中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案(西藏自治區(qū)那曲地區(qū)2025年)中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.在一個(gè)保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中，索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次索賠額\(X\)服從均值為2的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨(dú)立。則該模型的總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的方差為（）A.6B.9C.12D.152.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\bar{x}\)，方差為\(s^2\)。若對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)常數(shù)\(c\)，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.\(\bar{x}+c\)，\(s^2\)B.\(\bar{x}\)，\(s^2+c\)C.\(\bar{x}+c\)，\(s^2+c\)D.\(\bar{x}\)，\(s^2\)3.在線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)中，\(\epsilon\)服從正態(tài)分布\(N(0,\sigma^2)\)。若通過最小二乘法得到回歸系數(shù)\(\hat{\beta}_1\)，則\(\hat{\beta}_1\)是（）A.有偏估計(jì)量B.無偏估計(jì)量C.既不是有偏也不是無偏估計(jì)量D.以上說法都不對(duì)4.設(shè)\(X\)服從參數(shù)為\(n=10\)，\(p=0.3\)的二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則\(P(X\geq2)\)等于（）A.\(1-P(X=0)-P(X=1)\)B.\(P(X=0)+P(X=1)\)C.\(1-P(X=0)\)D.\(1-P(X=1)\)5.某保險(xiǎn)公司承保的一類風(fēng)險(xiǎn)，索賠次數(shù)\(N\)服從負(fù)二項(xiàng)分布\(NB(r,p)\)，其中\(zhòng)(r=2\)，\(p=0.6\)。則該分布的均值和方差分別為（）A.\(\frac{4}{3}\)，\(\frac{10}{9}\)B.\(\frac{4}{3}\)，\(\frac{20}{9}\)C.\(\frac{2}{3}\)，\(\frac{10}{9}\)D.\(\frac{2}{3}\)，\(\frac{20}{9}\)6.在時(shí)間序列分析中，自回歸模型\(AR(p)\)的平穩(wěn)性條件是（）A.其特征方程的所有根都在單位圓內(nèi)B.其特征方程的所有根都在單位圓外C.其特征方程至少有一個(gè)根在單位圓內(nèi)D.其特征方程至少有一個(gè)根在單位圓外7.若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)滿足\(Cov(X,Y)=0\)，則下列說法正確的是（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立B.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)C.\(X\)和\(Y\)一定有線性關(guān)系D.以上說法都不對(duì)8.已知一個(gè)數(shù)據(jù)集的偏度系數(shù)為正，這表明該數(shù)據(jù)的分布（）A.左偏B.右偏C.對(duì)稱D.無法確定9.在精算模型中，用于描述風(fēng)險(xiǎn)聚合的模型是（）A.個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型B.集體風(fēng)險(xiǎn)模型C.生存模型D.以上都不是10.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)為樣本均值。若總體\(X\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)，則\(E(\bar{X}^2)\)等于（）A.\(\mu^2+\frac{\sigma^2}{n}\)B.\(\mu^2+\sigma^2\)C.\(\mu^2-\frac{\sigma^2}{n}\)D.\(\mu^2-\sigma^2\)11.某保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠額\(X\)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布\(LN(\mu,\sigma^2)\)，已知\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}=1000\)，\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)=250000\)，則\(\mu\)和\(\sigma^2\)的值分別為（）A.\(\ln(1000)-\frac{1}{2}\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)，\(\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)B.\(\ln(1000)+\frac{1}{2}\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)，\(\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)C.\(\ln(1000)-\frac{1}{2}\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)，\(\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)D.\(\ln(1000)+\frac{1}{2}\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)，\(\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)12.在多元線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_kx_k+\epsilon\)中，若要檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)自變量\(x_j\)是否對(duì)因變量\(y\)有顯著影響，應(yīng)采用的檢驗(yàn)方法是（）A.\(F\)檢驗(yàn)B.