析：-A選項(xiàng)：收支平衡原則是壽險(xiǎn)純保費(fèi)計(jì)算的核心原則，通過使保費(fèi)收入和保險(xiǎn)金給付在經(jīng)濟(jì)價(jià)值上達(dá)到平衡，確保保險(xiǎn)公司在長期經(jīng)營中能夠履行保險(xiǎn)責(zé)任，所以A正確。-B選項(xiàng)：具體來說，收支平衡就是將保費(fèi)收入按照一定的利率折現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)值等于保險(xiǎn)金給付在相同利率下折現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)值，所以B正確。-C選項(xiàng)：純保費(fèi)是為了滿足保險(xiǎn)金給付的需要而計(jì)算的保費(fèi)，不包含保險(xiǎn)公司的經(jīng)營費(fèi)用等其他因素，經(jīng)營費(fèi)用通常在附加保費(fèi)中考慮，所以C正確。-D選項(xiàng)：純保費(fèi)除了與保險(xiǎn)金額、保險(xiǎn)期限和死亡率有關(guān)外，還與利率有關(guān)，因?yàn)樵谟?jì)算現(xiàn)值時(shí)需要用到利率進(jìn)行折現(xiàn)，所以D錯(cuò)誤。5.已知隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，則以下說法正確的有（）。A.\(X+Y\simN(3,13)\)B.\(X-Y\simN(-1,13)\)C.\(2X+3Y\simN(8,97)\)D.\(3X-2Y\simN(-1,52)\)答案：ABCD解析：若\(X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})\)，\(Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})\)，且\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則：-對于\(X+Y\)，\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+2=3\)，\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+9=13\)，所以\(X+Y\simN(3,13)\)，A正確。-對于\(X-Y\)，\(E(X-Y)=E(X)-E(Y)=1-2=-1\)，\(Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)=4+9=13\)，所以\(X-Y\simN(-1,13)\)，B正確。-對于\(2X+3Y\)，\(E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y)=2\times1+3\times2=8\)，\(Var(2X+3Y)=2^{2}Var(X)+3^{2}Var(Y)=4\times4+9\times9=16+81=97\)，所以\(2X+3Y\simN(8,97)\)，C正確。-對于\(3X-2Y\)，\(E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3\times1-2\times2=-1\)，\(Var(3X-2Y)=3^{2}Var(X)+(-2)^{2}Var(Y)=9\times4+4\times9=36+36=52\)，所以\(3X-2Y\simN(-1,52)\)，D正確。三、解答題1.某保險(xiǎn)公司承保了1000份相同類型的保險(xiǎn)單，每份保險(xiǎn)單的索賠次數(shù)服從參數(shù)為\(\lambda=0.2\)的泊松分布，且各保險(xiǎn)單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立。求這1000份保險(xiǎn)單的總索賠次數(shù)超過220次的概率。解：設(shè)\(X_{i}\)表示第\(i\)份保險(xiǎn)單的索賠次數(shù)，\(i=1,2,\cdots,1000\)，已知\(X_{i}\simPoisson(\lambda=0.2)\)。則\(E(X_{i})=\lambda=0.2\)，\(Var(X_{i})=\lambda=0.2\)。設(shè)\(S=\sum_{i=1}^{1000}X_{i}\)，根據(jù)獨(dú)立同分布的性質(zhì)，\(E(S)=\sum_{i=1}^{1000}E(X_{i})=1000\times0.2=200\)，\(Var(S)=\sum_{i=1}^{1000}Var(X_{i})=1000\times0.2=200\)。由中心極限定理，當(dāng)\(n\)（這里\(n=1000\)）充分大時(shí)，\(S\)近似服從正態(tài)分布\(N(E(S),Var(S))\)，即\(S\simN(200,200)\)。要求\(P(S\gt220)\)，先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，令\(Z=\frac{S-200}{\sqrt{200}}\)，則\(P(S\gt220)=1-P(S\leq220)=1-P(\frac{S-200}{\sqrt{200}}\leq\frac{220-200}{\sqrt{200}})=1-P(Z\leq\frac{20}{\sqrt{200}})\approx1-P(Z\leq1.414)\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得\(P(Z\leq1.414)\approx0.9213\)，所以\(P(S\gt220)=1-0.9213=0.0787\)。2.已知一份3年期的定期壽險(xiǎn)，保額為5萬元，被保險(xiǎn)人年齡為30歲，根據(jù)生命表，\(l_{30}=95000\)，\(l_{31}=94500\)，\(l_{32}=94000\)，\(l_{33}=93500\)，年利率為6%。計(jì)算該定期壽險(xiǎn)的純保費(fèi)。解：設(shè)純保費(fèi)為\(P\)。根據(jù)收支平衡原則，保費(fèi)的現(xiàn)值等于保險(xiǎn)金給付的現(xiàn)值。