\(t\)檢驗(yàn)C.\(\chi^2\)檢驗(yàn)D.以上都不對(duì)13.設(shè)\(X\)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，分布函數(shù)為\(F(x)\)。則\(P(a\ltX\leqb)\)等于（）A.\(F(b)-F(a)\)B.\(f(b)-f(a)\)C.\(F(a)-F(b)\)D.\(f(a)-f(b)\)14.對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列\(zhòng)(\{X_t\}\)，其自協(xié)方差函數(shù)\(\gamma(k)\)滿足（）A.\(\gamma(k)=\gamma(-k)\)B.\(\gamma(k)=-\gamma(-k)\)C.\(\gamma(k)\)與\(\gamma(-k)\)沒有關(guān)系D.以上說法都不對(duì)15.某保險(xiǎn)公司對(duì)一類風(fēng)險(xiǎn)的索賠數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)索賠額\(X\)服從帕累托分布\(Pareto(\alpha,\theta)\)，其中\(zhòng)(\alpha=3\)，\(\theta=100\)。則該分布的均值為（）A.50B.100C.150D.200二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布可以用于描述保險(xiǎn)索賠次數(shù)（）A.泊松分布B.二項(xiàng)分布C.負(fù)二項(xiàng)分布D.正態(tài)分布2.在精算模型與數(shù)據(jù)分析中，常用的參數(shù)估計(jì)方法有（）A.最大似然估計(jì)法B.矩估計(jì)法C.最小二乘法D.貝葉斯估計(jì)法3.關(guān)于線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)，以下說法正確的是（）A.可以通過最小二乘法估計(jì)回歸系數(shù)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)B.殘差平方和\(SSE=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2\)越小，模型擬合效果越好C.決定系數(shù)\(R^2=1-\frac{SSE}{SST}\)越接近1，模型擬合效果越好D.回歸系數(shù)\(\beta_1\)表示自變量\(x\)每增加一個(gè)單位，因變量\(y\)的平均變化量4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，以下哪些是\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立的充分必要條件（）A.\(P(X\leqx,Y\leqy)=P(X\leqx)P(Y\leqy)\)對(duì)任意\(x,y\)成立B.\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，其中\(zhòng)(f(x,y)\)是\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)分別是\(X\)和\(Y\)的邊緣概率密度函數(shù)C.\(Cov(X,Y)=0\)D.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)5.在時(shí)間序列分析中，常用的模型有（）A.自回歸模型\(AR(p)\)B.移動(dòng)平均模型\(MA(q)\)C.自回歸移動(dòng)平均模型\(ARMA(p,q)\)D.自回歸積分移動(dòng)平均模型\(ARIMA(p,d,q)\)三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述精算模型中個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型和集體風(fēng)險(xiǎn)模型的區(qū)別與聯(lián)系。2.解釋什么是最大似然估計(jì)法，并說明其基本步驟。3.說明時(shí)間序列分析中平穩(wěn)性的概念及其重要性。四、計(jì)算題（每題15分，共25分）1.某保險(xiǎn)公司承保的一類風(fēng)險(xiǎn)，索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，每次索賠額\(X\)服從均值為5的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨(dú)立。-求總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的均值和方差。-若該保險(xiǎn)公司為了應(yīng)對(duì)這類風(fēng)險(xiǎn)，希望有95%的把握保證所收取的保費(fèi)足夠支付索賠，試計(jì)算所需的保費(fèi)金額（已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(Z\)滿足\(P(Z\leq1.645)=0.95\)）。2.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_{10}\)如下：\(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\)。-計(jì)算該組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和方差。-若以該組數(shù)據(jù)為樣本，構(gòu)建一個(gè)簡單線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)，其中\(zhòng)(y\)為因變量，\(x\)為自變量，通過最小二乘法估計(jì)回歸系數(shù)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.答案：C-解析：已知\(N\simPoisson(\lambda=3)\)，\(E(X)=2\)，\(Var(X)=4\)。根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)，又\(E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=4+4=8\)，所以\(Var(S)=\lambdaE(X^2)=3\times8=12\)。2.答案：A-解析：設(shè)新數(shù)據(jù)為\(y_i=x_i+c\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。則新數(shù)據(jù)的均值\(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+c)=\bar{x}+c\)；新數(shù)據(jù)的方差\(s_y^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(x_i+c)-(\bar{x}+c)]^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=s^2\)。3.答案：B-解析：在滿足一定條件下，通過最小二乘法得到的回歸系數(shù)\(\hat{\beta}_1\)是總體回歸系數(shù)\(\beta_1\)的無偏估計(jì)量，即\(E(\hat{\beta}_1)=\beta_1\)。4.答案：A-解析：根據(jù)概率的性質(zhì)，\(P(X\geq2)=1-P(X\lt2)=1-P(X=0)-P(X=1)\)。5.答案：B-解析：對(duì)于負(fù)二項(xiàng)分布\(NB(r,p)\)，均值\(E(N)=\frac{r(1-p)}{p}\)，方差\(Var(N)=\frac{r(1-p)}{p^2}\)。當(dāng)\(r=2\)，\(p=0.6\)時(shí)，\(E(N)=\frac{2\times(1-0.6)}{0.6}=\frac{4}{3}\)，\(Var(N)=\frac{2\times(1-0.6)}{0.6^2}=\frac{20}{9}\)。6.答案：A-解析：自回歸模型\(AR(p)\)的平穩(wěn)性條件是其特征方程的所有根都在單位圓內(nèi)。7.答案：B-解析：若\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)不相關(guān)，但不相關(guān)并不一定意味著相互獨(dú)立。8.答案：B-解析：偏度系數(shù)為正表明數(shù)據(jù)分布右偏，即數(shù)據(jù)的右側(cè)（較大值一側(cè)）有較長的尾巴。9.答案：B-解析：集體風(fēng)險(xiǎn)模型用于描述風(fēng)險(xiǎn)的聚合，它考慮了索賠次數(shù)和每次索賠額兩個(gè)因素。10.答案：A-解析：已知\(E(\bar{X})=\mu\)，\(Var(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)，又\(Var(\bar{X})=E(\bar{X}^2)-[E(\bar{X})]^2\)，所以\(E(\bar{X}^2)=Var(\bar{X})+[E(\bar{X})]^2=\mu^2+\frac{\sigma^2}{n}\)。11.答案：A-解析：由\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}=1000\)，\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)=250000\)，可得\(e^{\sigma^2}-1=\frac{250000}{1000^2}\)，即\(\sigma^2=\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)，\(\mu=\ln(1000)-\frac{1}{2}\sigma^2=\ln(1000)-\frac{1}{2}\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)。12.答案：B-解析：在多元線性回歸模型中，若要檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)自變量\(x_j\)是否對(duì)因變量\(y\)有顯著影響，應(yīng)采用\(t\)檢驗(yàn)。13.答案：A-解析：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)，\(P(a\ltX\leqb)=F(b)-F(a)\)，其中\(zhòng)(F(x)\)是\(X\)的分布函數(shù)。14.答案：A-解析：對(duì)于平穩(wěn)的時(shí)間序列\(zhòng)(\{X_t\}\)，其自協(xié)方差函數(shù)\(\gamma(k)\)滿足\(\gamma(k)=\gamma(-k)\)。15.答案：A-解析：對(duì)于帕累托分布\(Pareto(\alpha,\theta)\)，當(dāng)\(\alpha\gt1\)時(shí)，均值\(E(X)=\frac{\theta}{\alpha-1}\)。當(dāng)\(\alpha=3\)，\(\theta=100\)時(shí)，\(E(X)=\frac{100}{3-1}=50\)。二、多項(xiàng)選擇題1.答案：ABC-解析：泊松分布、二項(xiàng)分布和負(fù)二項(xiàng)分布都可以用于描述保險(xiǎn)索賠次數(shù)，而正態(tài)分布通常用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量，一般不用于描述索賠次數(shù)。2.答案：ABCD-解析：在精算模型與數(shù)據(jù)分析中，常用的參數(shù)估計(jì)方法有最大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法、最小二乘法和貝葉斯估計(jì)法。3.答案：ABCD-解析：線性回歸模型可以通過最小二乘法估計(jì)回歸系數(shù)；殘差平方和越小，說明模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合誤差越小，擬合效果越好；決定系數(shù)\(R^2\)越接近1，說明模型對(duì)因變量的解釋能力越強(qiáng)，擬合效果越好；回歸系數(shù)\(\beta_1\)表示自變量\(x\)每增加一個(gè)單位，因變量\(y\)的平均變化量。4.答案：AB-解析：\(P(X\leqx,Y\leqy)=P(X\leqx)P(Y\leqy)\)對(duì)任意\(x,y\)成立以及\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)是\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立的充分必要條件；\(Cov(X,Y)=0\)和\(E(XY)=E(X)E(Y)\)只能說明\(X\)和\(Y\)不相關(guān)，但不能推出相互獨(dú)立。5.答案：ABCD-解析：自回歸模型\(AR(p)\)、移動(dòng)平均模型\(MA(q)\)、自回歸移動(dòng)平均模型\(ARMA(p,q)\)和自回歸積分移動(dòng)平均模型\(ARIMA(p,d,q)\)都是時(shí)間序列分析中常用的模型。三、簡答題1.答：-區(qū)別：-個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型是對(duì)每個(gè)個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行單獨(dú)建模，考慮每個(gè)個(gè)體發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)的概率和損失程度，然后將所有個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)匯總。它通常適用于風(fēng)險(xiǎn)個(gè)體數(shù)量較少且個(gè)體之間差異較大的情況。