第1年末死亡給付的現(xiàn)值為\(50000\times\frac{d_{30}}{l_{30}}\timesv\)，其中\(zhòng)(d_{30}=l_{30}-l_{31}=95000-94500=500\)，\(v=\frac{1}{1+0.06}\)，這部分現(xiàn)值為\(50000\times\frac{500}{95000}\times\frac{1}{1.06}\approx248.99\)元。第2年末死亡給付的現(xiàn)值為\(50000\times\frac{d_{31}}{l_{30}}\timesv^{2}\)，\(d_{31}=l_{31}-l_{32}=94500-94000=500\)，這部分現(xiàn)值為\(50000\times\frac{500}{95000}\times(\frac{1}{1.06})^{2}\approx234.90\)元。第3年末死亡給付的現(xiàn)值為\(50000\times\frac{d_{32}}{l_{30}}\timesv^{3}\)，\(d_{32}=l_{32}-l_{33}=94000-93500=500\)，這部分現(xiàn)值為\(50000\times\frac{500}{95000}\times(\frac{1}{1.06})^{3}\approx221.60\)元。保險(xiǎn)金給付的總現(xiàn)值為\(248.99+234.90+221.60=705.49\)元。由于是躉交純保費(fèi)，所以該定期壽險(xiǎn)的純保費(fèi)約為705.49元。3.一份期末付年金，第1年支付100元，第2年支付120元，第3年支付140元，以此類推，每年增加20元，共支付10年，年利率為5%。計(jì)算該年金的現(xiàn)值。解：將該年金拆分為一個(gè)等額年金和一個(gè)等差遞增年金。等額年金部分：每年支付100元，期限10年，年利率5%，其現(xiàn)值為\(100\timesa_{\overline{10}\rceil0.05}\)，\(a_{\overline{10}\rceil0.05}=\frac{1-(1+0.05)^{-10}}{0.05}\approx7.7217\)，這部分現(xiàn)值為\(100\times7.7217=772.17\)元。等差遞增年金部分：首項(xiàng)為0，公差為20，期限10年。先求\((Ia)_{\overline{10}\rceil0.05}\)，\((Ia)_{\overline{n}\rceili}=\frac{\ddot{a}_{\overline{n}\rceili}-nv^{n}}{i}\)，\(\ddot{a}_{\overline{n}\rceili}=\frac{1-v^{n}}z3jilz61osys\)（\(d=\frac{i}{1+i}\)）。\(\ddot{a}_{\overline{10}\rceil0.05}=\frac{1-(1+0.05)^{-10}}{\frac{0.05}{1+0.05}}\approx8.1078\)，\((Ia)_{\overline{10}\rceil0.05}=\frac{8.1078-10\times(1+0.05)^{-10}}{0.05}\approx56.239\)。這部分現(xiàn)值為\(20\times56.239=1124.78\)元。則該年金的現(xiàn)值為\(772.17+1124.78=1896.95\)元。4.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為\(f(x,y)=\begin{cases}kxy,&0\ltx\lt1,0\lty\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)。（1）求常數(shù)\(k\)的值；（2）求\(X\)和\(Y\)的邊緣概率密度函數(shù)；（3）判斷\(X\)和\(Y\)是否相互獨(dú)立。解：（1）根據(jù)聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)\(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\)，則\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxydxdy=1\)。先對\(x\)積分：\(\int_{0}^{1}ky[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}dy=\frac{k}{2}\int_{0}^{1}ydy\)，再對\(y\)積分：\(\frac{k}{2}[\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1}=\frac{k}{4}\)。由\(\frac{k}{4}=1\)，解得\(k=4\)。（2）\(X\)的邊緣概率密度函數(shù)\(f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)，當(dāng)\(0\ltx\lt1\)時(shí)，\(f_{X}(x)=\int_{0}^{1}4xydy=4x[\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1}=2x\)，當(dāng)\(x\notin(0,1)\)時(shí)，\(f_{X}(x)=0\)，即\(f_{X}(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)。\(Y\)的邊緣概率密度函數(shù)\(f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\)，當(dāng)\(0\lty\lt1\)時(shí)，\(f_{Y}(y)=\int_{0}^{1}4xydx=4y[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}=2y\)，當(dāng)\(y\notin(0,1)\)時(shí)，\(f_{Y}(y)=0\)，即\(f_{Y}(y)=\begin{cases}2y,&0\lty\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)