-集體風(fēng)險(xiǎn)模型則是將整個(gè)風(fēng)險(xiǎn)群體作為一個(gè)整體來考慮，重點(diǎn)關(guān)注索賠次數(shù)和每次索賠額的分布，通過復(fù)合分布來描述總理賠額。它更適用于風(fēng)險(xiǎn)個(gè)體數(shù)量較多且個(gè)體之間具有一定同質(zhì)性的情況。-聯(lián)系：-兩者都是用于描述保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的模型，目的都是為了評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)和確定保費(fèi)。-個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型可以看作是集體風(fēng)險(xiǎn)模型的一種特殊情況，當(dāng)個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型中的個(gè)體數(shù)量足夠大且滿足一定條件時(shí)，可以近似用集體風(fēng)險(xiǎn)模型來描述。2.答：-最大似然估計(jì)法：最大似然估計(jì)法是一種統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)方法，其基本思想是在已知樣本數(shù)據(jù)的情況下，選擇使得樣本出現(xiàn)概率最大的參數(shù)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值。-基本步驟：-確定似然函數(shù)：設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)（或分布律）為\(f(x;\theta)\)，其中\(zhòng)(\theta\)是待估計(jì)的參數(shù)。對(duì)于樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，其似然函數(shù)\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i;\theta)\)。-取對(duì)數(shù)：為了方便計(jì)算，通常對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)\(\lnL(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\lnf(X_i;\theta)\)。-求導(dǎo)數(shù)并令其為零：對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于\(\theta\)求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于零，即\(\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}=0\)，解這個(gè)方程得到參數(shù)\(\theta\)的估計(jì)值\(\hat{\theta}\)。-檢驗(yàn)：驗(yàn)證得到的估計(jì)值是否是對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值點(diǎn)。3.答：-平穩(wěn)性的概念：時(shí)間序列分析中，平穩(wěn)性分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)是指時(shí)間序列的聯(lián)合概率分布不隨時(shí)間的平移而變化，即對(duì)于任意的\(n\)和\(t_1,t_2,\cdots,t_n\)以及任意的整數(shù)\(h\)，\((X_{t_1},X_{t_2},\cdots,X_{t_n})\)和\((X_{t_1+h},X_{t_2+h},\cdots,X_{t_n+h})\)具有相同的聯(lián)合分布。寬平穩(wěn)是指時(shí)間序列的均值為常數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔\(k\)有關(guān)，而與時(shí)間\(t\)無關(guān)，即\(E(X_t)=\mu\)（常數(shù)），\(Cov(X_t,X_{t+k})=\gamma(k)\)。-重要性：-平穩(wěn)性是許多時(shí)間序列分析方法的基礎(chǔ)。例如，自回歸模型\(AR(p)\)、移動(dòng)平均模型\(MA(q)\)等都是基于平穩(wěn)時(shí)間序列建立的。-平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)相對(duì)穩(wěn)定，使得我們可以利用歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)未來值。如果時(shí)間序列不平穩(wěn)，其統(tǒng)計(jì)特征會(huì)隨時(shí)間變化而變化，預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性會(huì)大大降低。-平穩(wěn)性有助于簡化模型的分析和估計(jì)。在平穩(wěn)時(shí)間序列的基礎(chǔ)上，可以更方便地進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、模型診斷和預(yù)測(cè)等操作。四、計(jì)算題1.解：-（1）求均值和方差-已知\(N\simPoisson(\lambda=2)\)，則\(E(N)=\lambda=2\)，\(Var(N)=\lambda=2\)；\(X\)服從均值為5的指數(shù)分布，則\(E(X)=5\)，\(Var(X)=25\)。-根據(jù)復(fù)合泊松分布的均值和方差公式，總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的均值\(E(S)=E(N)E(X)=2\times5=10\)。-方差\(Var(S)=E(N)Var(X)+Var(N)[E(X)]^2=2\times25+2\times5^2=100\)。-（2）計(jì)算所需保費(fèi)金額-由中心極限定理，當(dāng)\(N\)較大時(shí)，\(S\)近似服從正態(tài)分布\(N(E(S),Var(S))\)，即\(S\simN(10,100)\)。-設(shè)所需保費(fèi)金額為\(P\)，要使\(P(S\leqP)=0.95\)，令\(Z=\frac{S-E(S)}{\sqrt{Var(S)}}=\frac{S-10}{10}\)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(N(0,1)\)。-則\(P(S\leqP)=P(\frac{S-10}{10}\leq\frac{P-10}{10})=\Phi(\frac{P-10}{10})=0.95\)，已知\(\Phi(1.645)=0.95\)，所以\(\frac{P-10}{10}=1.645\)，解得\(P=10+1.645\times10=26.45\)。2.解：-